数与代数
数与代数概念
数与代数概念数与代数概念数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
而数与代数则是其中最基础、最重要的两个概念。
本文将从多个角度深入探讨这两个概念。
一、数的基本概念1. 自然数自然数是指从1开始，依次往上增加的整数。
自然数集合以符号N表示，即N={1,2,3,…}。
2. 整数整数包括正整数、负整数和0。
整数组合成的集合以符号Z表示，即Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}。
3. 有理数有理数包括所有可以表示为分子为整数、分母为非零整数的分式形式的数字。
有理数组成的集合以符号Q表示。
4. 无理数无理数是指不能用分式形式表示为有理数的数字，如π和根号2等。
无理数组成集合以符号I表示。
5. 实数实数组成了所有有理和无理数组成的集合，以符号R表示。
二、代法基础知识1. 代表量与未知量在代法中，我们通常会用字母来代替一个具体的数字或量，这个字母就称为代表量或变量。
而未知量则是指我们需要求解的代表量。
2. 代数式由数字、代表量和运算符组成的式子称为代数式。
例如：3x+4y-2z=7。
3. 方程式方程式是一个等式，其中包含一个或多个未知量，需要求解这些未知量的数值使得等式成立。
例如：3x+4y-2z=7。
4. 不等式不等式是包含运算符号“<”、“>”、“≤”、“≥”的关系表达式。
例如：x+2<5。
三、数与代数的联系1. 数与变量在代数中，我们通常会用字母来表示一个具体的数字或数量，这就建立了数与变量之间的联系。
2. 数与方程在方程中，我们需要通过计算求出未知量的值，而这个值就是一个具体的数字或数量。
因此，在方程中也建立了数与未知量之间的联系。
3. 数与不等式在不等式中，我们需要判断某个数量是否大于或小于另一个数量。
因此，在不等式中也建立了数之间大小关系的联系。
四、总结通过以上对于数和代法基础概念以及它们之间联系的介绍，可以看出它们都是非常基础且重要的概念。
数学中的其他概念都是建立在这些基础上的，因此对于数和代法的深入理解是非常必要的。
数与代数的教学建议
数与代数的教学建议数与代数是数学中的基础内容，也是学生在学习数学过程中最早接触到的部分之一、它们是学生发展数学思维、解决实际问题和建立抽象思维能力的重要环节。
在数与代数的教学中，应该注重培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和抽象思维能力，同时也应该注重帮助学生建立数学知识的连贯性和系统性。
下面是一些数与代数教学的建议。
首先，数与代数教学应该贯穿于整个学科的教学中，而不仅仅是独立的一个章节。
教师应该将数与代数的概念、原理和方法渗透到各个学科的教学中，让学生在实际应用中理解和掌握这些知识。
例如，在几何学习中，可以引入一些代数思想，如用变量表示几何图形的特征等。
其次，数与代数的教学应该注重培养学生的数学思维能力。
数学思维是指学生通过对数学问题进行分析、归纳、推理和解决问题的思维方式。
教师应该鼓励学生从不同的角度思考问题，并引导他们使用数学知识和方法解决问题。
在课堂上可以设计一些开放性问题，让学生自主思考和探究，培养他们的探究精神和创造力。
另外，教师在数与代数的教学中应该注重培养学生的问题解决能力。
问题解决是数学学习的核心内容，也是数学教学的目标之一、教师可以通过提供真实的问题情境，引导学生进行问题分析、模型建立、解决方法选择和解决结果验证等过程，培养他们的问题解决思维和方法。
第四，数与代数的教学应该注重培养学生的抽象思维能力。
抽象思维是指将具体的事物抽象为一般规律和原则的思维能力。
教师可以从具体的问题出发，引导学生逐渐抽象出一般性的数学概念和原理。
例如，在解方程的教学中，可以从具体的例子出发，引导学生总结出解方程的一般方法和规律。
此外，教师还可以通过游戏、竞赛等形式来激发学生学习兴趣和参与度，使学生在愉悦中学习。
教师可以设计一些趣味性的数学游戏，让学生在游戏中实践和应用数学知识，培养他们的数学思维和问题解决能力。
最后，教师在数与代数的教学中应该采用多种教学方法和手段，灵活运用教学资源。
教师可以通过讲解、展示、演示、讨论等多种教学方法来引导学生学习和思考。
数与代数式的关系与计算
数与代数式的关系与计算在数学中，数与代数式是密切相关的概念。
数是我们熟悉的基本数量，而代数式则是由数和运算符号组成的表达式。
本文将探讨数与代数式之间的关系，并介绍如何计算这些关系。
一、数与代数式的基本概念数是我们用来计量和表示数量的基本概念。
数可以是整数、分数、小数或无理数等。
我们可以进行数的基本运算，如加法、减法、乘法和除法。
代数式是由数和运算符号组成的数学表达式。
它可以包含变量、常数和运算符号。
变量是一个未知的数或量，常常用字母表示。
通过代数式，我们可以描述数与运算之间的关系。
二、数与代数式的关系数与代数式之间有着密切的关系。
代数式可以用数来表示，而数也可以通过代数式来计算。
代数式可以描述数与数之间的关系，例如等式和不等式。
1. 等式等式是指两个代数式之间通过等号相连的关系。
等号表示等量关系，即两个代数式的值相等。
通过等式，我们可以解决方程和计算未知数的值。
例如，我们可以考虑以下等式：2x + 3 = 7在这个等式中，2x + 3和7是两个代数式，它们通过等号相连。
我们可以通过计算得出未知数x的值，从而满足等式。
2. 不等式不等式是指两个代数式之间通过不等号相连的关系。
不等号表示不等量关系，即两个代数式的值不相等。
通过不等式，我们可以比较和描述数的大小关系。
例如，我们可以考虑以下不等式：3x - 5 > 10在这个不等式中，3x - 5和10是两个代数式，它们通过不等号相连。
我们可以通过计算得出满足不等式的x的取值范围，从而得出数的大小关系。
三、数与代数式的计算在数学中，我们可以通过运算来计算数与代数式之间的关系。
基本的数学运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法和减法加法是将两个或多个数相加，得到它们的和；减法是将一个数减去另一个数，得到它们的差。
当我们遇到代数式时，我们可以将它们扩展为多项式，并进行相应的运算。
例如：3 + x + 2x - 5将x看作一个变量，我们可以将上述表达式化简为：3 + 3x - 5，最终得到6 + 3x的结果。
《数与代数》总复习PPT
8.整数大小的比较
比较两个多位数的大小,首先看它们 位数的多少,位数较多的数较大;
如果两个数的位数相同,那么首先看 最高位,最高位上的数较大的,这个数就 大;
如果最高位相同,则左边第二位上的 数较大的,这个数就大……
9、数的整除
1. 整除与除尽 2. 因数和倍数 3. 能被2.3.5整除的数的特征 4. 偶数和奇数 5. 质数和合数 6. 质因数和分解质因数 7. 最大公因数和最小公倍数
读数时,每级末尾的“0”都不读,其他数位有一个0 或连续几个0都只读一个0. 8000406000读作八: 十亿零四十万六千.
写数时,从高位起,一级一级地往下写,哪一位上一个单 位也没有,就在哪个数位上写0
5.最小的一位数
最小的一位数是1还是0？要回答这个问题须从“位数”和“数位”说 起。位数是指一个整数所占有数位的个数。把占有一个数位的数叫一位数， 占有两个数位的数叫两位数……例如，48076是五位数，因为它占有五个 数位，这里“0”占有数位。
1: 不是质数也不是合数
最小的质数是: 2 最小的合数是: 4
6. 质因数和分解质因数
质因数: 每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式, 这几个质数叫做这个合数的质因数.
分解质因数: 把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来. 叫做分解质因数.
分解质因数的方法:短除法
把30分解质因数
2 30 3 15 5
如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.
因数
一个数的因数的个数是有 限的,其中最小的因数是1, 最大的因数是它本身.
