2021届高二数学同步练 运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题(解析版)

课时同步练

1.4.3运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题

一、单选题

1．已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若1

cos ,2

m n =-，则l 与α所成的角为（ ）

A ．030

B ．060

C ．0120

D ．0150

【答案】A

【解析】设线面角为θ，则1

sin cos ,,302

m n θθ=〈〉==. 故选A

2．三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为1n ，2n ，若12,3

n n π

<=

>，则二面角

A BD C --的大小为（ ）

A ．

3

π B ．

23

π C ．

3π

或

23

π D ．

6π或3

π

【答案】C

【解析】因为法向量和平面垂直，所以法向量所成角与二面角相等或者互补， 由于从图形中无法判定二面角A BD C --是锐角还是钝角， 所以二面角A BD C --的大小为3π

或

23

π. 故选C.

3．平面α的一个法向量为1n ＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为2n ＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为（ ）

A ．9

25

-

B ．

925

C ．

725

D ．以上都不对

【答案】B

【解析】∵()14,3,0n =，()203,4n =，－，

∴|1n ，|2n

1n •2n =4×0+3×()3-+0×（﹣1）=-9

因此，向量1n 与2n 的夹角θ满足cosθ=

1212

n n n n ⋅⋅=

955-⨯=9

25

- 又∵向量1n 、2n 分别为平面α和平面β的法向量

∴平面α与β夹角等于向量1n 、2n 的夹角，故平面α与β夹角的余弦值等于9

25

故选B ．

4．在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ）

A ．30

B ．60︒

C ．90︒

D ．120︒

【答案】C

【解析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴、y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，如图

设1AD =，则()1,0,1E ，()0,1,2F ，()0,0,1G ，()1,2,0B ， 所以()1,1,1EF =-，()1,2,1BG =--，0EF BG ⋅=， 所以EF BG ⊥，所以异面直线EF 与BG 所成角的大小为90︒， 故选C.

5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，2CA CB =，13CC CB =，则直线

1BC 与直线

1AB 夹角的余弦值为（ ）

A

B

C

D ．

235

【答案】A 【解析】

2CA CB =，13CC CB =，∴设1CB =，

根据题意得，()0,0,1B ,()10,3,0C ,()2,0,0A ,()10,3,1B .

()10,3,1BC =-,()12,3,1AB =-,

∴111111

cos ,3510BC AB BC AB BC AB ⋅=

=

=⋅.

故选A.

6．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2AB =，E 为PB 的中点，cos DP 〈，3

AE =〉DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为（ ）

A ．()1,1,1

B ．11,1,

2⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．31,1,

2⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．()1,1,2

【答案】A

【解析】设||(0)PD a a =>，则(2,A 0,0)，(2,2,0)B ，(0,0,)P a

，(1,

E 1,)2

a ，

(0,DP ∴=0,)a ，(1,1,)2

a

AE =-，

3cos ,DP AE >=

<

223

a ∴=， 2,a E ∴=∴的坐标为(1,1,1)，

故选A ．

7．若平面α的一个法向量为n =（1，2，1），A （1，0，﹣1），B （0，﹣1，1），A ∉α，B ∈α，则点A 到平面α的距离为（ ）

A ．1

B ．

6

C ．

3

D ．

13

【答案】B

【解析】(1,1,2)AB =--，根据点到平面的距离公式可得点A 到平面α的距离为

1AB n n

⋅-⨯=

=

故选B

8．直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠

=︒，11AB BC CC ===，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）

A B ．

12

C D ．

34

【答案】D

【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，120

ABC ∠=︒， 取AC 中点O ，11AB BC CC ===，则OB A C ⊥， 所以2sin 60AC BC =︒=

，

以AC 的中点O 坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，

以过点O 垂直平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：