新课标高中数学微积分 习题
高中微积分经典例题
高中微积分经典例题1. 函数求导- 例题1: 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 在点 $x=2$ 处的导数。
将函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 求导，得到 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$。
将 $x=2$ 代入导数函数，得到 $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 9$。
所以函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处的导数为 9。
- 例题2: 求函数 $g(x) = e^x \sin x$ 的导数。
使用链式法则，将函数 $g(x) = e^x \sin x$ 求导。
根据链式法则， $\frac{d}{dx} (e^x \sin x) = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)'$。
对于 $(e^x)'$，使用指数函数求导法则，得到 $(e^x)' = e^x$。
对于 $(\sin x)'$，使用三角函数求导法则，得到 $(\sin x)' = \cos x$。
将这些导数结果带入，得到 $\frac{d}{dx} (e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x$。
所以函数 $g(x) = e^x \sin x$ 的导数为 $e^x \sin x + e^x \cos x$。
2. 积分计算- 例题1: 计算积分 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx$。
根据积分的线性性质，将积分展开，得到 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 4 \, dx$。
对于每一项，根据幂函数积分法则，得到 $\int x^n \, dx =\frac{1}{n+1} x^{n+1}$。
将这些结果带入积分式，得到 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx =\frac{1}{3} x^3 - x^2 + 4x + C$，其中 $C$ 为常数。
高二数学、微积分练习题
高二数学、微积分练习题题目一已知函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1，求以下问题：1. 求 f(x) 的导数。
2. 求 f(x) 的极值点。
3. 求 f(x) 在 x = 2 处的切线方程。
题目二已知函数 g(x) = sin(2x) + 3cos(x)，求以下问题：1. 求 g'(x)。
2. 求 g(x) 的最大值和最小值所对应的 x 值。
题目三已知函数 h(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 1，求以下问题：1. 求 h'(x)。
2. 求 h(x) 的拐点坐标。
题目四已知函数 k(x) = e^x + ln(x)，求以下问题：1. 求 k'(x)。
2. 求 k(x) 的渐近线方程。
题目五已知函数 m(x) = 2x^2 + 5x - 3 和 n(x) = e^x + 3x，求以下问题：1. 求 m(x) 与 n(x) 的和函数。
2. 求 m(x) 与 n(x) 的积函数。
题目六已知函数 p(x) = arctan(x) + ln(x)，求以下问题：1. 求 p'(x)。
2. 求 p(x) 的凹凸区间。
题目七已知函数 q(x) = (x^2 + 2x + 1)(3 - x)，求以下问题：1. 求 q'(x)。
2. 求 q(x) 的零点。
题目八已知函数 r(x) = 4cos^2(x) - 3sin(x)cos(x)，求以下问题：1. 求 r'(x)。
2. 求 r(x) 的周期和对称轴。
题目九求解不等式：|x - 1| > 2。
题目十已知函数 s(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求以下问题：1. 求 s'(x)。
2. 求 s(x) 的拐点坐标。
题目十一已知函数 t(x) = e^x + e^(-x)，求以下问题：1. 求 t'(x)。
2. 判断 t(x) 的单调性。
(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a＝22x2sinxdx，则 a、 b、 c 的大小关系是 ()xdx， b＝ e dx， c＝000A ．a<c<b B． a<b<c C． c<b<a D ．c<a<b2．由曲线 y＝ x2， y＝ x3围成的封闭图形面积为 ()练习、设点 P 在曲线 y＝ x2上从原点到A(2,4)挪动，假如把由直线OP，直线 y＝x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2.以下列图，当 S1＝ S2时，点 P 的坐标是 () 4， 164， 164， 154， 13A. 3 9B. 59C. 37D. 573．由三条直线 x＝ 0、 x＝ 2、 y＝ 0和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为()418A ．4 B.3 C. 5D． 64．1－1(sin x＋1)dx的值为()A ．0B ．2C． 2＋ 2cos1D． 2－ 2cos15．曲线 y＝ cosx(0≤ x≤2π)与直线 y＝ 1 所围成的图形面积是()3πA ．2πB． 3π C. 2D．π6．函数 F(x)＝x t(t－ 4)dt 在[ － 1,5] 上()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－32 3C．