浙教版初二下数学知识点及典型例题
浙教版八年级数学初二下册：菱形知识点及同步练习
学科：数学 教学内容：菱形学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题． 学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质 （2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △.设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算． 重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用． 难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题． 易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件．例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ） （2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ） 错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×） 正解：（2）（×） （2）（×） 运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格 错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D 又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF ∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ， ∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF 典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180° 所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180° 所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形， ∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60° ∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF 又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60° ∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法． 例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C 因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形． 从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
浙教版八下数学各章节知识点以及重难点
关注：梯形中常见的几种辅助线的画法.
补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.
二.重点和难点：
重点：解方程的方法。
难点：建立方程模型解决实际问题。
第三章频数及其分布
一.知识点：
1.频数：所考察的对象出现的次数称为频数。频数的和等于总数。
2.频率：频数与总数的比值称为频率。频率的和等于1.
3.频数分布直方图：横半轴表示组别，纵半轴表示频数，用宽相等的长方形表示不同的频数分布情况，这样的图形称为频数分布直方图。
1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形
定义：如果一个图形绕着某个点旋转180°后能和原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。常见的中心对称图形有：平行四边形，英文大写字母S、Z。
2）经过对称中心的直线一定把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段一定经过对称中心且被对称中心平分.
4.三角形的中位线以及中位线定理
被开方数不含有开得尽方的数，所含因式是一次式（就是字母的次数是一次），被开方数不含分母。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。
4.同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。
5.二次根式的运算
（1）（减）法：先化简，再合并。
（2）乘（除）法：先乘除，再化简。
6．分母有理化：
3）菱形+有一个角是直角
注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.
5.梯形:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角线相等.
等腰梯形的判定：1）定义:两腰相等的梯形叫等腰梯形。
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第一章 二次根式1. 二次根式的定义：形如 a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
（被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根）2．取值范围：二次根式被开方数大于等于0分式分母不为02. 二次根式的性质：1.二次根式有双重非负性（0a ≥，0a ≥）2.平方在根号里面（里平方）2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 3平方在根号外面（外平方）2a a =区别：2a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根； 相同点：最后的值都是正数3. (0,0)ab a b a b =≥≥0,0)a a a b b b=≥> 根号里面只有乘除才能分开来，加减不能4: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。
5、分母有理化： 1aa 2a b+分子分母同乘以a b 3a b -a b题型：根式的化简和运算（简单题前几题，选择题，填空题）根式的定义、取值范围（选择题，填空题）第二章 一元二次方程1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
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浙教版八下数学各章节知识点及重难点第一章二次根式（徐旺红老师整理）知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如霸（a>0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是二为二次根式的前提条件，如宀1,-；…一-等是二次根式，而叮, '等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a三0时，心有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当aV 0时，i'没有意义。
知识点三：二次根式…（••「-「）的非负性…严匚）表示a的算术平方根，也就是说，「L -）是一个非负数，即门上0（：宀）。
注：因为二次根式二严/）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（二“）的算术平方根是非负数，即二上0 （^工〕），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若亦+爲=0，则a=0,b=0;若需+创=0，则a=0,b=0;若&+宀0，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（」■'）；的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若—■，则」一：「），如: 2 = （W A：协> ・知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:1、化简J」时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即--------- --- 7''-;若a是负数,贝席于a的相反数-a,即“ J '■ ：1'；2、二‘中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，“'一定有意义;3、化简二J时，先将它化成-，再根据绝对值的意义来进行化简知识点六与厂的异同点1、不同点：与；'表示的意义是不同的，•”表示一个正数a 的算术平方根的平方，而乙'表示一个实数a的平方的算术平方根; 在「I中-沱〕，而丿‘中a可以是正实数，0,负实数。
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浙教版初中数学八年级下册知识点及典型例题浙教版八年级下册知识点及典型例题第一章二次根式1(二次根式:一般地～式子叫做二次根式.注意:,1,若这个条件不成立～a,(a,0)a,0则不是二次根式,,2,是一个重要的非负数～即, ?0. aaa a(a,0),222(重要公式:,1,,,2,a,a, ,注意使用(a),a(a,0),,a(a,0),2. a,(a)(a,0)3(积的算术平方根:～积的算术平方根等于积中各因式的算术ab,a,b(a,0,b,0) 平方根的积,注意:本章中的公式～对字母的取值范围一般都有要求. 4(二次根式的乘法法则: . a,b,ab(a,0,b,0)5(二次根式比较大小的方法:,1,利用近似值比大小,,2,把二次根式的系数移入二次根号内～然后比大小,,3,分别平方～然后比大小.aa,(a,0,b,0)6(商的算术平方根:～商的算术平方根等于被除式的算术平方根除bb以除式的算术平方根.7(二次根式的除法法则:aa,(a,0,b,0),1,, bb,2,, a,b,a,b(a,0,b,0),3,分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化,具体方法是:分式的分子与分母同乘分母的有理化因式～使分母变为整式.8(常用分母有理化因式: ～～～a与aa,b与a，bma，nb与ma,nb它们也叫互为有理化因式.9(最简二次根式:,1,满足下列两个条件的二次根式～叫做最简二次根式～? 被开方数的因数是整数～因式是整式～? 被开方数中不含能开的尽的因数或因式, ,2,最简二次根式中～被开方数不能含有小数、分数～字母因式次数低于2～且不含分母, ,3,化简二次根式时～往往需要把被开方数先分解因数或分解因式, ,4,二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10(二次根式化简题的几种类型:,1,明显条件题,,2,隐含条件题,,3,讨论条件题. 11(同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后～如果被开方数相同～这几个二次根式叫做同类二次根式.12(二次根式的混合运算:,1,二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算～以前学过的～在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用, ,2,二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简～例如:化为同类二次根式才能合并,除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便,使用乘法公式等.第二章一元二次方程1. 认识一元二次方程:2axbxc，，,0abc,,概念:只含有一个未知数～并且可以化为 (为常数～)a,0的整式方程叫一元二次方程。