倍数
一个数的倍数的个数是无 限的,其中最小的倍数是它 本身,没有最大的倍数.
因数和 倍数是 相互依 存的
数学中的数与代数
数学中的数与代数在数学领域中，数与代数是两个重要的概念。
数是用来表示数量的抽象概念，而代数则是研究数及其运算规律的一个分支。
本文将探讨数与代数在数学中的重要性以及它们之间的关系。
一、数的概念与分类数是一种用来度量和计算数量的概念。
在数学中，根据数的性质和特点，可以将数分为自然数、整数、有理数和实数等。
其中自然数是最基本的一类数，用来表示物体的个数；整数除了包括自然数外，还包括负数，用来表示欠债或亏损的数量；有理数包括整数和分数，用来表示可以表示为两个整数的比值的数；实数是包括有理数和无理数在内的所有数，它们可以在数轴上表示。
二、代数的基本概念代数是数学中研究数与其运算规律的一个分支。
代数可以分为元素代数和符号代数两个部分。
元素代数是对数及其运算规律的研究，它着重于数的性质和运算规则。
符号代数则是使用符号代表数和未知数，并通过符号代数的运算来解决实际问题。
在代数中，我们可以通过使用字母来代替任意数，以便更好地研究数的规律和运算。
未知数通常表示为字母x、y或z，而常数则是已知的数。
代数运算包括加法、减法、乘法、除法等基本运算，以及指数、对数、函数等高级运算。
三、数与代数的关系数与代数是紧密相关的，它们相互依赖，相互补充。
代数通过引入符号和未知数的概念，将数的运算规律更加抽象化和普遍化。
通过使用代数方法，我们可以建立方程和不等式来解决实际问题，推导出数的性质和规律。
举个例子，假设我们要解决下面的实际问题：某商店的商品原价为x元，现在进行了打折，打折后的价格为原价的80%，问现在商品的价格是多少？使用代数的方法，我们可以假设原价为x元，然后建立方程：x × 80% = 现价，通过求解方程，可以得到现价。
这个例子展示了代数在解决实际问题中的应用。
另外，数学中的一些概念和定理也与数和代数密切相关。
例如，我们熟知的勾股定理可以通过代数的方法进行证明。
将直角三角形的两条直角边长度分别用a和b表示，斜边的长度用c表示，那么根据勾股定理，有a² + b² = c²。
小学数学数与代数知识点整理
小学数学数与代数知识点整理一、数的大小和比较1.数的比较：数的大小关系，如大于、小于、等于。
2.数的顺序：自然数、整数、有理数的大小顺序。
二、数的性质和运算1.数的分类：自然数、整数、有理数、无理数。
2.数的性质：奇数、偶数、质数、合数。
3.数的运算：加法、减法、乘法、除法的基本概念和运算规则。
4.数的整除性：倍数、约数、公因数、最大公约数等概念。
三、数的分数表示和运算1.分数的概念：分子、分母、真分数、假分数。
2.分数与整数的运算：加法、减法、乘法、除法。
3.分数相比较：大小比较和等值判断。
四、数的小数表示和运算1.小数的定义：小数点的概念。
2.小数的读法和写法：整数、小数部分的读法和写法。
3.小数与分数的相互转化。
4.小数运算：加法、减法、乘法、除法。
五、数的倍数和约数1.倍数的概念：一个数能整除另一个数。
2.约数的概念：一个数能被另一个数整除。
3.最大公约数：两个数公共的约数中最大的那个数。
4.最小公倍数：两个数公共的倍数中最小的那个数。
六、数的代数式和数的应用1.代数式的概念：数、字母和运算符号的组合。
2.代数式的计算：代数式的加减乘除运算。
3.代数式的应用：通过代数式解决实际问题。
七、数的方程式1.方程式的概念：等号连接的代数式。
2.一元一次方程式：解方程的方法和步骤。
3.方程式的应用：通过方程式解决实际问题。
八、数的图形的认识与应用1.数的图形的概念：点、线、面。
2.平凡形的认识：正方形、长方形、三角形、圆形、梯形等。
3.图形的属性：边、角、面积、周长等。
4.图形的运算：图形的加法和减法。
总结：小学数学数与代数知识点主要包括数的大小和比较、数的性质和运算、数的分数表示和运算、数的小数表示和运算、数的倍数和约数、数的代数式和数的应用、数的方程式以及数的图形的认识与应用等内容。
在学习过程中，要注重理论与实践相结合，通过解决实际问题来巩固所学知识。
同时，要培养学生的计算和推理能力，让他们能够自主思考和解决问题。
数与代数ppt课件
50
58 ×4049 =
42 × 53=
58
72 ×4959=
《三把国58演估义成》60，把49估成504，2 60×50=3000； 53
《上把下4五2估千成年4》0，把53估成507，2 40×50=2000； 59
把72估成70，把59估成60，70×60=4200；
在这些估计结果中，你认为哪一个最接近准确答案？为什么？
数量（本） 40 49 53 59
总价（元）
从图中你知道了哪些数学信息?你能列出求每种书总价
的算式吗?
书籍 《西游记》 《水浒记》 《三国演义》 《上下五千年》
单价（元） 50 58 42 72
数量（本） 40 49 53 59
总价（元）
50×40= 58 × 49 = 42 × 53= 72 × 59=
（1）口算。
50×40怎样进行口算？
先算0前面的数5×4=20，再看两个因数末尾一共有 几个0，就在积的末尾添几个0，即50×40=2000。
判断：两个因数末尾有几个0，积的末尾就一定有几个0。
这句话对吗? 这句话不对，比如20×50= 1000, 50×80=4000等。 这里还可以进一步思考，比如125×8= 1000， 25 × 4=100等一些特殊情况。
83 4 333
验算：
32
83
1 3 × 4 332+1=333
12 1
332
重点2：除数是一位数的除法、两位数乘两位数的笔算
2.笔算下列各题（带☆的要验算）。
33×13 = 429 27×36= 972
33 ×1 3
99 33
429
27
× 36 162 81 972
数与代数的整理笔记
数与代数的整理笔记数与代数（人教版）一、数的认识。
1. 整数。
- 正整数：像1、2、3……这样的数是正整数，是自然数的一部分，用来表示物体个数。
- 零：0表示一个物体也没有，它是最小的自然数。
- 负整数：像 - 1、-2、-3……这样的数是负整数。
整数包括正整数、0和负整数。
- 整数的读法和写法：读数时，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零；写数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
- 整数的大小比较：先看位数，位数多的数大；如果位数相同，从最高位比起，相同数位上的数大的那个数就大。
2. 小数。
- 意义：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
- 小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
- 小数点位置移动引起小数大小变化规律：小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大到原数的10倍、100倍、1000倍……；小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小到原数的(1)/(10)、(1)/(100)、(1)/(1000)……- 小数的读法和写法：读小数时，整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每一位上的数字；写小数时，先写整数部分，再写小数点，最后写小数部分。
- 小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的数大；如果整数部分相同，再比较小数部分，从十分位开始依次比较。
3. 分数。
- 意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
- 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。
- 真分数和假分数：分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数，假分数大于或等于1。
- 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
数与代数的基本概念
数与代数的基本概念
数是用来衡量、计数和比较的基本概念，它可以用来表示数量、大小、长度、重量、时间等的概念。
数的种类包括自然数、整数、有理数、无理数和复数等。
数的基本运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
代数是数学中研究未知量与运算符号关系的一个分支，它通过符号代替具体数值进行研究。
代数中的未知量通常用字母表示，代数中的基本运算包括一元一次方程的解法、多项式运算等。
主要的数学概念如下：
1.数：用于衡量、计数和比较的基本概念；
2.自然数：1、2、3、4、5...等正整数的集合；
3.整数：包括自然数，0和负整数的集合；
4.有理数：可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数；
5.无理数：不能表示为有理数的数；
6.复数：由实部和虚部组成的数，形如a + bi，其中a、b为实数，i为虚数单位，i的平方等于-1；
7.未知量：用字母或符号代替数值，未知量用于表示某个数的大小或者取值；
8.运算符号：数学运算中使用的符号，例如：+、-、×、÷、= 等；
9.一元一次方程：形如ax + b = c的一元一次方程，其中a、b、c是已知数，x是未知量。
总之，数与代数是数学中的两个基本概念，数用来表示数量和大小，代数用符号代替具体数值进行研究。
这两个概念都是计算和描述数学模型的基石，是数学研
究、应用和科学研究的重要基础。
探索数与代数的关系与应用
探索数与代数的关系与应用数与代数是数学领域中两个重要的概念，它们之间有着密切的联系与应用。
本文将探索数与代数之间的关系以及它们在实际生活中的应用。
一、数与代数的基本概念数是数学的基础，它是描述事物数量的概念。
我们常见的自然数、整数、有理数和实数都属于数的范畴。
数的运算包括加法、减法、乘法和除法，通过运算可以比较和计算数的大小以及进行简单的数学推理。
代数是数学的一个分支，研究数与符号关系的数学学科。
代数通过字母和符号的运算来表示数或数之间的关系。
例如，代数表达式可以用来表示变量之间的关系，方程则可以用来解决未知数的问题。
代数在解决实际问题中起着重要的作用。
二、数与代数的关系数和代数有着密不可分的联系。
代数运算是在数的基础上发展起来的，它扩展了数的概念和运算规则，使得数的应用更加广泛和灵活。
代数可以用来描述数的属性和特征。
例如，我们可以用代数表达式来表示一个数的倍数或平方。
通过代数运算，我们可以推导出数的性质和规律，比如奇偶性、素数性质等。
另外，代数可以用来解决一些复杂的数学问题。
通过引入未知数和方程，我们可以建立数学模型来解决实际问题。
例如，在物理学中，我们可以通过代数方程建立运动物体的模型，预测物体的位置和速度。
三、数与代数的应用数与代数在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 金融与经济学：数与代数在金融和经济学中有着广泛的应用。
例如，在投资中，我们可以使用复利公式来计算未来的资金增长。
在经济学中，数与代数可以用来建立供需模型和经济指标的计算。
2. 自然科学：数与代数在物理学、化学等自然科学中扮演着重要的角色。
物理学中使用代数方程来描述物体的运动规律，化学中使用化学方程来表示化学反应。
3. 工程学：工程学中的各个领域都离不开数与代数的应用。
例如，建筑工程中使用代数来计算结构的强度和稳定性，电气工程中使用代数方程解决电路问题。
4. 统计学：统计学是数与代数的重要应用领域之一。
数与代数核心素养表现解读
数与代数核心素养表现解读引言数与代数是数学学科的两个重要内容领域，也是数学核心素养的重要组成部分。
在数学教育中，培养学生的数与代数核心素养是教学的重要目标之一。
本文将通过解读数与代数核心素养的表现，探讨数与代数核心素养的培养和提高方法。
一、数与代数核心素养的含义数与代数核心素养是指学生具备数字思维能力、数的理解和运用能力，能熟练进行数的计算、估算和运算符号的运用能力，能灵活运用各类数，并能应用数学方法解决实际问题的能力。
同时，代数的思维能力、代数表达和变量理解和运用的能力，以及代数的计算和证明能力也是数与代数核心素养的重要组成部分。