有最小值－32，无最大值 D ．既无最大值也无最小值3n n2n 2＋ n，函数 f(x)＝x13，则 x 的取值范围是 ()7．已知等差数列 { a } 的前 n项和 S＝t dt，若 f(x)< a1A.3，＋∞B ．(0， e21)－ D ．(0， e11)C． (e 11， e)68．以下列图，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y＝ sinx(0≤ x≤ π)与 x 轴围成以下列图的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在暗影部分的概率是 ()123πA. πB.πC.πx＋2 －2≤ x<09．函数 f(x)＝π的图象与 x 轴所围成的图形面积S 为()2cosx 0≤x≤231A. 2B． 1C． 4 D.210．设函数 f( x)＝ x－[ x] ，此中 [x] 表示不超出 x的最大整数，如 [ － 1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝ 1， [1] ＝ 1.又函数xg(x)＝－3，f(x)在区间 (0,2)上零点的个数记为 m，f(x)与 g(x)的图象交点的个数记为n，则n g(x)dx 的值是 ()m5457A．－2B．－3C．－4D．－611．甲、乙两人进行一项游戏竞赛，竞赛规则以下：甲从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c 可以相等 )，若关于 x 的方程 x2＋ 2bx＋ c＝ 0 有实根，则甲获胜，不然乙获胜，则在一场竞赛中甲获胜的概率为()1213A. 3B.3C.2D.412．已知正方形四个极点分别为O(0,0)， A(1,0)， B(1,1) ，C(0,1)，曲线 y＝ x2(x≥ 0)与 x 轴，直线 x＝ 1构成地域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在地域M 内的概率是 () 1112A. 2B.4C.3D.5二、填空题13．已知函数 f(x)＝ 3x2＋ 2x＋ 1，若 1 －1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.14．已知 a＝∫π)6的睁开式中含x2项的系数是 ________．20(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－1x15．抛物线 y2＝ 2x 与直线 y＝ 4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝ 1围成的封闭图形的面积为4，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线32x－ y＋ 6＝ 0，则 l 的方程为 ______ ．17．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2＋ bx(a， b∈ R)的图象以下列图，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成地域 (图中暗影部分 )的面积为1，则 a 的值为 ________．12三、解答题18．以下列图，在区间[0,1] 上给定曲线y＝ x2，试在此区间内确立t 的值，使图中暗影部分的面积S1＋S2最小．1、 [答案 ]D[分析 ]a ＝2 1 22＝ 2， b ＝2 xx 02＝ e 2－ 1>2， c ＝22＝ 1－xdx ＝ 2x |0 e dx ＝ e |sinxdx ＝－ cosx|cos2∈(1,2)，∴ c<a<b.1 1 1 7 A. 12B.4C.3D.122、[答案 ]A[分析] y ＝ x2得交点为 (0,0) ， (1,1)．由y ＝ x 31 1 1∴ S ＝1(x 2－x 3)dx ＝3x 3－ 4x 401＝ 12.练习； [答案 ]A[ 分析 ] 设 P(t ， t 2)(01＝ t2t 3 ； S 22 2≤ t ≤ 2)，则直线 OP ： y ＝ tx ，∴ S(tx － x )dx ＝ 6＝ (xt34，∴ P 4，16－tx)dx ＝ 8－ 2t ＋t，若 S 361＝ S 2，则 t ＝33 9.x402＝4.3、[答案 ]A[分析]S ＝ 2x 3dx ＝ 44、[答案 ] B[分析 ]1(sinx ＋ 1)dx ＝ (－ cosx ＋ x)|－ 11＝ (－ cos1＋ 1)－ (－ cos(－ 1)－1)＝ 2.5、[ 答案 ] A[分析]2π2π如右图， S ＝ ∫ 0 (1－ cosx)dx ＝ (x － sinx)|0 ＝ 2π.6、[答案 ]B[分析 ]F ′(x) ＝ x(x － 4)，令 F ′ (x)＝ 0，得 x 1＝ 0， x 2 ＝ 4，∵ F(－ 1)＝－ 7， F(0)＝ 0，F(4)＝－ 32， F(5)＝－250，最小值为333 .∴最大值为－ 323.7、[答案 ]1D ； [分析 ] f(x)＝ xdt ＝ lnt|1x ＝ lnx ， a 3＝ S 3－ S 2＝ 21－ 10＝ 11，由 ln x<11 得， 0<x<e 11.t18、[ 答案 ] A[分析]由图可知暗影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得πS ＝ sinxdx＝－ cosx|0π＝－ (cos π－ cos0)＝ 2，再依据几何概型的算法易知所求概率P ＝ S ＝ 2 1＝ .S 矩形OABC 2π π9、[答案 ]C[分析 ]面积 S ＝∫ππ－ 2f(x)dx ＝－ 2(x ＋ 2)dx ＋ ∫ 02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2210、 [答案 ] A[分析] 由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0，f(x)＝ x ，当 1≤x<2 时， [x] ＝1，f(x)＝ x － 1，因此当 