浙教版八年级下册初二数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)
浙教版八年级下册初中数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习二次根式的概念和性质（基础）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、； 2.；3..要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a a =≥）.2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值。
2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式 要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x 为实数时，下列各式()2223,1,,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个. 【答案】 3 【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （113（23-； （3）21x -+（4）8； （521()3-；（61x -1x >）A ．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】 （1）1x -≥0，所以x ≥1.（2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32；【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ） A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x【答案】B.类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)232()4-⨯- (2)2(3.14)π-【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三 【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题3】 【变式】（1）2)252(-=_____________ （2）2)2(2a a ---=_____________【答案】(1) 10;(2) 0.4. （2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0， 原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题. 举一反三【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________. 【答案】m =0或m =-1.类型三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是 最简二次根式. 举一反三【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ） A ．15B ．0.1C ．15 D.212【答案】C.类型四：同类二次根式6. （20163( )18 B. 13149 1150【答案】 B. 【解析】故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式. 举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( ) A.a =2，b =1 B.a =1，b =2 C. a =1，b =-1 D. a =1，b =1【答案】 D. 根据题意，得解之，得，故选D.二次根式的概念和性质（基础）巩固练习【巩固练习】一．选择题1. （2016•宁波）使二次根式有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥12. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a - 3. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与是同类二次根式.C. 与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式4.（2015•蓬溪县校级模拟）下列各式中正确的是（ ）2a 2a ±a 2a ﹣a 2a 5.下列根式是最简二次根式的是（ ）A ．8B ．24x y +C ．D ．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）A. B. C. D.二. 填空题7.（2016•营山县一模）使式子有意义的x 的取值范围是 ．8.=____________. 若，则____________.9．（1）2)53(-=_____________.（2）9622++-a a a （a>0）=__________________________.10.若22x x -+-=0，则2(1)1x x--=_______________. 11.当x ≤0时，化简21-x x -=________________________.12. 计算134893123-+=__________________. 三 综合题13. 当x 为何值时，下列式子有意义？（1）21x + (2)2x -（3）11y x =-； （4）11y x =-；14.(北京市海淀区) 已知实数x ，y 满足，求代数式的值.15.（2015春•江夏区期中）已知实数x ，y 满足y=+﹣65，求．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】D.【解析】由题意得，x ﹣1≥0，解得x ≥1. 2．【答案】D.【解析】因为1a < 原式=1111a a a --=--=-. 3．【答案】A. 4．【答案】D.【解析】解：A 、当a ＜0时，=﹣a ，故选项错误；B 、表示算术平方根，故选项错误；C 、当a ＞0时，=a ，故选项错误；D 、正确．故选D ．5．【答案】B.【解析】 根据最简二次根式的性质，A,D 选项都含有能开方的项，C 选项含有分母，所以选B. 6．【答案】D. 【解析】因为，2yx -是被开方数，所以y<0,x<0, 所以原式=x y x-y --.二、填空题7.【答案】x ≥﹣3且x ≠5．【解析】由题意得，x +3≥0，x ﹣5≠0，解得x ≥﹣3且x ≠5． 8 【答案】2;7x m -=± 9.【答案】(1) 45; (2) -3 10.【答案】 -1【解析】因为22x x -+-=0，所以2-x ≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=2(12)112-=--. 11.【答案】1 12.【答案】153【解析】134893121233363(1236)31533-+=-+=-+=. 三.解答题13.【解析】 （1）21x +≥0，即x 为任意实数； （2）2x -≥0，即2x ≤0，即x =0. （3）10,1x x ->∴>（4）0,10,0 1.x x x x ≥-≠∴≥≠且.14.【解析】 因为. ，所以x=5，y=-4.则=2008(54)-=115.【解析】解：∵实数x ，y 满足y=+﹣65，∴x-1≥0，且1-x ≥0， ∴x=1，y=﹣65， ∴==—4.二次根式的运算（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质:（a ≥0，b >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 要点四、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】类型一、二次根式的加减运算1.计算： (1).+(2). 311932a a a a a+- 【答案与解析】(1)+=2232(23)252+=+=31111(2)9332321117(3)326a a a a a a a a a+-=+-=+-= 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三：【变式】计算:011(1)()527232π--++-- 【答案】011(1)()527232π--++--125332333352332=++--=+--=-类型二、二次根式的乘除法2．(1)×； (2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=；(2)×==；(3)===2；(4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】(1)不正确． 改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确． 改正：×=×===＝4.【：二次根式及其乘除法（下）例9（1），（2）】3.算：（1）)4323(4819-÷- （2）21521)74181(2133÷-⨯ 【答案与解析】（1）214=(9)()3483-⨯-⨯原式=6136=1; （2）原式=171123282711⎛⎫⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=34-.【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.类型三、二次根式的混合运算4.（2016•聊城模拟）下列计算正确的是（ ）A ．