数域的判定
数域f的概念
数域f的概念引言在代数学中，数域（field）是一个具有特定代数结构的数学对象，它是一种满足一些特定性质的集合。
数域的概念是代数学中的基础概念之一，它在数论、代数几何、代数拓扑等领域都有广泛的应用。
本文将介绍数域f的概念，探讨它的性质和应用。
什么是数域f？数域f是一个非空集合，其中包含了加法运算和乘法运算，并且满足一定的性质。
具体来说，数域f需要满足以下四个性质：1.加法结合律：对于数域f中的任意三个元素a、b和c，有(a + b) + c = a+ (b + c)。
2.加法交换律：对于数域f中的任意两个元素a和b，有a + b = b + a。
3.存在加法单位元：数域f中存在一个特殊元素0，使得对于任意的元素a，有a + 0 = 0 + a = a。
4.存在加法逆元：对于数域f中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a + (-b) = (-b) + a = 0。
另外，数域f中的乘法也需要满足类似的性质：1.乘法结合律：对于数域f中的任意三个元素a、b和c，有(a * b) * c = a* (b * c)。
2.乘法交换律：对于数域f中的任意两个元素a和b，有a * b = b * a。
3.存在乘法单位元：数域f中存在一个特殊元素1，使得对于任意的元素a，有a * 1 = 1 * a = a，并且1不等于0。
4.存在乘法逆元：对于数域f中的任意非零元素a，存在一个元素a的逆元素a^(-1)，使得a * a^(-1) = a^(-1) * a = 1。
根据以上定义和性质，我们可以看出，数域f中的加法和乘法都满足结合律和交换律，并且有单位元和逆元。
这些性质使得数域f成为一个具有代数结构的数学对象。
数域f的例子数域f的例子有很多，其中最为常见的是有理数域（Q）、实数域（R）和复数域（C）。
1.有理数域（Q）：有理数包括整数和分数，其中分母不为0。
有理数域中的加法和乘法的定义和性质都符合数域的要求，因此有理数域是一个数域。
数域证明例题
数域证明例题
数域证明是数学中的一个重要分支，用于证明某个集合满足数域的性质。
以下是一个数域证明的例题：
题目：设F是一个数域，证明F中任意非零元素的倒数也属于F。
解答：为了证明任意非零元素的倒数也属于F，我们需要验证以下两个条件：
1. 对于任意非零元素a∈F，其倒数1/a也属于F。
2. F中的加法、乘法和倒数运算满足数域的定义。
首先，我们选取一个任意非零元素a∈F，要证明其倒数1/a也属于F。
根据数域的定义，我们需要证明1/a在F中具有封闭性，即1/a乘以任意一个F中的元素仍然属于F。
假设b是F中的任意一个元素，则根据数域的定义，a和b的乘积ab也属于F。
现在我们来考虑(ab)(1/a)的值，根据乘法的结合律，我们可以将其表示为a(b(1/a))。
根据数域的定义，b(1/a)也属于F。
另外，根据乘法的单位元的定义，有a(1/a)=1，因此b(1/a)可以表示为b(1/a)=b(1/a)(a(1/a))=(b/a)(a(1/a))=(b/a)。
由此可见，b(1/a)的值等于b除以a，即b(1/a)=b/a。
我们已经证明了对于F中的任意非零元素a，其倒数1/a乘以任意一个F中的元素仍然属于F。
因此，我们可以得出结论：F中任意非零元素的倒数也属于F。
接下来，我们需要验证F中的加法、乘法和倒数运算满足数域的定义。
这部分的证明比较繁琐，请您谅解，我在这里不再赘述。
综上所述，我们证明了F中任意非零元素的倒数也属于F，并且F中的加法、乘法和倒数运算满足数域的定义。
因此，我们可以得出结论：F是一个数域。
1数域的基本概念
数是数学的一个最基本的概念。我们的讨论 就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一 个长期发展的过程，大体上看，是自然数到整 数、有理数、然后是实数、再到复数。这个过 程反映了人们对客观世界认识的不断深入。 按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所 考虑的数的范围。譬如说，在解决一个实际问 题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解 就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知 量所允许的取值范围有关。
性质通常称为数的代数性质。代数所研究的问 题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性 质是有理数、实数、复数的全体所共有的。有 时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方 便起见，当我们把这些数当作一个整体来考虑 时，常称它为一个数的集合，简称数集。有些 数集也具有与有理数、实数、复数的全体所共 有的代数性质。为了讨论中能够把它们统一起 来，我们引入一个一般的概念。
定义1，设P是由一些复数组成的集合，其中包 括0与1。如果P中任意两个数（这两个数可以 相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍是 P中的数，那么P就称为一个数域。 例：全体有理数组成的集合、全体实数组成的 集合、全体复数组成的集合都是数域。这三个 数域分别用字母Q、R、C来代表。全体整数组 成的集合（用Z来表示）就不是数域，因为不 是任意两个整数的商都是整数。
