高中数学第二讲证明不等式的基本方法本讲整合课件新人教A版选修45

高中数学 1.2.3绝对值不等式的解法(二)课件新人教A版选修45

第七页，共20页。
∴－1－x＋1－x＝3，得 x＝－32，
同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A，B 两点距离和为 3，B1
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对应数轴上的 x， ∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝32.
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从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之和都小于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的
第一(dìyī)讲不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式 1.2.3 绝对值不等式的解法(二)
第一页，共20页。
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第二页，共20页。
会利用(lìyòng)绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
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第三页，共20页。
A．{x|x<－1}
B．{x|x<1}
栏
C．{x|x<1，且x≠－1}
目链
接
D．{x|x>1}
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变式训练
解析：∵y＝loga(2－ax)在(0,1)上是增函数(hánshù)，
又a>0，∴2－ax为减函数(hánshù)．
∴0<a<1，即y＝logax为减函数(hánshù)．
第十五页，共20页。
变式训练
由于A、B两点的距离1，线段AB上的点不符合要求，利用图形
(如上图)，可知符合条件的点应该(yīnggāi)是在A点的左侧离A最近距
离是2，在B点的右侧离B最近距离为2的点处，即x>4或x<－1，
栏
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
目链
接
第十六页，共20页。

1.1.1.不等式的基本性质课件(人教A选修4-5)

a 3 b 2 又∵ y＝＝－1，x＝＝－1，－3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④恒成立．即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1，得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数，所以 ac<bc；因为 a－c>b－c，所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
点击下图片进入:
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
m＋n＝4， ∴ m－n＝－2. m＝1， ∴ n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
本课时考点主要考查不等式的性质，2012年湖南高
考将不等式的性质及函数的单调性结合命题，是高考命题
b(n∈N，n≥2).
[小问题· 大思维]
1．若 x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y， a b ③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤y＞x这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？

人教数学选修4-5全册精品课件：第二讲课标领航

来证明不等式外，有时也
通过把不等式两边相除转化为证明所得的商与1的大小关系．
3.在思考数学命题时，执果索因和由因导果总是不断交替地出现在思维过程中，有些问题一时难以看出综合推理的出发点，我们可以从要证的结论入手，去逐步推求使之成立所需
的条件，这就是用分析法证明的理由．但必须注意推演过程
中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件．这时又需以综合推理来考虑如何得到这一步成立的条件，这样反复推理直到找出起始条件，就完成了证明的思考过程． 4.当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用．以分析寻找证明的思路，而用综合法叙述，表达整个证明过程.
学法指导
1.证明不等式从基本方法入手来学习，锻炼有理有据的推理书写过程，不可盲目猜想． 2.证明不等式综合法和分析法结合使用，直接法和间接法结合使用，要多想：“能否推出下一步”． 3.要熟练掌握不等式的性质，注意性质成立的条件.
第二讲
证明不等式的基本方法
课标领航
知识综览
1.前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知道，关于数的大小的基本事实，不等式的基本性质，基本不等式以及绝对值不等式|x|≤a或|x|≥a的解集的规律等，都可作为证明不等式的出发点，本讲进一步学习证明不等式的基本方法． 2.比较法是证明不等式的基本方法，在证明过程中除了把不等

高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.3 反证法与放缩法

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1 1 同理，(1－b)b≤ ，(1－c)c≤ ， 4 4 1 ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ ，与假设矛盾． 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于 . 4 1 证法二假设三式同时大于 . 4 ∵0＜a＜1，∴1－a＞0，－a ＋b 1 1 ≥ －a b＞＝ . 2 4 2 －b ＋c －c ＋a 1 同理，都大于 . 2 2 2 3 3 三式相加，得＞，此式矛盾， 2 2 ∴原命题成立．
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例 3 若 a，b，c，d∈R＋，求证：1<
a b c ＋＋ a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b
d ＋ <2. d＋a＋c
a b c d 证明：记 x＝＋＋＋ . a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b d＋a＋c ∵a、b、c、d∈R＋， a b c d ∴x> ＋＋＋＝1， a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a b c d x< ＋＋＋＝2. a＋b a＋b c＋d c＋d ∴1<x<2，即原式成立．
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1 1 1 1 － < <1－， 2 3 22 2 1 1 1 1 1 － < < －， 3 4 32 2 3 „， 1 1 1 1 1 － < < － . n n＋1 n2 n－1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将它们相加得：－＋－＋„＋－ < ＋＋„＋ 2<1－ 2 3 3 4 n n＋1 22 32 n 2 1 1 1 1 ＋－＋„＋－ . 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即－ < ＋＋„＋ 2<1－ . 2 n＋1 22 32 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ － <1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ (n∈N*，且 n≥2)． 2 n＋1 2 3 n n

