【初中数学精品资料】第十二章轴对称综合复习

年级初二学科数学版本人教新课标版
课程标题第十二章轴对称综合复习
编稿老师陈孟伟
一校李秀卿二校林卉审核王百玲
一、学习目标：
1. 总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；
2. 培养学生用轴对称的观点认识线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；
3. 归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力。

二、重点难点：
重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用。

难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力。

三、考点分析：
中考对本章的要求是通过具体实例识别轴对称、轴对称图形；理解轴对称图形和利用轴对称进行图案设计，探索图形之间的变换关系；掌握等腰三角形的性质和等腰三角形、等边三角形的识别，并能运用其性质解答实际问题。

从中考试题来看，本章知识以基础题为主，题型多以填空题、选择题的形式出现，也有简单的作图题和解答题。

等腰三角形图形的折叠与拼图和轴对称性质的应用是中考的热点题型。

知识点一：轴对称的应用
例1. 已知AOB α∠=，P 是AOB ∠内一点，分别作点P 关于,OA OB 的对称点',''P P 。

（1）求证：'''2P OP α∠=；
（2）若P 点在AOB ∠外，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由。

思路分析：本题考查的是轴对称的性质。

成轴对称的两个图形、或者轴对称图形在对称轴两侧的部分是“一模一样”的，严谨地说就是对应线段相等、对应角度相等、对应面积相等、对应点的连线被对称轴垂直平分等等。

解答过程：
（1）如图（1）所示，当点P 在∠AOB 内部时，连接OP ',P P 关于OA 对称，则OA 垂直平分'P P
∴'OP OP =，OA 平分'P OP ∠
∴'2P OP AOP ∠=∠，同理可证''2POP BOP ∠=∠
∴''''''2()22P OP P OP POP AOP BOP AOB α∠=∠+∠=∠+∠=∠=
（2）如图（2）所示，当点P 在AOB ∠外部时，结论还成立。

由（1）的证明可知，'2POP POA ∠=∠,''2POP POB ∠=∠
∴''''''2()22P OP POP POP POB POA AOB α∠=∠-∠=∠-∠=∠=
解题后的思考：此题的第（2）小题是一个开放性问题，需要我们用运动的观点来认识它，点P 从角的内部运动到了角的外部，有些量和位置关系发生了改变，但有些量和位置关系没有改变，大家一定要仔细研究。

例2. 如图，,A B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使C 到,A B 的距离之差最大。

思路分析：此题的突破点是作点A （或点B ）关于直线l 的对称点'A （或'B ），作直线
'A B （或'AB ）与直线l 交于点C ，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边从而使问题得以解决。

解答过程：如图所示，以直线l 为对称轴，作点A 关于直线l 的对称点'A ，作直线'A B 与直线l 交于点C ，则点C 即为所求。

理由如下：
在直线l 上找异于点C 的一点'C ，连接,','','CA C A C A C B 。

因为，,'A A 关于直线l 对称
所以，l 为线段'AA 的垂直平分线，则'CA CA = 所以，''CA CB CA CB A B -=-= 又因为，'C 在直线l 上 所以，'''C A C A =。

在''A BC ∆中，''''C A C B A B -< 所以，'''C A C B CA CB -<-。

解题后的思考：利用轴对称的性质、三角形三边关系，通过比较来说明极值问题是常用的一种方法。

小结：轴对称和轴对称图形的概念是本章的一个重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系。

学习轴对称变换不但要会画一个图形关于某直线对称的图形，还要通过简单的图案设计，确定最短路线等。

知识点二：等腰三角形的综合运用
例3. 已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠= ，30BAC ∠= ，ABE ∆和ACD ∆都是等边三角形，F 为BE 中点，DF 交AC 于M 。

求证：AM MC =。

思路分析：从结论出发，要证明AM MC =，只要证明M 是AC 的中点。

但是又由于ACD ∆是等边三角形，所以也可以证明DM 是∠ADC 的平分线或△ACD 的高线。

从条件出发，要使用条件“ABE ∆是等边三角形，F 为BE 中点”，自然想到连接AF 。

于是很容易从直观上发现ABF ∆和ABC ∆关于直线AB 对称，于是可以试着证明它们全等，实际上也能够证得，接着可以得到AF AD =。

在ADF ∆中，由于AF AD =，所以要证明AM FD ⊥，只要证明AM 是顶角平分线或底边中线即可。

解答过程：
连接AF
ABE ∆是等边三角形，F 为BE 中点 ∴⊥AF FB ，130∠= 又 230∠=
∴12∠=∠
在∆ABF 与ABC ∆中 9012
⎧∠=∠=⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ AFB ACB AB AB ∴△ABF ≅△ABC （AAS ） ∴AF AC =
ACD ∆是等边三角形 ∴AC AD =，60MAD ∠= ∴AF AD =
1230∠=∠= ，60MAD ∠=
∴FAM DAM ∠=∠
在FAD ∆中，AF AD =，FAM DAM ∠=∠
∴AM FD ⊥
又 ACD ∆是等边三角形 ∴AM MC =
解题后的思考：分析问题经常采用“两头凑”的办法。