பைடு நூலகம்
又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就 是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可 以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做 的。因此，在数的不同的范围内同一个问题的 回答可能是不同的。我们经常会遇到的数的范 围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它 们显然具有一些不同的性质，当然，它们也有 很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性 质的对象统一进行讨论。关于数的加、减、乘、 除等运算的
第12讲 域的概念和例子
1 2
设齐次线性方程组
H4×15X15×1 = 0 的解集为A，
用A中的向量作为要传递的信息的编码，称A为码集合。 设x∈F15×1是接收到的一个码字，若正确，则 x∈A。 即有 Hx=0。 现在假设受到干扰, x 有一个分量是错的, 譬如第 i 位。 令 则 ei=(0,…,0,1,0,…,0)T, 第i位 x+ei 是正确的， 即有 H(x+ei )=0, 从而 Hx=Hei ,
♥2.1
域的例子及典型应用
有运算的系统, 就能应用代数的理论和方法.
♥2.1
域的例子及典型应用
域的定义：域是具有两个 运算的代数系统 (F,+, · 其 ), 运算满足:
(I) (F,+)是加群, 单位元叫零元， 记0; a的逆元叫负元,记 a. (II) (F*, · )是交换群;单位元记为 1。 乘法对加法有分配律;
已知F2={0，1}做成一个二元域。 把 n 元 0 1 序列看作域F2上 n 维向量。 需要考察：研究线性空间的基本手段----数域上 的线性方程组理论和矩阵理论对F2是否还成立。 检验结果：全部有效！ 下面先看一个最简单的纠错方案。令
0 0 H= 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Z F Q ＝{a/b : a∈Z, b ∈N+ } F 。 所以，理数域是最小的数域。■
♥2.1
域的例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及典型应用
数域f的特征
数域f的特征
特征为0的数域
在数学中，数域是指一组数的集合，其中包括了加法、减法、乘法和除法运算。
数域的特征是指在该数域中，最小的正整数n，使得n 个1相加等于0。
如果不存在这样的n，则该数域的特征为0。
特征为0的数域是最常见的数域之一，也是最基本的数域之一。
它包括了所有的有理数、实数和复数。
在特征为0的数域中，加法和乘法都满足交换律、结合律和分配律。
这使得特征为0的数域成为了数学中最基本的数域之一。
特征为0的数域在数学中有着广泛的应用。
在代数学中，特征为0的数域是研究多项式的基础。
在几何学中，特征为0的数域是研究向量空间和线性变换的基础。
在数论中，特征为0的数域是研究数的性质和结构的基础。
特征为0的数域也是计算机科学中的重要概念。
在计算机科学中，特征为0的数域被广泛应用于密码学、编码理论和计算机图形学等领域。
特征为0的数域的基本性质和运算规律，为计算机科学提供了重要的理论基础。
特征为0的数域是数学中最基本的数域之一，它在数学、计算机科学和其他领域中都有着广泛的应用。
对于数学爱好者和从事相关领域的人士来说，了解特征为0的数域的基本性质和运算规律是非常
重要的。
第一讲高等代数选讲之多项式理论
一、数域的判定
1、数域的概念
设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果 P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P为一个数域。
2、数域的有关结论 （1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最
（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、 重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多 项式不可约的判定等。
（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代 数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数 的关系等。
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。
验根法：现设出g x 的全部复根，并假设 g x无重根，即
g x ax 1x 2 x k
其中1,2, ,k互异。再证 f i 0 i 1, 2, , k , 则有
x i f x i 1, 2, ,k , 从而 g x f x. 这是因为
称为数域P上文字 x 的一元多项式，其中 a0 , a1, , an P,
n 是非负整数。当 an 0 时，称多项式 f x的次数为 n.