5﹣2=3B ．2×3=6C ．=3 D ．3=3【思路点拨】根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【答案】D. 【解析】解：A 、﹣2=3，此选项错误；B 、2×3=12，此选项错误；C 、+2=3，此选项错误；D 、3÷=3，此选项正确； 故选D ．【总结升华】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键． 【：： 388064巩固练习4-5】5、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________. 【答案】1；10. 【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-∴=-=，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确. 举一反三：【变式】（2015春•汉阳区期中）已知x=1﹣，y=1+，则x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y 的值为 ．【答案与解析】解：∵x=1﹣，y=1+，∴x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1﹣3xy ﹣1=（x+y ﹣1）2﹣3xy ﹣1 =1﹣3×（1﹣）（1+）﹣1 =1+3﹣1 =3．二次根式的运算（基础）巩固练习【巩固练习】一、 选择题1.计算18827÷⨯的结果是（ ）. A ．463 B.186 C.932 D.1642. （2016•广西）下列计算正确的是（ ） A ．﹣=B ．3×2=6C ．（2）2=16D ．=13. 化简二次根式3a -的正确结果是（ ）．A ．a a --B ．a a -C ．a aD ．a a - 4. （2015•泰安模拟）下列计算或化简正确的是（ ）. A. 2+4=6B.=4C.=﹣3D.=35.若，则的值等于（ ）.A. 4B.C. 2D.6.下列计算正确的是（ ）.A. 2=b a b ++(a ） B.a b ab += C.22+a b a b =+ D. 1aa a= 二. 填空题 7.计算：4118(2854)33-÷⋅=____________________________. 8．（2016•潍坊）计算：（+）= ．9. 化简：（1）.111a a +=_________,(2).2411a a a+=___________. 10. （2015春•新泰市期末）若=，则x 的取值范围为 ．11. 一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长是________cm.12. 101100103103）（）（-+=________________. 三 综合题13. （1）11(318504)5232（2）()1212328-⎪⎭⎫⎝⎛+--14.（2014秋•市南区校级期中）某居民小区有一块长方形绿地，先进行如下改造：将长方形的长减少米，宽增加米，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的2倍，求改造后的正方形绿地的边长是多少米？（结果精确到1米）15.（1）先化简，再求值：(3a +）()3(6)a a a ---，其中152a =+.(2).已知251,251+=-=b a ，求722++b a 的值.【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】B. 【解析】A 、不能化简，所以此选项错误；B 、3×=6，所以此选项正确；C 、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D 、==，所以此选项错误.3．【答案】A. 【解析】20,=a a a a a a a <∴-⋅=-=--原式.4．【答案】D.【解析】解：A 、2与4不能合并，所以A 选项错误；B 、原式=2，所以B 选项错误；C 、原式=|﹣3|=3，所以C 选项错误；D 、原式==3，所以D 选项正确． 故选D ． 5．【答案】C.【解析】先化简再解方程。
浙教版八下数学知识点(完整版)
浙教版八年级数学下册知识点汇总八年级（下册）第1章二次根式1.1二次根式1.2二次根式的性质1.3二次根式的运算第2章一元二次方程2.1一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.3一元二次方程的应用2.4一元二次方程根与系数的关系第3章数据分析初步3.1平均数3.2中位数和众数3.3方差和标准差第4章平行四边形4.1多边形4.2平行四边形及其性质4.3中心对称4.4平行四边形的判定定理4.5三角形的中位线4.6反证法第5章特殊平行四边形5.1矩形5.2菱形5.3正方形第6章反比例函数6.1反比例函数6.2反比例函数的图像和性质第一章 二次根式1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
1.2. 二次根式的性质()()0a 2≥=a a ()()⎩⎨⎧<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥⨯=b a b()0,0a >≥=b a ba b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
1.3. 二次根式的运算()0,0ab a ≥≥=⨯b a b()0,0a >≥=b a b ba第二章一元二次方程2.1一元二次方程像方程x 2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx+c=0的形式。
ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。
2.2一元二次方程的解法1、因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，常见ax 2+bx=0（无常数项）、及类似3x(x -1)=x -1等也可以使用因式分解法。
浙教版数学八下考点典型例题及期末考试注意点
一、 考点分析第一章 二次根式 ★本章重点：1、二次根式的混合运算、化简求值2、二次根式的应用：勾股定理（折叠问题）、坡比问题。
1. 二次根式的定义：非负数a 算术平方根，叫做二次根式，即a 。
2. 二次根式的二个非负特征：在a 中； a ≥0, a ≥0。
3. 二次根式的性质：♦ a a =2)( ( a ≥0)；一个非负数算术平方根的平方等于这个非负数。
♦ a a =2一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
♦b a ab ⨯= ( a ≥0，b ≥0)；两个非负数积的算术平方根等于这两个非负数算术平方根的积。
♦ba ba = ( a ≥0，b ＞0)；商的算术平方根等于算术平方根的商。
4. 最简二次根式：被开方数中不含完全平方因式与分母的二次根式，叫做最简二次根式。
5. 同类二次根式：把被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式。
6. 二次根式的加减可以归结为：① 先把各二次根式化简成最简二次根式；② 合并同类二次根式（把系数相加，根式不变）。
7. 二次根式相乘,只要把被开方数相乘，根式不变。
即ab b a =⨯ ( a ≥0，b ≥0)8. 二次根式相除,只要把被开方数相除，根式不变。
即baba =( a ≥0，b ＞0) 9．斜坡的铅直高h 与水平长度l 的比叫做坡比即：坡比 i=hl10．分母有理化：通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算。
分母有理化的依据：平方差公式。
分母有理化有如下两种基本类型：（1）a ab aa ab ab =∙=或ba ba c ba b a b a c ba c±±=±∙±±∙=±（2）ba b a c b a b a b a c ba c ±=±∙=±2)())(()( 或 b a b a c b a b a b a c b a c-=±∙=±)())(()(第二章 一元二次方程1. 基本知识、解法：(1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。
浙教版八下数学各章节知识点及重难点(修改版)
浙教版八下数学各章节知识点及重难点（改正版）第一章二次根式一.知点 :1.二次根式的定：形如（ a≥0）的代数式叫做二次根式。
如：，, ，，5，-3 ⋯⋯2.二次根式的性 :⑴≥ 0 （两重非性）；⑵2（ a ≥）aa a0⑶a2∣a∣； (4)ab×（ a 0, b0 ）；(5)a÷（ a 0, b0 ）.b：二次根式拥有两重非性。
3.最二次根式：被开方数不含有开得尽方的数，所含因式是一次式（就是字母的次数是一次），被开方数不含分母。
足三个条件的二次根式称最二次根式。
4.同二次根式：化成最二次根式后，被开方数同样的几个二次根式称同二次根式。
5.二次根式的运算（1）加（减）法：先化，再归并。
（2）乘（除）法：先乘除，再化。
6．分母有理化：分母有理化也称为有理化分母。
就是将分母含有根号的代数式变为分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。
（1）形如：（2）形如： 27.对于拥有两重根号的二次根式。
如：二.要点和难点：要点：二次根式的运算。
难点：混淆运算以及应用。
第二章一元二次方程一.知识点：1. 定义：形如ax2bx c0(a0) 的方程叫做一元二次方程，此中，a叫做二次项系数， bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数， c 叫做常数项。
例：若方程 (m2) x|m|3mx10 是对于x的一元二次方程，则（）A．m 2B．m=2C．m= —2D．m 22.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法 ; （5）换元法。
例：按要求解方程（1）用配方法解方程： x2 —4x+1=0（2）用公式法解方程： 3x2+5(2x+1)=0（3）用因式分解法解方程： 3(x-5)2=2(5-x)3.一元二次方程根的鉴别式：△=b24ac .△>0, 方程有两个不相等的实数根；△=0 ，方程有两个相等的实数根；△<0，方程无实数根。
浙教版数学八年级下册第四章《平行四边形》复习总结：知识点与练习
教师：学生：时间：_ 2016 _年_ _月日段第__ 次课
ABCD中，延长
随堂练习三：
．若平行四边形的两邻边的长分别为
17在ABCD中，AB比AD大2，∠DAB的角平分线AE交CD于E，∠ABC的角平分线BF交CD于F，若平行四边形ABCD的周长为24，求CE、FD、EF的长
19已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF 是平行四边形．
20、如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形吗？说明理由.