x ∈ (0,2)时，函数 f(x)有一个零点，由函数 f( x)与 g( x)的图象可知两个函数有4 个交点，因此 m ＝1，n＝4，则 n g(x)dx ＝ 4－x dx ＝ －x 253 614＝－ .m1211、[答案 ]A ； [分析 ] 方程 x 2＋ 2bx ＋ c ＝0 有实根的充要条件为＝ 4b 2－ 4c ≥ 0，即 b 2≥c ，1 2b db1由题意知，每场竞赛中甲获胜的概率为p ＝1× 1＝ .312、 [答案 ] C ；[分析 ]1 21301＝1，故所求如图，正方形面积 1，地域 M 的面积为 S ＝ x dx ＝ 3x |31概率 p ＝ .31－ 1f(x)dx ＝－ 1(3x 2 3213、 [答案]－1 或3；[分析]∵＋2x ＋ 1)dx ＝ (x ＋ x111－ 1f(x)dx ＝ 2f(a)，∴21 ＋x)|－＝ 4，6a ＋ 4a ＋ 2＝ 4，∴ a ＝－ 1 或 .1314、 [答案 ]－ 192；[分析 ] 由已知得 a ＝ ∫π π π π20(sinx ＋ cosx)dx ＝(－ cosx ＋ sinx)| 0＝ (sin － cos )－ (sin0222－cos0)＝2，(2x －16的睁开式中第 r ＋ 1 项是 T ＋ 1＝(－1)r×C r × 26－ r ×x 3－ r ，令 3－ r ＝ 2 得， r ＝1，故其 )r6x系数为 (－ 1)1× C 61× 25＝－ 192.y 2＝ 2x215、 [答案 ]18[分析 ] 由方程组y ＝ 4－ x解得两交点 A(2,2)、 B(8，－ 4)，选 y 作为积分变量x ＝ y、 x ＝ 42－ y2－ 4[(4 － y)－y223∴ S ＝]dy ＝ (4y － y － y )|－4 2＝ 18.2 2 616、 [答案 ]16x－ 8y＋1＝ 0[分析 ]由题意知12，∴ a＝ 1，0axdx＝3设 l： y＝ 2x＋b 代入y2＝ x 中，消去y 得， 4x2＋ (4b－1)x＋ b2＝0，由＝0 得， b＝ 1，8∴ l 方程为 16x－ 8y＋ 1＝ 0.17、 [答案 ]－1[分析 ] f ′ (x)＝－ 3x2＋ 2ax＋ b，∵ f ′ (0) ＝ 0，∴ b＝ 0，∴ f(x) ＝－ x3＋ ax2，令 f(x) ＝0，得 x＝0 或 x＝a(a<0) ．S 暗影＝－0(－ x3＋ ax2)dx＝1a4＝1，∴ a＝－ 1.a121218、 [分析 ]由题意得2t 2 2 3S1＝ t·t－x dx＝ t ，3S2＝1x2dx－t23－ t2＋1，因此41≤ t≤ 1)．2(1－ t) ＝ t3S＝ S1＋ S2＝ t3－ t2＋ (0333t又 S′ (t)＝ 4t2－ 2t＝4t t－1，令 S′(t)＝ 0，得 t＝1或 t＝0. 2211由于当 0< t< 时， S′( t)<0；当<t≤ 1 时， S′ (t)>0.22因此 S(t)在区间0，1上单调递减，在区间1， 1 上单调递加．因此，当t＝1时， S min＝1.2224。
高中积分微分知识点及习题及答案
积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分. 记作∫f(x)dx.其中∫叫做积分号, f(x)叫做被积函数, x叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
新课标高中数学微积分习题修订版
新课标高中数学微积分习题修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）A ．320gt B ．20gtC ．220gtD ．620gt[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积3、 若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（A ．6B 。
4C 。
3[解析]4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S的值是( ) A．⎠⎛acf (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d x D ．⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x5、已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．166、函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确7、函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32B ． 1C ．2 D.128、⎠⎛03|x 2－4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233D.253二、填空题： 9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．11、若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________一，选择题 二、填空题9、 10、11、 12、 三、解答题：．13．计算下列定积分的值参考答案一、1．C ；dx |；－12a2x2有最大值2 9 .16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ， 又已知f ′（x ）=2x +2∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1.故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x .（3）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。
高中数学微积分基础练习题
高中数学微积分基础练习题1. 问题描述：求函数f(x)=x^2的导函数。