二、数与代数核心素养的表现1. 数的理解和运用能力数的理解和运用能力是数与代数核心素养的基础，包括以下表现： - 熟练掌握数的概念，能正确理解数的大小、数量和位置关系； - 能将实际问题转化为数学问题，并能用数学语言描述和解决问题； - 能使用数学运算符号进行加减乘除等运算，且运算结果准确无误； - 能运用数学工具和技巧快速进行数的估算和计算。
2. 代数的理解和运用能力代数的理解和运用能力是数与代数核心素养的重要组成部分，包括以下表现：- 能正确理解代数的概念和基本符号，如变量、常数、系数等； - 能熟练进行代数表达和代数计算，能解方程、化简代数式等； - 能抽象和推理，运用代数方法解决实际问题； - 能理解和运用代数思维，如归纳、演绎、逻辑推理等。
3. 数与代数的综合应用能力数与代数的综合应用能力是数与代数核心素养的高级阶段，包括以下表现： - 能将数与代数知识灵活运用于科学、工程、经济等实际领域； - 能分析和解决复杂的实际问题，用数学方法得出准确的答案； - 能进行数学建模和推理，进行数据分析和预测等； - 能应用数学工具和技术进行数据处理和统计。
三、数与代数核心素养的培养方法1. 注重基础知识的扎实学习要培养学生的数与代数核心素养，首先要注重学生对基础知识的扎实学习。
第01讲 数与代数
第一章数与式第1讲实数考纲要求命题趋势1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小．实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的解答题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力．一、实数的分类1、按实数的定义分类：实数有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：二、实数的有关概念及性质1．数轴（1）规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴；（2）实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数（1）实数a 的相反数是-a ，零的相反数是零；（2）a 与b 互为相反数⇔a ＋b ＝0．3．倒数（1）实数a （a≠0）的倒数是1/a ；ìíîìíî正数正无理数零 负有理数负数⎪⎪⎪⎪î⎪⎪⎪⎪íìîíì⎪⎪⎪î⎪⎪⎪íìîíì⎪î⎪íì正无理数无理数负分数零正整数整数有理数（2）a与b互为倒数⇔ab=1．4．绝对值（1）数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|．（2）|a|a>0 ，a＝0 ，a<0 .5．平方根、算术平方根、立方根（1）平方根①定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根），数a的平方根记作±a．②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．（2）算术平方根①如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作a．零的算术平方根是零，即0＝0．②算术平方根都是非负数，即a≥0（a≥0）．③（a）2＝a（a≥0），a2＝|a|a≥0 ，a a<0 .（3）立方根①定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根（也叫三次方根），数a 的立方根记作3a．②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．6．科学记数法、近似数、有效数字（1）科学记数法把一个数N表示成a与10的幂相乘（1≤a＜10，n是整数）的形式叫做科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）．（2）近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、非负数的性质1．常见的三种非负数|a|≥0，a2≥0，a≥0（a≥0）．2．非负数的性质（1）非负数的最小值是零；（2）任意几个非负数的和仍为非负数；（3）几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0．四、实数的运算1．运算律（1）加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ．（2）加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．（3）乘法交换律：ab ＝ba ．（4）乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）．（5）乘法分配律：a （b ＋c ）＝ab ＋ac ．2．运算顺序（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．3．零指数幂和负整数指数幂（1）零指数幂的意义为：a 0＝1（a≠0）；（2）负整数指数幂的意义为：p a -＝pa 1（a≠0，p 为正整数）．五、实数的大小比较1．实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．2．作差比较法（1）a －b ＞0⇔a ＞b ；（2）a －b ＝0⇔a ＝b ；（3）a －b ＜0⇔a ＜b ．3．倒数比较法若1a ＞1b ，a ＞0，b ＞0，则a ＜b ．4．平方法因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．2．﹣2的绝对值是（）A ．2B ．﹣2C ．D ．A ．-1B ．1C ．D ．74．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0．000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0．000037毫克可用科学记数法表示为（）A ．3．7×10-5克B ．3．7×10-6克C ．37×10-7克D ．3．7×10-8克5．已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（）A ．3﹣aB ．﹣a ﹣5C ．3a +3D ．3a ﹣56．计算：．考点一、实数的分类A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个方法总结一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：（1）含有π的式子；（2）根号内含开方开不尽的式子；（3）无限且不循环的小数；（4）某些三角函数式．举一反三在下列实数中，无理数是（）A ．0B ．14C D ．6考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】1．－5的绝对值是2．-6的倒数是（）A ．16B ．-16C ．6D ．-63．如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ，下列结论中正确的是（）A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜bD ．a+b ＜0方法总结1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数（即非负数）；倒数是它本身的数是±1．；-3的倒数是2．-2024的绝对值是（）A ．-2024B ．2024C ．20241D ．20241-3．如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别是a 、b 、c ，其中AB ＝BC ，如果|a |＞|c |＞|b |，那么该数轴的原点O 的位置应该在（）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点B 与点C 之间或点C 的右边考点三、平方根、算术平方根与立方根【例3】1．实数0．5的算术平方根等于（）A ．2B C ．22D ．12．方法总结1．对于算术平方根，要注意：（1）一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；（2）0的算术平方根是0；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a≥0．2．（3a ）3＝a ，3a 3＝a ．．的平方根是．2．若a 是（﹣3）2的平方根，则3a 等于（）A ．﹣3B ．33C ．33或33-D ．3或﹣3考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】2023年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标，其中在促进义务教育均衡方面，安排农村义务教育经费保障机制改革资金达865．4亿元，数据“865．4亿元”用科学记数法可表示为（）元．A ．865×108B ．8．65×109C ．8．65×1010D ．0．865×1011方法总结1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数（即a ）的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．举一反三2023年，我国上海和安徽首先发现“H8N9”禽流感，H8N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0．00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A ．1．2×10-9米B ．1．2×10-8米C ．12×10-8米D ．1．2×10-7米考点五、非负数性质的应用A ．0B ．1C ．-1D ．±1方法总结常见的非负数的形式有三种：|a|，a （a≥0），a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0．举一反三设a 、b 、c 都是实数，且满足2)2(a -+c b a ++2+|8|+c =0，ax 2+bx+c=0，求代数式x 2+x+1的值．考点六、实数的运算点拨：（1）根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a －p ＝1a p （a≠0）．（2）a 0＝1（a≠0）．方法总结提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．举一反三120100(60)(1)|2(301)cos tan -¸-+--- 考点七、实数的大小比较A ．1与2之间B ．2与3之间C ．3与4之间D ．4与5之间方法总结实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．举一反三已知26,622,12-=-=-=c b a 那么a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b一、选择题1．据统计，某市去年接待国际旅游入境者共800160人次，800160用科学记数法表示是（）A ．8.0016×104B ．8.0016×105C ．8.0016×106D ．8.0016×1072．比较三个数10,,3---p 的大小，下列结论正确的是（）A ．103->->-pB ．310->->-p C ．p->->-310D ．103->->-p3．16的值等于（）A ．4B ．4±C ．2D ．2±4）A ．4B ．2C ．4±D ．2±5．若代数式M ＝3x 2+8，N ＝2x 2+4x ，则M 与N 的大小关系是（）A ．M ≥N B ．M ≤NC ．M ＞ND ．M ＜N二、填空题1．据统计，杭州市注册志愿者人数已达109万人，将109万人用科学记数法表示应为．2．若a 2﹣3a=4，则6a ﹣2a 2+8=．3．