2010年考研数学三真题及答案解析
2010年考研数学三试题及全面解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1） 若011lim 1x x a e x x →⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a 等于 （ ）（A ） 0. （B ） 1. （C ） 2. （D ） 3.【答案】C【考点】极限的四则运算 【难易度】★★★ 【详解】 解析：()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x x x →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭001lim lim 11x x x x e axe a x x→→-=+=-+= 所以2a =.（2） 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,u λ使 12y uy λ+是该方程的解，12y uy λ-是该方程对应的齐次方程的解，则 （ ）（A ） 11,22u λ==. （B ） 11,22u λ=-=-. （C ） 21,33u λ==. （D ） 22,33u λ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：因12y y λμ-是()0y p x y '+=的解；故()()()12120y y p x y y λμλμ'-+-= 所以()()()()11220y p x y y p x y λμ''+-+= 而由已知()()1122(),()y p x y q x y p x y q x ''+=+= 所以()()0q x λμ-=又12y y λμ+是非齐次()()y p x y q x '+=的解；故()()()()1212y y p x y y q x λμλμ'+++= 所以()()()q x q x λμ+=所以01λμλμ-=⎧⇒⎨+=⎩12λμ==.（3） 设函数()(),f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<，()0g x a =是()g x 的极值，则()()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是 （ ）（A ）()0f a '<. （B ） ()0f a '>. （C ）()0f a ''<. （D ）()0f a ''>. 【答案】B【考点】函数的极值 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二阶可导函数()F x 在点0x x =处取得极大值的一个充分条件是'()0F x =且"()0F x <. 在本题中，[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅ 由于0()g x a =是()g x 的极值，所以0()0g x '=. 所以[]{}[]()0000()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<，要使[]{}()0f g x ''<，必须有()'0f a >（4） 设()()()1010ln ,,x f x x g x x h x e ===，则当x 充分大时有 （ ） （A ） ()()()g x h x f x <<. （B ） ()()()h x g x f x <<. （C ） ()()()f x g x h x <<. （D ） ()()()g x f x h x <<. 【答案】C【考点】极限的四则运算 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：极限的四则运算、等价无穷小、洛必达法则的运用. 设lim (),lim ()x ax af x Ag x B →→==，则()lim,(0)()x af x AB g x B→=≠.在本题中，因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞所以，当x 充分大时，()()h x g x >又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xx x g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim10!lim 01x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅==所以当x 充分大时，()()f x g x < 所以当x 充分大，()()()f x g x h x <<. （5） 设向量组12:,,r I ααα可由向量组12:,,s II βββ线性表示，下列命题正确的是（ ）（A ） 若向量组I 线性无关，则r s ≤. （B ） 若向量组I 线性相关，则r s >. （C ） 若向量组II 线性无关，则r s ≤. （D ） 若向量组II 线性相关，则r s >. 【答案】A【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】解析：由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以()()r I r II ≤，即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关，则1(,,)r r r αα=，所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤，即r s ≤，选A.（6） 设A 为4阶实对称矩阵，且20A A +=，若A 的秩为3，则A 相似于 （ ）（A ） 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ） 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.（C ） 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （D ） 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】D【考点】实对称矩阵的特征值，实对称矩阵的特性 【难易度】★★★ 【详解】解析：设λ为A 的特征值，由于20A A +=，所以20λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值为-1或0.由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即AΛ，()()3r A r =Λ=，因此，1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭，即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. （7） 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1xx F x x e x - <⎧⎪⎪= ≤<⎨⎪⎪- ≥⎩，则{}1P x == （ ）（A ） .0 （B ）12. （C ） 112e --. （D ） 11e --. 【答案】C【考点】随机变量的分布函数的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-.选C. （8） 设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度，若12()0()(0,0)()af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度，则,a b 应满足 （ ）（A ） 234a b +=. （B ）324a b +=. （C ）1a b +=. （D ）2a b +=. 【答案】A【考点】均匀分布、标准正态分布、连续型随机变量的概率密度的性质 【难易度】★★★ 【详解】解析：由题意知 ()221x f x -=，()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞==+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰所以234a b +=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9） 设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则x dydx== .【答案】-1【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★ 【详解】 解析：220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰，令0x =，得0y =等式两端对x 求导，得 2()220(1)s i n s i nx x y dy e t dt x x dx-++=+⎰ 将0x =，0y =代入上式，得10dydx+= 所以1x dydx ==-. （10）设位于曲线)y e x =≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 .【答案】24π【考点】定积分的换元法；旋转体的体积 【难易度】★★★ 【详解】 解析：()221ln eedxV y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰ ()22ln arctan ln 1ln 244eed x x x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰. （11） 设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p = .【答案】()3113p pe-【考点】导数的经济意义 【难易度】★★★ 【详解】解析：由收益弹性的定义，得31dR pp dp R⋅=+ 21dR p dp R p ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭两端积分，得 21ln ln 3R p p C =++ 又()11R =，所以13C =-11ln ln 33R p p ∴=+-即()3113p R pe -=（12） 若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则b = . 