5.3 证明不等式的基本方法课件(人教A版选修4-5)

= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
2．非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1，求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1
证明： x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 x2 ≤1, 1 x1 ≥ 0,1 x2 ≥ 0,1 x1 x2 ≥ 0 要证 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1，
只要证 a 2 ab b2 ab ,只要证 a 2 2ab b2 0 . ∵ a b 0 ,∴ (a b)2 0 即 a 2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）
∵ a , b 是正数，且 a b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法,另外，有时还可作商比较(如课本第 22 页例 3).
am a . 求证: bm b 4.(课本第 24 页例 2)已知 a1 , a2 ,, an R ,且 a1a2 an 1 ,
求证: (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ≥ 2n 5.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)已知 a 1 , b 1 , 求证: 1 ab a b

人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：2-2

a－b2 a＋b a－b2 【证明】 ∵a>b>0，要证 8a < 2 － ab< 8b ， a－b2 a－b2 只需证 4a <a＋b－2 ab< 4b ，
2 a－b2 a － b 即证 <( a－ b)2< ， 4a 4b
a－b a－b 即证 < a－ b< ， 2 a 2 b a＋ b a＋ b 即证 <2< ， a b
【证明】
∵a，b，c 均为正数，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 1 bc ∴ －1＝＝＝＋ ≥2· . a a a a a a 1 ac 同理－1≥2· ， b b 1 ab －1≥2· . c c 由于上面三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1 1 1 2 －1 －1 －1≥ a b c
a＋b 2 1 ∴ab≤ ＝4. 2
∴原不等式成立．
只需证 A 成立，而 A 已知成立，从而知“若 A 则 B”为真． (3)用分析法证明不等式的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2„⇐Bn⇐A.
3．分析综合法证明不等式一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易下手，因而常用分析法寻求解题途径，然后用综合法进行证明．还有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法(或两头凑法)．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提，相互渗透，相互转化的辩证统一关系．分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.
【证明】
要证(a＋b) 1＋(b＋c) 1＝3(a＋b＋c) 1 成立，
－－－
1 1 3 即证＋＝成立， a＋b b＋c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 即证＋＝3， a＋b b＋c a＋b b＋c c a 即＋＋＋＝3， a＋b a＋b b＋c b＋c c a 即证＋＝1， a＋b b＋c

第二讲证明不等式的基本方法章末复习方案课件(人教A选修4-5)

b 2 a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 ＝(ax ＋by －2xy)＋(by ＋ c z －2yz)＋( c z ＋a x －2zx) ＝( x)2≥0. b＋c 2 c＋a 2 a＋b 2 ∴ a x ＋ b y ＋ c z ≥2(xy＋yz＋zx)成立. b a x－ a 2 b y) ＋( c b y－ b 2 c z) ＋( a c z－ c a
a＋b c a b ∴ ＜＝＋ 1＋c 1＋a＋b 1＋a＋b 1＋a＋b a b ＜＋， 1＋a 1＋b c a b 即＜＋， 1＋c 1＋a 1＋b b a c 同理：＜＋， 1＋b 1＋a 1＋c a b c ＜＋ . 1＋a 1＋b 1＋c a b c ∴以，，为边可以构成一个三角形． 1＋a 1＋b 1＋c
－2，分别代入 A、B、C、D 中，知 A、B、D 均错．答案：C
二、填空题
5．设α、β为锐角，且M＝sin(α＋β)，N＝sinα＋ sinβ，则M、N的大小关系是________．解析：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ<sinα＋sinβ. 答案：M<N
a＋b a b 6．设 a＞0，b＞0，M＝，N＝＋，则 M 与 N a＋b＋2 a＋2 b＋2 的大小关系是________．
[例 2]
设 f(x)＝3ax2＋2bx＋c， a＋b＋c＝0， f(1) 若 f(0)·
＞0，求证： (1)方程 f(x)＝0 有实根； b (2)－2＜a＜－1； (3)设 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两个实根， 3 2 则 ≤|x1－x2|＜ . 3 3
[证明]
(1)当 a＝0，b＝－c，
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻

人教版高中数学选修4-5课件：2.1比较法

第二讲证明不等式的基本方法一比较法
【自主预习】比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种.
(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明_a_-_b_>_0_;要证明
a<b,只要证明______.这种证明不等式的方法,叫做作 a-b<0
差比较法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式的变形不彻底而引起的.
【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,,所以b-a=a2-a+1= (a 1)2 3＞0.
所以b>a,故c≥b>a.
24
ab
ab 2 .
2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证:
a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0.
所证不等式左边除以右边,得
=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=
a 2a b2bc2c a b bc cacab
【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位: 元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )
类型二作商比较法

2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明课件理新人教A版选修4_5

“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如k12<k（k1－1），k12>k（k1＋1），1k
<
2 k＋
k－1，
1k>
2 k＋
k＋1.上面不等式中
k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性； (3)真分数性质“若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋＋mm”． [提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．
2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．
(2)证明：要证1a－b－abcc>1，只需证|1－abc|>|ab－c|，只需证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证 1－a2b2>c2(1－a2b2)，只需证(1－a2b2)(1－c2)>0，由 a，b，c∈A，得－1<ab<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0 恒成立．综上，1a－b－abcc>1.
所以 a2＋2ab＋b2＝1.
因为 a>0，b>0，
所以a12＋b12＝（a＋a2b）2＋（a＋b2b）2＝1＋2ab＋ba22＋1＋2ba＋ab22＝
2 ＋ 2ab＋2ba ＋ ba22＋ab22 ≥ 2 ＋ 2
2ab·2ba ＋ 2

2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法第一课时比较法课件新人教A版选修4_5

思路点拨由于两边都是低次的整式，宜用作差法.
【证明】 (1)a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1). (2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)， ∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)<0， ∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
解，然后得出结论.
【解析】设原来的窗户面积与地板面积分别为 a，b，窗户面积和地板面积同时增加的面积为 c，且ab≥10%. 则现有的窗户面积与地板面积分别为 a＋c 与 b＋c，于是原来窗户面积与地板面积之比为ab，面积均增加 c 以后的窗户面积与地板面积之比为ab＋＋cc，因此要确定采光条件的
题型三比较法的实际应用建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地
板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
思路点拨先建立数学模型，再利用不等式的知识求
a＋b 综上可知，对任意实数 a、b，都有 aabb≥(ab) 2 .
●方法技巧 (1)当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数不等式时，常采用作商比较法. (2)作商比较法的证明步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
变式训练
2.已知a>2，求证：loga(a－1)<log(a＋1)a.

人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：本讲小结2

2 2
1 2
>(x ＋y )
3
3
1 3
.
四
用反证法证明不等式设 a0，a1，a2，…，an－1，an 满足 a0＝an＝0，且有
【例 6】
a0－2a1＋a2≥0， a1－2a2＋a3≥0， …… an－2－2an－1＋an≥0. 求证：a1，a2，…，an－1 均不大于 0. 【分析】反证法．从结论中 a1，a2，…，an－1 均不大于 0，可考虑用
1 1 1 1 1 n－n＋1<n2<n－1－n，将这些不等式相加得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2－3＋3－4＋…＋n－n＋1<22＋32＋…＋n2<1－2＋2－3＋… 1 1 ＋－， n－1 n 1 1 1 1 1 1 即－ < ＋＋…＋ 2<1－ . 2 n＋1 22 32 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ － <1＋ 2＋ 2＋…＋ 2<2－ (n≥2 且 n∈N＋). 2 n＋1 2 3 n n
一
专题探究比较法证明不等式若 x＋y＋z＝1，x，y，z∈R，
2 2
【例 1】
2
1 求证：x ＋y ＋z ≥3. 【分析】待证不等式是 x，y，z 的对称式，又都是二次式，
因此应想到作差，化为完全平方式的形式，进而可证．
【证明】
2 2
∵x＋y＋z＝1，
2
1 1 2 ∴x ＋y ＋z －＝ (3x ＋3y2＋3z2－1) 3 3 1 2 ＝3[3x ＋3y2＋3z2－(x＋y＋z)2] 1 2 ＝3[2x ＋2y2＋2z2－(2xy＋2yz＋2zx)] 1 ＝3[(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2]≥0. 1 ∴x ＋y ＋z ≥3.