利用等腰三角形的“三线合一”性质，我们可以将要证明的垂直，转化为证明角平分线；或者将要证明的中点，转化为证明垂直；或者将要证明的角平分线，转化为证明中点等等。

这样方法就很多、很灵活了。

例 4. 如图，已知：ABC ∆中，AB AC =，在AB 上取点D ，在AC 延长线上取点E ，使
BD CE =。

连接DE 交BC 于点G 。

求证：DG GE =。

思路分析：题目中，条件“ABC ∆是等腰三角形”能推出许多性质，但和其他条件不能结合起来；条件“BD CE =”也推不出有价值的结论。

从结论入手，我们回忆有哪些证明线段相等的方法，再结合线段,DG GE 的位置关系，排除用线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质等办法，我们想到可以利用全等三角形来进行证明。

但是以,DG GE 为边的BDG ∆和CEG ∆显然不全等，需要我们构造全等三角形。

由要证明的“DG GE =”，再考虑到对顶角等位置关系，我们可以仿照“倍长中线”的辅助线作法，得到此题的辅助线作法：过D 作腰AC 的平行线，这样可构造DFG ∆和CEG ∆全等。

解答过程：
证法1：过点D 作DF //AC ，交BC 于点F 则GDF GEC ∠=∠，DFB ACB ∠=∠
AB AC =
∴B ACB ∠=∠，则B DFB ∠=∠ ∴DB DF = BD CE = ∴DF CE =
在DGF ∆与EGC ∆中 FGD CGE GDF GEC DF CE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴DGF EGC ∆≅∆（AAS ） ∴DG EG =
证法2：过点E 作EF //AB ，交BC 的延长线于点F 则BDG FEG ∠=∠，B F ∠=∠
AB AC =
∴B ACB ∠=∠，则F ACB ∠=∠ 又 ACB ECF ∠=∠ ∴F ECF ∠=∠ ∴CE EF = BD CE =
∴BD EF =
在BDG ∆与∆FEG 中 BGD EGF BDG FEG BD EF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴∆≅∆BDG FEG （AAS ） ∴DG EG =
解题后的思考：本题的证明方法不少于10种，其规律是通过等腰ABC ∆的底角相等转化为新的三角形（如证法1中的BDF ∆）的边相等；本题在推证,DG GE 为对应边的两个三
角形全等时，寻找等边的条件是一个难点，也是本题最易出错的地方，如果误以DB CE =为条件，则推证时就会出现错误。

小结：等腰三角形的性质和判定可以将边相等、角相等、垂直、中点、角平分线等条件相互转化，从而使得我们的推理更加方便和灵活。

知识点三：分类讨论的思想
例5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 ，则顶角是（ ） A.60
B.120
C.60 或150
D.60 或120
思路分析：根据题目条件画出图形，然后结合图形进行推理计算，但要注意的是一腰上的高线的垂足是落在另一腰上，还是落在另一腰之外，需要分类讨论。

解答过程：题中未画出图形，实际上可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，需分情况讨论。

如图（1），当等腰三角形为锐角三角形时，在ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥于点D ，30ABD ∠= ，则903060A ∠=-= 。

如图（2），当等腰三角形为钝角三角形时，在ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥交CA 的延长线于点D ，30ABD ∠= ，则120BAC ∠= 。

故选D 。

解题后的思考：本题易忽视三角形的形状而造成漏解。

小结：我们分析问题时必须全面思考，如果情形不止一种，那么就需要分情况逐一讨论，以防漏解。

分类讨论是非常重要的数学思想，在后续的数学学习中会经常用到。

知识点四：方程的思想
例6. 如图，ABC ∆是等腰三角形，AB AC =，分别向ABC ∆外作等边三角形ADB 和等边△ACE 。

若DAE DBC ∠=∠，求ABC ∆三个内角的大小。

思路分析：条件“DAE DBC ∠=∠”中，60DAB DBA CAE ∠=∠=∠= ，而只有,BAC ABC ∠∠未知；另一方面,BAC ABC ∠∠是等腰三角形中的两个内角，利用三角形内角和能找到它们的联系。

