§4.2-换元积分法(第一类换元法)

§ 4.2 -换元积分法（第一类换元
§ 4.2 换元积分法
I 授课题目
§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)
n 教学目的与要求：
1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是 复
合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分"，
d (x) (x)dx
.
2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第 一
类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：
重点：第一换元法的思想，
难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积 分.
W 讲授内容：
一、第一类换元积分法
设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变 量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有
所以根据不定积分的定义可得:
dF( (x))
dx
d£du du dx
f(u)
乎 dx
f[ (x)] (x)。

f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]
以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有
f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .
以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u
(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .
定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则
f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)
如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时
如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么
g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u
[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C
.
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.
例 1 求3e3x dx
角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，
du d (3x) 3dx 3dx du
，
1 5 1 6
3dx 二一(3x 2) d(3x 2)
(3x 2) 3
18
3 2x
^^以^^ e 3x
dx
e 3x 3dx
e u du e u C e 3x C .
首先观察被积函数的复合函数是什么样
的， 看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

例2 cos2xdx 角军 cos2xdx 1
cos2x 2dx = - cos2x (2 x) dx
2 2
令 u 2x ， 显然 du 2dx ，
贝V cos2xdx 1
cos2x 2dx 1
cosudu 1
sinu C 」sin2x C .
2 2 2 2
在比较熟练后，我们可以将设中间变量
过程省略，从而使运算更加简洁。

例 3 (3x 2)5
dx
解如将(3x 2)5
展开是很费力的，不如把
3x
然后
(x)
的
2作为
中间变量, d(3x 2) 3dx
，
3 2x
2 3 2x
2
例5
2
2xe x dx
x 2
2xe dx
e x
(x 2
) dx
e x
dx 2
例6 求X1
x 2
dx
1 2dx=-
1 1 dx=-—
e x2
C
1 1
d(3 2x) In |3 2x| C
.
3 2x
2
(3x
2)5
dx=- (3x 2)
3
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定
积分
计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数 变形转化，再利用第一换元积分法计算•
例 7 求 sin 2
xdx
— (cos2x) 2dx x
寸 sin2x C . (此题利用三角函
数中的降幂扩角公式）
x J x 2
dx
- ( 2x) .1 x 2
dx 2
-
、厂x 2(1 x 2) dx - x 2d(1 x 2)
2 2
2
3
3
-
VUdu
丄 h 2
C -
(1
x 2
f
C
2
2
3
3
：、掌握几种典型的“凑微分”的方法
dx d (ax b)；
旦 7
x n1
dx -d(x n
b) ； e x dx d(e x
)
；
n -dx d(ln x) x a x
dx
』d(a x )
In a
cosxdx d (sin x)；
sin xdx d (cosx)；
secx tan xdx d
(secx)；
2 sec xdx d (tan x)
；
dx
d (arcsin x)
； 2
csc xdx d (cot x)
；
d(arctan x)。