(1012p -æö-+-+ç÷èø4．计算221--=5．古时候，猎人通过结绳的方法来统计猎物的个数，如图，一位猎人在排列的绳子上从右到左依次打结，满八进一，用来记录一段时间内猎物的数量，由图可知，猎物的数量是．三、解答题1．一个数的算术平方根为2M﹣6，平方根为±（M﹣2），求这个数．2．计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式=6+6=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．3．（1）计算：3﹣[6﹣（2﹣3）2]（2）因式分解：4m2﹣16n2．1．下列各数中，最小的数是（）A．0B．1C．－1D．－22．4的算术平方根是（）±A．2B．±2C．2D．23．已知一个数的两个平方根分别是a+3与2a﹣15，这个数的值为（）A．4B．±7C．﹣7D．494．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-是17的平方根．其中正确的有（）17A．0个B．1个C．2个D．3个5．我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i=i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．i 6．若﹣2x m ﹣n y 2与3x 4y 2m+n 是同类项，则m ﹣3n 的立方根是．7．若两个连续整数x 、y 满足x ＜+1＜y ，则x+y 的值是．8．阅读下列材料：设 333.03.0==·x ①，则10x=3．333…②，则由②﹣①得：9x=3，即31=x ．所以31333.03.0==·．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．·7.0=，·3.1=．9．规定：log a b （a ＞0，a≠1，b ＞0）表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：n na a=log ,NnMnMNlog log log =（a ＞0，a≠1，N ＞0，N≠1，M ＞0）．例如：log 223=3，21051052log log log =，则log 1001000=．10．为了表述方便，本题取0．ba 表示小数．其中a 、b 只在1、2、3、…、9这9个数字中选取，例如当a 取2，b 取3时，0．ba 就表示0．32．我们知道无限循环小数可以化为分数，一般地，9.0aa =·，那么=·23.0，=·a b .0．11．已知a 、b 分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a 、b 的值；（2）求3a ﹣b 2的值．12．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2=﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（5+i）×（3﹣4i）=19﹣17i．（1）填空：i3=，i4=．（2）计算：（3+i）2；（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．第2讲整式与因式分解考纲要求命题趋势1．能求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法、十字相乘进行因式分解．整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题．一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：n m a n a m a +=，mn a n m a =)(，m b m a m ab =)(，n m a na ma -=（m ，n是正整数）．三、同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：（1）代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；（2）计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减（1）整式的加减实质就是合并同类项；（2）整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除（1）整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．③多项式与多项式相乘：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb．（2）整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：（a＋b）÷m＝a÷m＋b÷m．3．乘法公式（1）平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2；（2）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2．六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法（1）提公因式法公因式的确定：第一，确定系数（取各项整数系数的最大公约数）；第二，确定字母或因式底数（取各项的相同字母）；第三，确定字母或因式的指数（取各相同字母的最低次幂）．（2）运用公式法①运用平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）．②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．（3）十字相乘A．a=2，b=3B．a=1，b=2C．a=1，b=3D．a=2，b=22．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．﹣2（a﹣b）=﹣2a﹣2b C．2x2+3x2=5x4D．（﹣）﹣2=43．若（a m b n）3=a9b15，则m、n的值分别为（）A．9；5B．3；5C．5；3D．6；124．下列各式能用平方差公式分解因式的有（）①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列从左到右边的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）26．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（）A．a8+2a4b4+b8B．a8﹣2a4b4+b8C．a8+b8D．a8﹣b87．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）8．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．考点一、整数指数幂的运算【例1】1．若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．2．已知a3m＝3，b3n＝2．求（a2m）3+（b n）3﹣a2m b n•a4m b2n的值．方法总结幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．举一反三1．已知：x3m＝4，y3n＝5，求（x2m）3+（y n）6﹣x2m•y n•x4m•y5n的值；2．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为．考点二、整式的运算【例2】1．若a ﹣b=1，则代数式a 2﹣b 2﹣2b 的值为．2．7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（）A ．a=52b B ．a=3b C ．a=72b D ．a=4b方法总结对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用举一反三1．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b=；a 2+b 2=．2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．（a+2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b 2考点三、乘法公式【例3】1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A ．（x+a ）（x ﹣a ）B ．（a+b ）（﹣a ﹣b ）C ．（﹣x ﹣b ）（x ﹣b ）D ．（b+m ）（m ﹣b ）2．若m 为正实数，且31=-m m ，则=-221mm ．方法总结本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m 的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤．举一反三1．填空：（a ﹣b ）（a +b ）＝a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b +ab 2+b 3）＝a 4﹣b 4；……（1）（a ﹣b ）（a 2022+a 2021b +…+ab 2021+b 2022）＝a 2023﹣b 2023；（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b +⋯+ab n ﹣2+b n ﹣1）＝a n ﹣b n ；（其中n 为正整数，且n ≥2）（3）利用（2）中的猜想的结论计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1；2．如果41224|11|-++-=--++b a c b a ，那么a+2b ﹣3c=．3．已知（2008﹣a ）2+（2007﹣a ）2=1，则（2008﹣a ）•（2007﹣a ）=．考点四、因式分解【例4】分解因式：（1）20a 3x ﹣45ay 2x （2）1﹣9x 2（3）4x 2﹣12x+9（4）4x 2y 2﹣4xy+1（5）p 2﹣5p ﹣36方法总结因式分解的一般步骤：（1）“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；（2）“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；（3）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．举一反三分解因式（1）y 2﹣7y+12（2）3﹣6x+3x 2（3）﹣a+2a 2﹣a 3（4）m 3﹣m 2﹣20m一、选择题1．下列运算正确的是（）A ．2x 2+x ＝3x 3B ．2x 2﹣7x 2＝﹣5C ．﹣8x 3•4x 2＝﹣32x 6D ．＝x 22．下列计算正确的是（）A ．523mm m =+B ．623m m m =×C ．1)1)(1(2-=+-m m m D ．12)1(24-=--m m 3．在下列各式的变形中，正确的是（）A ．()()22x y y x x y---+=--B ．()413222--=--x x x C ．111x x-=-D ．()xy y x -=-1-4．将多项式4x 2+1再加上一项，使它能分解因式成（a +b ）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）A ．2xB ．﹣4xC ．4x 4D ．4x5．下列运算正确的是（）A ．（a 4）3＝a 7B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（2ab ）3＝6a 3b 3D ．﹣a 5•a 5＝﹣a 106．因式分解：a 2﹣4＝（）A ．（a ﹣2）（a +2）B ．（2﹣a ）（2÷a ）C ．（a ﹣2）2D ．（a ﹣2）（﹣a +2）7．下列运算正确的是（）A ．