运筹与决策之4整数规划

AX=b (B)
X0
(B)为 (A) 的线性规划松弛问题。
20
(C)
i+1
Xj*
X*最优解
i
(D)
X*最优解为非整数解，
则对(B)每次分两枝, 每枝多一个约束条件
(B) (C)
Xj i+1
(B)
(D) Xj i
21
分枝定界法的步骤
❖ 思路: 暂不考虑整数条件,用单纯形法求解,得整数 解,停;不是整数解,分枝。
4
Q2：整数规划的解法
❖ 图解法 ❖ 穷举法 ❖分枝定界法(Branch and Method) ❖ 割平面法
5
Q3：分枝定界法的基本思路
max Z =CX AX=b
(A) X0
X为整数
max Z=CX
AX=b (B)
X0
(B)为 (A) 的线性规划松弛问题。
6
(C)
i+1
Xj*
X*最优解
i
(D)
24
举例
例：
max Z = x1+ x2
6x1 + 2x2 17 5x1 + 9x2 44 x1 , x2 为 整数
如何回答？
25
x1≤1
子问题1 Z1=5.333
X1=1 X2=4.333
x2≤4
子问题3 Z3=5 X1=1 X2=4
松弛问题
Z0=5.545 X1=1.477 X2=4.068
36
银行选址P209
俄亥俄信托公司（Ohio Trust Company）希望 在俄亥俄西北部20个县进行选址，该地区还没 有首席业务处（Principal Place of business PPB）。根据俄亥俄州的银行法，如果金融企 业在任何一个县设立PPB，就可以在该县及其 比邻的县设立分支机构。俄亥俄信托公司想知 道在那些县设立PPB会使其数量最少？
6
整数解 非整数解，目标 问 题 1 停 止分枝 (剪
函数优于问题 1 枝)，其整数解为界，
对问题 2 继续分枝
情况 2, 4, 5 找到最优解 情况 3 在缩减的域上继续分枝定界法 情况 6 问题 1 的整数解作为界被保留，用于以后与问 题 2 的后续分枝的整数解进行比较，结论如情况 4。
9
《管理数量方法 》目录
¨银行选址 P209（讲义：消防站选址） ¨案例讨论：课本出版P222
2
Questions
1. 整数规划IP与线性规划LP有何 不同？整数规划的分类？
2. 整数规划的求解方法？ 3. 分枝定界法的基本思路？ 4. 分枝问题解可能出现的情况？
3
Q1：整数规划与线性规划LP 区别： （要求所有 xj 的解为整数，或者要求部分 xj 的解为整数） 1）一般整数规划。要求所有 xj 的解为整数， 称为纯整数规划；或者要求部分 xj 的解为整 数，称为混合整数规划。 2）0-1整数规划。它规定整数变量只能有两个 值，0或1。
18
若该整数规划问题有100个0－1整数 变量，那么整数解有多少个？
❖ 2100个整数解，用最现代化的计算机也要算 上几亿亿年。
❖ 穷举法是无法用来求解实际问题。 ❖ 最优解经过四舍五入的方法是否可以？
如何回答？
19
§4.2 分枝定界法的基本思路
max Z =CX AX=b
(A) X0
X为整数
max Z=CX
8 模拟
—Simulation
9决策分析 — Decision Theory
10多目标决策 — Multi-objective Decision 10
授课内容
¨整数规划
1. 图解法及分枝定界法 2. MS6.0软件求解 3. 整数规划应用举例
¨银行选址 P230（讲义：消防站选址） ¨案例讨论：课本出版P242
n
xj 1
j 1
3.从N个方案中最多选中3个:
n
xj 3
j 1
28
特殊约束的处理
1. 只有方案J选中时，方案I才可能被选 中: 如何表示？
xi≤xj 2. 方案I与方案J是否选中是同时的:
xi=xj 3. 矛盾约束:
f(x) -5≥0 与f(x) ≤0 →- f(x) +5 ≤ M(1-y)与 f(x) ≤My M表示很大的数，y为0－1变量。
17
例： maxZ = 40x1+60x2 +70x3 + 160x4
16x1 + 35x2+45x3+85x4 100
x1 , x2 , x3 , x4为 0 ,1
解法1：
枚举法：
X1 =0
X1 =1
X2 =0 1
01
x1=1 , x2=1 , x3=1 ,
x4=0 。枚举法？
X3 =0 1 0 1 0 1 0 1
A
10
Zmax =975
该解是否符合实际 0 要求？
B C
10
2D0