1 x 2
sin 2
xdx
(1 cos2x)dx
2
dx
cos2xdx
2
dx
、a2x2
(a 0)
dx a
dx
叩（；）2
d(x) arcsi n°
a
利用d(x n) nx n1
dx，有如下例题
sin1
— dx
x
丄dx
x
.1
sin Vdx
x (sin x)(1
2)dx
x
(si n1)(1)dx
x x
sin -d(-)
x x
cos^ C
x
例10求x
e cose
x dx
解e x cose x dx= cose x d (e x) sin e x C 利用d(e x) e x dx , d(a x) a x In adx
11求dx
x
e
习题4-
2:2(30)
x
e
x 2 (e ) dx
de x
x 2
(e )
arctane x C .
1
12 dx x
e 1
x
e
x
e 1 dx
x e 1 dx
x
e
x
e
d(e x 1)
e x 1
x ln(e x 1) C .
例13求亠dx
4x 9x
F
面几个例题利用d(ln x)丄dx
x
例14求西
xln x
(|)x
-^
dX
1
(2)
ln
2 1 (2)x
ln3 in 严吨)X
C
此题利用d(a x
)
a x
in adx
dx xln
丄1dx
in x x
1
in
d(i nx) in in x C . 又如习题 4-2:2 (16)
dx x in x in in x
dx
in x in in x in in x in x
1 ----- d in in x in | in in x | C . in
in x
例 15 求 l(2i nx 5)4
dx
x
角军
1 (2in x 5)4
dx — (2in x 5)4
— dx x 2 x
1
4
1
5
(2in x 5) d(2in x 5) (2in x 5) C .
2
10
一次课可以讲到这里
10
丄
dx
1
d i n
x in in x in x
被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次 函数的有理分式函数的不定积分的求法
(例16〜例22六个例题)
例16求貝 (a 0)分子是常数，分母是二次
a x
二项式，没有一次项
1 1 ，/x 、 1 丄 x d(—) - arcta n C . a 1 (x)
2 a a a
a
例17 2
dx
被积函数分母是一个完全平
9x 12x 4
方式
解
被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为
1 , 1 1
------- 2 dx 二一 ---- 2
(ax b) a (ax b)
dx
1
1
2 2 _2
'X
a
1 (^)
a
-dx
2
dx = 1
2 =— 9x 12x 4 3
1
2
(3x 2) 3dx
1
2
(3x 2)
d(3x 2)
1 3(3x 2)
d(ax b)
例18 4 2 d：17分子是常数，分母是二次三项4x 4x 17
d(x
4)1
3
d(x 3)
丄ln|x 4| 1ln |x 3| C
7
7
| C .
式，不是完全平方式
’/2x 1 1
丄 /X 1、小
c ‘ d( ----- ) - arc ta n (— _) C
8 1 (2x 1* ' 4
8 2 4
(
4
)
被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式， 不是完全平方式时可以把分母配方化为 （ax b ）2
c
的形
式，然后利用！上如x C
练习：
求
丈丁4— dx （第一换元积分法
分）
2 2
x 2x 5 (x 1)
4，1
1 , x 1 1 丄 x 1
d = 一 arctan —
2
1
(X 1) 2 2 2
(
2
dx 4x 2 4x 17
dx 16 (2x 1)2 1
16 dx
dx
(x 2 2x 5)
_________
(x 1)
dx 」
-dx
1
例19求
2
dx
x x 12
次三项式且可以分解因式
分子是常数，分母是二
1
x 12 1 (x 3)(x 4)
7(
x 4
dx
-2
x x 12
丄(丄丄)dx 1丄dx 1丄dx
7 x 4 x 3 7 x 4 7 x3
被积函数分母是二次三项式且可以分解因式， 被 积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差 .
例20求
ix x
2 dx 1 x
分子是次多项式，分母是
二次多项式
解 d(x 2
1) 2 xdx
x , 1 2x ,
2dx 2dx 1 x 2 2 1 x 2
£ A(x 2 1} 2l nE 1}
C .
例21求
x
1 11
1 1 x 1 -1n(x
2 2x 10) - ------ --- dx —In( x 2 2x 10) -arctan --------- C 2 9 (x 1)2 1 2
3 3 '
被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式 时，首先把分子凑成分母的导数•
F 面几个例题利用三角函数的微分公式：
2 2
dx
x 2x 10
解 Qd(x 2
2x 10) (2x 2)dx ，
x x 2
2x 10
1 2x
2 2
—~2
2 x 2x 10 x 2
x
2x 1
2x 2 2 , 2 dx 2 x 2 2x 10 1 2x 2 ,
2 dx 2 x 2
2x 10
x 2
2 2x ^dx
1
d(x 2
2x 10) 2
x 2
2x 10 dx x 2 2x 10 丄1 n(x 2
2 2x 10) 1
(x 1)2
9dx
c (X a)(x b)
a C b[(x 1
a)
1 (X b)
d(sin x) cosxdx ；d(cosx) sin xdx ；d(tanx) sec xdx ；d(cotx) csc xdx
(化切为弦) 丄 , sinx ’ sinx
tan xdx= dx= cosx cosx
例 23 求 tan 3
xdx
3
2
tan xdx tan x(sec x 1)dx
例24求 cscxdx
1 , x
x
cscxdx In | tan | C
2
此题用三角万能公式代换也可以
cscxdx =
1
. t tan' 1
dx
2 sin x
t 4
2t 2
2
dt
1 t 2
^dt
t
x
In |t | C In |tan | C 2
例25
5求 secxdx
4
1
cosx d(cosx
)
In cosx C
csc xdx =
sin x
—dx=
2 x
cos —
( x sin —
2 - 2 i
x cos-
2
dx
x x 2sin
cos — 2
2 x sec
-
2.
x
rd
tan
2
因为 x tan 2
.x sin 2 x cos- 2
2 x
2sin 一
2 x x
2sin cos-
2 2
2sin 2
— 2
sin x
1 cosx
cscx cotx .
sin x 例 22 求 tanxdx 解
dx
tan xsec * 2
xdx
sin x
dx cosx
tan xd (tan x)
cosx
1
d (cosx)
」tan 2x In cosx C
2 x In
|tan?| C . 所以
In | cscx cot x | C
解
secxdx
dx 1
dx
sec(x )d (x ^)
cosx
sin (x 2)
In |csc(x 玄)cot(x -2)| C In |secx tanx| C . secxdx In | secx tanx| C
例26求cos3x cos2xdx (利用二角函数积化和差公 式) 和差化积公式 积化和差
sin sin 2 si n — 2
cos —
2
sin cos 1
[sin( 2 )si n( )] sin
sin
2 cos
sin
cos sin
1 [sin( )si n( )]
2
2
；
2 cos cos 2 cos
cos cos 1 [cos( 2
)cos(
)]
2 cos
2
cos
cos
2 sin
2
sin 2
sin sin
1 [cos( 2
)cos( )
]
解
根 据 —三 角函数 的 积 化 和差 公式：
cos3x cos2x
1
(cos5x
cosx)
2
cos3x cos2xdx cos5x cos xdx
2
1 111
— cos5xd5x — cos xdx —sin5x — sinx C 10 2 10 2 '
由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例题
V归纳总结
1.第一换元法是把被积函数g(x)凑成f[ (x)] (x)的形式
然后应用公式
f[ (x)] (x)]dx u(x)[ f(u)du] F u C F (x) C ；
2.要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。

dx 1d(ax b) ； x n 1dx 1d (x n b) ；e x dx d (e x) *
； dx d(ln x) ；
a x dx -^d (a x)；
a n x 1In a
2 2
cosxdx d (sin x) ；sin xdx d(cos x) ；sec xdx d (tanx) ；esc xdx d (cot x)；
3.熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定
积分
dx a x
dx
x a
dx
ax bx c
ex f dx
dx ；
ax bx c x In x In In
x
secxtanxdx d (secx); dx
.1 x2d (arcsin x)；2 d (arctan x).
1 x
W 课堂练习：第一次课P207 1 ,习题
4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19) ;
第二次课2(11)(35)(43)(12)(29).
VD课外作业：第一次课P207习题4-2:
2(1) (2)(4)(6) (7) (8) (9) (13)
(16)(17)(19)
(21 ) (30)
(33).
第二次课2(11) (12) (15) (22)(24)
(34) (35) (43).
(25) (26)(32)
1 dx
d tan。