21.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD•为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？•证明你的结论．
23已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．。
浙江省杭州市浙教版初中八年级下册数学第四章平行四边形及其性质(教师版)——西湖付宁梅
平行四边形及其性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________重难点：1、平行四边形的概念及性质2、平行四边形的概念及性质的灵活运用.泰勒斯看到人们都在看告示，便上去看。
原来告示上写着法老要找世界上最聪明的人来测量金字塔的高度。
于是就找法老。
法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。
泰勒斯说只用一根木棍和一把尺子，他把木棍插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的时候，他量了金字塔影子的长度和金字塔底面边长的一半。
把这两个长度加起来就是金字塔的高度了。
泰勒斯真是世界上最聪明的人，他不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的高度。
1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、性质（1）平行四边形的两组对边分别相等。
（2）平行四边形的两组对边分别平行。
（3）平行四边形的两组对角分别相等。
（4）平行四边形的对角线互相平分。
知识点一：平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”例题1判断题：⑴平行四边形的对边平行且相等（）练习1平行四边形的对角相等（）练习2在中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：1：2 C．1：1：2：2 D．1：2：2：1知识点二：平行四边形的对角相等例题2在中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（B ）A．1：2：3：4 B．1：2：1：2 C．1：1：2：2 D．1：2：2：1练习1．如图，在中，下列各式不一定正确的是（D ）A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°练习2在中，∠A：∠B=4：5，则∠C=_80°_____．知识点三：平行四边形的性质定理平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；例题3平行四边形的一边等于14，它的对角线可能的取值是（ D ）A ．8cm 和16cmB ．10cm 和16cmC ．12cm 和16cmD ．20cm 和22cm 练习1的两条对角线相交于点O ，已知AB=8cm ，BC=6cm ，△AOB 的周长是18cm ，那么△AOD 的周长是（C ） A ．14cm B ．15cm C ．16cm D ．17cm练习2如图所示，在中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是（B ）A ．AC ⊥BDB ．OA=OC C ．AC=BD D ．AO=OD例题4、如图，平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线交于O ，△AOB 的周长比△BOC•的周长大8cm ，求AB ，BC 的长．解： ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴ AB ＝CD ，AD ＝BC ，AO ＝CO ， ∵ □ABCD 的周长是60．∴2AB ＋2BC ＝60，即AB ＋BC ＝30，① 又∵△ AOB 的周长比△BOC 的周长大8．即（AO ＋OB ＋AB ）－（BO ＋OC ＋BC ）＝AB －BC ＝8， ②由①②有ODCBA解得∴AB，BC的长分别是19cm和11cm练习1如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4.求AE：EF：FB的值.例题5如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；（1）写出图1中面积相等的各对三角形：__________________；（2）如图①，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有__________与△ABC 的面积相等；（3）如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME 的面积等于五边形ABCDE的面积．（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说△ABC与△PAB 的公共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．解：（1）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB、△BCP与△APC，△ACO与△BOP；（2）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离是相等的，∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．基础演练1．在▱ABCD中，下列结论一定正确的是()图4－2－1A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°C．AB＝AD D．∠A≠∠C2．已知▱ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是()A．100°B．160°C．80°D．60°图4－2－23．如图4－2－2所示，在▱ABCD中，A C＝3 cm，若△ABC的周长为8 cm，则▱ABCD的周长为()A．5 cm B．10 cmC．16 cm D．11 cm4．▱ABCD 的四个内角度数的比∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是 ( )A ．2∶3∶3∶2B ．2∶3∶2∶3C ．1∶2∶3∶4D ．2∶2∶1∶15．如图4－2－3，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为( )图4－2－3A ．4B ．3C.52D ．26．如图4－2－4所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BC 上，如果点F 是边AD 上的点，那么△CDF 与△ABE 不一定全等的条件是( )图4－2－4A ．DF ＝BEB ．AF ＝CEC ．CF ＝AED ．CF ∥AE7．如图，在中，下列各式不一定正确的是（ ）A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°8．如图，在△MBN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，那么的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．12二、填空题9．在中，∠A：∠B=4：5，则∠C=______．10．在中，AB：BC=1：2，周长为18cm，则AB=_____cm，AD=_______cm．11．在中，∠A=30°，则∠B=______，∠C=______，∠D=_______．12．如图，已知：点O是的对角线的交点， AC= 48mm， BD=18mm，AD=16mm，那么△OBC的周长等于____mm．13．如图，在中，E、F是对角线BD上两点，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件是__ ______．14．如图，在中，EF∥AD，MN∥AB，那么图中共有_______ 个平行四边形．15．[2012·成都]如图4－2－5所示，将▱ABCD的一边BC延长至E，若∠A＝110°，则∠1＝____.图4－2－516．在▱ABCD中，若AB∶BC＝3∶5，周长为40 cm，则AB＝____cm，BC＝____cm.17．如图4－2－6，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF.图4－2－6能力提升一.选择题1．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．A.8cm和16cmB.10cm和16cmC.8cm和14cmD.8cm和12cm2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．A.5B.6C.8D.124. 国家级历史文化名城--金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）A．红花，绿花种植面积一定相等B．紫花，橙花种植面积一定相等C．红花，蓝花种植面积一定相等D．蓝花，黄花种植面积一定相等5.如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF=DE，则图中的全等三角形最多有（）A．8对 B．6对 C．5对 D．4对6．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A 2B 35C53D 15二.填空题7. 