自动控制原理 第8章习题解答(非线性系统分析)
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自控例题解析
·43·第8章 非线性控制系统的分析例题解析例8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性(见图8-1(a))对系统稳定性的影响。
图8-1 稳定性分析解：由等效增益定义x y K /=知，等效增益曲线如图8-1(b)所示，其中∆=/M K m 。
设系统不存在非线性时，临界稳定增益为K c ，于是① 若K c >K m ，如图8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益K c ，所以系统稳定 ② 若K c <K m ，如图8-1(c )所示，其中x 0=M./K c ，则当x<x 0时，因m K K >，系统不稳定，x 发散；当x 增加至使x >x 0时，此时m K K <，系统稳定，x 收敛；当x 减小至使x <x 0时，重复上述过程。
可见，在这种情况下，系统将出现以x 0为振幅的自激振荡。
③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。
不论原系统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以x 0为振幅的自激振荡。
例8-2 试求图8-2所示非线性环节的描述函数。
（a ） （b ）·44·图 8-2 非线性环节解：（1）对于图8-2（a ），因为t X x x y ωsin ,3==且单值奇对称，故A1＝03204320432043sin 4sin 1sin 11X t td X t d t X t td y B ====⎰⎰⎰πππωωπωωπωωπ21143)(X X A j X B X N =+=图 8-3（2）对于图8-2（b ），因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联，所以 K XMX N X N X N +=+=π4)()()(21 例8-3 试将图8-4（a ），（b ）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。
（a ） （b ）图 8-4解：（1）G 1与G 2是小回路的负反馈，则2111G G G G +=从而得典型结构，见图8-5。
自动控制原理第八章习题答案
第八章 非线性控制系统分析练习题及答案8-2 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解 令 x=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解8-1所示。
可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~xx 平面上任意分布。
8-3 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) x xx ++=0 (5) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x xx x x解 （1） 系统方程为x -2 -1 -13 0 131 2x-6 0 0.385 0 -0.385 0 6 x 11 2 01 0211图解8-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+I I >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x令0x x ==，得平衡点：0e x =。
系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxxx x dx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（a ）所示。
图解8-2（a ）系统相平面图（5） xx x 112=+ ① 2122x x x+= ② 由式①： x xx 211=- ③ 式③代入②： ( )( )x xx x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令 x x110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨⎧-==--414.0414.20122,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式x xdxdx x x x 1111112===+α xx 112=-α 计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（b ）所示。
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
自动控制原理(孟华)第8章习题答案070520