【答案】3【考点】函数图形的拐点 【难易度】★★ 【详解】解析：321y x ax bx =+++232y x ax b '=++62y x a ''=+因曲线有拐点(1,0)-，所以，当1x =-时，0y ''=13ax ⇒=-=-3a ⇒= 曲线过点()1,0-，代入曲线方程，得3b =.（13） 设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=，则1A B -+= .【答案】3【考点】行列式的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+，所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =，所以1112BB--==，因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.（14） 设1,,n X X 是来自总体2(,)N μσ(0)σ>的简单随机样本，记统计量211n i i T X n ==∑，则ET = .【答案】22σμ+【考点】单个正态总体的抽样分布 【难易度】★★ 【详解】解析：()()22222211111()()n n i i i i E T E X E X nE X D X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫====+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答．题纸．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分10 分）求极限11ln lim (1)xxx x →+∞-【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析：11ln 1ln 111ln lim ln ln lim 1lim x x x x x xxxxx x x ee→+∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-== ⎪⎝⎭1111ln 1ln lim1lim 11x xx x x x x xx x x x xe e→+∞→+∞⎛⎫- ⎪⋅- ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭==1ln 1ln lim1ln lim11ln x x x x xxx e x x xee→+∞→+∞--⎛⎫ ⎪-⋅ ⎪⎝⎭==（x →+∞时，1ln 0x x→1ln 11ln x x e x x⇒-） 1.e -=（16） （本题满分10分） 计算二重积分3()Dxy dxdy +⎰⎰，其中D 由曲线x =0x =及0x =围成.【考点】二重积分的性质、利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】 解析：设12D D D =，其中(){1,0D x y y x =≤≤≤≤ (){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333DDx y dxdy x x y xy y dxdy +=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称，被积函数233x y y +是y 的奇函数，所以()2330Dx y y dxdy +=⎰⎰()()())113323232032323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy xxy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y ⎛=+ ⎝⎰1420912244y y dy ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰1415=（17） （本题满分10 分）求函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值和最小值. 【考点】拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值【难易度】★★★ 【详解】解析：令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-22220220220100x yzF y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪∴⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩解得1,21,2x y z x y z ⎧===⎪⎨=-==-⎪⎩()()21,2M M ∴=--=()()1,2M M =--=-.（18） （本题满分10 分）（I ） 比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小，说明理由；（II ） 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =，求极限lim n n u →∞. 【考点】夹逼准则、定积分的基本性质【难易度】★★★★ 【详解】解析：当0t →时，[]ln ln(1)0,ln 0nnt t t t +→→，所以()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与1ln n t t dt ⎰均为定积分，故（I ）当01t <<时0ln(1)t t <+<，故[]ln(1)nn t t +<，所以[]ln ln(1)ln nnt t t t +<[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt ∴+<⎰⎰()1,2,n =（II ）()1111001ln ln ln 1nnn t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+ 故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰，根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+故lim 0n n u →∞=.（19）（本题满分10 分）设函数()f x 在[]0,3上连续，在()0,3内存在二阶导数，且22(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+⎰，（I ） 证明：存在(0,2)η∈使()(0);f f η= （II ） 证明存在(0,3)ξ∈，使()0f ξ''= 【考点】罗尔定理、介值定理、定积分中值定理【难易度】★★★ 【详解】 证明：（I ）22(0)()f f x dx =⎰，又()f x 在[]0,2上连续∴由积分中值定理得，至少有一点(0,2)η∈，使得()()()2020f x dx f η=⋅-⎰()()202f f η∴=，∴存在()0,2η∈使得()()0f f η=.（II ）()()()2320f f f +=，即()()()2302f f f += 又()f x 在[]2,3上连续，由介值定理知，至少存在一点[]12,3η∈使得[]()10f f η= ()f x 在[]0,2上连续，在()0,2上可导，且()()02f f =∴由罗尔定理知，()10,2ξ∃∈，有()10f ξ'=又()f x 在[]12,η上连续，在()12,η上可导，且()()()120f f f η==∴由罗尔定理知，()212,ξη∃∈，有()20f ξ'=又()f x 在[]12,ξξ上二阶可导，且()()120f f ξξ''==∴由罗尔定理，至少有一点12(,)(0,3)ξξξ∈⊂，使得()0f ξ''=.（20） （本题满分11分）设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解（I ） 求λ,a ;（II ） 求方程组Ax b =的通解.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：（I ）已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<，对增广矩阵进行初等行变换，得2211111(,)0101010111111111111010101010110011a A b a a a λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时，11111111(,)000100010000000A b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时，()1(,)2r A r A b =≠=，Ax b =无解，所以1λ≠.当1λ=-，1111(,)02010002A b a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭由于()(,)3r A r A b =<，所以2a =-.因此，1λ=-，2a =-. 方法二：（I ）已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<∴0A =，即21110(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=，知1λ=或-1. 当1λ=时，()1(,)2r A r A b =≠=，此时，Ax b =无解，1λ∴=-.代入由()(,)r A r A b ∴=得2a =-.（II ）310111112111111(,)020101001022000000000000A b ⎛⎫- ⎪-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即132333212x x x x x ⎧=+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.Ax b ∴=的通解为31(1,0,1)(,,0)22T T x k =+- ，k 为任意常数.（21） （本题满分11 分）设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角矩阵，若Q 的第1列为T，求a，Q.