30
X1
13
4 整数规划
整数规划的难度远大于一般线性规划
14
整数规划简介
要求所有 xj 的解为整数，称为纯整数规划 要求部分 xj 的解为整数，称为混合整数规划 对应没有整数解要求的线性规划称之为松弛问题 整数规划的解是可数个的，最优解不一定发生在极点 整数规划的最优解不会优于其松弛问题的最优解
5
260
180
Xj = 1表项目j选中, Xj=0表项目j未选中. j=1,2,3,4,5. 约束条件如何表示？
33
计算过程
解: Xj=1表项目j选中, Xj=0表项目j未选中. j=1,2,3,4,5. Z表示总收益. 则模型如下: Max Z =150X1+210X2+60X3+80X4+180X5
如何回答？
29
Fra Baidu bibliotek
特殊约束的处理
4.多个选一:fi(x) ≤0, I=1,2,…,n.如何表示？
fi(x) ≤ M (1-yi) I=1,2,…,n. y1+y2+…+yn=1
5.逻辑关系约束： 若f(x)无限制, 则g(x) ≤0; 若f(x)<0不成立, 则g(x)无限制. 如何表示？
→f(x) ≥-M(1-y), g(x) ≤My， M表示很大的数， y为0－1变量。
《管理数量方法 》目录
1绪论
— Introduction
2线性规划 —Linear Programming
3运输与指派问题—Transportation Models
4整数规划 —Integer Programming
5网络模型 —Network Models
6项目计划 —PERT & CPM
7排队论
s.t: 210X1+300X2+100X3+130X4+260X5 ≤ 600
X1+X2+X3=1 X3+X4=1
X5 ≤ X1
Xj=0或1; j =1,2,3,4,5.
34
例 解决某市消防站的布点问题。该城市共有6个区， 每个都可以建消防站。市政府希望建设的消防站最 少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防 车要在15分钟内赶到现场。据实地测定，各区之间 消防车行驶的时间见下表：请帮助该市制定一个最 节省的计划。
序号
问题 1
问题 2
1
无可行解
2
无可行解
3
无可行解
4
整数解
无可行解 整数解
非整数解 整数解
5 整数解，目标函 数优于问题 2
非整数解
6
整数解
非整数解，目标
函数优于问题 1
说明 整数规划解如何？
如何回答？
23
表 分枝问题解可能出现的情况
结果
序号
问题 1
问题 2
说明
1
无可行解
无可行解
整数规划无可行解
2
分枝定界法 求解过程
x1≥2
x2≥5
子问题4 无可行解
子问题2 Z2=4.5 X1=2 X2=2.5
∴ 最优整数解 X1= 1 X2= 4
最优目标函数值 Z = 5 26
0-1 Programming (Binary IP)
0-1整数规划
❖ 决策变量取值0或1，称0-1或二进制变量 。 ❖ 0-1变量可数量化地描述诸如开与关、取与
X*最优解为非整数解，
则对(B)每次分两枝, 每枝多一个约束条件
(B) (C)
Xj i+1
(B)
(D) Xj i
7
Q4：分枝问题解可能出现的情况
序号
问题 1
问题 2
1
无可行解
2
无可行解
3
无可行解
4
整数解
5 整数解，目标函
数优于问题 2
无可行解 整数解
非整数解 整数解
非整数解
6
整数解
非整数解，目标
无可行解
整数解
此整数解即最优解
3
无可行解
非整数解
对问题 2 继续分枝
4
整数解
整数解
较优的一个为最优解
5 整数解，目标函 非整数解 问题 1 的解即最优解
数优于问题 2
6
整数解 非整数解，目标 问 题 1 停 止分枝 (剪
函数优于问题 1 枝)，其整数解为界，
对问题 2 继续分枝
情况 2, 4, 5 找到最优解 情况 3 在缩减的域上继续分枝定界法 情况 6 问题 1 的整数解作为界被保留，用于以后与问 题 2 的后续分枝的整数解进行比较，结论如情况 4。
函数优于问题 1
说明 整数规划解如何？
如何回答？
8
表 分枝问题解可能出现的情况
结果
序号
问题 1
问题 2
说明
1
无可行解
无可行解
整数规划无可行解
2
无可行解
整数解
此整数解即最优解
3
无可行解
非整数解
对问题 2 继续分枝
4
整数解
整数解