第八章 非线性控制系统习题答案8-1 解:由原方程得：2225.03)5.03(),(x x x x x x x x x x f x--+-=----== ，令0==x x，得：0)1(2=+=+x x x x ，解出奇点为：1,0-=x 。
在0=x 处，特征根为：984.025.02,1j s ±=，显然为不稳定的焦点。
在1-=x 处，特征根为：225.45.02,1±=s ，显然为鞍点。
概略画出奇点附近的相轨迹如下：-1习题8-1相轨迹图8-2解:原方程可改写为：⎩⎨⎧=-+≥=++0II 0Ix x x x x x x x 0,：0,：系统的特征方程及特征根为：⎪⎩⎪⎨⎧+-==+±-==++)(618.0,618.1,01II )(2321,01I 2,122,12鞍点－：稳定焦点：s s s js s s 推导等倾线方程：xx dx xd --==1α，则有：x x xβα=+-=11 ，即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≥--=0,11II 0,11I x x βαβα：：，画出系统相平面如下：习题8-2相平面图8-3 （1）解：相平面上任一点的相轨迹斜率为：x xxdxx dsin+-=，由=dxx d，得：),2,1,0(±±==kkxπ，因此在相平面的x轴上，),2,1,0(±±==kkxπ的点均为奇点。
在x轴上满足),2,1,0(2±±==kkxπ的所有奇点附近，由泰勒级数展开来验证这类奇点为稳定焦点。
在x轴上满足),2,1,0()12(±±=+=kkxπ的所有奇点附近，由泰勒级数展开来验证这类奇点为鞍点。
绘制相轨迹如下图所示：习题8-3（1）相轨迹图（2）解：原方程可改写为：⎩⎨⎧=-≥=+IIIxxxxxx0,：0,：系统的特征方程及特征根为：⎪⎩⎪⎨⎧±==±==+)(1,01II)(,01I2,122,12鞍点－：中心点：ssjss推导等倾线方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥11xxxxxx,＝,－＝αα，画出系统相平面如下：习题8-3（2）相轨迹图（3）解：令0==xx，得0sin=x，得出系统的奇点：,2,,0ππ±±=x当,2,1,02±±==kx，κπ时，令2xx+=κπ，可以验证奇点,2,1,02±±==kx，κπ为中心点。
《自动控制原理》第八章 非线性控制系统分析
第八章 非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述1. 研究非线性控制理论的意义以上各章详细地讨论了线性定常控制系统的分析和设计问题。
但实际上，理想的线性系统并不存在，因为组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性。
以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象，如图8-l(a)所示；执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，而当电枢电压超过一定数值时，电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特性如图8-1(b)所示；又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性，如图8-1(c)所示。
在图8-2所示的柱形液位系统中，设H 为液位高度，Q i为液体流入量，Q o 为液体流出量，C 为贮槽的截面积。
根据水力学原理0Q k H = (8-1)其中比例系数k 是取决于液体的粘度和阀阻。
液位系统的动态方程为0i i dH CQ Q Q k H dt =-=-显然，液位H 和液体输入量Q i 的数学关系式为非线性微分方程。
由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。
一般地，非线性系统的数学模型可以表示为：(,,...,,)(,,...,,)n m n m d y dy d r dr f t y g t r dt dt dt dt =(8-3)其中f(·)和g(·)为非线性函数。
当非线性程度不严重时，例如不灵敏区较小、输入信号幅值较小、传动机构间隙不大时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。
例如，设图8—2液位系统的液位H 在H 0附近变化，相应的液体输入量Q i 在Q i0，附近变化时，可取ΔH =H −H 0，ΔQ i =Q i −Q i0,对√H 作泰勒级数展开。
自动控制原理第八部分非线性控制系统分析
8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
在一个控制系统中,包含有一个以上的非线性元件，
就构成了非线性系统。 控制系统中的典型非线性特性有：
8.2.1 饱和特性 饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：
xa ka y kx x a ka x a
对系统的影响：
y
上的斜率应大小相等，符号相同。
( x , x )
x
图8-15
相轨迹对称于原点