如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是________________8. 如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为．9. 在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为____或_______.10.如图，在ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是_____.11. 如图，在周长为20cm的ABCD中，AB≠AD，AC、BD 相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为________.12．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG ⊥AE，垂足为G，AF＝5，2BG，则△CEF的周长为________．4三.解答题13. 如图，P是平行四边形ABCD内部一点，PA，PB，PC，PD将平行四边形ABCD分成4个三角形，它们的面积分别为a，ar，ar2，ar3（a＞0，r＞0），试确定点P的位置，并说明理由．14.如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H．求证：S平行四边形ABCD-S平行四边形AEPH=2S△AFG．15. 如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；（2）求证：A′E=CE16．[2012·雅安]如图4－2－10所示，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP 分别平分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度数；(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．图4－2－1017.如图，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，试说明OE=OF.18．如图，在中，过对角线AC的中点O所在直线交AD、CB 的延长线于E、F．试问：DE 与BF的大小关系如何？证明结论．19.如图四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长及的面积。
浙教版数学八年级下册第四章《平行四边形》复习总结：知识点与练习
教师：学生：时间：_ 2016 _年_ _月日段第__ 次课
ABCD中，延长
随堂练习三：
．若平行四边形的两邻边的长分别为
17在ABCD中，AB比AD大2，∠DAB的角平分线AE交CD于E，∠ABC的角平分线BF交CD于F，若平行四边形ABCD的周长为24，求CE、FD、EF的长
19已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF 是平行四边形．
20、如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形吗？说明理由.
21.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD•为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？•证明你的结论．
23已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．。
浙教版初中数学八年级上下册知识点及典型例题汇总
数学八年级上册知识点及典型例题第一章 平行线1.1同位角、内错角、同旁内角如图：直线l 1 , l 2 被直线l 3 所截，构成了八个角。
a1a2a3876543211. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3 的同旁，并且分别位于直线l 1 , l 2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。
2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的异侧，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。
3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的同旁，并且都位于两条直线l 1 , l 2之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。
想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角） 确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。
1．2 平行线的判定（1）L3 L1 L2复习画两条平行线的方法：提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？ （直线l 1，l 2被AB 所截） （2）画图过程中，什么角始终保持相等？ （同位角相等，即∠1＝∠2） （3）直线l 1，l 2位置关系如何？ （ l 1∥l 2） （4）可以叙述为：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （ ？ ）语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单地说：同位角相等，两直线平行。
几何叙述：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行） 想一想oo ABL 1L 2（图形的平移变换）抽象成几何图形AB21L 1L 212acb平行线判定方法的特殊情形：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1．2 平行线的判定（2）图中，直线AB 与CD 被直线EF 所截，①若∠3＝∠4，则AB 与CD 平行吗？②若∠2+∠4＝180°，则AB 与CD 平行吗？①∵∠3＝∠4，∠1＝∠4 ②∵∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180° ∴∠1＝∠3 ∴∠3＝∠4∴ AB ∥CD （ ） ∴ AB ∥CD （ ） ① 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行。
二次根式(核心考点讲与练八年级数学下学期考试满分全攻略浙教版
第01讲二次根式(核心考点讲与练)一．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．一．二次根式的定义（共7小题）1．（2021春•上虞区期末）当x＝0时，二次根式的值等于（）A．4B．2C．D．0【分析】把x＝0代入二次根式，再求出即可．【解答】解：当x＝0时，式＝．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（）A．2B．±2C．4D．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．【点评】本题考查二次根式的化简，题目比较简单，理解二次根式的性质是解题关键．3．（2021春•鄢陵县期末）若是二次根式，则a的值不可以是（）A．4B．C．90D．﹣2【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵是二次根式，∴a≥0，故a的值不可以是﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．4．（2021春•永嘉县校级期中）已知a为正整数，且为正整数，则a的最小值为5．【分析】因为是正整数，且＝2，则5a是完全平方数，满足条件的最小正整数a 为5．【解答】解：∵＝2，为正整数，∴2是正整数，即5a是完全平方数；∴a的最小正整数值为5．故答案是：5．【点评】主要考查了二次根式的定义．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．把20分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．5．（2021春•饶平县校级期末）已知是整数，自然数n的最小值为2．【分析】根据自然数和二次根式的性质得出18﹣n＝16，求出即可．【解答】解：∵是整数，n为最小自然数，∴18﹣n＝16，∴n＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出18﹣n＝16是解此题的关键．6．（2021春•瓯海区期中）当x＝5时，二次根式的值为3．【分析】将已知条件代入所求的代数式，然后开平方求值．【解答】解：根据题意，得当x＝5时，＝3．故答案是：3．【点评】本题主要考查了二次根式的定义，掌握定义是解题的关键．7．（2021春•永嘉县校级期中）当x＝﹣1时，二次根式的值是3．【分析】把x＝﹣1代入二次根式，再开平方即可．【解答】解：把x＝﹣1代入＝＝＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是掌握算术平方根．二．二次根式有意义的条件（共10小题）8．（2021秋•衡阳期末）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜1D．x≥﹣1【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，2x﹣2≥0，解得，x≥1，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9．