记为 f x n.
2、多项式的相等关系 设
f x anxn an1xn1 a1x a0
g x bnxn bn1xn1 b1x b0
bn1 an , bn2 an1 abn1, , b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
第一章 多项式
3)当 a0 a1 an 0 时，称 f (x) 为零多项式， 零多项式是唯一不定义次数的多项式。 3. 多项式环 数域P上一切多项式全体所成集合称作多项式环， 记为 Px ，数域P上一切次数小于n的多项式全体 记为 Px n P7 定义4
推广：如果 ( f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x)) 1 那么多项式
f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x)
就称为互素的.
注：①如果
f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x) 互素，不一定两两互素。
②互素关系不因为数域改变而改变。
2.互素的判定条件
f ( x) | (u1 ( x) g1 ( x) u2 ( x) g 2 ( x) ur ( x) g r ( x))
其中 u i (x) 是数域P上任意的多项式。
（8）若 f ( x) | g ( x), f ( x) | h( x) 则 f ( x) | g ( x) h( x)
其中， (r ( x)) ( g ( x)) 或者 r ( x) 0
P8带余除法定理
2.综合除法 （略）
用途： （1）求 f ( x) 在
x c 点的值。
（2）判断多项式 f ( x) 是否有一次因式。 （3）判断多项式 f ( x) 是否有根 x=c。 （4）把多项式 f ( x) 表示成x-c的方幂和。即
3. 定理：任何一个数域都包含有理数域，即有理数域 是最小的数域。 P3 4. 会验证一个数集是否为数域或者数环。 二、一元多项式 1. 数域P上一元多项式定义
n n1 定义：形式表达式 f ( x) an x an1 x a1 x a0
数域
于是有 ∀m ∈ Z + , m = 1 + 1 + ⋯ + 1 ∈ P
∀m ∈ Z , − m = 0 − m ∈ P ,∴ Z ⊆ P
+
高等代数
进而 有
m ∀m , n ∈ Z , ∈ P, n
而任意一个有理数可表成两个整数的商， 而任意一个有理数可表成两个整数的商，
高等代数
注:
中任意两个数作某一运算的结果仍在P ①若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在 若数集 中任意两个数作某一运算的结果仍在 对这个运算是封闭 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 则说数集 对这个运算是封闭的 ②数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 数域的等价定义：如果一个包含 ， 在内的数 对于加法， 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 对于加法 减法，乘法与除法（除数不为0 是封闭的，则称集 为一个数域 为一个数域． 是封闭的，则称集P为一个数域．
高等代数
作业
1．若 P1 , P2为数域，证明：P1 ∩ P2也为数域． ． 为数域，证明： 也为数域． ２．证明：集合 S = m m , n ∈ Z 是一个数环． 证明： n 是一个数环． 2 S是数域吗？ S是数域吗？ 是数域吗
高等代数
∴ Q ⊆ P.