f ( x, x ) f ( x, x )
(8-14)
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程
x dx dx f ( x, x) 可知,相上的
点
只要不同时满足x 0, f ( x, x ) 0 ( x, x )
例8-1.设系统的微分方程为：
x
x x 0 x
其相平面图如右图所示 （绘制方法在下节介绍）
D
0
E
C
图中的箭头表示系统的 状态沿相轨迹的移动方向。
1 A B
x
p
图8-9 例8-1的相平面图
18
由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说 明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。
f ( x, x )
x(t), 也可以写成以t为参变量的形式，用 这个 来表示。
x f (x )
x(t)
x
x
t 图8-8 方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和 作为平面的直角坐标，则 x 系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当 t 变化时， ( x, x ) 这一 点 x x 平面上将绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。 在 它描述系统的运动过程。 2.相平面: x 平面称为相平面。对于一个系统，初始条件 x 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。 若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
自动控制原理-第8章非线性控制系统
8非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u为电机的控制电压，纵坐标为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A1OA2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B1OB2区段•那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件（如晶体管、铁心等）都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。
自动控制原理答案(第八章)
o o
− 90
o
o
− 45
o
= −180
(d) Angle of departure
K > 0:
−θ 1 − θ 2 − θ 3 − θ 4 = −180 −θ 1 − 135
o
o o
− 135
o
o
− 90
o
= −180
θ 1 = −180
121
(e) Angle of arrival
K < 0:
Asymptotes:
K > 0:
,
270
o
K < 0:
0 ,
o
180
o
Intesect of Asymptotes:
σ1 =
Breakaway-point Equation: Breakaway Points:
0, s
5
0
+ 0 − 8 − 8 − ( −4 ) − ( −4 )
4 s
4
−2
3
+ 20
90
and
K < 0:
0
o
and
180
o
σ1 =
Breakaway-point Equation:
2s
3
0
− 5 − 6 − ( −8 )
3 s ,
2
−1
s
= − 1.5
+ 35
+ 176
+ 240 = 0 − 9 . 7098
Breakaway Points: Root Locus Diagram:
− 1, − 2 . 5
6
(c) Breakaway-point Equation: 3 s + 54
自动控制原理 第8章非线性控制理论系统
第8章 非线性控制系统分析
3
典型非线性特性
饱和非线性可以由磁饱和、放大器输出饱和、功率限制等引起。一般情况下， 系统因存在饱和特性的元件，当输入信号超过线性区时，系统的开环增益会有大 幅度地减小，从而导致系统过渡过程时间的增加和稳态误差的加大。但在某些自 动控制系统中饱和特性能够起到抑制系统振荡的作用。因为在暂态过程中，当偏 差信号增大进入饱和区时，系统的开环放大系数下降，从而抑制了系统振荡。在 自动调速系统中，常人为地引入饱和特性，以限制电动机的最大电流。
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
9
典型非线性特性
图8.4 继电器非线
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第8章 非线性控制系统分析
10
8.1.2 非线性系统的特点
非线性元件系统与线性控制系统相比，有如下特点：
1. 叠加原理不适用于非线性控制系统。即几个输入信号作用于非线性控制系 统所引起的输出，不再等于每一个输入信号所引起的输出之总和。
同时满足 x 2 0，f(x1,x 2 ) 0 的特殊点，由于该点相轨迹的斜率为0/0，是一