【考点】实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵【难易度】★★★【详解】解析：由于0141340A aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，存在正交矩阵Q，使得TQ AQ为对角阵，且Q的第一列为T，故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=，故1Aλ=，即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭，由14131041E Aλλλλ--=-=-，可得14144141311312314140400441(4)(4)(2)(5)023λλλλλλλλλλλλλλλλ-----=-=----++-=+=+--=-故A的特征值为1232,4,5λλλ==-=，且对应于12λ=的特征向量为12,1)Tξ=.由2()0E A xλ-=，即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4141711011710270010414000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-→-→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得对应于24λ=-的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=，即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭514121121101121099011011415099000000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵，123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量，所以123,,ξξξ相互正交，只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-， 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭，则245TQ AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭. （22） （本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=，x -∞<<+∞，y -∞<<+∞，求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x【考点】连续型随机变量的概率密度的性质，二维连续型随机变量的边缘密度，二维连续型随机变量的条件密度 【难易度】★★★ 【详解】解析：()()222222,y x x xy y x f x y AeAe e---+--==()2222221111y x x A e eπ---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎥⎥⎥⎥⎦⎦ 利用概率密度的性质得到()()2222111,[]y x x f x y dxdy A ee dy dx π---⨯⨯+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰因为，()222221)1y x t e dy y x te dt --⨯+∞+∞--∞-∞-==⎰；同理，22111x e dx -⨯+∞-∞=⎰，所以()()222222111,[]y x x f x y dxdy A ee dy dx A ππ---⨯⨯+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰（利用正态分布的概率密度为1，即()221x dx μσ--+∞-∞=⎰），得到1A π-=即()()22222211,y x x f x y e e---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎥⎥⎥⎥⎦⎦ X 的边缘概率密度为()()()222221,y x xx X f x f x y dy e dy --⨯+∞+∞---∞-∞===⎰⎰条件概率密度()()()222,,,x xy y Y X X f x y f y x x y f x -+-==-∞<<+∞-∞<<+∞（23） （本题满分11分）箱内有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个，现从箱中随机的取出2个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数. （I ） 求随机变量(,)X Y 的概率分布； （II ） 求cov(,)X Y 【考点】二维离散型随机变量的概率分布、协方差的计算公式【难易度】★★ 【详解】解析：（I ）X 的所有可能取值为0,1，Y 的所有可能取值为0,1,2{}2326310,0155C P X Y C =====（取到的两个球都是黑球）{}112326620,1155C C P X Y C =====（取到的一个是白球，一个是黑球）{}222610,215C P X Y C ====（取到的两个球都是黑球）{}111326311,0155C C P X Y C =====（取到的一个是红球，一个是黑球）{}11122621,115C C P X Y C ====（取到的一个是红球，一个是白球）{}261,20P X Y C ==== (),X Y 的联合分布律为（II ）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =-()21101333E X =⨯+⨯=，()2812012515153E Y =⨯+⨯+⨯=()22111515E XY =⨯⨯=，∴()()()()2124,153345Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-。
2010年考研数学三真题答案解析(pdf)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】(C).【解析】()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x x x →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭001lim lim 11xx x x e axe a x x→→-=+=-+=所以2a =.(2)【答案】(A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=,①又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=,②由①②求解得12λμ==,故应选(A)．(3)【答案】(B).【解析】[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅,[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅由于0()g x a =是()g x 的极值,所以0()0g x '=.所以[]{}[]()0()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<,要使[]{}()0f g x ''<,必须有()0f a '>,故答案为B.(4)【答案】(C).【解析】因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞,所以,当x 充分大时,()()h x g x >.又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xxx g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim 10!lim 01x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅== .所以当x 充分大时,()()f x g x <,故当x 充分大,()()()f x g x h x <<.(5)【答案】(A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r sααββ≤≤ 若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(6)【答案】(D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭.(7)【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】(A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9)【答案】1-.【解析】220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰,令0x =,得0y =,等式两端对x 求导：2()220(1sin sin x x y dyet dt x x dx-++=+⎰．将0x =,0y =代入上式,得010x dy dx=+=.所以1x dy dx==-.(10)【答案】24π.【解析】根据绕x 轴旋转公式,有()221ln eedx V y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰()22ln arctan ln 1ln 244e ed xx x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰.(11)【答案】()3113P p e-⋅.【解析】由弹性的定义,得31dR pp dp R ⋅=+,所以21dR p dp R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即21ln ln 3R p p C =++,又()11R =,所以13C =-.故11ln ln 33R p p =+-,因此()3113p R p e -=⋅.(12)【答案】3b =.【解析】函数为321y x ax bx =+++,它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+,又因为()1,0-是拐点,所以10x y =-''=,得13a-=-,所以3a =,又因为曲线过点()1,0-,所以将1,0x y =-=代入曲线方程,得3b =.