随机变量的数字特征习题课范文

第12讲 随机变量的数字特征习题课

教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。

教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数

学期望和方差。

教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程：

一、知识要点回顾

1. 随机变量X 的数学期望()E X

对离散随机变量 ()()i i i

E X x p x =∑

若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。

对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞

-∞

=⎰

假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。

2. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。

对离散随机变量 [()]()()i i i

E g X g x p x =∑

对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞

-∞

=⎰

假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。

3. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元

实函数。

对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i

j

E g X Y g x y p x y =∑∑

对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 4. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）

(), ()E c c c =为常数 ()(), ()E cX cE X c =为常数

()(), (,)E aX b aE X b a b +=+为常数

()()()E X Y E X E Y +=+

1

1

()()n n

i i i i i i E c X c E X ===∑∑

若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =。 若12,,

,n X X X 相互独立，则1212()()()()n n E X X X E X E X E X =。

5. 随机变量X 的方差22

2(){[()]}()[()]D X E X E X E X E X =-

=-，这里假定

2(),()E X E X 都存在。 6. 方差的性质

()0, ()D c c =为常数

2()(), ()D cX c D X c =为常数 2()(), (,)D aX b a D X a b +=为常数

若,X Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y +=+。 若12,,

,n X X X 相互独立，12,,

,n c c c 为常数，则21

1

()()n n

i i i i i i D c X c D X ===∑∑。

7. 随机变量X 的k 阶原点矩 ()()k k X E X ν=

随机变量X 的k 阶中心矩 (){[()]}k k X E X E X μ=- 易知，112()(),()0,()()X E X X X D X νμμ=≡=。 8. 随机变量X 与Y 的协方差

cov(,){[()][()]}()()()X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=-

22()()()2cov(,), (,)D aX bY a D X b D Y ab X Y a b +=++为常数

cov(,)cov(,)X Y Y X =

cov(,)cov(,), (,)aX bY ab X Y a b =为常数

cov(,)cov(,)cov(,)X Y Z X Z Y Z +=+

若cov(,)0X Y =，则称X 与Y 不相关。若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 一定不相关，反之不成立。

9. 随机变量X 与Y

的相关系数(,)R X Y =

|(,)|1R X Y ≤

|(,)|1Y a bX R X Y =+⇔=

10. 切比雪夫不等式：若随机变量X 的数学期望()E X 与方差()D X 存在，则对任意正 数ε有

2()

()D X P X E X εε

⎡-≥⎤≤⎣⎦ 由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。后面两个定理是常用的大数定律。

二 、典型例题解析

1.已知随机变量X 的概率分布为

求2(46)E X +。

分析 由要点2，令2()46g X X =+，代入公式即可。 解

3

2

21(46)(46) 220.360.4100.312

i i

i E X x p =+=+=⨯+⨯+⨯=∑

注 计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先求出随机变量的概率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算；一种是直接带入要点2种所列的公式。 通常用后一种方法较简便。

2.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度01,01

(,)0x y x y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它，

求(),(),(),(),(),cov(,),(,)E X E Y D X D Y E XY X Y R X Y 。

分析 题中前五项计算均可按要点3所列公式计算，后两项按要点8与9计算。

解

11

1

0()(,)()17

()212

E X xf x y dxdy xdx x y dy

x x dx +∞+∞

-∞-∞

==+=+=

⎰

⎰

⎰⎰⎰

又

1

1

2

2

2

1

20()(,)()15

()212

E X x f x y dxdy x dx x y dy

x x dx +∞+∞

-∞

-∞

==+=+=

⎰

⎰

⎰⎰⎰

所以

2

2

2

5711

()()[()]1212144

D X

E X E X ⎛⎫=-=-=

⎪⎝⎭ 按对称性有

711(),()12144

E Y D Y =

= 1

1

1

0()(,)()11

()233

E XY xyf x y dxdy xdx y x y dy

x x dx +∞

+∞

-∞-∞

==+=+=

⎰

⎰

⎰⎰⎰

1771

cov(,)()()()31212144

X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-

11(,)144121211

R X Y =-

=- ⎝⎭ 注 二维随机变量的许多计算都可归结为计算二维随机变量函数的数学期望，所以 要点3所列公式应会灵活应用。

3.填空

(1) 已知()4,()1,(,)0.6D X D Y R X Y ===，则(32)D X Y -=____________。 (2) 随机变量,X Y

相互独立，又1

(2),(8,)4

X

P Y

B ，则

(2)E X Y -=____________，(2)D X Y -=____________。