图8.6 相平面图
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
16
8.2.2 相轨迹的性质
在相平面的分析中，相轨迹可以通过解析法作出，也可以通过图解法或实验
法作出。相轨迹一般具有如下几个重要性质：
间 之 向，是t 1在的x.相1相推的轨平移减迹面，小运下系方动半统向方平状，向面态即的上沿向确，相左定由轨运于迹在动x的相。2<运平0动，面方表的向示上是随半x着平1的时面增间上t大，的方由推向于移x，2，即>0相向，轨右表迹运示的动随运。着动反时方
自动控制原理
第8章 非线性控制系统分析
《自动控制原理》---丁红主编---第八章习题答案
8-1已知非线性环节的特性如图8.1a 所示，试计算该环节的描述函数。
答：方法一：由图8.1a 所示，,0...............0...............⎩⎨⎧<->+=x A Kx x A Kx y 令代入则可以得到, 因为非线性特性为奇函数，所以=0,A 1=,B 1==在此处键入公式。
可以得到B 1=KX+4,所以该非线性环节的描述函数为 。
方法二：图8.1a 所示的非线性特性可以看作是图8.1b ，图8.1c 叠加而成的。
图8.1b 对应的非线性环节的描述函数为。
图8.1c 对应的为理想继电器非线性，其描述函数为。
所以，图8.1a 对应的飞线性特性描述函数为。
8.2.试绘制0=++x x x &&&非线性系统的相平面图。
答：y 0 -a a x k （a ） y 0 xk （b ） y（c ）0 -aa x由题意，此方程可以改写为：,开关线为x=0。
当x>0时，相轨迹方程对应的特征方程为+λ+1=0，，由可以得到.故奇点为稳定的焦点。
当x<0时，相轨迹方程对应的特征方程为+λ-1=0,,由可以得到此时的奇点为（0,0），奇点为鞍点，推导等倾线方程。
令=α，可以得到等倾线方程为,令等倾线的斜率为k ，即可以得到，得到,列写表格如下表所示。
K -3 -2 -10 1 2 3 +∞,8.3.系统方框图如图8-29所示，其中K>0，T>0。
当非线性元件N分别为理想继电特性;死区继电特性;滞环继电特性;带死区和滞环的继电特性，在cc&-相平面上绘制相平面图。
8-29系统方框图（1）具有死区的三位置继电特性线性部分的微分方程为当继电特性为具有死区的三位置继电特性时，上式可以写成分段微分方程为：C(t)r = 0- )1(+TssKN(e)e)开关线为,两条开关将相平面划分为三个线性区域，下面分区绘制相轨迹在区域，相轨迹方程为：类似于具有饱和特性的非线性控制系统时的讨论，像平面与该区域无奇点，相轨迹均渐进于的直线。
自动控制原理第8章
y f ( x)
输入为
x X sin t ，输出为 y ( t ) f ( X sin t ) ，它是一个非正弦的
周期函数。展成富氏级数：
第8章 非线性系统分析
y ( t ) A0 A0
(A
n 1
n
cos n t B n sin n t )
2．死区特性的描述函数 死区特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 如图。
a
0
y
y
K
a
x
0
1
1 2
t
0
x
1
1
2
1
t
死区特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
其输出表达式为
y (t )
0
0≤ t≤ 1
K ( X sin t a )
Y
n 1
n
sin( n t n )
An 1
其中：
A0
1 2
2
y (t ) d t
0
2
y ( t ) cos n td t
0
Bn
1
2
y ( t ) sin n td t
0
Yn
An B n
2
2
n arctan
An Bn
设非线性特性均为对称奇函数， A 0
0
x a
x≥a x ≤ a
控制系统中的测量元件、执行部件以及放 大器都存在着不灵敏区。
y
K (xa) K (x a)
死区特性元件等效于一个变增益元件，在死区 范围内，等效增益为零，大于死区后，等效增益随 输入信号的增大在增大，但等效增益总是小于原来 的 K 值。
《自动控制原理》(卢京潮,西北工业大学)第八章习题及答案[1]
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&1 ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x ⎢x ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ & ⎢ 2 ⎥ = ⎢ − 2 − 3 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢ 2⎥ u ⎢ &3 ⎥ 2 − 3⎥ ⎣0 ⎦⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = x1 = [1 0 0]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
181
由上式，可列动态方程如下