(13)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.(14)【答案】22σμ+.【解析】()()()22222211111n n i i i i E T E X E X X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫=====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题(15)【解析】11ln ln 1ln 11ln 11ln lim lim ln ln ln lim 1lim x x x x x x x x e xx xxxx x x ee e→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭其中ln ln ln 12ln(1)(1)1ln limlim1ln xx x xxxx x e eex x x x-→+∞→+∞---=⋅ln ln 1ln 1lim lim (1)1ln ln x xx xx x e x e x xx x→+∞→+∞-=⋅=-=-.故原式1e -=.(16)【解析】积分区域12D D D = ,其中(){1,01,D x y y x =≤≤≤≤(){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333DDx y dxdy x x y xy y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称,被积函数233x y y +是y 的奇函数,所以()2330Dxy y dxdy +=⎰⎰．()()())11332323232323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy x xy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y dy ⎛=+ ⎝⎰14209114224415y y dy ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰.(17)【解析】令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-,用拉格朗日乘数法得22220,220,220,100,x y z F y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩求解得六个点：()()2,1,2,A B --()()1,2,1,2,C D --((,.E F -由于在点A 与B点处,u =C 与D处,u =-；在点E 与F 处,0u =．又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以max u =min u =-(18)【解析】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(19)【解析】(I)因为22(0)()f f x dx =⎰,又因为()f x 在[]0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点[]0,2η∈,使得()()()220f x dx f η=⋅-⎰即()()202f f η=,所以存在[]0,2η∈,使得()()0f f η=.(Ⅱ)因为()()()2320f f f +=,即()()()2302f f f +=,又因为()f x 在[]2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点[]12,3η∈使得()()10f f η=.因为()f x 在[]0,2上连续,在[]0,2上可导,且()()02f f =,所以由罗尔中值定理知,Ｃ存在()10,2ξ∈,有()10f ξ'=.又因为()f x 在[]12,η上连续,在()12,η上可导,且()()()120f f f η==,所以由罗尔中值定理知,存在()212,ξη∈,有()20f ξ=.又因为()f x 在[]12,ξξ上二阶可导,且()()120f f ξξ''==,所以由罗尔中值定理,至少有一点()0,3Ax b =⊂,使得()0f ξ''=.(20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=-,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.(II )对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎭,即10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy+∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---=-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】(I)X 的所有可能取值为0,1,Y 的所有可能取值为0,1,2．{}2326310,0155C P X Y C =====,其中0,0X Y ==表示取到的两个球都是黑球；{}112326620,1155C C P X Y C =====,其中0,1X Y ==表示取到的一个是白球,一个是黑球；{}222610,215C P X Y C ====,其中0,2X Y ==表示取到的两个球都是白球；{}111326311,0155C C P X Y C =====,其中1,0X Y ==表示取到的一个是红球,一个是黑球；{}11122621,115C C P X Y C ====,其中1,1X Y ==表示取到的一个是红球,一个是白球；{}261,20P X Y C ====,因此二维离散型随机变量,X Y 的概率分布为(II)(Cov。
2010考研数三真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)1 1 x ,则a等于( )(1)若limx0 x x a e1(A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2)设y1, y2 是一阶非齐次微分方程y p x y q x的两个特解,若常数，使y1 y2 是该方程的解,y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )1(A),(B) .(C) ,. (D) .【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).(3)设函数f x , g x具有二阶导数,且g x 0 ,若g x0a 是g x 的极值,则f g x 在x0 取极大值的一个充分条件是( )(A) f a 0. (B) f a 0 . (C) f a 0 . (D)f a 0 .x(4) 设 f xln 10 x g x , x h x ,e 10 ,则当 x 充分大时有( ) (A) g xh xf x. (B) hxg xf x.(C) fx g xh x.(D) g x f x h x .(5) 设向量组 I :1, 2,r 可由向量组II :1,2,s 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则rs .(B) 若向量组I 线性相关,则r s . (C) 若向量组II 线性无关,则r s . (D) 若向量组II 线性相关,则r s .(6) 设 A 为4阶实对称矩阵,且 A 2A O ,若 A 的秩为3,则 A 相似于 ()1 1(A)1 .(B)1 .1 11 1(C) 1.(D)1.110, x 01(A) 0.(B).(C)e1.(D) 1e1.为1,3上均匀分布(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 的概率密度,若af x 1( )x 0 f x( )( a 0, b 0)bf 2( )x x 0为概率密度,则a ,b 应满足 ( )(A) 2a3b 4. (B) 3a2b 4. (C) a b 1.(D) ab 2.二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.)x yt 2 x2 确定,则dy. (9) 设可导函数 yy x ( )由方程e dtx sin t dt dxx 01 (10)设位于曲线 y( e x ) 下方, x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕 x轴旋转一周所得空间区域的体积是.(11) 设某商品的收益函数为R (p ),收益弹性为1p 3 ,其中 p 为价格,且R (1) 1 ,则R (p ) =.(7) 设随机变量 X 的分布函数 F x ( ) 2 1e x ,( )0 x 1 ,则 PX1=x1(12) 若曲线 y x 3 ax 2 bx 1有拐点(1,0) ,则b.(13) 设 A ,B 为3阶矩阵,且 A 3, B 2 , A1B 2 ,则A B1.n212(14)设X X 1, 2, ,X n是来自总体N (,) (0) 的简单随机样本,统计量TXi ,n i 1则ET .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分)求极限 lim (xx 11)ln 1x .(16) (本题满分10分)计算二重积分(x y dxdy )由曲线 x 1y 2 与直线 x2y 0 及Dx 2y 0围成.(17) (本题满分10分) 求函数uxy2yz 在约束条件x 2y 2z 210 下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I ) 比较1ln tln 1tndt与1t nln t dt n 1,2,的大小,说明理由．1n( II ) 记u nln t ln 1t dt n 1,2,,求极限nli m u n ．(19) (本题满分10分)设 函 数 f (x ) 在0,3上 连 续 , 在0,3内 存 在 二 阶 导 数 , 且22f (0)f x dx ( ) f (2) f (3),( I ) 证明存在(0,2) ,使 f ()f (0); ; ( II ) 证明存在(0,3) ,使 f()0 ．(20)(本题满分11分)11 a设A1 ， b11已知线性方程组Ax b 存在2个不同的解． ( I ) 求,a ;( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分11 分) 1 (1,2,1)T,求a ,Q ．