（2021秋•侯马市期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围．【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣3＞0，解得：x＞3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．10．（2021春•长兴县月考）求下列二次根式中字母的取值范围：（1）．（2）．【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【解答】解：（1）由题可得，2k﹣1≥0，解得k≥；（2）由题可得k+1＞0，解得k＞﹣1．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．11．（2021春•邗江区月考）计算：（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简+|c﹣a|+；（2）已知x、y满足y＝，求5x+6y的值．【分析】（1）利用二次根式的性质和绝对值的性质进行计算即可；（2）利用二次根式和分式有意义的条件可得x和y的值，进而可得答案．【解答】解：（1）原式＝|a|+|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a+c﹣a+c﹣b＝﹣2a﹣b+2c；（2）由题意得：，解得：x＝±3，∵x﹣3≠0，解得：x≠3，则y＝﹣，∴5x+6y＝﹣16．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及实数与数轴，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数和绝对值的性质．12．（2019秋•富阳区期中）（1）若++y＝16，求﹣的值（2）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求+m﹣cd的值【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数；（2）根据相反数、倒数的定义以及绝对值得到：a+b＝0，cd＝1，m＝±2，代入求值即可．【解答】解：（1）由题意，得解得x＝8．所以y＝16所以原式＝﹣＝2﹣4＝﹣2．（2）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，∴＝+m﹣1＝m﹣1．当m＝2时，原式＝1．当m＝﹣2时，原式＝﹣2﹣1＝﹣3．综上所述，+m﹣cd的值是1或﹣3．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．（2021春•永嘉县校级期中）计算（1）已知实数x，y满足x2﹣10x++25＝0，求（x+y）2018的值．（2）若x，y满足y＜+4，化简：【分析】（1）将等式左边根号外的部分配方，根据偶次方的非负性和二次根式有意义的条件，可得x和y的值，问题可解；（2）根据≥0，≥0可得x的值，从而得y的范围，则可将所给式子化简．【解答】解（1）∵x2﹣10x++25＝0∴（x﹣5）2+＝0∵（x﹣5）2≥0，≥0∴x﹣5＝0，y+4＝0∴x＝5，y＝﹣4∴（x+y）2018＝（5﹣4）2018＝1∴（x+y）2018的值为1．（2）∵≥0，≥0∴x﹣2＝2﹣x＝0∴x＝2∵y＜+4，∴y＜0+0+4，∴y＜4∴＝2+4﹣y﹣|y﹣5|＝6﹣y﹣（5﹣y）＝6﹣y﹣5+y＝1【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、偶次方的非负性及绝对值的化简，这都是基础的计算能力的考查，难度不大．14．（2021秋•邵东市期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4【分析】根据二次根式有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程+2＝的解为x＝，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝，∵关于x的分式方程+2＝有正数解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3∴m≠﹣3，∵有意义，∴2﹣m≥0，∴m≤2，因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，∵m为整数，∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，故选：D．【点评】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，整数m的意义是正确解答的关键．15．（2017春•兴化市期中）已知y＝+﹣3，则xy的值为﹣．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值进而得出答案．【解答】解：∵y＝+﹣3，∴2x﹣5＝0，解得：x＝，故y＝﹣3，则xy＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．16．（2021春•永嘉县校级期中）若a，b为实数，a＝+3，求．【分析】根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，2b﹣14≥0且7﹣b≥0，解得b≥7且b≤7，所以b＝7，a＝3，所以，＝＝4．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．17．（2018•邵阳县模拟）已知+＝b+8（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出不等式组，求出a即可；（2）求出a、b的值，再求出平方根即可．【解答】解：（1）+＝b+8，∴a﹣17≥0且17﹣a≥0，解得：a＝17；（2）∵a＝17，∴b+8＝0，∴b＝﹣8，∴a2﹣b2的平方根是±＝±15．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、平方根的定义等知识点，能求出a的值是解此题的关键．题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2020春•上虞区期末）当x＝0时，二次根式的值是（）A．4B．2C．D．0【分析】把x＝0代入，再求出即可．【解答】解：当x＝0时，＝＝2，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键．2．（2020春•赣榆区期末）若为二次根式，则m的取值范围是（）分层提分A．m＜3B．m≤3C．m≥3D．m＞3【分析】根据二次根式的定义得出3﹣m≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵为二次根式，∴3﹣m≥0，解得：m≤3，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义和解一元一次不等式，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．3．（2020春•鹿城区校级期中）在下列代数式中，属于二次根式的是（）A．2a B．C．D．a2+1【分析】根据二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式进行判断即可得．【解答】解：A．2a是整式，不符合题意；B．由a2+1＞0知是二次根式，符合题意；C．是整式，不符合题意；D．a2+1是整式，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如（a≥0）的式子叫做二次根式．4．（2021秋•晋州市期末）要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：4﹣3x≥0，∴x≤，观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．5．（2021春•下城区月考）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（）A．x≠2的实数B．x≤2的实数C．x≥2的实数D．x＞0且x≠2的实数【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可．【解答】解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．所以x应满足的条件是x≤2的实数．故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键是明确二次根式的被开方数是非负数．6．（2019春•诸暨市月考）下列各式中属于二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【解答】解：A．当x﹣1≥0时，即x≥1时，是二次根式，故A不符合题意；B．当x≥0时，是二次根式，故B不符合题意；C．当x≥﹣或x≤时，是二次根式，故C不符合题意；D．无论x为任意实数，是二次根式，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的定义，确定被开方数中的字母取值范围是解题关键．7．（2021春•永嘉县校级期中）已知y＝+﹣2，则x2y的值为（）A．﹣18B．12C．18D．±18【分析】根据二次根式非负性的性质求得x，y的值，代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意得：，解得：x＝3，则y＝﹣2，x2y＝32×（﹣2）＝﹣18．故选：A．