解题思路：首先，我们知道导函数可以通过求原函数的导数来得到。
对于f(x)=x^2来说，我们可以直接应用导数的定义，即导数等于函数的斜率。
斜率可以通过求两个点之间的变化率来计算，而这个变化率可以通过两点间的直线斜率来表示。
假设在x点处，我们取两个很靠近的点x和x+h，此时函数值分别为f(x)和f(x+h)。
根据直线斜率的定义，斜率等于两个点间的函数值的差除以两个点间的x值的差。
即斜率k = (f(x+h) - f(x)) / (x + h - x) = (f(x+h) - f(x)) / h由于我们要求的是导函数，即斜率k为函数f(x)在x点处的导数，令h趋近于0，则斜率k就趋近于导数。
所以，导函数f'(x) = lim(h->0) ((f(x+h) - f(x)) / h)对于f(x)=x^2来说，将函数值带入上述公式：f'(x) = lim(h->0) (((x+h)^2 - x^2) / h)我们可以展开计算得到：f'(x) = lim(h->0) ((x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h)= lim(h->0) (2x + h)= 2x所以，f(x)=x^2的导函数是f'(x) = 2x。
2. 问题描述：求函数g(x)=3x^3 - 2x^2 + 5x - 1的极值点。
解题思路：要求函数的极值点，首先需要找到函数的导函数，然后将导函数等于0求解。
对于函数g(x)=3x^3 - 2x^2 + 5x - 1来说，我们可以先求导函数g'(x)，然后令g'(x)=0。
导函数g'(x)可以通过求原函数的导数来得到。
根据求导法则，幂函数的导数可以通过幂次降低1，并乘以幂次对应的系数来得到。
所以，对于g(x)=3x^3 - 2x^2 + 5x - 1来说，导函数g'(x)可以计算得到：g'(x) = d/dx(3x^3) - d/dx(2x^2) + d/dx(5x) - d/dx(1)= 9x^2 - 4x + 5接下来，我们令g'(x)=0，解方程得到极值点x。
高考数学微积分(附答案解析
定积分与微积分基本定理【考点导读】1． 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。
2． 了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。
【基础练习】1．下列等于1的积分是 （3） 。
（1）dx x ⎰10 （2）dx x ⎰+10)1( （3）dx ⎰101 （4）dx ⎰10212.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 52。
3．已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 220gt。
4．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 0.18J 。
5．220(3)10,x k dx k +==⎰则1 , 8-=⎰__454 。
【范例导析】例1．计算下列定积分的值： （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；分析：求函数()f x 在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到()F x ，使()()F x f x '=。
解：（1）3223311120(4)(2)|33x x dx x x ---=-=⎰ （2）因为56)1(])1(61[-='-x x ，所以61|)1(61)1(216215=-=-⎰x dx x ；（3）222200(sin )(cos )|128x x x dx x πππ+=-=+⎰ （4）22222221cos 2sin 2cos |2242x x x xdx dx πππππππ---+==+=⎰⎰dx x ⎰-222cos ππ点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较()F x ，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。
高中高三数学 定积分与微积分基本定理练习题-人教版高三全册数学试题
4.若 x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：∵ ′＝x2，
∴ x2dx＝ x3 ＝ T3－0＝9，∴T＝3.
答案：3
5.如右图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．
解析：由图形的对称性，知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍．由 得C(1，－1)．
同理，得D(2，－1)．
故所求图形的面积S＝2 [－ －(－x2)]dx＋ [－ －(－1)]dx ＝2 dx－ ( －1)dx ＝2 －( －x) ＝ .
答案：
《定积分与微积分基本定理》
1.若S1＝ x2dx，S2＝ dx，S3＝ exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A. S1<S2<S3B. S2<S1<S3
C. S2<S3<S1D. S3<S2<S1
解析：S1＝ x2dx＝ x3 ＝ ，
S2＝ dx＝lnx ＝ln2，
S3＝ exdx＝ex ＝e2－e＝e(e－1)>e> ，
所以S2<S1<S3，故选B.
答案：B
2.设f(x)＝ 则
f(x)dx等于( )
A. B.
C. D. 不存在
解析：本题画图求解，更为清晰，如图，
f(x)dx＝ x2dx＋ (2－x)dx
＝ x3＋ )＝ .
答案：C
3.计算定积分 dx＝________.
解析： dx表示圆x2＋y2＝22与x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积．根据定积分的几何意义，得 dx＝π.