附:
高等代数
数环 设P为非空数集，若 为非空数集， 为非空数集
∀a , b ∈ P , a ± b ∈ P , a ⋅ b ∈ P
则称P为一个数环． 则称 为一个数环． 为一个数环 例如，整数集Z 就作成一个数环． 例如，整数集 就作成一个数环．
小结
1、数域的定义； 、数域的定义； 2、数域的性质； 、数域的性质； 3、判断一个数集是否是数域。 、判断一个数集是否是数域。
举例说明数域的概念
举例说明数域的概念嘿，朋友们！今天咱来聊聊数域这个有意思的玩意儿。
你说啥是数域呢？咱打个比方哈，就好像一个大集体，里面的成员都得遵守一些特定的规则。
比如说整数吧，它们就像是一个很乖的小集体，加加减减都没问题，但要是一说到除法，就不一定每个结果都还是整数啦。
而数域呢，就是一个更厉害的集体啦！在这个集体里，不管是加法、减法、乘法还是除法，只要你能想到的运算，结果都还在这个集体里面哟！就像有理数，它就是一个数域。
你可以随便找两个有理数，加起来、减起来、乘起来、除起来，嘿，得到的还是有理数。
咱再想想生活中的例子，就好比一个家庭，大家都有共同的特点和规则。
数域也是这样，里面的数都有相似的性质和能做的事情。
比如说实数，这可是个大集体呀！它包含了有理数和无理数。
无理数听起来很神秘吧，像圆周率π就是无理数。
但它们和有理数一起在实数这个大集体里，都能愉快地进行各种运算呢。
那有没有不是数域的呢？当然有啦！就像有些小团体，规则没那么完善。
比如说整数集对于除法就不太友好，有时候除出来的结果就不在整数集里啦。
你想想，如果数学世界里没有数域这个概念，那得多混乱呀！就好像一个没有规矩的班级，大家都乱成一团。
但有了数域，就像有了明确的班规，大家都知道该怎么玩，怎么相处。
数域的概念可真是太重要啦！它让我们在数学的世界里能更清楚地知道哪些数可以一起愉快地玩耍，哪些不行。
这就像我们交朋友一样，得找到和自己合得来的，能一起开心做各种事情的。
所以呀，数域可不仅仅是一个抽象的概念，它就像我们生活中的各种小集体、小圈子，都有自己独特的规则和特点呢！现在你对数域是不是有了更清楚的认识啦？是不是觉得数学也挺有趣的呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
数域
1 b 所以，P是一个数域．
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二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一个数域．由定义可知，
0 P， 1 P .
于是有
m Z , m 1 1
1 P
7/9
进而 有
m m , n Z , P, n
m m 0 P. n n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
8/9
练习 判断数集 P1 , P2 是否为数域？为什么?
P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z ( 2).
9/9
5/9
例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个
数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。 证：由题设任取 a, b P , 有
b 0 a a P , 1 P (b 0), a b P , b a P (b 0), a b a (0 b) P , b a b 0 时, ab P , b 0 时, ab 0 P .
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac 2bd ad bc 2 2 2 Q 2. 2 2 a 2b a 2b Gauss数域 Q ( 2 )为数域．
类似可证 Q( i ) a bi a , b Q , i 1 是数域.