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，求得x，y的值是关键．8．（2020秋•乐亭县期末）已知+2＝b+8，则的值是（）A．±3B．3C．5D．±5【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值．【解答】解：由题可得，解得a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及化简，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键．二．填空题（共11小题）9．（2021春•南丹县期末）当x＝3时，二次根式的值是2．【分析】把x＝3代入二次根式求值即可得结果．【解答】解：当x＝3时，二次根式＝＝2．故答案是：2．【点评】本题主要考查二次根式的代入求值，注意二次根式的符号，此类题比较简单．10．（2018秋•东坡区期末）当x x≥﹣1时，二次根式有意义．【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x+1≥0解得：x≥﹣1故答案是：x≥﹣1【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，是一个基础的题目．11．（2021春•余杭区期中）当x＝3时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：3【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．12．（2021春•永嘉县校级期中）已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件的n的最小值是2．【分析】由n为正整数，也是正整数，知18n是一个完全平方数，再将18分解质因数，从而得出结果．【解答】解：n为正整数，也是正整数，则18n是一个完全平方数，又18n＝2×32n＝32•（2n），则2n是一个完全平方数，所以n的最小值是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数．13．（2019春•萧山区期末）当时，二次根式的值为．【分析】把代入二次根式进行计算化简即可．【解答】解：当时，＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式化简的方法是解决问题的关键．14．（2021春•下城区期末）使二次根式有意义的a可以是3（答案不唯一）（只需填一个）．【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴a﹣2≥0，即a≥2，则a可以是3．故答案为：3（答案不唯一）．【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．（2021春•西湖区期末）若在实数范围内有意义，则x满足x≥3．【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．【解答】解：在实数范围内有意义，则x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案为：x≥3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．16．（2021春•永嘉县校级期中）已知y＝+﹣5，则（x+y）2021＝﹣1．【分析】依据二次根式有意义的条件，即可得到x和y的的值，进而得出（x+y）2021的值．【解答】解：∵y＝+﹣5，∴x﹣4≥0，4﹣x≥0，∴y＝﹣5，∴（x+y）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．17．（2021•靖江市模拟）已知a，b都是实数，，则a b的值为4．【分析】利用二次根式有意义的条件得到得，解得a＝，则可得到对应b的值，然后利用负整数指数幂的意义计算．【解答】解：根据题意得，解得a＝，当a＝时，b＝﹣2，所以ab＝（）﹣2＝4．故答案为4．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．18．（2020秋•婺城区校级期末）若实数x，y满足，则y x的值为2．【分析】根据二次根式有意义的条件求得x＝2，则y＝﹣，然后代入求值．【解答】解：根据题意知，．解得x＝2，所以y＝﹣，所以y x＝（﹣）2＝2．故答案是：2．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．19．（2021春•西湖区校级期中）已知y＝++3，a＝，则a＝．【分析】根据二次根式有意义的条件可求解x，y值，进而可求解a值．【解答】解：由题意得2x﹣8≥0且2x﹣8≤0，∴2x﹣8＝0，∴y＝0+0+3＝3，∴a＝，故答案为．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数求解是解题的关键．题组B 能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2021春•饶平县校级期末）使代数式有意义，则a的取值范围为（）A．a≥﹣2且a≠1B．a≠1C．a≥﹣2D．a＞﹣2【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可求解a的取值范围．【解答】解：由题意得a+2≥0且a﹣1≠0，解得a≥﹣2且a≠1，故选：A．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．2．（2020•黄州区校级模拟）若u，ν满足v＝++，那么u2﹣uv+v2＝（）A．B．C．D．【分析】依据与互为相反数，它们都是非负数，即可得到2u＝v，代入等式即可得到u和v的值，进而得出结论．【解答】解：由题可得，与互为相反数，又∵它们都是非负数，∴＝＝0，∴2u＝v，∴v＝0+0+＝，∴u＝，∴u2﹣uv+v2＝﹣+＝，故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．二．填空题（共9小题）3．（2018春•诸暨市期末）当x＝﹣2时，二次根式的值是．【分析】将x的值代入计算可得．【解答】解：当x＝﹣2时，＝＝，故答案为：【点评】题主要考查了二次根式的定义，直接将x＝﹣2代入求出即可解决问题．4．（2021•金华）二次根式中，字母x的取值范围是x≥3．【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，则x≥3；故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．5．（2021•拱墅区二模）二次根式中的字母a的取值范围是a≥﹣1．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于a的不等式，继而可得出a的取值范围．【解答】解：由题意得，a+1≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般．6．（2019秋•射阳县期末）y＝中实数x的取值范围是x≥﹣1，且x≠2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣2≠0，解得：x≥﹣1，且x≠2，故答案为：x≥﹣1，且x≠2．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．7．（2020•砚山县三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≤3．【分析】直接利用二次根式的性质得出3﹣x的取值范围，进而求出答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．8．（2018春•诸暨市期末）小聪让你写一个含有字母a的二次根式．具体要求是：不论a取何实数，该二次根式都有意义，且二次根式的值为正．你所写的符合要求的一个二次根式是（a ≠0）（答案不唯一）．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出符合题意的答案．【解答】解：例如：（a≠0）（答案不唯一），故答案为：（a≠0）（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式定义是解题关键．9．（2018•广安）要使有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣1．【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．【解答】解：依题意得x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．10．（2018•梧州）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案为：x≥3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．11．实数a，b满足（2a+b）2+＝0，那么a＝﹣4，b＝8．【分析】由于平方、绝对值及二次根式都具有非负性，根据非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0，得出关于a、b的方程组，再根据二次根式的性质和分式的意义，确定a的取值范围，从而求出a、b的值．【解答】解：由题意，得，解得．故a＝﹣4，b＝8．【点评】解决此题的关键：（1）掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0；（2）几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．三．解答题（共1小题）12．（2012秋•萧山区校级期中）（1）的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值．（2）已知，求y x．【分析】（1）根据大于1小于2可知4﹣在2到3之间，然后求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可求解；（2）根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0列式求出x的取值范围并解得x的值，然后求出y的值，代入代数式进行计算即可求解．【解答】解：（1）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴2＜4﹣＜3，∴a＝2，b＝4﹣﹣2＝2﹣，∴a﹣b＝2﹣（2﹣）＝2﹣2+＝；（2）根据题意得，x﹣2≥0且2﹣x≥0，解得x≥2且x≤2，∴x＝2，y＝﹣3，∴y x＝（﹣3）2＝9．【点评】本题考查了无理数的估算与二次根式有意义的条件，（1）中“夹逼法”是估算无理数的大小常用的方法，（2）根据被开方数大于等于0得到x的值是解题的关键．。
