高中数学同步讲义必修一——第二章 2.2 2.2.1 第2课时 对数的运算

第2课时对数的运算

学习目标

1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.

2.掌握换底公式及其推论.

3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

知识点一 对数运算性质

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M

N ＝log a M －log a N ；

(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 换底公式

思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？ 答案 设法换为同底． 梳理 对数换底公式：

log a b ＝log c b

log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．

特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．

1．log 2x 2＝2log 2x .( × )

2．log a [(－2)×(－3)]＝log a (－2)＋log a (－3)．( × ) 3．log a M ·log a N ＝log a (M ＋N )．( × ) 4．log x 2＝1log 2x

.( √ )

类型一 具体数字的化简求值 例1 计算：(1)log 345－log 35； (2)log 2(23×45)；

(3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；

(4)log 29·log 38. 考点 对数的运算 题点 对数的运算性质

解 (1)log 345－log 35＝log 345

5＝log 39＝log 332＝2log 33＝2.

(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213) ＝13log 22＝13.

(3)原式

=33

3323

2

2

2

34lg()8)lg10lg(3210)10121212lg lg lg 101010

⨯-⨯÷==

＝32lg

1210lg 1210

＝32.

(4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23) ＝2log 23·3log 32 ＝6·log 23·1log 23

＝6.

反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则 (1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式． (2)不同底化为同底．

跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；

(2)(lg 25－lg 1

4

)÷1

2100;-

(3)log 43·log 98；

(4)log 2.56.25＋ln e －13

0.064. 考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算

解 (1)原式＝log 632＋log 64＝log 6(32×4)＝log 6(62)＝2log 66＝2.

(2)原式＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫lg 2514÷12()

210⨯-＝lg 102÷10－1

＝2×10＝20.

(3)原式＝lg 3lg 4·lg 8lg 9＝lg 32lg 2·3lg 22lg 3＝3

4

.

(4)原式＝log 2.5(2.5)2＋12－1

3

641000

⎛⎫

⎪⎝⎭

＝2＋12－410＝2110.

类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变换 例2 化简log a x 2y

3z .

考点 对数的运算 题点 对数的运算性质

解 ∵x 2y 3z >0且x 2>0，y >0，∴y >0，z >0.

log a x 2y 3z ＝log a (x 2y )－log a 3z

＝log a x 2＋log a y －log a 3

z ＝2log a |x |＋12log a y －1

3

log a z .

反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2 lg x ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N . 跟踪训练2 已知y >0，化简log a x yz

. 考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 解 ∵x

yz

>0，y >0，∴x >0，z >0. ∴log a

x yz ＝log a x －log a (yz )＝1

2

log a x －log a y －log a z . 命题角度2 用代数式表示对数 例3 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数

解 方法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，

于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 185

1＋log 182

＝

a ＋b

1＋log 18

189＝a ＋b 2－a

. 方法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)

log 18(18×2)

＝

log 189＋log 185

2log 1818－log 189＝a ＋b 2－a .

方法三 ∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，

∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg

1829＝lg 9＋lg 5

2lg 18－lg 9

＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a

. 反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元． 跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256. 考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数

解 ∵log 23＝a ，则1

a ＝log 32，又∵log 37＝

b ，

∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32

log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1

.