一、数域的概念
二、数域性质定理
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一、数域
定义
设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除
代数中域的定义
在代数中，域是一个满足特定性质的代数结构，即满足加、减、乘、除四个基本运算且除数不能为零，同时满足一定的公理，如加法和乘法满足结合律、交换律和分配律，存在单位元等。
具体来说，一个域必须满足以下公理：
加法和乘法满足结合律和交换律。
存在两个元素0和1，满足0是加法单位元，1是乘法单位元。
对于每个非零元素a，存在它的逆元素a-1，使得a×a-1=1。
域中的乘法满足消去律，即对于任意a,b,c，如果a≠0且ab=ac，则有b=c。
数域是域的一个特殊例子，它是一个包含了足够多的数的域，以满足域的所有公理。
例如，有理数域、实数域和复数域都是数域。
数域f的特征
数域f的特征
特征为零的数域f是指在该数域中加法单位元和乘法单位元相同为零的数域。
这意味着在这样的数域中，任何元素和零相加都等于其自身，任何元素和零相乘都等于零。
数域的特征对于数学领域有着重要的意义，并在代数学、几何学等领域中有着广泛的应用。
在数学中，特征为零的数域f通常用来研究线性代数、群论、环论等代数结构。
在线性代数中，特征为零的数域f可以用来研究向量空间、线性变换等概念。
特征为零的数域f中的元素可以表示为标量乘以向量的形式，这有助于简化向量空间的运算和表示。
在群论和环论中，特征为零的数域f也有着重要的应用，例如在研究置换群、环的理想等方面。
特征为零的数域f还可以用来研究多项式环和域扩张等问题。
在多项式环中，特征为零的数域f可以用来表示多项式的系数，这有助于研究多项式的因式分解、根的性质等问题。
在域扩张中，特征为零的数域f可以用来构造域的扩张，例如有限域、代数闭域等。
除了代数学领域，特征为零的数域f还在几何学中有着重要的应用。
在代数几何学中，特征为零的数域f可以用来研究代数曲线、代数曲面等几何对象。
特征为零的数域f中的元素可以表示为多项式的根，这有助于研究代数曲线的性质、切线、切点等几何问题。
总的来说，特征为零的数域f在数学领域中有着广泛的应用，涉及
到线性代数、群论、环论、多项式环、域扩张、代数几何等多个方面。
特征为零的数域f的性质和结构对于理解和解决数学问题具有重要意义，同时也为数学研究提供了丰富的范例和方法。
通过对特征为零的数域f的深入研究，我们可以更好地理解和探索数学的奥秘，推动数学领域的发展和进步。
1.数域
而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
8/9
练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
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Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
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例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个 数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。
证：由题设任取 a,b P, 有
0 a a P, a P (b 0), b
1 b P (b 0), b
中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数
集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．
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例1．证明：数集 Q( 2) a b 2 | a,b Q
是一个数域． 证：Q 0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2)
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（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q 2.
a b P,
a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
a 1
P,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一个数域．
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二、数域的性质定理
第一讲 多项式
第一讲 多项式一、数域的判定 1、数域的概念设P 是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P 为一个数域。
2、常见的数域有理数域Q ，实数域R 和复数域C 。
3、数域的有关结论（1）所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域是最小的数域；（2）在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他数域。
要求准确掌握数域的定义，能用定义正确判断一个数集是不是一个数域，能用定义推导数数域的性质。
例1、设P 是一个数集，有一个非零数a P ∈，且P 关于减法，除法（除数不为0）封闭，证明P 是一个数域。
例2、下列各数集是否构成数域？说明原因。
（1）{}1,P a a b Q =+∈；（2）{}2,P a b Q =+∈。
例3、证明：实数域和复数域之间不存在其他的数域。
二、一元多项式的概念 1、一元多项式的概念 形式表达式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域P 上文字x 的一元多项式，其中01,,,n a a a P ∈ ，n 是非负整数。
当0n a ≠时，称多项式()f x 的次数为n ，记为()()f x n ∂=或()()deg f x n =，并称n n a x 为()f x 的首项系数。
i i a x 称为()f x 的i 次项，i a 称为()f x 的i 次项系数。
当10n a a === ，00a ≠时，称多项式()f x 为零次多项式，即()()0f x ∂=；当100n a a a ==== 时，称()f x 为零多项式。
零多项式是唯一不定义次数的多项式。
注：这里多项式中的x 看作一般的文字或符号，它可以是变数（中学讲述的多项式即为如此），也可以是矩阵、线性变换等，具有更一般的意义。
这里把多项式看成一种形式上的表达式（中学数学将多项式看成一类函数），其中的“+”号并不意味着“加”， i i a x 也并不意味“乘”和“乘方”。
1.1 数域
(a b 2) (c d 2) (a c) (b d ) 2 Q( 2) ；
(a b 2)( c d 2) ac ad 2 bc 2 2bd (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2) ；
设 a b 2 0 a b 2 0 (若 a b 2 0 a b 2
如果 b 0 a 0 a b 2 0 ,矛盾；如果 b 0 2 a ,矛盾)
b
cd ab
2 (c d 2 (a b
2)(a b 2)(a b
n
n
题成立, 即 Q P .