因此，我们设定其中一个角为未知数，就可以用这个未知数表示另一个角，最后利用条件“DAE DBC ∠=∠”列出方程，从而可以求解。

解答过程：设BAC x ∠=
在ABC ∆中，AB AC = ∴ABC ACB ∠=∠
又 180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=
∴2180x ABC +∠= ，故1
902
ABC x ∠=-
ADB ∆和ACE ∆均为等边三角形 ∴60DAB DBA CAE ∠=∠=∠= DAE DBC ∠=∠
∴1
606060902
x x ++=+-
解得，20x = ，于是1
90802
ABC x ∠=-=
即ABC ∆三个内角的大小分别为20,80,80 。

解题后的思考：本题虽然不设未知数、不列方程也能求解，但是思路却不会很清晰。

小结：方程的思想是指：设定一个未知数，然后用这个未知数表示其他未知量，最后利用已知条件列出方程，从而得以求解。

利用方程可以使问题的解答得以简化，有的题目甚至不用方程几乎不能求解。

例7. 如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，CD BD AB =+。

求证：C B ∠=∠2。

思路分析：此题不容易直接看出条件和结论之间有何联系，我们可以从“CD BD AB =+”这个条件切入：以前我们学习过，这种条件可以用“截长补短”的办法作出辅助线。

解答过程：
证法1：在线段DC 上取点E ，使DE DB = 又 CD BD AB =+
∴CE AB =
DE DB =，BC AD ⊥ ∴AD 垂直平分BE
∴AE AB =，则B AEB ∠=∠ AE AB =，CE AB =
∴CE AE =，则C CAE ∠=∠ 又 AEB C CAE ∠=∠+∠ ∴2AEB C ∠=∠ 又 B AEB ∠=∠ ∴2B C ∠=∠
证法2：延长CB 到F ，使BF AB = 则F BAF ∠=∠
又 ABD F BAF ∠=∠+∠
∴2ABD F ∠=∠
CD BD AB =+，BF AB = ∴CD DF = 又 BC AD ⊥
∴AD 垂直平分CF
∴AC AF =，则C F ∠=∠ ∴2ABD C ∠=∠
解题后的思考：本题利用“截长补短”的思想作出辅助线，而这正是此题的切入口。

本题在推理过程中体现了边角的相互转化。

例8. （1）如图，已知ABC ∆是等边三角形，E 是AC 延长线上的任意一点，选择一点D ，使得CDE ∆是等边三角形。

如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点。

求证：CMN ∆是等边三角形。

（2）在（1）中，若,,A C E 不共线，其他条件不变，结论还成立吗？为什么？
思路分析：从结论看，要证明CMN ∆是等边三角形，有多种办法，如三边相等、三角相等、两边相等且一角为60 等。

至于到底用哪种办法，需要看题目给了什么条件。

从条件看，由ABC ∆与CDE ∆都是等边三角形可以得到AC BC =，DC EC =，由此猜想ACD ∆与BCE ∆全等，而,CM CN 是这两个全等三角形中的对应线段，可以利用二次全等证明CM CN =。

于是，只要证明第三边也和,CM CN 相等，或者有一个角为60 即可。

经过分析，显然后者比较容易。

解答过程：（1）证明：
ABC ∆与CDE ∆都是等边三角形
∴60ACB DCE ∠=∠= ，AC BC =，DC EC = ACB DCE ∠=∠
∴ACB BCD DCE BCD ∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠ 在ACD ∆与BCE ∆中 AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ACD BCE ∆≅∆（SAS ） ∴CAM CBN ∠=∠，AD BE = ∴11
22
AD BE =，即AM BN = 在ACM ∆与BCN ∆中 AC BC CAM CBN AM BN =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACM BCN ∆≅∆（SAS ） ∴CM CN =，ACM BCN ∠=∠ ACM BCN ∠=∠
∴ACM BCM BCN BCM ∠-∠=∠-∠，即60ACB MCN ∠=∠= 在CMN ∆中，CM CN =，60MCN ∠= ∴CMN ∆是等边三角形
（2）结论还成立。