高中微积分练习题
高中微积分练习题高中微积分练习题微积分是高中数学课程中的一门重要学科，对于学生来说，掌握微积分的基本概念和运算方法是非常关键的。
通过大量的练习题，学生可以巩固所学的知识，提高解题能力。
本文将从微积分的基本概念开始，逐步介绍一些典型的高中微积分练习题。
微积分的基本概念包括导数和积分。
导数是描述函数变化率的工具，而积分则是计算曲线下面积的方法。
在解题过程中，我们需要掌握导数和积分的运算法则，以及它们之间的关系。
首先，我们来看一个典型的导数练习题。
假设有一个函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 -4x + 1，求f(x)的导数。
为了求导，我们需要使用导数的定义，即求函数在某一点的斜率。
对于多项式函数来说，我们可以使用幂函数的导数公式来求导。
根据导数的定义，我们可以得到f'(x) = 6x^2 + 6x - 4。
这个导数函数描述了f(x)在每个点的斜率。
接下来，我们来看一个积分练习题。
假设有一个函数g(x) = 3x^2 + 2x + 1，求g(x)在区间[1, 3]上的定积分。
定积分可以看作是曲线下面积的累加。
为了求解这个问题，我们需要使用积分的定义，将函数g(x)进行积分运算。
根据积分的定义，我们可以得到∫[1, 3] g(x) dx = x^3 + x^2 + x 在[1, 3]上的差值，即∫[1, 3] g(x) dx = (3^3 + 3^2 + 3) - (1^3 + 1^2 + 1) = 33。
除了基本的导数和积分运算，微积分还有一些重要的应用，比如求函数的极值、曲线的切线方程等。
下面我们来看一个求函数极值的练习题。
假设有一个函数h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在区间[-2, 2]上求h(x)的极值。
为了求解这个问题，我们需要先求出h(x)的导数h'(x)，然后将h'(x)等于零的解代入h(x)中，求出极值点。
通过计算，我们可以得到h'(x) = 3x^2 - 6x + 2，将h'(x) = 0代入，解得x = 1或x = 2/3。
高中数学练习题微积分与解析几何
高中数学练习题微积分与解析几何高中数学练习题 -- 微积分与解析几何（正文内容开始）题目一：已知曲线C的参数方程为：x = t³ - 3t² + 3t, y = t² - 2t + 1.求曲线C的切向量和法向量，并求曲线C在t=1处的切线和法线方程。
解答：首先，我们需要求曲线C的切向量和法向量。
曲线C的切向量可以通过对参数方程求导得到，即：dx/dt = 3t² - 6t + 3, dy/dt = 2t - 2.所以，曲线C的切向量为 (dx/dt, dy/dt) = (3t² - 6t + 3, 2t - 2).接下来，我们需要求曲线C在t=1处的切线和法线方程。
将t=1代入切向量表达式中，可得曲线C在t=1处的切向量为 (0, 0).由于切线的方向与切向量平行，切线方程的斜率为0，即切线方程为x = 1.同时，我们知道切线与曲线C相切于同一点，并且切线的法向量与曲线的切向量垂直。
所以，曲线C在t=1处的法向量与切向量垂直，即 (3t² - 6t + 3, 2t - 2)·(x-1, y) = 0.将曲线C的参数方程代入，可得曲线C在t=1处的法线方程为 (t³ - 3t² + 3t - 1)(x-1) + (t² - 2t + 1)(y) = 0.题目二：已知直线L1过点A(1, 2, 3)和点B(-2, 1, 4)，直线L2过点C(-1, 0, 1)且与L1平行，求直线L2的解析式。
解答：首先，我们可以通过点A和点B来确定直线L1的方向向量d1，即d1 = AB = (1 - (-2), 2 - 1, 3 - 4) = (3, 1, -1).由于直线L2与L1平行，所以直线L2与直线L1具有相同的方向向量d1。
因此，直线L2的方向向量为d2 = (3, 1, -1).接下来，我们可以通过已知点C和L2的方向向量d2来确定直线L2的解析式。
高中数学微积分复习 题集附答案
高中数学微积分复习题集附答案高中数学微积分复习题集附答案一、函数基本概念复习1. 试求函数f(x)=3x^2-4x的定义域。
解：要求函数f(x)有意义，即无零除的问题。
所以需要满足：3x^2-4x ≠ 0即3x(x-4) ≠ 0解得：x ≠ 0, x ≠ 4所以定义域为：(-∞, 0)∪(0, 4)∪(4, +∞)2. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-5x，求其奇偶性。
解：函数f(x)是奇函数，即满足：f(-x) = -f(x)我们来验证：f(-x) = (-x)^3+2(-x)^2-5(-x) = -x^3+2x^2+5x-f(x) = -(x^3+2x^2-5x) = -x^3-2x^2+5x两者相等，所以函数f(x)是奇函数。
二、函数的导数与微分复习1. 求函数f(x)=3x^2-4x的导数。
解：函数f(x)=3x^2-4x对x求导，即可得到导函数。
f'(x) = 6x-42. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-5x，求其在点x=2处的切线方程。
解：首先求得函数f(x)在x=2处的导数：f'(x) = 3x^2+4x-5将x=2带入，得到切线斜率k：k = f'(2) = 3(2)^2+4(2)-5 = 17所以切线方程为：y = 17(x-2) + f(2)三、极限与连续性复习1. 求极限lim(x→∞)(4x^3-2x^2+3x-1)/(3x^3+5x^2-2)。
解：我们可以采用洛必达法则来求解：lim(x→∞)(4x^3-2x^2+3x-1)/(3x^3+5x^2-2) = lim(x→∞)(12x^2-4x+3)/(9x^2+10x)继续采用洛必达法则：= lim(x→∞)(24x-4)/(18x+10)再次应用洛必达法则：= 24/18 = 4/3所以极限为4/3。
2. 函数f(x) = |x-2|在x=2处是否连续？解：函数f(x)在x=2处不连续。
高三数学微积分的应用试题
