互协方差函数16

F ( x1,..., xn ; t1,..., tn ) = P{X (t1 ) ＃x1,..., X (tn ) xn}, xi ? R {F ( x1,..., xn ; t1,..., tn ), ti Î T} 称它为随机过程的 n 维分布函数， 为 n 维分布函数族。

柯尔莫哥洛夫定理：有限维分布函数族
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随机过程的例

例：考虑掷一枚骰子， Xn 设 X n 是第 n, n = 1, 2,... 次掷的点数，对于不同的 n 值， 是随机变量，因此 {X n , n = 1, 2...}为随机过程，称为伯努利 过程或伯努利随机序列； Yn , n = 1, 2...}也 设 Yn 是前 n 次抛掷中出现的最大点数，则 { 是随机过程。 这两随机过程的状态空间均是 {1, 2,3, 4,5,6}。
R 称它为随机过程的一维分布函数，而 {F ( x, t ), t Î T }称为一维
分布函数族。
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F ( x, t ) = P{X (t ) Ｎx}, x
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随机过程的分布函数族

定义：设随机过程 { X (t ), t Î T }，对任意固定的 n 个不同时 刻 ti , i = 1,..., n ，考虑 n 维随机变量 ( X (t1 ),..., X (tn )) 的联合分 布函数
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随机过程的分布函数族



如何描述随机过程？能否将每一时刻的状态作为多维随机变量 的一个维度，用联合概率分布来描述？ 由于时间集是无限的，因此简单的照搬联合概率的方法将 失效。 通常考虑有限个时刻的状态联合分布函数。 定义：设随机过程 { X (t ), t Î T }，对于每一个固定的 t ，随机 变量 X (t ) 的分布与 t 有关，记为
概率论与随机过程
第12章 随机过程及其统 计描述
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主要内容

随机过程的概念 随机过程的统计描述 泊松过程及维纳过程
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随机过程的概念



例：一个电话交换机在 [0, t ](t > 0) 时段内收到的呼叫次数记 为 xt ，它为一个随机变量，但随着时间 t 变化，xt 又是时间 t 的一个函数。 例：电子元器件由于其内部微观粒子的随机热骚动所引起的电 压称为热噪声电压，它在任一时刻 t 的取值是一随机变量，记 V (t ) 表现为一族随机变量。 为 V (t ) 。在时间区间 [0, ¥ ) 上， 注：随机现象随着时间的变化而变化。这种“变化”的随机现 象就是一个随机过程。
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随机过程的分类


按过程在任一时刻的状态分 离散型随机过程：任一时刻的状态是离散型随机变量； 连续型随机过程：任一时刻的状态时连续型随机变量； 按时间（参数）的类型分 离散参数随机过程：时间（参数）集是离散集合，也称为 随机序列，通常记作 {X n , n = 0,1,...}。 连续参数随机过程：时间集是有限或无限区间。通常将连 续参数随机过程简称为随机过程。
{F ( x1,..., xn ; t1,..., tn ), n = 1, 2,..., ti ? T}
完全刻画了随机过程。
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随机过程的数字特征

X (t ) 为随机 均值函数：给定随机过程 { X (t ), t Î T }，固定 t ， 变量，其期望为 t 的函数，记为

分别称为均方值函数和方差函数。
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随机过程的数字特征

相关函数：对任意两时刻 t1 , t2 ，随机变量 X (t1 ) 和 X (t2 ) 的二 阶混合原点矩记作
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随机过程的例


例：测量运动目标的距离时，存在随机误差，记 e(t ) 表示在 时刻 t 的测量误差。则 e(t ) 为随机变量。当目标随着时间 t 按一定规律运动时，测量误差 e(t )也随时间变化。因而，测量 误差{e(t ), t ³ 0}为随机过程，其状态空间为 (- ゥ, )。 例：考虑掷硬币的试验，X n 是前 n, n = 1, 2,... 次出现正面的次 数，对于不同的 n，X n 是随机变量，因而 {X n , n = 1, 2...} 为随 机过程，状态空间为自然数集。
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随机过程的概念


假设一个随机变量 X (t ) 随时间 t 而变化，则有 当固定时间 t 时， X (t ) 是一个随机变量； 当记录某次随机试验中随机变量的结果时，其结果 xi (t ) 为 关于 t 的函数。 这样记录的每个 xi (t ) 称为一次样本函数或样本曲线。 定义：设 T 是一无限实数集，依赖于参数 t Î T 的一族随机 变量（无限个）称为随机过程，记作 { X (t ), t Î T }。 T 称为参数集，常把 t 看作时间。 X (t ) 称为时刻 t 时过程的状态， X (t1 ) = x 称为时刻 t = t 1 时过程处于状态 x 。 X (t ) 所能取得的一切值的全体称为状态空间 对一切 t Î T ， 。 庄伯金

mX (t ) = E[ X (t )] 称 mX (t ) 为随机过程 { X (t ), t Î T } 的均值函数。 均值函数为所有样本函数在时刻 t 的函数值的均值，通常也
称为集平均或统计平均。 均方值函数和方差函数：随机过程在时刻 t 状态 X (t ) 的二阶 原点矩和二阶中心矩
2 Y2 ( t ) = E [ X (t )] X 2 sX (t ) = DX (t ) = Var[ X (t )] = E{[ X (t ) - mX (t )]2}