高考数学总复习第2节证明不等式的基本方法课件新人教A版选修4-5

放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性进行证明
不等关系，即要证 a＞ b ，只需先证明 a ＞p ，且 p ＞ b. 其中 p 的确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧妙变形的能力，以及一定的解题经验．
设 m 是|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|＞m 时． a b 求证：|x＋x2|<2. 【思路点拨】根据已知条件有：“m≥|a|，m≥|b|，m≥
|f(－1)|＝|1－p＋1|＝|2－p|<2，
则4＝(2＋p)＋(2－p)≤|2＋p|＋|2－p|<4矛盾， ∴假设不成立． ∴原结论成立．
【活学活用】 3.若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y π π π 2 2 ＋ 2 ，b＝y －2z＋ 3 ，c＝z －2x＋ 6 . 求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
【活学活用】 1.已知：a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ ca≤0.
证明：证法一(综合法) ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0， a2＋b2＋c2 展开，得 ab＋bc＋ca＝－ .∴ab＋bc＋ca≤0. 2
证法二(分析法) 要证 ab＋bc＋ca≤0， ∵a＋b＋c＝0，故只需证 ab＋bc＋ca≤(a＋b＋c)2，即证 a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca≥0， 1 即2[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]≥0， ∴显然原式成立．证法三：∵a＋b＋c＝0，∴－c＝a＋b， ∴ab＋bc＋ca＝ab＋(a＋b)c＝ab－(a＋b)2 ＝－a2－b2－ab b 2 3b2 ＝－[(a＋ ) ＋ ]≤0. 2 4
(2)作商比较法 a ①理论依据：b＞0，b＞1⇒ a＞b ； a b<0，＞1⇒ a<b b ．

2017年高中数学第二讲证明不等式的基本方法模块复习课课件新人教A版选修4_5

因为α ∈(0,π),所以sinα >0,1-cosα >0,
又(2cosα -1)2≥0,所以2sin2α 所以2sin2α≤ 1sicno.s
1 s≤icno0s,
sin 1 cos
类型二综合法证明不等式【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,试证明:b>c. 【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab. 又a2+c2≥2ac,且a>0,所以2ab≥2ac,所以b≥c. 若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b. 从而a=b=c,这与bc>a2矛盾.从而b>c.
当a>b>0时,bn-an<0,a-b>0,此时(a-b)(bn-an)<0; 当b>a>0时,bn-an>0,a-b<0, 此时(a-b)(bn-an)<0; 当a=b>0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0. 综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0. 即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
由于0<x<2,所以0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, 同理:0<y(2-y)≤1,且0<z(2-z)≤1, 所以三式相乘得0<xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1,…② ②与①矛盾,故假设不成立.所以x(2-y),y(2-z),z(2-x) 不都大于1.
【方法技巧】 1.反证法先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而原来的命题结论正确.

人教A版选修4-5证明不等式的基本方法

ba
ba
2、分析法：（执果索因）
从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充
分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系：
B B1 B2 Bn A
a+b+c
即 aabbcc abc 3 .
补充例题 :已知a 2，求证 : loga (a 1) log(a1) a.
分析：由于不等式两边对数的底数不同，故不宜采用作差比较法，解答本题可采用作商比较法.
证明： a 2， a 1 1，loga a 1 0，loga1 a 0.
由于
loga a 1
下面给出证明.将不等式两边相减,得 b m b
a m a m(b a) b m b b(b m)
a b，b a 0，又 a，b，m都是正数，
m(b a) 0，b(b m) 0
m(b a) 0 ，即 a m a 0， a m a ，
b(b m)
bm b
bm b
例4、已知a，b，c 0，求证:a2b2 b2c2 c2a2 abc. abc
分析 : 要证的不等式可以化为 a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)，即 a2b2 b2c2 c2a2 a2bc b2ac c2ab. 观察上式,左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用x2 ( y2 z2 ) 2x2 yz.
证明: b2 c2 2bc，a 0，a(b2 c2 ) 2abc c2 a2 2ac，b 0，b(c2 a2 ) 2abc
a2 b2 2ab，c 0，c(a2 b2 ) 2abc