⎡ &1 ⎤ ⎢0 ⎡x 1 ⎥ ⎢x ⎢ & 0 ⎢ 2 ⎥ = ⎢0 R f + K bCm a m ⎢ &3 ⎥ ⎦ ⎢0 − ⎣x La J m ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 La f m + J m R a ⎥ ⎥ − La J m ⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎢ x ⎥ + ⎢0 ⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎢ Cm
182
⎡ ⎢ 0 由上式可得变换矩阵为 T = ⎢ 0 ⎢C ⎢ m ⎢ ⎣ Jm
8-2
1 0
⎤ 0 ⎥ 1 ⎥ f ⎥ 0 − m⎥ Jm ⎥ ⎦
&& + 6 & & + 11y & + 6 y = 6u 。式中 u 和 y 分别为系统输入、输 设系统微分方程为 & y y
出量。试列写可控标准型（即矩阵 A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵 A 为友矩阵转置) 状态空间表达式，并画出状态变量图。 解： 由题意可得：
0⎤ ⎥ et ⎦
187
( sI − A) −1
⎡s + 1 0 ⎤ =⎢ s − 1⎥ ⎣ 0 ⎦
自动控制原理胡寿松 第8章
非线性元件用一个对正弦信号的幅值和相位进行变换的环 节来代替
N ( A) X 1 j1 e A
为A和 的复函数
其中：
A为正弦输入信号的振幅 X 1为输出信号的基波分量 的振幅
1为输出信号基波分量相 对输入正弦信号的相移 当非线性特性为单值奇函数时，A1 0 1 0
N ( A) B1 A
非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性元 件，即称为非线性系统。其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性 本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有关 外，还与起始偏差的大小有关 。 系统的响应形式与输入信号的大小 和初始条件有关。
假设线性部分是最小相位环节，非线性系统稳定性判断规则如下：
1 曲线则系统稳定，两者距离越远，稳定程度越高 N ( A) 1 （b） G ( jw) 包围 曲线则系统不稳定 N ( A) 1 （c） G ( jw) 与 曲线相交，则非线性系统存在着周期运动，它 N ( A)
（a） G ( jw) 不包围
4. 非线性系统结构图的简化
（1）由两个并联的非线性部件和线性部分串联而成
可以将两个非线性特性进行叠加，对叠加后的特性求其 描述函数N（A）。也可以先求各非线性特性的描述函数， 之后叠加得总描述函数N（A）,二者完全相同。 非线性环节并联后，总的描述函数等于各非线性环节描述 函数之和。
（2）当两个非线性环节串联时而成
(1)控制系统的稳定性分析
C ( j ) N ( A)G( j ) R( j ) 1 N ( A)G( j )
特征方程为 1 N ( A ) G ( jw ) 0
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
自动控制原理第8章
第八章 非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系
自动控制原理第8章 非线性控制系统
13
参数M、B和K均是正的常数，而k′可为正，也 可为负。如果为正，弹簧就称为硬弹簧；如果为负， 则称为软弹簧。系统非线性的程度用K的值来表征。 非线性微分方程(8-1)称为杜芬(Duffing)方程，它常 常在非线性力学中进行讨论。如果该系统受到一个 非零初始条件的作用，则方程(8-1)的解代表一个阻 尼振荡，在实验中可观察到： 1、当振幅减小时，自由振荡的频率或减小， 或增加，这分别取决于 K ′ > 0或 K ′ < 0 ； 2、随着自由振荡的振幅减小，频率将保持不 变，这时系统又相当于一个线性系统。
& & f ( x, x ) − f ( x, − x ) = 或 & & x −x & 即 f ( x, x)是关于 x 的偶函数。 & & & f ( x, x ) = f ( x, − x )
自动控制原理
23
& 若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在 ( x, x) & 和(- x, − x)点上的斜率相等，符号相同，应有
自动控制原理
8
1.稳定性分析复杂: 在研究非线性系统的稳定性问题时，必须要 明确两点： a.指明给定系统的初始状态或输入信号 b.指明相对于哪一个平衡状态来分析系统的 稳定性。 2.系统的零输入响应形式: 线性系统的零输入响应形式与系统初始状态 的幅值无关 。某些非线性系统的零输入响应形式 与系统的初始状态有关。当初始状态不同时，同 一个非线性系统可能有不同的响应形式，如单调 收敛、振荡收敛或振荡发散等。
自动控制原理
22
&& + f ( x, x) = 0 & x
& dx & = && = 图的对称性 相平面图的特点
