幂函数-课件ppt

5．已知点 33，3 3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的定义域
为___(_－__∞_，__0_)_∪__(_0_，__＋__∞_)___,奇偶性为_____奇__函__数________， 单调减区间为__(_－__∞_，__0_)_和__(_0_，__＋__∞_)_____．
二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－2，且它有最 小值－1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式． [课堂笔记]
二次函数的图象与性质
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调 函数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间． [课堂笔记]
【解】(1)当 a＝－2 时， f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于 x∈[－4，6]，∴f(x)在[－ 4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f(x)的最小值是 f(2)＝－1， 又 f(－4)＝35，f(6)＝15， 故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，所以要 使 f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4. 故实数 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
【解】(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋ 1)2－a. 由于 f(x)有最小值－1，所以必有a－＞a0＝－1，解得 a＝1. 因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x. (2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称 的点 P′(－x，－y)必在 f(x)图象上，所以－y＝(－x)2＋2(－ x)，即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x，故 g(x)＝－x2＋2x.
设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
【解】∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线 x＝1， 而 x＝1 不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论． 当－2<a<1 时，函数在[－2，a]上单调递减， 则当 x＝a 时，ymin＝a2－2a； 当 a≥1 时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增， 则当 x＝1 时，ymin＝－1.综上，g(a)＝a－2－1，2aa，≥1－. 2<a<1，
幂函数
二次函数与幂函数
1．幂函数 (1)幂函数的定义是什么？ 提示：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量. α为常数 (2)有哪五种常用幂函数？
1
提示：常用幂函数有 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1
五种
温馨提醒：(1)区分幂函数和指数函数形式上的不同： 幂函数中底数是自变量，指数是常数，而指数函数中底数是 常数，指数是自变量． (2)幂函数的图象特点： ①幂函数的图象都过点(1，1)，且在第一象限内有单调性． ②幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第 四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； ③幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；
g(x)，hHale Waihona Puke Baidux)的大小关系是( D )
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．h(x)＞f(x)＞g(x)
D．h(x)＞g(x)＞f(x)
4．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线
x＝1对称，则函数f(x)的最小值为_____5___．
A.0，210
B．－∞，－210
C.210，＋∞
D.－210，0
2．已知函数 y＝x2－2x＋3 在闭区间[0，m]上有最大值 3，
最小值 2，则 m 的取值范围为( B )
A．[0，1]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．(1，2)
1
3．当 0＜x＜1 时，f(x)＝x2，g(x)＝x2，h(x)＝x－2，则 f(x)，
3．已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3 在(0，＋∞)上是增函
数，则 m＝___－__1___．
【解析】∵函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3 是幂函数，∴m2－ m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，－5m－3＝－13，函数 y＝x－13 在(0，＋∞)上是 减函数； 当 m＝－1 时，－5m－3＝2，函数 y＝x2 在(0，＋∞)上是增 函数．∴m＝－1.
在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式 的 表 达形式： (1)已知三个点的坐标，应选择一般形式； (2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择零点式． 注意：求二次函数的解析式时，如果选用的形式 不当、引 入 的字母系数过多，会加大运算量，易出错．
(3)当 a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时 定义域为 x∈[－6，6]， 且 f(x)＝xx22＋－22xx＋＋33，，xx∈∈（[－06，，60]]，∴f(|x|)的单调递增区间 是(0，6]，单调递减区间是[－6，0]．
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间 定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的 关 键 是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依 据 对 称轴与区间的位置关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调 性 问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.
∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)当 a<0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向下，且对 称轴 x＝1a<0，在 y 轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x 在[0，1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
a－2，a<1， 综上所述 f(x)min＝－a1，a≥1.
(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思 想， 求 解 中既对系数a进行了讨论，又对对称轴进行讨论．在 分类讨 论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一 致，二 是 分 类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分 类, 绝 不无原则的分类讨论． (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区 间动，仍 应 对 区间进行分类讨论．
2．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值 2，求a的值． 【解】f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1， 当 a≥1 时，ymax＝a；当 0＜a＜1 时，ymax＝a2－a＋1； 当 a≤0 时，ymax＝1－a. 根据已知条件得，aa≥＝12或0a＜ 2－aa＜＋11＝2或a1≤－0a＝2，
1
即 22＝2(m2＋m)－1，∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2.
1
又∵m∈N*，∴m＝1，f(x)＝x2.
2－a≥0， 又∵f(2－a)＞f(a－1)，∴a－1≥0，
解得
2－a＞a－1，
1≤a＜32，
故函数 f(x)的图象经过点(2， 2)时，m＝1.
满足条件 f(2－a)＞f(a－1)的实数 a 的取值范围为[1，32)．
在(－∞，－2ba)上是 ___增_____函数；在(－
2ba，＋∞)上是增函数 2ba，＋∞)上是减函数
最值
a＞0
当 x＝－2ba时，
ymin＝
4ac－b2 4a
a＜0
当 x＝－2ba时， ymax＝4ac4－a b2
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取
值范围是( C )
[课堂笔记]
【解】(1)∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而 m 与 m＋1 中必 有一个为偶数，∴m2＋m 为偶数，∴函数 f(x)＝x(m2＋m)－ 1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为
增函数．
(2)∵函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，∴ 2＝2(m2＋m)－1，
∴f(x)＝－4x－12 2＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8，即4a（－2a4－a 1）－a2＝8.
解得 a＝－4 或 a＝0(舍去)，∴所求函数的解析式为 f(x)＝－ 4x2＋4x＋7.
①当1a≤1，即 a≥1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0，1] 内，
∴f(x)在0，1a 上递减，在1a，1上递增． ∴f(x)min＝fa1＝1a－2a＝－1a.
②当1a>1，即 0<a<1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0， 1]的右侧， ∴f(x)在[0，1]上递减．
1．已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)
的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
【解】法一：(利用一般式)：
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
4aa－＋b2＋b＋c＝c＝ －－1，1，解得ab＝ ＝4－，4，
4ac4－a b2＝8，
c＝7.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)：设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12.∴ m＝12.又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝
ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4，
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有参数 α，因此只 需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数 y＝xα(α∈R)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是 分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.
解得 a＝2 或 a＝－1.
幂函数的图象与性质 (2014·江苏徐州一模)已知幂函数 f(x)＝x(m 2 ＋m)－1 (m∈N*)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单 调性；
(2)若该函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并 求满足条件 f(2－a)＞f(a－1)的实数 a 的取值范围．
④如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
2．二次函数解析式的三种常用表达形式 (1)一般式：f(x)＝____a_x_2_＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)_____； (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点； (3)零点式(或因式分解式)：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其 中 x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
3．二次函数的图象及其性质 a＞0
a＜0
图象
定义域 值域
R [4ac4－a b2，＋∞)
R (－∞，4ac4－a b2]
对称轴 顶点坐标
a＞0
－b x＝___2_a__ (－2ba，4ac4－a b2)
a＜0
奇偶性 单调性
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
在(－∞，－2ba)上是 ___减_____函数；在(－
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
(2014·山东青岛模拟)已知 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，
求 f(x)的最小值． [解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称 轴为 x＝1a.