(22) (本题满分11分) 设二维随机变量(X Y , ) 的概率密度为2f x y ( , )Ae 2x 2xy y2,x,y ,求常数 A 及条件概率密度 f Y X |(y x | ) ．(23)(本题满分11分) 箱中装有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3 个,现从箱中随机取出2个球, 记 X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数.( I ) 求随机变量 (X Y ,) 的概率分布；0 设A 141 43a ,正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵,若 Q 的第 1 列为 a( II ) 求Cov X Y( , ) .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C). 【解析】limx1 1 a exlim x1 1e x1axlimx11e xaxe xlim x1e x axe xx x xx x x1e x axe x lim lim 1 a 1x 0 x x 0 x所以a 2.(2) 【答案】 (A)．【解析】因y 1 y 2 是 y P x y 0 的解,故y 1 y 2 P xy 1y 20,所以y 1P x y1y 2p x y ( ) 20 ,而由已知 y 1P x y1q x, y 2P x y2q x,所以q x0,①又由于一阶次微分方程 ypx yq x是非齐的,由此可知 qx0 ,所以0．由于y 1y 2 是非齐次微分方程 yPx yq x的解,所以y 1 y 2 P x y 1 y 2q x,整理得y 1P x y1y 2P x y2q x ,即q xq x,由q x 0 可知1,②由①②求解得,故应选(A)．(3)【答案】 (B).【解析】f g x ( ) f g x ( )g x ( ) ,f g x( ) fg x ( )g x ( ) fg x ( )g x ( )2fg x ( )g x( )由于g (x 0 ) a 是g (x ) 的极值,所以g x ( 0)0 .所以f g x ( 0 )f gx ( 0 )g x( 0 )fa gx ( 0 )由于g x ( 0 ) 0,要使f g x( )0,必须有f a ( ) 0 ,故答案为B.(4)【答案】 (C).x【解析】因为 lim ( ) lim e 10 lim 10x 1 ,所以,当 x 充分大时,h x ( )g x ( ) .xg x ( )xxx1091又因为 limf x ( ) lim ln 10 xlim 10 ln x x 10 lim ln 9xxg x ( ) xxx1 xx81ln x10 9lim x 10 92 lim l x 10! lim 10 .x1xxxx 所以当 x 充分大时, f x ( ) g x ( ) ,故当 x 充分大, f x ( ) g x ( )h x ( ) .(5) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组 I 能由向量组 II 线性表示,所以r (I) r (II) ,即r (1, ,r) r (1, , s ) s 若向量组 I 线性无关,则 r (1, ,r) r ,所以 rr (1, ,r )r (1, ,s )s ,即r s ,选(A).(6) 【答案】 (D). 【解析】设为 A 的特征值,由于 A 2A O ,所以20 ,即 (1)0 ,这样 A 的特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即11A,r A ()r ()3,因此,1,即 A1.11(7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量 X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1P X1P X 1 F1 F11 e1e1,故本题选(C).(8) 【答案】 (A).x 21 ,1x 3【解析】根据题意知, f 1x(x),f 2x2 140,其它利用概率密度的性质:f x dx1,故a31 a 3f x dx af 1x dxbf 2 x dx2f 1x dxb4 dx24 b1所以整理得到2a 3b 4,故本题应选(A).二、填空题 (9)【答案】1.x y2x2【解析】e t dtxsin t dt ,令x 0,得 y 0,等式两端对 x 求导：e(x y )2(1dydx ) 0xsin t dt 2x sin x 2 ．dydy将x0, y 0代入上式,得10 .所以1.dxxdx x 02(10)【答案】4【解析】根据绕 x 轴旋转公式, 有2dxVey dxe1ln 2 xe1d ln ln 2x xarctan lnxe2442 .1 33P1.(11)【答案】 pedR p 3dR 1212【解析】由弹性的定义,得1 p ,所以pdp ,即 ln Rln p pC , dp R R p313又R11,所以 C1 .故ln Rln p 1 p 1 ,因此 R p e 3p1.3 33(12)【答案】b3.【解析】函数为 yx 3ax 2bx 1 ,它的一阶导数为 y 3x 2 2ax b ; 二阶导数为ay6x 2a,又因为1,0是拐点,所以 yx10 ,得3过点1,0,所以将x1,y 0 代入曲线方程,得b 3.(13) 【答案】3. A A (1B B )【解析】由于1( E AB B )1B1A ,所以1 1 11B B )A AB B因为 B2 ,所以 B1 B B1321 3 .2(14)【答案】22.1 ( B AA A111 2B,因此1 A BAA【解析】 E T EnXi2 1EnXi21nEX2E X222.n i1n i 1n 三、解答题11ln x1 lnx x 1ln x x1ln e x11lnxlimlim(15)【解析】 lim x x 1lim e ln xe xln xexln xxx其中 ln x xln x x1ln x x ln x xln( e 1) (e 1) e 1ln x e 1ln x ln x1 lim lim limlim e x ( 1)1.xln xx 1xx ln x x x故原式e1.(16)【解析】积分区域 DD 1 D 2 ,1 x y ,0 y1,2y x1y 2D 2x y , 1y 0,2y x1y 2xy3dxdyx 33x y 2 3xy 2y 3 dxdyDD因 为 区 域 D 关 于 x 轴 对 称 , 被 积 函 数 3x 2 y y 3 是 y 的 奇 函 数 ,所以3x 2y y dxdy30．Dx y dxdy3x 3 3xy dxdy 22x 3 3xy dxdy 221DDD 12xln xx211 x 43 x y 22dy2019 4 y 42y 2 1 4 dy 1415 .42(17)【解析】令 F x y z,, ,xy 2yz x 2 y 2 z 2 10,用拉格朗日乘数法得F xy 2x 0,F yx 2z2y0,F z2y 2z 0, F x 2y 2z 2100,又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以u m ax5 ,u m in5 5 ．(18) 【解析】 (I)当0x 1时0 ln(1x )x,故ln(1t )nt n ,所以ln tln(1t )nln t t n ,则01ln t ln(1t )ndt1ln t t dt n n 1,2, .(II)1 ln t t dt n1ln t t dtnn 111ln td tn1n112 ,故由1n1求解 得六个点：152,1, B A1 , , 21CD0,, E F由于在点A 与B 点处,u ；在点C与 D 处, u；在点E 与F 处, 0u ． 1 2 y y0 u n 0 ln n1 2 ,1根据夹逼定理得0 lim u n lim0 ,所以lim u n 0 .n n n1n2(19)【解析】(I) 因为2 f (0) 0 f x dx( ) ,又因为f x 在0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点0,2,使得20 f x dx f 20即2 f 0 2 f ,所以存在0,2,使得f f0 .f 2 f 3(Ⅱ)因为f 2 f 3 2 f 0 ,即 f 0 ,又因为f x 在2,3上连2续,由介值定理知,至少存在一点 1 2,3使得f 1 f 0 .因为f x 在0,2上连续,在0,2上可导,且f 0 f 2 ,所以由罗尔中值定数学(三)试题 第15页 (共4页)微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025理知,Ｃ存在10,2,有f10. 又因为 f x 在2,1上连续,在2,1上可导,且f 2 ff1 ,所以由罗尔中值定理知,存在22,1,有 f20 . 又因为 fx在1,2上二阶可导,且f1f20 ,所以由罗尔中值定理,至少有一点 Ax b 0,3,使得f0 .(20) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I)已知Ax b 有2个不同的解,故r A ( ) r A ( ) 3 ,对增广矩阵进行初等行变换,得11 a 1 1 1A1 0 101 01 1 1 11 1a1 111 1 10 10 1 01010112a0 012a 11 1 1 11 111当1时,A0 00 10 01,此时,r A ( ) r A ( ),故Ax b 无解(舍00 0 a00 001 1 1 1微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025当1时, A 0 2 0 1 ,由于r A ( )0 0 0 a 2方法2：已知Axb 有2个不同的解,故r A ()r A () 3 ,因此 A 0,即11A0 10(1) (21)0 ,11知1或-1.当1时,r A () 1 r A () 2 ,此时,Ax b 无解,因此1.由r A () r A ( ) ,得a2.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31121 11211 12A0 201 0 2 010 1 0121 1110 0000 0 003x x3x 1 1232微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ群：451613025x 21x 3 231 21因此Ax b的通解为x k 0 ,其中k为任意常数.10 10 1 4(21)【解析】由于A 1 3 a4 a 01 1微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：45161302513 可知原方程组等价为2 ,写成向量的形式,即x 2x 0 1 .