高三数学微积分的应用试题微积分是数学的一个重要分支，它的应用非常广泛，几乎覆盖了数学的各个领域。
高三数学微积分的应用试题是大多数高中数学教师必备的测试题，也是学生们在学习微积分的过程中不可缺少的一部分。
本文将为读者介绍高三数学微积分的应用试题及其解答方法。
1. 例题一已知函数 $y=x^2-3x+2$ 在区间 $[0,3]$ 上的积分值为 $I$，求函数$y=x^2-3x+2$ 在区间 $[0,3]$ 上的平均值。
解：首先将函数 $y = x^2-3x+2$ 求导得到其导函数 $y'=2x-3$，然后求出在区间 $[0,3]$ 上的积分值：$$I=\int_0^3(x^2-3x+2)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}x^2+2x\right]_0^3=\frac{5}{2}$$再求出函数$y=x^2-3x+2$ 在区间$[0,3]$ 上的长度，即$L=3-0=3$，则函数在该区间上的平均值为：$$\overline{y}=\frac{1}{L}\int_0^3(x^2-3x+2)dx=\frac{I}{L}=\frac{5}{6}$$因此，函数 $y=x^2-3x+2$ 在区间 $[0,3]$ 上的平均值为$\frac{5}{6}$。
2. 例题二已知曲线 $y=\frac{\sqrt x+1}{x}$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=3x-2$，求曲线 $y=\frac{\sqrt x+1}{x}$ 在 $x=1$ 处的法线方程。
解：切线方程 $y=3x-2$ 表示曲线 $y=\frac{\sqrt x+1}{x}$ 在$x=1$ 处的切线，因此该点处的斜率为 $3$。
又因为法线和切线的斜率乘积为 $-1$，所以该点处的法线斜率为 $-\frac{1}{3}$。
将该点的坐标 $(1,2)$ 和法线斜率 $-\frac{1}{3}$ 代入点斜式方程$y-y_0=k(x-x_0)$ 中，得到曲线 $y=\frac{\sqrt x+1}{x}$ 在 $x=1$ 处的法线方程为：$$y-2=-\frac{1}{3}(x-1)$$化简后可得：$$3y+ x-7=0$$因此，曲线 $y=\frac{\sqrt x+1}{x}$ 在 $x=1$ 处的法线方程为$3y+x-7=0$。
高三数学微积分基础专项练习题及答案
高三数学微积分基础专项练习题及答案第一题：已知函数$f(x) = x^3 - 2x^2 +1$，求函数在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要求出函数的一阶导数和二阶导数：$f'(x) = 3x^2 - 4 x$$f''(x) = 6x - 4$接下来，我们需要找出函数的驻点和拐点。
求导得：$f'(x) = 0$，解得$x = 0$或$x = \frac{4}{3}$。
再次求导得：$f''(x) = 0$，解得$x = \frac{2}{3}$。
接下来，我们需要分别求出在驻点和拐点处的函数值，并将它们与区间[-1,2]的端点所对应的函数值比较。
当$x = -1$时，$f(x) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 1 = -2$；当$x = \frac{2}{3}$时，$f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 -2\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 1 \approx 0.0741$；当$x = \frac{4}{3}$时，$f(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 -2\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1 \approx 1.4074$；当$x = 2$时，$f(x) = 2^3 - 2(2)^2 + 1 = -1$。
因此，在区间[-1,2]上，函数$f(x)$的最大值为1.4074（当$x =\frac{4}{3}$），最小值为-2（当$x = -1$）。
答案：最大值为1.4074，最小值为-2。
第二题：求函数$g(x) = \int_{0}^{x} (e^t - t)dt$的原函数。
解析：根据定积分的性质，我们可以先求出原函数的导函数，再反求原函数。
首先，将定义在[0, x]上的函数$e^t - t$积分，得到：$G(u) =\int_{0}^{u} (e^t - t) dt$，其中，$u$是一个变量。
(完整版)高中积分微分知识点及习题
积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分. 记作∫f(x)dx.其中∫叫做积分号, f(x)叫做被积函数, x叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a 下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理. 3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
2023高考数学微积分高分练习题及答案
2023高考数学微积分高分练习题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + bx + k 为一次函数，若 f'(x) = 6x^2 -10x + b，则常数 b 和 k 的值分别是：A) b = 6, k = 1 B) b = 2, k = -1 C) b = 6, k = -1 D) b = 2, k = 12. 函数 f(x) = a^x 在 x = 0 处的导数为 2，且经过点 (1, 3)，则 a 的值是：A) 2 B) e C) 3 D) 13. 函数 f(x) = (2x + 1)(x - 3) 的图像过点 (2, -15)，则 f'(x) 的一个根是：A) -2 B) 3 C) 0 D) -14. 已知 f(x) = sin(x)cos(x)，则 f'(x) =A) 2sin(x)cos(x) B) sin^2(x) - cos^2(x) C) cos^2(x) - sin^2(x) D) 2cos(x)sin(x)5. 函数 y = x(x + 1) 在 x = -0.5 处的导数为：A) -1.5 B) -0.5 C) 1 D) 0二、计算题1. 计算函数y = ∫(0 to 1) (3x^2 + 2) dx。