ba b a 33)(=B ．3a 3•2a 2=6a 6C ．4a 6÷2a 2=2a 3D ．（3a 2）3=27a 68．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c ）=a@b+a@c③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大．其中正确的是（）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③9．（1+y ）（1﹣y ）＝（）A ．1+y 2B ．﹣1﹣y 2C ．1﹣y 2D ．﹣1+y 2二、填空题1．若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）．2．在实数范围内分解因式：4424+-x x =．3．分解因式：2a 2﹣4a+2=．4．分解因式：a 3b ﹣2a 2b+ab=．5．因式分解：（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）＝．6．在化简求（a +3b ）2+（2a +3b ）（2a ﹣3b ）+a （5a ﹣6b ）的值时，亮亮把a 的值看错后代入得结果为10，而小莉代入正确的a 的值得到正确的结果也是10，经探究后，发现所求代数式的值与b 无关，则他们俩代入的a 的值的和为．7．已知a ＝，则（4a +b ）2﹣（4a ﹣b ）2为．8．因式分解：a 3﹣4a ＝．三、解答题1．先化简，再求值：2)2()1)(1(++-+a a a ，其中41=a ．2．设m ＝2a ﹣1，n ＝﹣2a ﹣1，若41=a ，求mn +m +n +1的值．3．先化简，再求值：（2﹣a ）（3+a ）+（a ﹣5）2，其中a ＝4．1．要使二次三项式x 2﹣2x+m 在整数范围内能进行因式分解，那么整数m 的值可取（）A ．1B ．﹣3C ．1或﹣3D ．有无数个2．若多项式x 4+mx 3+nx ﹣16含有因式（x ﹣2）和（x ﹣1），则mn 的值是（）A ．100B ．0C ．﹣100D ．503．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1．1111111×1016B．1．1111111×1027C．1．111111×1056D．1．1111111×10174．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．4yz﹣2y2+z＝2y（2z﹣y）+zB．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2C．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2D．x3﹣3x2+x＝x（x2﹣3x）5．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．0B．1C．2D．37．如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．a2+4ab+4b2B．42+8ab+4b2C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b28．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128B．256C．512D．10249．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=，n=．10．因式分解：x2﹣y2+6y﹣9=．11．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．12．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：，，．13．若n满足（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，则（n﹣2019）（2020﹣n）＝．14．如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．15．因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn；（2）m2（m+1）﹣（m+1）；（3）4x2y+12xy+9y；（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．16．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．第3讲分式考纲要求命题趋势1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题．命题反映在分式中主要涉及分式的概念、性质、运算法则及其应用，题型表现为填空题、选择题、化简求值题等形式．一、分式1．分式的概念形如AB （A ，B 是整式，且B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．2．与分式有关的“三个条件”（1）分式AB 无意义的条件是B ＝0；（2）分式AB 有意义的条件是B≠0；（3）分式AB 值为零的条件是A ＝0且B≠0．二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个相同的整式，分式的值不变．用式子表示是：A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷M B÷M （其中M 是不等于0的整式）．三、分式的约分与通分1．约分根据分式的基本性质将分子、分母中的相同的整式约去，叫做分式的约分．2．通分根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为分母相同的分式，这种变形叫分式的通分．四、分式的运算A．2个B．3个C．4个D．5个2．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变3．先化简再求值：，其中．4．已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．5．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式中，是和谐分式（填写序号即可）；（2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值；（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：原式＝＝＝小强：原式＝＝＝．显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简．考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件为零且分母不为零．举一反三要使分式有意义，则x 的取值范围为．考点二、分式的基本性质【例2】若分式的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（）A ．不变B ．缩小到原分式值的C ．缩小到原分式值的D ．缩小到原分式值的方法总结运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：A B ＝A·m B·m ，A B ＝A÷mB÷m （其中m ≠0）和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．举一反三已知﹣=3，则分式的值为．考点三、分式的约分与通分【例3】设=2，则=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣方法总结1．分式约分的步骤：（1）找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；（2）约去分子与分母的公因式．2．通分的关键是确定最简公分母．求最简公分母的方法是：（1）将各个分母分解因式；（2）找各分母系数的最小公倍数；（3）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足（2）（3）的因式之积即为各分式的最简公分母．举一反三先化简，再求值：（+2﹣x ）÷，其中x 满足x 2﹣4x+3=0．考点四、分式的运算【例4】计算：．方法总结在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．举一反三先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．一、选择题1．若241()142w a a+=-- ，则（）A ．2(2)a a +¹-B ．2(2)a a -+¹C ．2(2)a a -¹D ．2(2)a a --¹-2．将分式方程13)1(251+=++-x x x x 去分母，整理后得（）A ．018=+xB ．038=-xC ．0272=+-x x D ．0272=--x x 3．化简的结果是（）A ．x ﹣1B ．C ．x+1D ．4．下列变形正确的是（）A ．＝B ．C ．D ．二、填空题1．函数y ＝的自变量x 的取值范围．2．当2x =时，分式x mx m -+没有意义，则m =．3．当3=x 时，分式bx ax +-没有意义，则=b ．三、解答题1．已知îíì=+=+65316156y x y x ，求代数式222()x x xy x y x y x y-¸--++1的值．2．（1）将下列各式进行分解因式：①142++x x ；②22818b a -（2）先化简，再求值：（1－1212+-x x ）÷（122--x x －2），其中34=x ；完成对分式的化简求值后，填空：要使该分式有意义，x 的取值应满足．3．计算：aba bb a ---21，并求当3=a ，b=1时原式的值．4．先化简代数式（1+）÷，然后在0≤a ＜4范围选取一个适当的整数作为a 的值代入求值．5．计算﹣x+2，乐乐同学的计算过程如下：﹣x+2＝﹣＝﹣＝﹣请判断计算过程是否正确，若不正确，请写出正确的计算过程．6．化简：﹣﹣1圆圆的解答如下：﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．1．若分式不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1C．m≤1D．m＜12．若ab=1，m=+，则m2023=（）A．2013B．0C．1D．23．已知=﹣，其中A、B为常数，则4A﹣B的值为（）A．7B．9C．13D．54．若的值为，则的值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．5．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且，则△ABC一定是（）A．等边三角形B．腰长为a的等腰三角形C．底边长为a的等腰三角形D．等腰直角三角形6．若恒成立，则A+B＝．7．若，则的值为．9．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是．10．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为．11．先化简分式（﹣）÷，再从不等式组的解集中取一个合适的值代入，求原分式的值．12．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．。
数与代数是什么意思
数与代数是什么意思
数是一个用作计数、标记或用作量度的抽象概念，是比较同质或同属性事物的等级的简单符号记录形式（或称度量）。
代数是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
一、数与代数的区别：
1、范围不同：数的范围更大包括代数。
数有代数和几何组成。
2、表示方法不同：数是指具体的数字，直接用数字表示，比如1，2，3.而代数就是用字母来表示数字比如a，b，c分别代表1，2，3.