列为(1,2,1)T ,故 A 对应于1 的特征向量为1(1,2,1)T .12,即根据特征值和特征向量的定义,有A116141 3 a 41 1a2 12 ,由此可得a 1,12 .故A10 1 141 31 41.微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：45161302514 由EA1 3 1 (4)( 2)(5) 0 ,41可得 A 的特征值为12,24, 35 . 4 由 (2E A x ) 0,即14特征向量为2(1,0,1)T .17 1 4x 11x 20 ,可解得对应于 24 的线性无关的4x 35 由 (3E A x )0 ,即 143(1,1,1)T .1 2 1 4x 11x 2 0 ,可解得对应于35 的特征向量为5 x 3由于 A 为实对称矩阵,1,2,3 为对应于不同特征值的特征向量,所以1,2,3相互正交,只需单位化：111(1,2,1) ,T2( 1,0,1) ,T3(1,1,1)T ,123163取,则Q T AQQ 1,2,351112微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025(22) 【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度 fx , y 后,要求条件概率密度f x y ( ,)f Y X | (y x | ) ,可以根据条件概率公式 f Y X | (y x | )来进行计算.本题中还有待定参 f X ( )x数, A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.2 22 2 22x f x y dy, A e2x 2xy ydy A e(y x ) xdyf XAexe(y x )dyx 2A e ,x .根据概率密度性质有1f X x dx A ex2dxA,即 A1,1x 2故 f Xx e ,x. 当x时,有条件概率密度f x y ,Ae x 22xy y21x 2 2 21(x y )2 f YXy xf XxAex 2ee ,x ,y.(23)【解析】(I) X 的所有可能取值为 0,1 ,Y 的所有可能取值为 0,1,2 ．C 323 1,其中X 0,Y 0 表示取到的两个球都是黑球；P X0,Y2C 615 5P X 0,Y 1C C 21231 6 2,其中 X 0,Y 1表示取到的一个是白球,一个是C6 15 5黑球；C22 1 ,其中X 0,Y 2 表示取到的两个球都是白球；P X0,Y 22 C6 15P X 1,YC C112313 1,其中X 1,Y 0 表示取到的一个是红球,一个是C6 15 5黑球；P X 1,Y 1C C112212,其中X 1,Y 1表示取到的一个是红球,一个是白球；C6 15 0P X1,Y20 , C6因此二维离散型随机变量X ,Y 的概率分布为2 2 2 1 1E XY 1 1 ,E X0 1 ,I(I),C o v EXYXY EXEY,33 3E Y 012Cov X Y, E XYE X E Y.。
考研数三2010真题+详解
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：第1 小題■毎小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中「只有一个选顼帚合试題要求.(1)若Mmfy-Cy-aie1] a 等于(A) 0. (B}L (G) 2.(0)3.(2)设儿*丹垦一阶线性非齐次微分方程『“心乃左贰的的两牛特解*若當妣A, H Ay t w3是谀方程的解丄” - *乃是谈专程对应的齐次方程的弊，则I2 I 2 2(C) A=y tM = p (D)"彳」二寺(3)设陕数/<x)tg(x)具有二阶导数，且-若呂(期帀。
是的扱值*则爪肌巧)在些取极大值的一于充分条件是(A)/\a)<0-<8)/7^)>0+(C)/u(^)<0, {D)r(O)>0.(4)设/(JT)N ln°x T A(*)=詐.则当 * 充分大时冇(A)旅“幺")彳对・(B) A(x)<g(^)V(z).(C)f(x)<g(x)<h(x).(D) ggg(m(5)设向屋组I価1 ”叫$可由向品组II :flj t fl3 . 线性衣示.下列瞬题正确的足(A)若向註组E线性无艾侧 y氣(B)若向JB组1錢性相关' (C)若冉量组U线性无关，则FW外(D)若向SffiHtt性相关，则 *W设A为4阶实对称矩阵，且A2+4=a若A的楼为3MA相似于(€}(D)-1-1血 一办.J ------------- *(10) 设位于曲线y=—=(e^x<+«)下方/轴上方的无yx(l+ln x)界区域为G,则C 绕*轴旋转一周所得空间区域的体积为 _________ •(11) 设某商品的收益两数为R5,收益弹性为1+P’，其中P 为价格，且/?(】)"，则 R(p)= ____ •(12) 若曲线 y=x 3+ax 2+fcx +l 有拐点(-1,0),则几 ___________ . (13) 设 4』为 3 阶矩阵，且 |A|=3, |B|=2, |4-+B|=2,则 |A+B 11= ______ .(14) 设人，X”…，A ；是来自总体Ng,/)(QO )的简单随机样本.记统计量卩=* Q X ：,则ET= _________ .三.解答题：第15-23小题■共94分•解答应写出文字说明■证明 过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限lim (吕-1)丸(16)(本题满分10分)计算二重积分川(，+ y)3<hdy ，其中D 由曲线x = 与应线丄(7)设随机变量X 的分布断数F") =0 fx<0,y, OG<1.则(C) y-e-*. (D) 1-e-*・(8)设£(久)为标准正态分布的概率密度,«(*)为［・1,3］上均匀 分布的槪率密度•若(A) 0.(B) v-/(x) =X ),为槪率密度•则a,6应満足(A) 2a+3/> = 4.(C) a+b = 1. rCO f(a>0,6>0)x>Q(B) 3x2b = 4. (D) 0 4-6 = 2.二・填空题：第9-14小题■每小題4分•共24分.(9)设可导函数y = y(x)由方程Jo=| xsin x 2dr 确定，则(17)(本題满分10分)求函数”罗+2*在约束条件= 10下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I )比较 Jjln r|(ln (1 + J ］”df 与［门 1“|也(n = 1,2,…) 的大小，说明理由；(11 )记 u. =|j In t|［ In (1 + «) J*dt(n = 1.2, — )，求极限 Hmu.. (19)(本題满分10分)设函数/U)在［0,3］上连续，在(0,3)内存在二阶导数•且2/(0)==/(2) +/(3).(I )证明存在 *(0,2),(D)证明存在^e(0f 3)>使厂(£)“•(20)(本题满分11分)■ b= 1 •已知线性方程组Ax^b 存在2个不 丄同的解.(I )求入0(U)求方程组Ax^b 的通解.(21)(本题满分11分)r0 -1 4\设A= -1 3 a ，正交矩阵0使得Q T AQ 为对角矩阵•若Q 的、4 a 0,第1列为当(1,2,1)丁,求d,Q ・(22) (本題満分11分〉设二维随机变的槪率密度为 /(%』)= Aef —',-ao <xV 《oo ,-oc <y< + oo , 求常数A 及条件概率密度/nx(ylx)・(23) (本题满分11分)箱中装有6个球,其中红、白、照球的个数分别为1,2,3个.现从箱 中胡机地取出2个球，记X 为取岀的红球个数，丫为取出的白球个数.(I )求随机变mX.Y)的概率分布丨 (u )求 c°v (x,y ).? 1设心0 A-1J 12010年考研真题数三试卷详解一选择题⑴峻黒G（1F）3］也牛匕肿+因此a・2,选C（2）根据己知有zij'4-》］P（x） = £（.x），2〉："+ji\p（x） =g（x） «于是将Z3\ + AV：和zxj - jUy2分别代入方程左边得(冷+ ”比)"+ XX)(x>'i + W:)=(久 +劝(乂)(砂-"比)"+ P(--V)(ZVI -“y J = (z-jLi)q(x)Am：为方程解= /+“=!., /.y l-J uy1为其次方程解=>A-t u = Q>解得（3）根据己知得gg = 0, g"（^）＜0o因此［他（0）］匚二广二0,故要想忑为f（g（Q）的极大值点, 只需［/@（功］［十v 0即可。
2010——2017年考研数学三真题及参考答案解析(精心整理)
2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a = A0B1C2D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f4设1010)(,)(,ln )(xe x h x x g x xf ===则当x 充分大时有 Ag(x)<h(x)<f(x)Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x)Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0111 C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---01117.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0B 21C 121--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xy x t dtt x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2010年考研数学三真题及参考答案一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(xex h x x g x x f ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01117.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,210,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
2010数三真题答案