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对于图
(a) 所示情形，G (
jω )
与
−
1 N
无交点，非线性系统不会产生自持振荡，
该非线性系统也是稳定的；
对于图 (b) 所示情形，G ( jω ) 与 − 1 有两个交点，其中交点 A 是稳定交点，
N
该非线性系统会产生自持振荡。
2 时， N(A)取极值。
2
−1
= − π ≈ −0.39
N ( A) A= 2
8
2
( ) （4）计算自振参数
− 1 =G N ( A)
jωg
A1 = 12.72 ，A2 = 0.503
即：系统将产生自振，振荡角频率为 ωg = 1 rad s ，振幅为 A = 12.72
12
【解】（1）将系统方框图化为标准结构
分析可得， ∆1 = 0.5
11
得系统等效方框图为：
（2）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
与负实轴的交点处，ωg = 1
G( jω) =
10
=5
ω ⋅ ( 1+ ω 2 )2 ω =ωg
−0.39
（3）绘出非线性部分的
−
1 N
曲线
计算可得，当 A =
2e0 =
解得：
∆1
=
∆ k
+α
4
习题8.4 设有非线性控制系统，其中非线性特性为斜率 k = 1的饱
和特性。当不考虑饱和特性时，闭环系统稳定。试分析该非线性控制系统 是否有产生自持振荡的可能性。 【解】不考虑饱和因素时，稳定的线性系统的开环频率响应形式有多种，例如：
AB
考虑饱和因素，斜率为 k = 1的饱和特性的 − 1 曲线分布在负实轴上
( ) G
jωg
=
K
ωg ⋅ 1+ ωg2 ⋅
=K
ω 2 + 2
2g ωg = 2Fra bibliotek6（2）绘出非线性部分的
−
1 N
曲线
由图可判断，当 0 < K < 6 时，非线性控制系统稳定，K 的临界稳定值为 6
当 K = 10 时，该系统将有稳定的自持振荡存在。
7
习题8.7 某非线性控制系统如图所示。确定使系统稳定的 a, b应为何值。
b 3π
−πa
2b
8
习题8.13 某非线性控制如图所示。试用描述函数法分析系统稳定性。
【解】上图可化简为：
可得线性部分的传递函数为:
G(s)
=
Ks Js2 + K
=
Ks J s2 + K
J
9
（1）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
G(s)
=
Ks Js2 +
K
=
Ks J s2 + K
J
jKω G( jω) = J
5
习题8.5 某非线性系统如图所示。试确定其自持振荡的振幅和角频率。
【解】 （1）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
与负实轴的交点处，ωg = 2 (rad s)
( ) G
jωg
=
10
ωg ⋅ 1+ ωg2 ⋅
=5
ω 2 + 2
2
g ωg = 2
3
（2）绘出非线性部分的
−
1 N
曲线
（3）自振分析
令： − 1 = − 5
习题8.1(a) 化非线性系统为典型结构
G(s)
线性部分的传递函数为：G ( s) = G1 (s) ⎡⎣1+ H1 (s)⎤⎦
1
习题8.1(b) 化非线性系统为典型结构。
可求得等效线性部分的传递函数为：
G
(
s)
=
H1
(s)
⋅
1
G1 (s) + G1 ( s
)
=
G1 (s) H1 (s) 1+ G1 (s)
N3
πA=5
43
A = 20
3π
即自振的振幅是：A = 20 ，角频率是 ω = 2 rad s 3π
6
习题8.6 设有如图所示非线性控制系统。试应用描述函数法分析当
K = 10 时系统的稳定性，并求取 K 的临界值。
【解】（1）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
与负实轴的交点处，ωg = 2 (rad s)
K −ω2
J
G ( jω )曲线分布在整个虚轴上，方向与虚轴方向相同。
(−1, j0)所在的左半平面为稳定区域。 （2）绘出非线性部分的 − 1 曲线
N 曲线分布在负实轴上 (−∞, −1) 段。
（3）稳定性分析 由于 − 1 曲线位于左半平面（稳定区域）， N ( A)
所以该非线性系统稳定。
10
习题8.14 试确定该系统的自持振荡的振幅与角频率。
2
习题8.1(c) 化非线性系统为典型结构
可求得等效线性部分的传递函数为：
G(s) =
Ks Js2 + K
=
J
s s2 +1
K
3
习题8. 2 试将串联的非线性特性 N1与N2变换为一个等效非线性特性 N。
解：
α
等效的非线性环节
其中，∆1 满足方程：
∆ = x1 = k ( x −α ) = k (∆1 −α )
【解】（1）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
与负实轴的交点处，ωg = 2 (rad s)
( ) ( ) G
jωg
=
2
=2
ωg ⋅ 1+ 0.5ωg 2 ⋅ 1+ ωg2 ωg = 2 3
（2）绘出非线性部分的 − 1 曲线 N
欲使该非线性系统稳定，则应
πa > 2
2b 3
即，参数 a, b 应满足： a > 4