多目标决策简介

第十一章多目标决策

(Multi-objective Decision-making)主要参考文献 68, 111

§11.1 序言

MA：评估与排序

MCDP

MO：数学规划

一、问题的数学表达

N个决策变量x

•= {x

1

,x

2

,…, x

N

}

n个目标函数f

•(x

•

) = (f

1

(x

•

),f

2

(x

•

),…, f

n

(x

•

))

m个约束条件x

•即: g

k

(x

•

) 0 k=1,…,m

x

•

(1) 不失一般性，MODP可表示成：

P1 Max {f

1(x

•

),f

2

(x

•

),…, f

n

(x

•

)}

s.t. x

•

这是向量优化问题，要在可行域X中找一x S

•

，使各目标值达到极大。

通常x S

•并不存在，只能找出一集非劣解x

•

*

(2) 若能找到价值函数v(f1(x•),f2(x•),…, f n(x•)) 则MODP

可表示成：

P2 Max v (f

1(x

•

),f

2

(x

•

),…, f

n

(x

•

))

s.t. x

•

这是纯量优化问题，困难在于v如何确定。二、最佳调和解(Best Compromise Solution)

P3 DR (f

1(x

•

),f

2

(x

•

),…, f

n

(x

•

))

s.t. x

•

即根据适当的Decision Rule在X中寻找BCS x c

•

常用的Decision Rule: max V maxEU

min d

p (f

•

-∃f

•

)

求BCS必须引入决策人的偏好

三、决策人偏好信息的获取方式

1.在优化之前，事先一次提供全部偏好信息

如：效用函数法，字典式法，满意决策，目的规则

2.在优化过程中：逐步索取偏好信息

如：STEM SEMOP Geoffrion, SWT

3.在优化之后：事后索取偏好，由决策人在非劣解集中选择i，算法复杂，决策人难理解， ii,计算量大，

iii,决策人不易判断各种方式的利弊比较

黄庆来[111]的分类表:

§11.2 目的规划法

适用场合：

决策人愿意并且能用

优先级P (Preemptive priority)

权W (Weight)

目的∃f •

( Goal ) 来表示偏好

理想点 f *•

( Ideal )

一、距离测度的选择

d f x f p (()∃)•

•

•

- = {|()∃|

}w f x f j j j p p •-∑1 范数p 的意义和作用

p=1 绝对值范数 p=2 欧几里德范数 p =∞契比E 夫范数

在上图中，B 、C 点到A 的距离

f 1 f 2 d 1 d 2 d 3 d ∞ AB 间的距离

0 6 6 6 6 6

AC 间的距离 5 4 9 6.4 5.74

5

二、目的规划问题的表述

min{d f x

f p (()∃)•

•

•

- = {|()∃|}w f x f j j j p p •-∑1} s. t. x • 即: g k (x •

) 0 k=1,…,m

x • 0

三、分类

1.线性目的规划 p = 1

f j ,

g k 为线性; x •

连续; w, ∃f •

事先给定 2.整数目的规划 除x •各分量为整数外，均同线性目的规划 (例：人才规划)

3.非线性目的规划： p=1， w, ∃f •

事先给定

f j ,

g k 为非线性，X 为凸集，x •连续 4.调和规划和移动理想点法: 1 p w 事先给定

∃f •

= f *•

是移动的理想点

5. 字典序法 p = 1

∃f •

= f *•

P1》P2》…》PL

6.STEM 法 P=∞ ∃f •

= f *•

为理想点，权由计算得出

7.SEMOP 目的标定为区间，不是固定点

四、例：

某车间生产甲、乙两种产品，产量分别为x 1和x 2，产品甲每单位需2个单位的劳动力和3个单位 原料,利润为2；生产产品乙需3个单位劳动力和1.5个单位原料,利润为3。在下一计划期间车间有12单劳动力12单位原料。

假定车间主任有如下目标： (1) 利润至少为6个单位，

(2)两种产品产量经尽可能保持x 1：x 2= 3：2， (3) 劳动力充分利用

解：按传统的线性规划，使利润最大： max 2x 1+ 3x 2

s. t. 2x 1+ 3x 2≤12 (劳力约束) 3x 1+1.5x 2≤12 (原料约束) x 1, x 2≥0

用图解法可得x 1=3, x 2=2时,利润最大为12.