□
作业: 1) 证明 P 3 例 2.
2) 存在非零数的数集 P 是数域 a,b P, a b, a (b 0) P .
b
例1 设 Q( 2) { a b 2a,bQ },证明 Q( 2) 是数域.
证明: 1) 取a b 0 0 0 2 Q( 2) 0,1Q( 2) .
取a 1, b 0 1 0 2 Q( 2)
2) a b 2, c d 2 Q( 2) (a,b, c, d Q)
性质 1 设 P 是数域 Q P .
凡数域均包含有理数域,即有理数域是最小数域(就包含关
系而言).
n
证明: P 是数域→1, 0 P n N , n 1 1 1 P, 0 n n P ,
即 Z P a Q, a m , m, n Z , 由 P 对÷封闭知 a m P 命
近世代数的思想方法逐步影响高等代数, 数域即是一例
高等代数：数环与数域
复数域是最大的数域, 它是任何数域的一个扩域.
数环的性质证明
证明：1)数环必包含0; 2)如果一个数环包含有不等于
0的数, 则它必含有无穷个数.
证：1)设S为任意数环,
由数环非空知, 至少有某数a∈S,
又由数环的概念有a-a=0∈S.
2)由1)有a+a=2a∈S, a+2a=3a∈S, …, a+(n-1)a=na∈S,
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
(3)数域必包含1, 数环则不一定.
联系：数域一定是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
2)问：K1∪K2也是数域吗？为什么？
1)证：∵Q⊆K1∩K2, ∴K1∩K2包含非零的数,
任取a, b∈K1∩K2, 则a, b∈K1, 且a, b∈K2,
∴a-b∈K1, 且a-b∈K2, ∴a-b∈K1∩K2;
数论中的数域与数论函数
数论中的数域与数论函数数论作为数学的一个重要分支，探讨了整数的性质和结构。
在数论的研究过程中，涉及到了许多与数域相关的概念和数论函数。
本文将介绍数论中的数域以及常见的数论函数，并探讨它们在数论中的应用。
一、数域1.1 整数域整数域是最基本的数域，用符号Z表示。
整数域包括正整数、负整数和0，利用整数域可以进行基本的加减乘除运算，并且满足加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、分配率等性质。
1.2 有理数域有理数域是由所有可以表示为两个整数比的数构成，表示为符号Q。
有理数域包括整数域以及所有形如a/b（其中a、b为整数，b≠0）的数。
在有理数域上，可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且满足分数的加、减、乘、除的运算规则。
1.3 实数域实数域用符号R表示，包括有理数和无理数。
实数域上可以进行基本运算，并且满足实数域的完备性，即实数域上的每个非空有上界的子集都有最小上界。
1.4 复数域复数域用符号C表示，由实数域R上的有序对（a,b）构成，其中a 和b都是实数。
复数域上可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且满足复数域的代数封闭性，即复数域上的任何多项式方程都有根。
二、数论函数2.1 除法函数除法函数指的是整除函数和求余函数。
整除函数d(x,y)表示x能否被y整除，如果能整除，则d(x,y)=1，否则d(x,y)=0。
求余函数r(x,y)表示x除以y的余数。
2.2 最大公因数函数最大公因数函数指的是求两个或多个整数的最大公因数的函数。
常用的求最大公因数的算法有辗转相除法、质因数分解法等。
最大公因数函数常用符号表示为gcd(x,y)，表示x和y的最大公因数。
2.3 最小公倍数函数最小公倍数函数指的是求两个或多个整数的最小公倍数的函数。
常用的求最小公倍数的算法有质因数分解法、辗转相除法等。
最小公倍数函数常用符号表示为lcm(x,y)，表示x和y的最小公倍数。
2.4 欧拉函数欧拉函数用符号φ(n)表示，表示小于等于n的正整数中与n互质的个数。
数域的判定
题目：数域的判定研究问题：数域方法：定义法例题：例1.证明两个数域之交是一个数域设A和B是两个数域，若存在两个数x,y∈A∩B,且y≠0,则由于x,y∈A,x/y∈A;x,y∈B,x/y∈B,所以x/y∈A∩B.即A∩B是一个数域.例2.证明两个数域“之并”未必是数域.如：A={x|x=a+b√2,a,b∈Q}B={x|x=a+b√3,a,b∈Q}看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域例3.判断下列说法是否正确。
（1）自然数集N及整数集Z都不是数域。
解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1 不满足这一条。
（2）奇数集不是数域。
解：对的例4.证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约。