2. 求函数 y = sin^2(x) - cos^2(x) 在区间 [-π/4, π/4] 上的定积分值。
3. 已知函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(x) 在 x = 1 处的切线方程。
4. 计算函数 f(x) = e^(2x) 与 x 轴和直线 x = 1 所围成的面积。
5. 设直线 L 的斜率为 k，且与函数 f(x) = x^2 - x + 1 相切，求 k 的值。
三、解答题1. 设函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5。
求 f'(x) 的零点及 f''(x) 的极值点。
高二数学微积分初步练习题及答案
高二数学微积分初步练习题及答案练习题一：1. 将函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2求导并求出f'(2)的值。
2. 求函数g(x) = sin(2x)在区间[0, π/2]上的定积分值。
3. 求函数h(x) = ln(x)的不定积分。
4. 已知函数y = x^2 + 2x，求曲线y = f(x)在点(-1, f(-1))处的切线方程。
答案及解析：1. 对f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
将x = 2代入，可以得到f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3。
2. 函数g(x) = sin(2x)在区间[0, π/2]上的定积分可以表示为∫[0, π/2] sin(2x) dx。
利用换元法，令u = 2x，dx = du/2，则原式变为∫[0, π] sin(u) du/2 = [-cos(u)/2] [0, π/2] = [-cos(π/2)/2 - (-cos(0)/2)] = [-0 + 1]/2 = 1/2。
3. 不定积分∫ln(x) dx可以通过分部积分法来解决。
令u = ln(x)，dv = dx，则du = 1/x dx，v = x。
根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，将其代入，得到∫ln(x) dx = xln(x) - ∫x(1/x) dx = xln(x) - ∫dx = xln(x) - x + C，其中C为常数。
4. 曲线y = f(x)在点(-1, f(-1))处的切线方程可以通过求导来解决。
首先对y = x^2 + 2x求导，得到y' = 2x + 2。
代入x = -1，可以得到y'(-1) = 2(-1) + 2 = 0。
切线的斜率为0，代表切线与x轴平行。
由于(-1, f(-1))处的切线与x轴平行，所以切线的方程为y = f(-1)。
将(-1, f(-1))代入曲线方程y = x^2 + 2x，可以得到f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = -1。
(完整版)新课标高中数学微积分习题.doc
-高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率v gt ，则落体运动从 t0 到 t路程为（）A ．gt2B ． gt 02C ．gt2D ．gt232 6[解析 ] 要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是A ． 2 3B ． 9 2 332 C ．335 D ．3[ 解析 ] 让学生理解利用微积分求曲边形的面积a 1 3 ln 2 ，且 a ＞ 1，则 a 的值为3、 若(2 x)dx 1xA ．6B 。
4C 。
3D 。
2[ 解析 ]4、用 S 表示图中阴影部分的面积， 则 S 的值是()A ． cf(x)dxB ．| cf(x)dx|aaC ． b f(x)dx ＋ cf(x)dxa b没有比你更聪明的，只有比你更努力的！D ． c f(x)dx － b f(x)dxba5、已知 f(x)为偶函数且 6 f(x)dx ＝8，则 6 f(x)dx 等于 ()0 -6t 0 所走的A ．0B ．4C ．8D ．16x(cost ＋ t 2＋2)dt(x>0)()、函数 ＝6y-xA ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确x ＋1 ( －1≤x<0)、函数 f(x) ＝π 的图象与 x 轴所围成的封闭图7cosx (0 ≤x ≤ 2 )形的面积为 ()31A. 2 B．1 C．2D.2|x 2)－4|dx ＝(8、2122 2325 A. 3B. 3C. 3D. 3二、填空题：（）9．曲线 yx 2, x 0, y 1 ，所围成的图形的面积可用定积分表示为．10．由 y cosx 及 x 轴围成的介于 0 与 2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．2，且 a 4＝ 4、若等比数列 n 的首项为 (1 ＋，则公比等于．11 { a } 32x)dx ____1、已知函数 ＝ 2＋2x ＋1，若 1 ＝ 成立，则 ＝f(x)a ________ 12 . 3x f(x)dx 2f(a)- 1-没有比你更聪明的，只有比你更努力的！1 2 3 4 5 6 7 815．已知 f(a)＝ 1(2ax 2－a 2x)dx ，求 f(a)的最大值；一，选择题二、填空题9、10、11、12、三、解答题：．16．设 y=f （x ）是二次函数 ,方程 f （x ）=0 有两个相等的实根，且 13．