数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.1比较法

左边 a＋1－ a a＋ a－1
证明：＝
＝
＜1，
右边 a－ a－1 a＋1＋ a
又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0.
所以原不等式成立．
1．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用 a＞b⇔ a－b＞0)，还有作商比较法即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1.
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆广度为7±2项内容。
＋(a2b－ab2)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＋ab(a－b)＝(a－b)(a＋
b)2≥0，所以 a3＋a2b≥ab2＋b3.故应选 B. 答案：B
3．已知 a，b 都是正实数，则下列关系式成立的是 ()
A．aabb＝abba B．aabb≥abba C．aabb＜abba D．aabb≤abba 解析：因为 a，b∈R＋，故 abba＞0.
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．若 a＞b，则代数式 a3＋a2b 与 ab2＋b3 的值的大小关系是( )
A．a3＋a2b＜ab2＋b3 B．a3＋a2b≥ab2＋b3 C．a3＋a2b＝ab2＋b2 D．不能确定解析：因为 a＞b，所以(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a3－b3)
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；

选修4-5第二讲-证明不等式的基本方法-课件

a2 (a b) b2 (a b) (a2 b2 )(a b)
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0
又a b(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3 ) (a2b ab2 ) 0
判断一个数或式子与0的大小关系．作商比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系． 2．作商比较法适用于哪些类型的问题？
提示：主要适用于积、商、幂、对数、根式等形式的不等式证明．
3．
已知
a
1，a
2∈(
0
,
1
)
，
M
＝a
1a
2，N
＝a
1＋a
＋
2
1，
则M
，N
的
大
小关系是________.
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
证明:
aabb abba
aabbba

a
ab

b
根据要证的不等式的特点(交换a, b的位置, 不等式不变)
为_a_b___1或__a_b 2
6.若0

a

b
1, P

log 1
2
a
b 2
,Q

1 2
(log 1
2
a
log 1
2
b), M

log 1 (a
2

人教A版高中数学选修4-5：第二讲柯西不等式课件

第二讲柯西不等式
问题1.什么是二维形式的柯西不等式？
1.探究：a2 b2 2ab(a,b为实数) 是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。现在考虑乘积 (a2 b2 )(c2 d 2 )(a,b, c, d为实数) ，它涉及到 4 个实数，并且形式上也和平方和有关。你能类比 a2 b2 2ab(a,b为实数) 的推导过程，研究一下
问题2.一般形式的柯西不等式是什么？
3.应用：
例 1.已知 a1, a2 ,
,
an
都是实数，求证：
1 n
(a1
a2
an )2 a12 a22
an2
例2.已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明： a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da
例3.已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值
ab
练习：P36 第1----9题
问题2.一般形式的柯西不等式是什么？
1.三维形式的柯西不等式是什么？ (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
2.一般形式的柯西不等式是什么？
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
练习：P41 第1--6题
关于它的不等关系吗？
2.总结：二维形式的柯西不等式是
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 （a,b,c,d 都是实数，当且仅当 ad=bc 时，等号成立）问题来自.什么是二维形式的柯西不等式？
3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？

人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：2-3

1 1 1 ∴1 ＋＋＋„＋ <1 ＋2( 2－ 1)＋2( 3－ 2)＋„ ＋ 2 3 n 2( n－ n－1)＝2 n. 综上分析可知，原不等式成立．
规律技巧
放缩法证明不等式主要是依据不等式的传递性
进行变换，即欲证 a>b，可变换证 a>c 且 c>b，欲证 a<b，可变换证 a<c 且 c<b.一般放缩要恰当，不能放缩过头，同时要使放缩后便于求和．
【变式训练 1】
若假设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，
求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于 1.
证明
假设 4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大
1 1 1 1 于 1，则 a(1－b)> ，b(1－c)> ，c(1－d)> ，d(1－a)> . 4 4 4 4 1 1 1 1 ∴ a1－b> ， b1－c> ， c1－d> ， d1－a> . 2 2 2 2
典例剖析
【例 1】【分析】
若 a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. 本题若直接证明，难度较大．而本题结论的反
面更简单，所以宜用反证法．
证法一假设 a＋b>2，则 a>2－b，
∴2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，即 2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，这是不可能的． ∴a＋b≤2.
【证明】
对 k∈N＋，1≤k≤n，有
1 2 > ＝2( k＋1－ k)． k k＋ k＋1 1 1 1 ∴ 1 ＋＋＋ „ ＋ >2( 2 － 1) ＋ 2( 3 － 2) ＋ „ ＋ 2 3 n 2( n＋1－ n)＝2( n＋1－1)． 1 2 又∵ < ＝2( k－ k－1)(2≤k≤n)， k k＋ k－1