较优的一个为最优解
5 整数解，目标函 非整数解 问题 1 的解即最优解
数优于问题 2
1.在项目1、2和3中必须（只）有一项被选中； 2.项目3和4只能选中一项；（必须选一项） 3.项目5被选中的前提是项目1必须被选中。
如何在上述条件下选择一个最好的投资方 案，使投资收益最大。
32
项目投资收益表
项目 投资额（万元） 投资收益（万元）
1
210
150
2
300
210
3
100
60
4
130
80
1绪论
— Introduction
2线性规划 —Linear Programming
3运输问题 —Transportation Models
4整数规划 —Integer Programming
5网络模型 —Network Models
6项目计划 —PERT & CPM
7排队论
—Queueing Models
弃、有与无等现象所反映的离散变量间的 逻辑关系、顺序关系以及互斥的约束条件 ❖ 0-1规划应用：如工厂选址 、生产计划安排 、旅行购物、背包问题、人员安排、代码 选取、线路设计 、可靠性等
27
§4.3 整数规划建模应用举例： 0-1变量的作用
1...方案j选中 1.Xj= 0...方案j未选中
2.从N个方案中必须选中一个:
15
整数规划的解法
❖ 图解法 ❖ 穷举法 ❖ 分枝定界法 ❖ 割平面法
16
§4.1整数规划的穷举法
n
max(min) f (x) c j x j
j 1
s.t.
n
aij
x
j
(,)bi ,
j1
i 1,2,,m
x j 0 且为整数 , j 1,2,,n
穷举法：可以通过计算和比较所有整 数格点的值来求解。
30
0-1整数规划模型及其应用
• 8.3.1 资金预算（投资决策）问题 • 8.3. 2 固定成本问题 • 8.3. 3 配送系统设计 • 8.3. 4 银行选址（覆盖问题） • 8.3. 5 产品设计与市场份额优化
31
整数规划应用举例
例 华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表：该公司 只有600万元资金可用于投资，由于技术上的 原因，投资受到以下约束：
11
整数规划 举例
例1、家具厂生产计划问题
产品 桌 椅 备用资源
木工 1 2
30
油漆工 3 2
60
搬运工 0 2
24
利润 40 50
桌，椅各生产多少, 可获最大利润?
12
图解法求最优解
X2 如何求解整数解？
30
C点： X1+2X2 =30 3X1+2X2 =60 20
解：X* = (15,7.5)
—Queueing Models
8 模拟
—Simulation
9决策分析 — Decision Theory
10多目标决策 — Multi-objective Decision 1
授课内容
¨Case:分销系统设计（P192） ¨整数规划
1. 图解法及分枝定界法
2. MS6.0软件求解
3. 整数规划应用举例
❖ 分枝: 每次分两枝, 每枝多一个约束条件，（每个 节点代表一个子问题）。
❖ 停止分枝条件: 1） 子问题无可行解. 2 ）子问题 得整数解. 3 ）子问题的目标值比下界差。
❖ max Z定界: ❖1 ）初始整数规划的松弛问题的最优值是上界. ❖2 ）子问题得整数解的最优值是一个下界。
22
分枝问题解可能出现的情况
21
25
14
0
35
计算过程
解: Xj=1表地区设消防站, Xj=0表地区不设消防站.
Z=消防站总数, 则模型如下:
Min Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6
s.t.
X1+X2≥1
X1+X2+X6≥1
X3+X4≥1
X3+X4+X5 ≥1
X4+X5+X6 ≥1
X2+X5+X6 ≥1
Xj=0或1；j =1,2,3,4,5,6.
消防车在各区行驶距离表
地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6
地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6
0 10 10 0 16 24 28 32 27 17 20 10
16 28 27 24 32 17 0 12 27 12 0 15 27 15 0 21 25 14
20
10 How to solve？