3、结构不同：常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。
数的算术运算一般是加减乘除。
4、分类不同
数分实数和虚数，虚数表示为i^2=-1.实数又分有理数和无理数，无理数为无限不循环小数，如√2，π。
无理数中还有一类数，叫超越数。
超越数是无法用根号表示的数，如著名的常数π与e。
有理数则是可以表现为分数的数。
而有理数还分正和负。
代数：
三种数——有理数、无理数、复数。
三种式——整式、分式、根式（统称代数式）。
三类方程——整式方程、分式方程、无理方程（统称代数方程）。
二、数与代数的联系：数由代数和几何组成。
小学的数与代数的概念
小学的数与代数的概念小学数学的数与代数的概念数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科。
在小学阶段，数学的学习主要包括数与代数的概念。
数与代数是数学的基础，也是后续学习其他数学分支的基础。
下面将详细介绍小学数学中的数与代数的概念。
一、数的概念数是用来表示事物的数量的概念。
在小学数学中，数的概念主要包括自然数、整数、分数和小数。
1. 自然数：自然数是从1开始的正整数，用N表示。
自然数是最基本的数概念，用来表示事物的个数。
例如，1个苹果、2个橙子等。
2. 整数：整数是包括正整数、负整数和0的数，用Z表示。
整数可以表示事物的增加和减少。
例如，5表示温度上升5度，-3表示负债3元。
3. 分数：分数是整数和整数的比值，用Q表示。
分数可以表示事物的部分和整体之间的关系。
例如，1/2表示一半，3/4表示四分之三。
4. 小数：小数是有限或无限循环的十进制数，用R表示。
小数可以表示事物的精确度。
例如，0.5表示一半，0.333...表示三分之一。
二、代数的概念代数是数学中研究数与数之间的关系和运算规律的分支。
在小学数学中，代数的概念主要包括代数式、方程和函数。
1. 代数式：代数式是由数、字母和运算符号组成的表达式，用字母表示未知数。
代数式可以表示数与数之间的关系。
例如，2x+3y表示两个数的和。
2. 方程：方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数。
方程可以表示数与数之间的平衡关系。
例如，2x+3=7表示未知数x的值是2。
3. 函数：函数是一种特殊的关系，其中每个输入值对应一个输出值。
函数可以表示数与数之间的映射关系。
例如，y=2x表示输入x的值乘以2得到输出y的值。
三、数与代数的关系数与代数是密切相关的，数是代数的基础，代数是数的运算和关系的扩展。
数与代数的关系主要体现在以下几个方面：1. 运算：代数运算是对数的运算规律的总结和推广。
例如，加法和乘法是数的运算，而代数中的加法和乘法可以对任意数进行运算。
二年级数与代数的知识点二年级数学知识点-数与代数
一、数的概念
1、数的定义：数是用来表示数量的符号。
根据状况可以分为实数、
虚数等类别。
2、数的概念：数字是用来表示数量的符号，它有一定的大小和数量。
3、常用的数：从0到10的整数、负数、小数和分数等。
二、数的运算
1、加法：加法是把两个数字相加，获得一个新的结果。
2、减法：减法是把一个数减去另一个数，以获得新的结果。
3、乘法：乘法是把一个数乘以另一个数，以获得新的结果。
4、除法：除法是把一个数除以另一个数，以获得新的结果。
三、代数概念
1、代数的定义：代数是一门计算和研究因变量及其关系的学科。
代
数与数学有很多相似之处，但是两者之间也有许多不同之处。
2、代数的基本概念：代数涉及的基本概念包括常数、变量、系数、项、方程、式等。
3、代数的运算：代数运算主要包括加减、乘除和求幂等，其中求幂
是计算平方根或次方的运算。
四、代数应用
1、求解一元二次方程：一元二次方程是一个有一个未知数的二次方程，它的解可以用根式法、秦九韶算法或费马小定理来求解。
2、二元一次方程解法：二元一次方程是一个由两个未知数组成的一次方程，它主要用逐步法、消元法、等号法来求解。
3、求解抛物线方程：抛物线方程是一个由二次项组成的方程。
数与代数主要知识点
数与代数主要知识点
数与代数是数学的主要分支之一，主要涉及数的性质和数字运算，以及基本的代数运算和代数方程。
其中的主要知识点包括：
1. 数的性质：整数、分数、小数、正数、负数、实数等不同类型的数，以及它们的大小比较和排列顺序。
2. 数的运算：加法、减法、乘法、除法等基本运算，以及它们的运算
规则和性质，如交换律、结合律、分配律等。
3. 数的方幂与开平方：指数、幂运算、平方、立方等概念，以及对数
和指数函数。
4. 代数表达式和代数方程：变量、常数以及它们之间的运算关系，如
代数式、代数方程、等式、不等式等。
5. 代数运算：代数式的合并、展开和化简，多项式的加减乘除等基本
运算。
6. 一元一次方程和一元一次不等式：一次方程的解的求法，以及方程
和不等式在图像上的表示和解的范围。
7. 二元一次方程组和二元一次不等式组：两个未知数的方程组和不等
式组的解的求法，以及它们在平面上的图像表示和解的范围。
8. 分式：分子、分母以及它们之间的运算关系，如分式的化简、约分、通分等。
9. 根式：根号、开平方、平方根等概念，以及根式的化简和求值。
10. 因式分解和整式运算：多项式的因式分解和合并，以及多项式的
乘法和除法运算。
这些是数与代数的主要知识点，通过学习它们，可以帮助我们更
好地理解数的性质和运算规律，以及解决各种数学问题。
《数与代数》人教版小学数学五年级下册PPT课件
巩固练习
4
1
4.（1）把4m长的绳子平均剪成5段，每段长 5 m，每段绳子是全长的 5。
巩固练习
（2）1985年第二次大熊猫调查结果显示，全国共有1114只野生大熊猫。
2000年开始的第三次大熊猫调查，最终确认我国共有1596只野生大熊猫，其
中1206只生活中四川。第二次调查到的野生大熊猫的数量是第三次调查数量 557
巩固练习
1. 下面的说法正确吗？正确的画“√”，错误的画“×”。（选自教材P118
T2） （1）所有的偶数都是合数。
（ ）×
（2）两个不同质数的公因数只有1。
（ ）√
（3）一个数的因数一定比它的倍数小。
（ ）×
（4）两个数的乘积一定是它们的公倍数。
（ √）
（5）最小的质数是1。
（ ）×
巩固练习
2. 找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数，以其中一组为例，说一说你是 怎样找的。
的 798，第三次调查中生活在四川的野生大熊猫占所有野生大熊猫数量的 。 201 266
巩固练习
5. 计算下面各题。
37 10 + 10
=1
1 6
+
1 5
+
1 2
13 = 15
7-
5 3
=
16 3
5 6
-
1 6
பைடு நூலகம்
=
2 3
4 7
-
1 3
5 = 21
7 8
-
3 4
=
1 8
2 3
7 +9
13 =9
6 -（
考点回顾
你能从基本概念出发，把有关联的知识整理成一个图吗？
数与代数的基本概念
数与代数的基本概念数学是一门研究数与形式结构的学科，而数与代数作为数学的基本概念，是我们学习和应用数学的基础。
本文将为您介绍数与代数的基本概念，并探讨它们在数学中的重要性。
一、数的基本概念数是数学中最基本的概念之一，它用于表示和计量事物的数量。
数的基本概念包括自然数、整数、有理数和实数。
1. 自然数自然数是最早出现的一类数，用于计算和计量天然事物的数量。
自然数包括1、2、3、4、5等等，用N表示。
自然数按照从小到大的顺序排列，可以进行加法、减法和乘法运算。
2. 整数整数是自然数和负整数组成的集合，用Z表示。
整数包括自然数、0和负整数，例如-3、-2、-1、0、1、2、3等。
整数可以进行加法、减法和乘法运算，但是在除法运算时要注意0不能作为除数。
3. 有理数有理数是整数和分数的集合，用Q表示。
有理数包括所有可以表示为a/b形式的数，其中a是整数，而b是非零整数。
有理数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
4. 实数实数是包括有理数和无理数在内的数的集合，用R表示。
实数包括所有可以用小数表示的数，例如π和e等无理数。
实数可以进行所有基本的运算，且实数的运算结果仍然是实数。