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浙教版初二下册数学 知识点及典型例题第一章二次根式1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=.3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba ba >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (bab a >≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式. 9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.第二章 一元二次方程1. 认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为20ax bx c ++= (,,a b c 为常数，0a ≠)的整式方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件：①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
如：2230x x --=是分式方程，所以2230x x--=不是一元二次方程。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。
2. 一元二次方程的一般形式：一般形式：20ax bx c ++= (0a ≠)，系数,,a b c 中，a 一定不能为0，b 、c 则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：①、如果0,0b c =≠，则得20ax c +=，例如：2320x -=； ②、如果0,0b c ≠=，则得20ax bx +=，例如：2340x x +=； ③、如果0,0b c ==，则得20ax =，例如：230x =；④、如果0,0b c ≠≠，则得20ax bx c ++=，例如：23420x x +-=。
其中，2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。
例题：将方程2(3)(31)x x x -+=化成一元二次方程的一般形式. 解： 2(3)(31)x x x -+=去括号，得： 22383x x x --=移项、合并同类项，得： 22830x x --= (一般形式的等号右边一定等于0)3. 一元二次方程的解法： (1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）(3)、公式法：（求根公式：x =）(4)、分解因式法：（理论依据：0a b •=，则0a =或0b =；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。
）4、一元二次方程的应用例1 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）分析：这是一个一元二次方程应用题，关键在于理清数量关系，列出方程。
（1）解：销售件数：()()130⨯=70-170-130件日获利：()()301701201500⨯-=元（2）解：设每件商品的销售价定为x 元由题意得：()()1207013011600x x ---⨯=⎡⎤⎣⎦整理得：2320256000x x -+=即：()21600x -=160x ∴=答：每件商品的销售价定为160元时，商场日盈利可达1600元。
例 2 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：n=1n=2n=3（1）铺设地面所用瓷砖的总块数为 （用含n 的代数式表示，n 表示第n 个图形） （2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； （3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明。
分析：这是一个图形数列题，解题关键在于理清数量关系。
黑瓷砖由四部分组成，比较难求。
所以先考虑白瓷砖数，观察白瓷砖数量变化，不难发现，第n 个图形中白瓷砖数为(1)n n ⋅+。
同时再观察整个图形瓷砖数量变化，易得，第n 个图形中总瓷砖数为(2)(3)n n +⋅+块。
解：（1）256nn ++（2）由题意得：256506nn ++=，即 255000n n +-=∴()()20250n n -+=1220,25n n ∴==- （不合题意，舍去）。
（3） 白瓷砖：2nn +（块）黑瓷砖：46n +（块） 由题意得：246nn n +=+2360n n --=解得：x=∴ 不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形。
第三章 频数分布及其图形1、 频数及频率的概念（1） 频数：一组数据中，每个数据出现的次数叫做该数据的频数。
（2） 频率：一组数据中每个数据出现的次数与总次数的比值叫做频率。
数据总个数频数频率=2、 极差：一组数据的最大值与最小值的差叫做极差。
3、 频数分布表的绘制步骤; (1) 确定最大值和最小值。
(2) 确定组数和组界 (3) 划记(4) 绘制频数分布表 4、 频数分布直方图（1） 频数分布直方图的组成:①横轴；②纵轴；③条形图。
（2） 频数分布直方图的绘制：①列出频数分布表②画出频数分布直方图。
5、 频数分布折线图顺次连结频数分布直方图是每个长方形上面一条边的中点，就得到所求的频数分布折线图。
例1、填空题（1）有位同学在草稿纸上随手写下了下面这一串的数字： 34012001122211113432100013440120231则其中0出现的频数为 ，1出现的频数为 ，2出现的频数为 ， 3出现的频数为 ，4出现的频数为 。
（2）已知在一个样本中，50个数据分布落在5组内，第一、二、三、五组的数据的格个数分别为2，8，15，5，则第四小组的频数为 ；（3）一组数据的最大值和最小值之差为78，若要用频数分布直方图对其进行统计，且分为10组，则组距为 ；第四章 命题与证明概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题结构：命题可看做由题设（条件）和结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
命题的分类：正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题 判定一个命题是真命题的方法:(1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.(2)人们经过长期实践后而公认为正确的：数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理.定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.命题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧假命题（举反例）理）其它的真命题（需要推定理（需要推理）公理（公认为正确）真命题第五章 平行四边形平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。
平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积等于底和高的积，即S □ABCD =ah ，其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边到其对边的距离，即对应的高。
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
例题1、如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，MN过点O与AB、CD相交于M、N，你认为OM、ON有什么关系？为什么？解：OM=ON证明：∵平行四边形ABCD∴OB=OD , AB∥CD∴∠ABD=∠CDB又∵∠BOM=∠DON∴△BOM≌△DON∴OM=ON。
例题2．如图，ABC△中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于F，试说明BE=CF。
解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED∵DE∥BC，EF∥AC∴四边形EFCD是平行四边形∴CF=ED∴BE=CF。