计算下列定积分的值f ′（ ）x =2x+2.22cos 2 xdx（1）求 y=f （x ）的表达式；( x 1) 5dx ；（2）（1） 1 （2）求 y=f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积 .2（2）若直线 x=－t （0＜t ＜1＝把 y=f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求 t 的值 .14．求曲线 yx 3 x 2 2x 与 x 轴所围成的图形的面积．-没有比你更聪明的，只有比你更努力的！（2）依题意，有所求面积 =0 1(x 2 2x 1)dx ( 1 x 3 x 2x) |01 1 .33参考答案（3）依题意，有 1t (x22x 1)dx0 t(x22x 1)dx ，一、 1．C ；2．C ；3．D ；4．D ；5 A 6 C7． D 8；C13x 2t13 x 2x) |∴ ( xx) | 1( xt ，二、 9 1x 2dx 2-11/333(1)． | cos x |dx ；、、 或1011 312－ 1t 3+t 2－t+ 1= 1t 3－ t 2+t ，三、 15、[ 解析 ]2 312 2取 F ( x ) ＝ ax － a x33 332则 ′( ) ＝ 2 ax 2－ 2xF x a2t 3－6t 2+6t －1=0，∴ f ( a ) ＝ 1(2 ax 2－ a 2x )d x∴2（t －1）3 － ，于是t=1 －1 .212= 132＝ (1) － (0) ＝－FF3a2a评述：本题考查导数和积分的基本概念.12 2 2＝－ 2 a － 3 ＋ 9∴当 ＝ 2 时， f ( ) 有最大值 2 .a 3 a 916．解：（1）设 f （x ）=ax 2+bx+c ，则 f ′（ x ）=2ax+b ，又已知 f ′（ x ）=2x+2∴a=1，b=2.∴ f （x ）=x 2+2x+c又方程 f （x ）=0 有两个相等实根，∴判别式=4－4c=0，即 c=1.故 f （x ）=x 2+2x+1.。
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高二数学微积分练习题
一、选择题：
1．已知自由落体运动的速率gt v =，则
落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为
（ ）
A ．
3
20gt B ．2
0gt C ．22
0gt D ．6
2
0gt
[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功
2、如图，阴影部分的面积是
A ．32
B ．329-
C ．3
32
D ．3
35
[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积
3、 若
1
1
(2)3ln 2a
x dx x
+=+⎰
，且a ＞1，
则a 的值为 （
A ．6
B 。
4
C 。
3
[解析]
4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )
A ．⎠⎛a c
f (x )d x B ．|⎠⎛a
c f (x )
d x |
C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b
c f (x )
d x D ．⎠⎛b c
f (x )d x －⎠⎛a
b f (x )d x
5、已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，
则⎠⎛-6
6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16
6、函数
y ＝⎠⎛-x
x (cos t ＋t 2＋
2)d t (x >0)( )
A ．是奇函数
B ．是偶函
数
C ．非奇非偶函数
D ．以上都
不正确
7、函数f(x)＝⎩
⎨⎧
x ＋1 (－1≤x<0)
cosx (0≤x ≤π
2)
的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )
A.32 B ．1 C ．2 D.12
8、⎠⎛0
3|x 2
－4|dx ＝( )
A.213
B.223
C.23
3
D.253
二、填空题：
9．曲线1,0,2
===y x x y ，所围成的
图形的面积可用定积分表示为 ．
10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2
π之间的平面图形的面积，利用定
积分应表达为 ．
11、若等比数列{a n }的首项为2
3，且a 4＝⎠
⎛1
4
(1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-1
1
f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________
一，选择题 二、填空题
9、 10、 11、
12、 三、解答题：．
13．计算下列定积分的值
（1）
⎰
-2
1
5
)1(dx x ；
（2）⎰
-2
2
c
π
π
14．求曲线x x x y 22
3++-=与x 轴所
围成的图形的面积．
三、15、[解析] 取F(x)
＝2
3 ax3
有最大值2
9
.
则f′
又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.
（2）依题意，有所求面积=
3
1|)31()12(0
1232
01
=
++=++--⎰
x x x dx x x .
（3
）依题意，有
x x x x x x t
t
d )12(d )12(2
021
++=++⎰⎰
---，
∴
023123|)3
1(|)31(t t
x x x x x x ---++=++，
－31t 3+t 2－t +31=3
1t 3－t 2+t ，
2t 3－6t 2+6t －1=0，
∴2（t －1）3=－1，于是t =1－3
2
1. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。