二、代数的基本概念代数是一门研究数与符号关系和运算规律的学科，它将数的运算抽象化，通过符号的代表性进行计算和推理。
代数的基本概念包括变量、常量、表达式、方程和不等式等。
1. 变量变量是代数中的一个重要概念，它用字母或符号代表一个未知数或可以变化的数。
变量通常用x、y、z等字母表示。
通过引入变量，我们可以建立方程和不等式来表达数与符号之间的关系。
2. 常量常量是代数中的一个概念，它表示一个固定、不变的数值。
常量通常用字母或数字表示。
在代数中，常量可以直接参与运算，例如在表达式2x + 3中，2和3就是常量。
3. 表达式表达式是由常量、变量、运算符和括号组成的数学式子。
代数中的表达式可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，表达式2x + 3y- 5表示了两个变量x和y的线性组合。
数与代数的教学建议
数与代数的教学建议数与代数是数学中的两个重要分支，对于学生来说，掌握好数与代数的基本概念和解题方法，不仅可以提高数学思维能力，还能为进一步学习高级数学打下坚实的基础。
下面是关于数与代数的教学建议：一、建立良好的数学基础首先，数与代数的学习是基于良好的数学基础之上的。
教师在进行数与代数的教学之前，应先进行一次全面的复习，回顾和巩固学生已学过的基础知识，包括整数、分数、小数、百分数、比例等。
只有学生对这些基础知识有所了解并掌握得比较牢固，才能更好地理解和应用数与代数的内容。
二、培养数学思维能力数与代数的学习过程中，重点是培养学生的数学思维能力。
教师可以采用一些启发式的教学方法，鼓励学生自主探究和解决问题，引导学生发现数学问题背后的规律与规定。
例如，在解决实际问题时，可以鼓励学生利用数学符号和公式进行建模和计算，培养学生的逻辑推理能力和数学抽象能力。
三、注重概念的理解与应用数与代数的学习重点是培养学生对基本概念的理解与应用能力。
教师在授课过程中，应注重概念的引入和解释，让学生明确每个概念的含义和用途。
可以通过具体的例子和实际问题引导学生进行概念的理解和应用，提高学生的实际应用能力。
同时，要让学生通过举一反三的方式，将概念扩展到更多的问题和领域中，培养学生的数学推理和思考能力。
四、解题方法的讲解和练习数与代数的学习离不开解题方法的讲解和练习。
教师在进行数与代数的教学时，要向学生详细讲解各种解题方法，包括列方程、整理方程、解方程等。
通过具体的例子和实际问题，引导学生掌握这些解题方法的应用技巧。
同时，要进行大量的练习，让学生熟练掌握各种解题方法，增强解题的能力和自信心。
五、多样化的教学活动和教具的使用数与代数的学习可以通过多样化的教学活动和教具的使用来增加趣味性和实用性。
教师可以设计一些小组讨论、游戏、实验等教学活动，让学生在合作中学习，提高学生的兴趣和参与度。
同时，可以使用一些教具和技术手段，如计算器、幻灯片、数学软件等，增强教学效果，提高学生的学习效果和学习兴趣。
“数与代数”的地位和作用
小学数学课程与教学
5
三、有助于激发学生兴趣，培养学生的创新意识
在“数与代数”的教学中，通过创设丰富多 彩的问题情境，引导学生逐步建立和扩展数的概 念，进行数的运算，推导公式，求解方程，以及 探索现实世界中的数量关系及其变化规律等，有 助于激发学生对数学学习的兴趣，培养学生初步 的创新意识。
6
四、有助于培养学生形成辩证唯物主义观点
4
二、能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系
“数与代数”是从现实中抽象出来的，本身具有抽象性。它是与一定的生产和生活 紧密联系的。因此，在“数与代数”的教学中，要联系生活，认识到“数与代数”是 刻画现实世界数量关系的重要语言，是解决实际问题和进行交流的重要工具，初步学 会运用数学的思维方式观察和分析，并解决日常生活和其他学科学习中的问题。把生 活经验数学化，数学问题生活化，能使学生体会到数学就在身边，从而感受到数学的 价值，增强应用意识，培养初步的应用能力。
小学数学课程与教学
2
特别提示
“数与代数”是小学数学课程的重要内容，在小学数学学习中占比是最大的。更重要的 是，它是整个数学学习和其他学科学习的基础，其基本内容是学生终生需要使用的，在小学 数学教学中占有数学知识体系的基石
“数与代数”这一领域是由以往“数与计 算”“代数初步知识”“量与计量”的部分内容整 合而成的，历来是我国小学数学教学内容的主体， 是整个数学知识体系的基石。其中，整数、小数、 分数、百分数与负数的认识及相应的四则运算都是 最基础的知识。小学数学内容主要体现在数、量与 形三个方面，其中计量离不开计算，形体属性的量 化也离不开计算。在收集、整理和分析数据，绘制 统计图表时，都需要具有数与计算的基础。
“数与代数”是在人类的生产与生活中产生和发展的。“数与代数”中有很多 对立统一的概念和计算方法，如整数与分数、约数与倍数、正数与负数、加与减、 乘与除、通分与约分、精确与近似等。在研究“数与代数”的过程中，也充满了对 立与统一，如已知与未知、特殊与一般、具体与抽象、实践与理论等。这些内容都 有助于帮助学生形成辩证唯物主义的观点，使学生用科学的观点去发现问题、分析 问题和解决问题，正确认识现实世界。
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二、“数与代数”的教学目标
1、数的认识
◆数是数学学习的基本内容，它有着重要的意义和作用。 ◆数能用来表示一类集合的数量，表示一群事物的顺序， 表示测量的结果…… ◆在数字化的现代社会，数更是成为人们表达、交流和 传递信息的重要手段。 ◆在数的学习中，应使学生在获得有关数的概念的过程中， 体会数的多方面的意义和作用。
不教学分解质因数了，应该怎么办？
教师不必担心不教学分解质因数而影响求最大公因数 和最小公倍数的熟练程度。如果学生能够很好地掌握2、5、 3的倍数的特征，通过一定程度的训练，同样可以达到熟 能生巧的程度。 当然，在实际教学中，如果学生很好地理解了概念， 教师结合学生的实际情况，通过“你知道吗”中的阅读材 料，让学生了解短除法也是一种很有效的求最大公因数、 最小公倍数的方法，也是可以的，不必作为统一要求。
1、数的认识
第二学段（数的认识） 具体目标 （1）在具体的情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数 法，会用万、亿为单位表示大数。 （2）进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数和百 分 数之间的关系，并会进行转化（不包括将循环小数转化为分数）。 （3）会比较小数、分数和百分数的大小。 （4）在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些 日常生活中的问题。
第一学段具体目标
（1）结合具体情境，体会四则运算的意义。 （2）能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，会口 算百以内的加减法。 （3）能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数 乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法。 （4）会计算同分母分数（分母小于10）的加减运算以 及一位小数的加减运算。 （5）能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。 （6）经历与他人交流各自算法的过程。 （7）能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并 能对结果的合理性进行判断。
具体变化：
1、数的认识方面 《标准》强调应通过数学活动培养学生 的“数感”，对于整数的认识，提出感受 大数的要求。 另外《标准》增加了负数的认识，“在 熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会 用负数表示日常生活中的一些相反意义的 量”。但不要求教学负数的计算。
２、关于数的计算 关于整数的四则运算，修订版大纲的要求和课 程标准大致相同。 整数四则运算的要求在历次大纲的修订中一直 处于降低的趋势。学生学会了两、三位数的四则 运算，就可以应付日常生活中的计算问题。没有 必要花大量时间学习多位数四则运算。 关于分数计算：取消了带分数四则运算。原因 一是带分数在实际生活中用得不多，二是带分数 计算，特别是带分数的乘除法比较烦琐。