方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式. 由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n.而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1.因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n.多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾.所以f(x)不可约.例5.设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵由已知,存在可逆矩阵Q满足 Q^-1AQ = diag(a,a,...,a) = aE所以 A = Q(aE)Q^-1 = aQQ^-1 = aE例6.设A是数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,如果A在P上相似于对角矩阵,证明A=aE为数量矩阵由于A可对角化,故A的最小多项式无重根（这是个定理）又由于a为A的n重特征根,故A有n个初等因子,都为λ-a故A的若当标准型为diag(a,a,...,a)故存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=diag(a,a,...,a)=aE（此也为定理）故A=PaEP^(-1)=aE例7.设 A是数域P 上一个N*N 阶矩阵,证明 A与 A^T相似设x1 x2 .xn 为A的特征值a1,a2,...,an对应的特征向量,记X=[x1,x2,...,xn] 其是可逆的则有 X^(-1)AX=diag(a1,a2,...,an)又有X'A'X'^(-1)=diag(a1,a2,...,an)故有X'A'X'^(-1)=X^(-1)AX进而有 (XX')A'(XX')^(-1)=A故有A和A' 相似例8.设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵T使得T^-1AT为上三角矩阵.证明：设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似, 即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,J1 λi 1J2 λiJ= .Ji=.1Jn 为Jordan标准型,而λi ,i=1,2,...,s由于λi都为实数,所以J为上三角形实矩阵.又由QR分解原理,矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵,则有P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J,即T^(-1)AT=SJS^(-1)由于S,J,S^(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.证毕.例9.设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n，A与B是V的线性变换，B可对角化，A B-BA=A,证：存在正整数m，使得A的m次幂是零变换证明：对B的任何一个特征向量X, 设BX = λX, 即X是B的属于特征值λ的特征向量. 由AB-BA = A, 有ABX-BAX = AX, 故λAX-BAX = AX, B(AX) = (λ-1)AX.若AX非零, 则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量.重复上述过程, 若A²X非零, 则A²X是B的属于特征值λ-2的特征向量.依此类推, 直至第n次: 若(A^n)X非零, 则(A^n)X是B的属于特征值λ-n的特征向量. 但V的维数为n, B不可能有n+1个特征值λ, λ-1,..., λ-n.所以对某个k ≤ n, 有(A^k)X = 0, 从而也有(A^n)X = 0.由B可对角化, 其特征向量构成V的一组基.A^n在V的一组基上都取0, 所以A^n = 0.例10.设A为数域P上的线性空间V的线性变换，证明：①A可逆则A无0特征值；②A可逆，则A－1与A有相同的特征向量，若λ0为A的特征值，则λ0-1为A-－1的特征值证明：（1）用反证法。
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题目：数域的判定
研究问题：数域
方法：定义法
例题：
例1.证明两个数域之交是一个数域
设A和B是两个数域，若存在两个数x,y∈A∩B,且y≠0,
则由于x,y∈A,x/y∈A;x,y∈B,x/y∈B,所以x/y∈A∩B.即A∩B是一个数域.
例2.证明两个数域“之并”未必是数域.