λ = μ = 1 。选 A 2
（3） 根 据 已 知 得 g '(x0 ) = 0 ， g ''(x0 ) < 0 。 因 此 [ f (g(x))]' x=x0 = f '(g(x0 ))g '(x0 ) = 0 ，故要想 x0 为 f (g(x)) 的极大值点，只 需[ f (g(x))]'' x=x0 < 0 即可。即
λ y1 − μ y2 分别代入方程左边得
(λ y1 + μ y2 ) ''+ p(x)(λ y1 + μ y2 ) = (λ + μ)q(x)
(λ y1 − μ y2 ) ''+ p(x)(λ y1 − μ y2 ) = (λ − μ)q(x) λ y1 + μ y2 为 方 程 解 ⇒ λ + μ = 1 ， λ y1 − μ y2 为 其 次 方 程 解 ⇒ λ − μ = 0 ， 解 得
σ
2
+
μ 2 ，因此
∑ ∑ ET
=
E
1 n
n i =1
X
2 i
=
1 n
n i =1
EX
2 i
=
1 n(σ 2 n
+ μ2)
=σ2
+ μ2
三、解答题
1
15
求
lim
(
x
1 x
− 1)
ln
x
x→+∞
lim
1
xx
=
lim
ln
x
L'P
lim
1
=
0
2010——2017年考研数学三真题及答案解析(精心整理)
2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(xe x h x x g x xf ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111 D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,210,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
考研2010数学三真题
考研2010数学三真题（正文）考研数学三是考研数学科目中的一部分，是考验学生数学能力和解题能力的重要环节。
下面，我们将针对2010年的考研数学三真题进行分析和解答，帮助考生更好地备考。
第一题描述题解：根据题意，我们可以利用集合的交、并、差的性质进行解答。
假设全集为U，学生会会员为A，参加社交活动的学生为B。
那么题目所给的信息可以表示为：A = {(x,y)|10≤x≤30, 12≤y≤50, x和y均为整数}B = {(x,y)|20≤x≤40, 16≤y≤52, x和y均为整数}根据集合的性质有：1）所有会员的人数为|A|2）参加社交活动的学生人数为|B|3）没有参加社交活动的学生人数为|A-B|因此，只需要计算出集合A和集合B的元素个数即可得出结果。
第二题证明题解：根据题意，我们需要证明的是：若0≤a<b, 0≤c<d, 则ac+bd>ad+bc。
由不等式条件我们可以得出：ad-bc>0解如下：ac+bd-ad-bc = a(c-d)+b(d-c) = (a-b)(d-c)因为a<b, c<d且均为非负数，所以(a-b)(d-c)>0。
即可得证。
第三题概率题解：根据题目给出的信息，我们可以得出：3只读者中每只读者至少借阅一本图书的可能性为1-P(A1∩A2∩A3)同时根据题目条件我们可以列出不等式：P(A1)≥0.6P(A2)≥0.5P(A3)≥0.4由概率公式可得：P(A1∪A2∪A3) = P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1∩A2)-P(A1∩A3)-P(A2∩A3)+P(A1∩A2∩A3)将已知信息代入上式，可以得到：P(A1∪A2∪A3) ≥ 0.6+0.5+0.4-P(A1∩A2)-P(A1∩A3)-P(A2∩A3)+P(A1∩A2∩A3)因此，3只读者中每只读者至少借阅一本图书的可能性为P(A1∪A2∪A3) ≥ 1-P(A1∩A2)-P(A1∩A3)-P(A2∩A3)+P(A1∩A2∩A3)。
2010年考研数学三真题及答案解析
2010年考研数学三真题一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln )(xex h x x g x x f ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B21 C 121--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
2010年考研数三试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及参考答案一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）若011lim e 1x x a x x →⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a =（ C ）（A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）3【详解】方法一()000111(1)e lim e 1lim 1lim 1(1)e 1x x x x x x ax a ax x x x →→→⎡⎤--⎛⎫'--=⇒=⇒---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()0lim 1e 1112x x ax a a a →⇒--=-⇒-=-⇒=方法二()111111()e 1()1(1())x o x a a x o x a x o x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--++=-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1(1())o x a x o x x ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭0011()lim e 1lim 1(1())1x x x o x a a x o x a x x x →→⎡⎤⎛⎫⎛⎫--==-+-++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2a ∴= （2）设函数1y ，2y 是一阶非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λ，μ使得12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则（ A ） （A ）12λ=，12μ= （B ）12λ=-，12μ=- （C ）23λ=，13μ= （D ）23λ=，23μ= 【详解】12y y λμ+是()()y p x y q x '+=的解1λμ⇒+=；12y y λμ-是()0y p x y '+=的解0λμ⇒-=，112λμλμλμ+=⎧⇒⇒==⎨-=⎩（3）设函数()f x 、()g x 具有二阶导数，且0()g x a =，0()g x a =是()g x 的极值，则[()]f g x 在0x 处取得极大值的一个充分条件是（ B ）（A ）()0f a '< （B ）()0f a '> （C ）()0f a ''< （D ）()0f a ''>【详解】记()(())h x f g x =，在0x 处取得极大值的一个充分条件：000200000()(())()0()(())(())(())()0h x f g x g x h x f g x g x f g x g x '''=⋅=⎧⎪⎨''''''''=⋅+⋅≠⎪⎩ 因为0()g x a =，又有00000()()()0()0,()0()()()0h x f a g x g x g x h x f a g x '''=⋅=⎧'''=<⇒⎨'''''=⋅<⎩必有()0f a '>.（4）设10()ln f x x =，()g x x =，10()e x h x =，则当x 充分大时有（ C ） （A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<【详解】当x →∞时，1010()ln ()()e xf x xg x xh x =<=<=0,,()()()M x M f x g x h x ∃>∀><<本题属于初等函数性质的运用（5）设向量组12:,,...,r I ααα可由向量组12:,,...,s II βββ线性表示，下列命题正确的是（ A ）（A ）若向量组I 线性无关，则r s ≤ （B ）若向量组I 线性相关，则r s >（C ）若向量组II 线性无关，则r s ≤ （D ）若向量组II 线性相关，则r s >【详解】 本题考察的知识点是向量组的线性相关性的性质以及向量组的线性表示。
2010考研数学三真题答案
A 所以 dy 1 dx x0
K (10)设位于曲线 y
1
(e x ) 下方，x 轴上方的无界区域为 G ，则. G 绕 x
x(1 ln2 x)
E 轴旋转一周所得空间区域的体积是 .
E 答案： 2 R 4
F 详解：
V
1
因此，
E
1
，即 A
1
1
。
1
0
0
E 0,x 0
R (7)
设随机变量的分布函数
F
(
x)
1 2
,0
x 1，则 Px 1
()
F 1 ex,x 1
x
1
x x
FR 109
lim
ln8
x1 x
10 92
lim
ln
x
10! lim
1
0
)
1 x
x x
x x
所以当 x 充分大时， f (x) g(x)
所以当 x 充分大， f (x) g(x) h(x) 。
(5) 设向量组 I :1,2 ,r 可由向量组 II : 1, 2 ,s 线性表示，下列命题正确的是( )
A 答案：C
x
K 详解：因为 lim
h(x)
lim
e10
x
lim e10
1
x g(x) x x x 10
E 所以，当 x 充分大时， h(x) g(x)
E 又因为 lim
f (x)
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(D) 1 e1 .
(8) 设 f1(x) 为标准正态分布的概率密度, f2 (x) 为1, 3 上均匀分布的概率密度,若
f
(
x)
baff21
(x) (x)
x 0 (a 0,b 0) x0
为概率密度,则 a, b 应满足 ( )
(A) 2a 3b 4 .
(B) 3a 2b 4 .
(C) a b 1.
(D) 3.
(2)
设 y1, y2 是一阶非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解,若常数 ， 使
y1 y2 是该方程的解, y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )
(A) 1 , 1 . 22
(B) 1 , 1 .