4、应用题
在以往的数学教材中，应用题是一个庞大的组成部分， 存在着将问题僵化成固定类型等弊病。因此历来是数学教 材改革的重点之一，改革的总体趋势是：繁难趋向于简明， 解法由算术解到算术解与方程解相结合，重视解题思路。 以 “实际问题”的形式呈现。倡导“问题情境—建立 模式—解释、应用与拓展”模式。强调计算教学与解决问 题教学的融合。
关于数与代数的各册主要教学内容
数的认识 一 上 一 下 二 上 二 下 三 上 万以内数 的认识 数的运算 10以内的加减法 20以内的进位加法 20以内的退位减法： 两位数加、减一位数和整 十数 100以内的进位加法与退 位减法；表内乘法 表内除法；万以内的加法 与减法（一） 常见的量 认识钟表、整时和几 时半 认识元、角、分认识 时、分 认识米、厘米 认识克和 千克 稍复杂的图形数的排 列规律 图形和数的简单排列 规律 探索规律
二）数与代数的主要内容
数的认识
数的运算
数与代数
常见的量
探索规律
内容概述
主要内容
结构形式
第一学 “数与代数” 第一学段 第二学段 第二学段 段 的内容主要包括 数与式、方程与 万以内的数、 整数、分数、 数的认识 数的认识 简单的分数 小数和百分数 不等式、函数， 小学生的认知特点是由浅入深的，他们对数学知识的 和小数 它们都是研究数 理解并不是一次完成的，需要经过逐步深化提高。根据学 量关系和变化规 负数和方程 数的运算 数的运算 常见的量 律的数学模型， 生知识基础，心理发展规律，及知识特点，课标对四个领 可以帮助人们从 域采用逐步拓展，渐进深化结构，从内容到结构都是由浅 常见的量 式与方程 有关运算 基本运算 数量关系的角度 入深，循序渐进，螺旋上升。 更准确、清晰地 认识、描述和把 简单的数 借助计算器 探索规律 探索规律 量关系 握现实世界。 探索数学问题
3、使学生能运用数表示日常生活中的一些
2、数的运算
历来的数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要 内容，重视培养学生的运算能力。 然理解并不全面，将其仅仅等同于运算技能（即算得 又对又快），并且由于考试等原因对运算难度和速度的要 求越来越高。 是否还需要学生计算那样难的题目，并且算得那样快。 让学生掌握基本的运算技能，但“基本”的标准是什么？ 学生是否应将精力放在其他有价值的内容上？还有哪 些有“价值”的内容？
二下
从“数的运算”两个学段的具体目标可以体现以下几个特 点：
3、鼓励运算方法的多样化 。
在尝试计算的过程中，学生经常会从自己的生活经 验和思考角度出发，产生不同的运算办法。而传统教材 往往忽视这些不同的方法，直接介绍给学生成人通用的 方法。
从“数的运算”两个学段的具体目标可以体现以下几个特 点：
4、掌握基本的运算法则和笔算技能，避免繁 杂的运算。 要获得对运算意义的理解，有效地运用 运算来解决问题，就必须掌握基本的运算法 则，具备基本的笔算技能。同时，加强估算， 也需要有一定的运算技能作保证，因此，使 学生掌握基本的运算法则和笔算技能是数与 运算课程的重要内容之一。
从“数的运算”两个学段的具体目标可以体现以下几个特 点：
认识20以内的数 认识100 以内的数
分数的初步认识
万以内加法与减法（二）； 有余数的除法；多位数乘 时、分、秒 一位数；同分母分数的加、 认识吨 减法 除数是一位数的除法；两 位数乘两位数；简单的小 数加减法 认识年月日 24时计时法
三 下
小数的初步认识
关于数与代数的各册主要教学内容
数的认识 数的运算 常见的量 探索规律 策略优化问题
从以上数的认识两个学段的具体目标可以看出这一领域中有如下特点：
1、注重从现实情境中让学生逐步体会 数的含义，发展学生的数感. 无论是整数、分数、小数，还是负数的 产生与发展，都是人类生活实践的总结， 都是与解决实际问题紧密联系的。
从以上数的认识两个学段的具体目标可以看出这一领域中有如下特点：
2 、提供丰富的素材，让学生理 解数的相对大小关系，获得对大数 的感受 。
第二学段具体目标
（1）会口算百以内一位数乘、除两位数。 （2）能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。 （3）能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运 算（以两步为主，不超过三步）。 （4）探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。 （5）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与 除的互逆关系。 （6）会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除 运算及混合运算（以两 步为主，不超过三步）。 （7）会解决有关小数、分数和百分数的简单实际问题。 （8）在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算 的习惯。 （9）能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索 简单的数学规律。
一下
从以上数的认识两个学段的具体目标可以看出这一领域中有如下特点：
事物，并进行交流。 例如，教材设计了实践活动，鼓励学生调查班 级编号、饭店房间号、电话号码、身份证号码是 如何编排的，以此为启发，给学校的每个学生进 行编码，要求从每个学生的编码中能看出这个学 生是哪年级哪班的、哪年入学的、是男是女。 又如，在五年级下册“百分数”的学习中，要 求学生分别调查并估计班级里男同学、近视眼的 同学、睡眠时间不到10时的同学、喜欢唱歌的同 学占全班人数的百分比，以使学生感受到百分数 在自己生活中的广泛应用。
5、利用计算器解决实际问题和探索规律 。
计算器的作用不仅在于能够进行复杂的 运算，更重要的是学生借助计算器可以解 决更为实际的问题、探索更加富有挑战性 的规律。
3、常见的量
对于常见的量的学习，标准强调借助学生的生活经验， 理解量的实际意义；从多种角度体会量的单位的实际意义； 能根据实际问题选择合适的量的单位；能进行简单的单位 换算；结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。
３、珠算与计算器的使用
《标准》取消了珠算，要求：“能借助计算器 进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索 简单的数学规律”。 珠算是中国传统文化的一部分，曾经是人们 进行计算的重要工具。近年来随着计算器和计算 机的普及，珠算作为计算工具的功能已经大大削 弱。因此，《标准》只将珠算作为一种文化来介 绍。 关于计算器，国外的小学早就引进了，因为 《标准》把计算技能训练放在次要位置。遇到比 较大的数目的计算可以用计算器。
1、数的认识
第一学段（数的认识）具体目标
（1）能认、读、写万以内的数，会用数表示物体的 个数或事物的顺序和位置。 （2）认识符号＜，＝，＞的含义，能够用符号和词 语来描述万以内数的大小。 （3）能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义。 （4）结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。 （5）能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、 写小数和简单的分数。 （6）能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。
从“数的运算”两个学段的具体目标可以体现以下几个特 点：
我们要防止学生进行任何运算时都使用计算器，允许使用计
算器，并不意味着淘汰传统的笔算。
数学课程要培养学生能够决定什么时候需要计算器，能够选择 使用估算、心算、笔算、计算器等多种方法进行计算，并且判断答 案的正确性和有效性的能力。
四）数与代数的编排变化
一）总体变化
数与代数教学内容改革的总的 趋势是：重视口算，加强估算，淡化笔