因为（1）中证明过程中并没有用到,,A C E 共线这一条件，或者说
（1）的证明过程同样适用于（2）。

解题后的思考：等边三角形中，我们要思考它的三边相等，每个内角都是 60，实现线段或角之间相等关系的转化。

若两个三角形全等，则它们的对应线段相等。

用运动的观点来看问题，观察在运动的过程中哪些量变化了，哪些量没有变化。

小结：例7和例8是比较复杂的综合题。

要想顺利解决复杂的综合题，需要两方面的本事：一是基础知识和基本方法比较扎实；二是具有分析问题的能力。

注意常用结论的适用范围，在分析题目时善于联想，完成题目后注意归纳总结题目特点，寻求多种解法。

在学习过程中，充分体会转化的数学思想。

一、预习新知
若一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根；同理，若一个数的立方等于a ，则这个数叫做a 的立方根。

二、预习点拨
1. 哪个数的平方等于16？哪个正数的平方等于16？有没有一个负数的平方等于16？
2. 将一个体积为10 3m 的铁球熔铸成5个大小相同的正方体，正方体的边长是多少？
（答题时间：60分钟）
一、选择题：
1. 在下列对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（ ） A. 圆
B. 等边三角形
C. 正方形
D. 正六边形 2. 已知等腰三角形的一个外角等于100 ，则它的顶角是（ ）
A. 80
B. 20
C. 80 或20
D. 不能确定
3. 等腰三角形的底边的长为10 cm ，一腰上的中线把三角形的周长分成两部分，其中一部分比另一部分长4 cm ，则等腰三角形的腰长为（ ）
A. 6cm
B. 14 cm
C. 6 cm 或14 cm
D. 7 cm 或11 cm
4. 已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，且AB=AC=BD ，那么ADB ∠和CAD ∠的关系为（ ） A. 2ADB CAD ∠=∠
B. 2180ADB CAD ∠+∠=
C. 2180ADB CAD ∠+∠=
D. 3180ADB CAD ∠-∠= 5. 如图，ABC ∆中，AB AC =，点,,D E F 分别在,,BC AB AC 上，且DE BE =，DF DC =，若40A ∠= ，则EDF ∠=（ ）
A. 45
B. 60
C. 70
D. 80
二、填空题：
6. 如图，AD BD =，AE EC =，188∠= ，232∠= ，则BAC ∠=_____________。

7. 如图，E 是ABC ∆边AC 上的中点，ED //BC 交AB 于点D ，ACB ∠的平分线CF 交DE 于点F ，6AC =，则EF =___________。

8. 如图所示，在ABC ∆中，90A ∠= ，BD 是ABC ∠的平分线，DE 是BC 的垂直平分线，则C ∠=_________。

9. 如图，16MAN ∠=
，点A 1在AN 上，在AM 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AN 上取一点3A ，使3221A A A A =，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点n A 中
的n =_________。

10. 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=
，AD AC =，BE BC =，则D CE ∠的度数为__________。

三、解答题：
11. 如图所示为矩形ABCD 。

（1）作出点C 关于BD 所在直线的对称点'C ；
（2）连接','C B C D ，若'C BD ∆与ABD ∆重叠部分的面积等于ABD ∆面积的
2
3
，求CBD ∠的度数。

12. 如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=
，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延
长线于点E ，且1
2
AE BD =。

求证：BD 是ABC ∠的平分线。

一、选择题： 1. B
2. C
3. C
4. D
5. C
二、填空题： 6. 120 7. 3
8. 30
9. 6
10. 45
三、解答题：
11. （1）作图：过C 点作CM BD ⊥，M 为垂足，延长CM 至'C ，使'C M C M =，则点'C 即为所求。

（2） 2
3BDN ABD S S ∆∆=
∴':1:2DC N BDN
S S ∆∆=
∴':1:2C N BN =
在ABN ∆与'C DN ∆中 ''90'∠=∠⎧⎪
∠=∠=⎨⎪=⎩
ANB C ND A NC D AB C D ∴'ABN C DN ∆≅∆（AAS ）
∴'AN C N =，故:1:2AN BN =
又 90A ∠=
∴30ABN ∠=
∴'903060C BC ∠=-=
又 'CBD C BD ∠=∠
∴30CBD ∠=
12. 延长AE 和BC ，交于点F 90ACB ∠=
∴290BDC ∠+∠=
AE BD ⊥
∴190ADE ∠+∠=
又 ADE BDC ∠=∠
∴12∠=∠
在AFC ∆与BDC ∆中 1290⎧∠=∠⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩ AC BC
ACF BCD ∴AFC BDC ∆≅∆（ASA ） ∴AF BD =又 1
2
AE BD =
∴AE EF = 又 AF BD ⊥
∴BE 是线段AF 的垂直平分线 ∴BA BF =
BA BF =，AF BD ⊥
∴BD 是ABC ∠的平分线。