2
2
(C) 2 , 1 . 33
y2
P
x
y2
q
x
,
q x q x ,由 q x 0 可知 1 ,
②
由①②求解得 1 ,故应选(A)． 2
(3)【答案】 (B).
【解析】 f g(x) f g(x) g(x) ,
f g(x) f g(x) g(x) f g(x)g(x)2 f g(x) g(x)
2010
2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题(1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1)
1
若
lim
x0
x
1 x
a
e
x
1,则 a 等于(
)
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 2 , 2 . 33
【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).
(3) 设函数 f x, g x 具有二阶导数,且 g x 0 ,若 g x0 a 是 g x 的极值,则
f g x 在 x0 取极大值的一个充分条件是( )
(A) f a 0 . (B) f a 0 . (C) f a 0 . (D) f a 0 .
由于 g(x0 ) a 是 g(x) 的极值,所以 g(x0 ) 0 .所以
f g(x0 ) f g(x0 ) g(x0 ) f a g(x0 )
由于 g(x0 ) 0 ,要使 f g(x) 0 ,必须有 f (a) 0 ,故答案为 B.
(4)【答案】 (C).
x
【解析】因为 lim
2
f (x)dx f (2) f (3)
0
,
( I ) 证明存在 (0, 2) ,使 f () f (0); ;
( II ) 证明存在 (0,3) ,使 f ( ) 0 ．
(20)(本题满分 11 分)
1 1
a
设 A 0
1
，b
11
已知线性方程组 Ax b 存在 2 个不同的解． ( I ) 求 ,a; ( II ) 求方程组 Ax b 的通解.
dR R
1 p
p2
dp ,即
ln R ln p 1 p2 C ,又 R 1 1,所以 C 1 .故 ln R ln p 1 p 1 ,因此
3
3
33
R
p
e
1 3
p3
1
.
(12)【答案】 b 3 .
【解析】函数为 y x3 ax2 bx 1,它的一阶导数为 y 3x2 2ax b; 二阶导数为
(23)(本题满分 11 分)
箱中装有 6 个球,其中红、白、黑球的个数分别为1, 2, 3 个,现从箱中随机取出 2 个球, 记 X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数.
( I ) 求随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布； ( II ) 求 Cov( X ,Y ) .
2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题参考答案
一、选择题 (1)【答案】 (C). 【解析】
lim
x0
1 x
1 x
a
ex
lim
x0
1 x
1 ex 1 ax
lim 1 1 ex axex x0 x
1 ex
lim
x0
x
axex x
数学(三)试题 第 4 页 (共 14 页)
2010
所以 a 2 .
(2) 【答案】 (A)．
h(x)
lim
e10
x
lim e10
1
,所以,当 x 充分大时, h(x) g(x) .
x g (x) x x x 10
数学(三)试题 第 5 页 (共 14 页)
2010
又因为 lim
f (x)
lim
ln10
x
lim
ln9 10
x
1 x
10 lim
ln9 x
x g (x) x x
x
1
r(1,,r ) r(1,, s ) s
若向量组 I 线性无关,则 r(1,,r ) r ,所以 r r(1,,r ) r(1,, s ) s ,即
r s ,选(A).
(6) 【答案】 (D).
【解析】设 为 A 的特征值,由于 A2 A O ,所以 2 0 ,即 ( 1) 0 ,这样 A 的
1
(A)
1
.
1
0
1
(B)
1
.
1
0
数学(三)试题 第 1 页 (共 14 页)
2010
1
(C)
1
.
1
0
1
(D)
1
.
1
0
0,
x0
(7)
设随机变量
X
的分布函数
F ( x)
1,
0 x 1 ,则 PX 1 =
2
1 ex ,
x 1
() (A) 0.
1
(B) .
2
(C) 1 e1 . 2
(D) a b 2 .
二、填空题(9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9) 设可导函数 y y(x) 由方程 x y et2 dt x x sin t2dt 确定,则 dy
0
0
dx x0
.
(10)设位于曲线 y
1
(e x ) 下方, x 轴上方的无界区域为 G ,则 G 绕 x
(A) 若向量组 I 线性无关,则 r s . (B) 若向量组 I 线性相关,则 r s . (C) 若向量组 II 线性无关,则 r s . (D) 若向量组 II 线性相关,则 r s .
(6) 设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A2 A O ,若 A 的秩为 3,则 A 相似于 ( )
(15) (本题满分 10 分)
1
1
求极限 lim (x x 1)ln x . x
(16) (本题满分 10 分)
计算二重积分 (x y)3 dxdy ,其中 D 由曲线 x 1 y2 与直线 x 2 y 0 及
D
x 2 y 0 围成.
(17) (本题满分 10 分)
求函数 u xy 2 yz 在约束条件 x2 y2 z2 10 下的最大值和最小值.
(18)(本题满分 10 分)
(
I
)
比较Байду номын сангаас
1
ln t
0
ln 1 t n dt 与
1tn
0
ln t
dt
n 1, 2, 的大小,说明理由．
(
II
)
记 un
1 0
ln t
ln 1 t n
dt
n
1, 2,
,求极限
lim
n
un
．
(19) (本题满分 10 分)
设函数 f (x) 在0,3 上连续,在 0,3 内存在二阶导数,且 2 f (0)
二、填空题
(9)【答案】 1.
【解析】 x y et2 dt x x sin t2dt ,令 x 0 ,得 y 0 ,等式两端对 x 求导：
0
0
e(x y)2 (1 dy ) x sin t 2dt x sin x2 ．
dx 0
将 x 0 , y 0 代入上式,得1 dy 0 .所以 dy 1.
x
(4) 设 f x ln10 x, g x x, h x e10 ,则当 x 充分大时有( )
(A) g x h x f x .
(B) h x g x f x .
(C) f x g x h x .
(D) g x f x h x .
(5) 设向量组 I :1,2 ,r 可由向量组 II : 1, 2 , s 线性表示,下列命题正确的是( )
1 2
x2
e2
(
x
),
f2 x
1 , 4 0,
1 x 其它
3
利用概率密度的性质: f x dx 1,故
f x dx
0
af1
x
dx
0
bf2
x
dx
a 2
f1 x dx b
31 dx
04
a 2
3b 4
1
数学(三)试题 第 6 页 (共 14 页)
2010
所以整理得到 2a 3b 4 ,故本题应选(A).
x(1 ln2 x)
轴旋转一周所得空间区域的体积是
.
(11) 设某商品的收益函数为 R( p) ,收益弹性为1 p3 ,其中 p 为价格,且 R(1) 1 ,则 R( p) =
.
(12) 若曲线 y x3 ax2 bx 1有拐点 (1, 0) ,则 b