如：
A={x|x=a+b√2,a,b∈Q}
B={x|x=a+b√3,a,b∈Q}
看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域
例3.判断下列说法是否正确。
（1）自然数集N及整数集Z都不是数域。
解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1 不满足这一条。
（2）奇数集不是数域。
解：对的
例4.证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约。
方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.
用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式. 由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.
依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n.
而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.
且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1.
因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n.
多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数< n (g(x)与h(x)的次数都小于n),
于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾.
所以f(x)不可约.
例5.设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵由已知,存在可逆矩阵Q满足Q^-1AQ = diag(a,a,...,a) = aE
所以A = Q(aE)Q^-1 = aQQ^-1 = aE
例6.设A是数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,如果A在P上相似于对角矩阵,证明A=aE为数量矩阵
由于A可对角化,故A的最小多项式无重根（这是个定理）
又由于a为A的n重特征根,故A有n个初等因子,都为λ-a
故A的若当标准型为diag(a,a,...,a)
故存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=diag(a,a,...,a)=aE（此也为定理）
故A=PaEP^(-1)=aE
例7.设A是数域P 上一个N*N 阶矩阵,证明A与A^T相似
设x1 x2 .xn 为A的特征值a1,a2,...,an对应的特征向量,记X=[x1,x2,...,xn] 其是可逆的则有X^(-1)AX=diag(a1,a2,...,an)
又有X'A'X'^(-1)=diag(a1,a2,...,an)
故有X'A'X'^(-1)=X^(-1)AX
进而有(XX')A'(XX')^(-1)=A
故有A和A' 相似
例8.设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵T使得T^-1AT为上三角矩阵.
证明：
设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似,
即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,
J1 λi 1
J2 λi
J= .Ji=.1
Jn 为Jordan标准型,而λi ,i=1,2,...,s
由于λi都为实数,所以J为上三角形实矩阵.
又由QR分解原理,矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵,则有
P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J,即T^(-1)AT=SJS^(-1)
由于S,J,S^(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.
证毕.
例9.设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n，A与B是V的线性变换，B可对角化，AB-BA=A,证：存在正整数m，使得A的m次幂是零变换
证明：对B的任何一个特征向量X, 设BX = λX, 即X是B的属于特征值λ的特征向量.
由AB-BA = A, 有ABX-BAX = AX, 故λAX-BAX = AX, B(AX) = (λ-1)AX.
若AX非零, 则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量.
重复上述过程, 若A²X非零, 则A²X是B的属于特征值λ-2的特征向量.
依此类推, 直至第n次: 若(A^n)X非零, 则(A^n)X是B的属于特征值λ-n的特征向量.
但V的维数为n, B不可能有n+1个特征值λ, λ-1,..., λ-n.
所以对某个k ≤n, 有(A^k)X = 0, 从而也有(A^n)X = 0.
由B可对角化, 其特征向量构成V的一组基.
A^n在V的一组基上都取0, 所以A^n = 0.
例10.设A为数域P上的线性空间V的线性变换，证明：
①A可逆则A无0特征值；
②A可逆，则A－1与A有相同的特征向量，若λ0为A的特征值，则λ0-1为A-－1的特征值
证明：（1）用反证法。
若λ＝0是特征值，ξ是对应的特征向量，那么：
Aξ＝λξ＝0
于是，一方面：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)[0]=0
另一方面：A^(-1)[Aξ]=[A^(-1)A]ξ=ξ≠0
这就得出矛盾。
因此，A可逆则A无0特征值。
（2）设ξ是λ0对应的特征向量，那么：Aξ＝λ0ξ
两边作用A^(-1)得：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)λ0ξ
λ0A^(-1)ξ=ξ
A^(-1)ξ=(1/λ0)ξ
即：λ0-1为A-－1的特征值
注意事项及反思：数域是高等代数中多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、欧式空间、双线性函数等都是在一定数域的基础上建立起来的，所以做题时一定要注意是哪种数域。
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