人教新课标版数学高二选修2-1导学案 椭圆的简单几何性质(一)学生版
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案第一课时椭圆的简单几何性质
2．2．2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质预习课本P43～47，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？[新知初探]椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e ＝ca(0<e <1) [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于a ( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，35答案：B3．若椭圆x 2a 2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．22D ．52 答案：A4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：32由标准方程研究几何性质[典例] [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53．求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35．利用几何性质求标准方程[典例] (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． [解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5． 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4．∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1．(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3， a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1．(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)． (2)离心率e ＝35，焦距为12．解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1．(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，则b 2＝a 2－c 2＝64．当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1．求椭圆的离心率[典例] 设椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33[解析] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33．法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a ．又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． [答案] D[一题多变]1．[变条件]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．解：在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°， ∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中， 有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°， ∴m ＋n sin 75°＋sin 45°＝2csin 60°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22． 2．[变条件，变设问]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2． 又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2， 即2c 2>a 2． ∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22． 故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．层级一 学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32 C ．34D ．64解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A ．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB |． 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m ．∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m ． 6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163． 答案：3或1637．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1． 解得a 2＝45．∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1． 答案：x 245＋y 236＝18．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2，则点A 的坐标是________．解析：设A (m ，n )．由1F A ＝5F B 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋625，n 5．又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1，所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2． 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22． 又∵0<e <1，∴22<e <1． 层级二 应试能力达标1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴长、短轴长B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点 解析：选B c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B ．2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3．故选B ．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1 C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1． 4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m (a －c )a ．①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a．② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ， ∴e ＝c a ＝13．故选A ． 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2．将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52． 因为e >0，所以e ＝5－12． 答案：5－12 6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝ 925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，即8≤d ≤10． 答案：[8,10]7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，可知m >m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m (m ＋2)m ＋3， 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1． 于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， 则a ＝1，b ＝12，c ＝32． 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |．(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1．因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． 故|AF 2|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ． 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ． 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ． 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ．因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22．。
人教新课标版数学高二高二数学新人教版选修2-1导学案 椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1．理解椭圆的简单几何性质.2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.【学法指导】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.【知识要点】1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈准线2．离心率的作用当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.【问题探究】探究点一 椭圆的简单几何性质问题1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？问题4 （1）b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ （2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁？e ＝c a越小，椭圆越圆吗？问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）4x 2＋9y 2＝36与x 225＋y 220＝1； （2）9x 2＋4y 2＝36与x 212＋y 216＝1.例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 跟踪训练1 已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.探究点二 由椭圆的几何性质求方程例2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23； （2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).探究点三 求椭圆的离心率例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.跟踪训练3 如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )A ．－1＋52B ．5－1C ．2＋12D ．2＋1【当堂检测】1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1 B ．x 236＋y 220＝1 C ．x 232＋y 236＝1 D ．x 236＋y 232＝1 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A ．45B ．35C ．25D ．154．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为______.【课堂小结】1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3．求离心率e 时，注意方程思想的运用.【拓展提高】1．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 24＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 216＋y 23＝1 2．椭圆1145222=++a y a x 的焦点在x 轴上，则它离心率的取值范围是 3．椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c2]，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 B．[C ．D ．11[,)32 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点（1）若060=∠PBF ，求椭圆的离心率（2）求证：APB ∠一定为钝角5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。
人教新课标版数学高二B版选修2-1导学案 第二章 椭圆性质1
§2.2.2（1）椭圆的几何性质学习目标1.从椭圆的标准方程出发，针对变量的取值范围、对称性、顶点、离心率几个方向研究椭圆的几何性质。
学习过程【任务一】知识准备1.椭圆的标准方程：2.椭圆中c,的关系是：a,b【任务二】几何性质探究以焦点在x轴上的标准方程为例，探究椭圆几何性质，完成表格。
问题1：【范围】椭圆标准方程中的yx,是否可以取任意实数？如果不是，你能找到变量的取值范围吗？问题2：【对称性】椭圆是否具有对称性？如果有，请写出椭圆的对称轴或对称中心。
问题3：【顶点】椭圆与坐标轴有几个交点？写出这些点的坐标。
分别指出：长轴，短轴，长轴长，短轴长，长半轴长，短半轴长的含义。
问题4：【离心率】同是椭圆，为什么有的椭圆“圆”些，有的椭圆“扁”些，是什么因素影响了椭圆的这一几何性质？离心率的定义：文字语言：字母表达：【任务三】典型例题分析例1：已知椭圆369422=+y x ，判断此椭圆的焦点位置，并求它的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率。
变式训练：已知椭圆16410022=+y x ，求此椭圆的长半轴长，短半轴长，焦点坐标和离心率。
例2：求长轴长和短轴长分别为轴上，焦点在和x 68的椭圆的标准方程。
变式训练：求长轴长和焦距分别为轴上，焦点在和y 5210的椭圆的标准方程。
【任务四】课堂达标练习1.求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率。
（1）81922=+y x （2）14491622=+y x（3）22592522=+y x （4）251622=+y x2.求满足下列条件的椭圆的标准方程。
（1）焦距是12，离心率是6.0，焦点在轴上x 。
（2）长轴和短轴分别在轴上轴，x y ，经过)30(),02(--，，Q P 两点。
人教课标版高中数学选修2-1：《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版
2.2.2 椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标 （一）学习目标1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系；3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响. （二）学习重点1.用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2.椭圆的简单几何性质. （三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用 二.教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页.（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点. 2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a .（ ）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.（ ）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=.（ ）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+.（ ） 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，x 的取值范围取值范围a x a -≤≤. 【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质. 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√. （二）课堂设计 1.知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在x 轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在y 轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2.新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图.）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分； 【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点.研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置.以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度. 探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升（1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b ≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤.说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. （2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称.若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. （3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点.同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-. （4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆.当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=.e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆. ●活动② 巩固基础、检查反馈 例1.根据下列条件求椭圆的标准方程 （1）28,e 3c ==； （2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程. 【知识点】椭圆的标准方程以及离心率. 【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x +=. （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a c a ==∴=. 从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=.当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y +=. 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程.【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=.同类训练 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，∴253m =⇒=. 【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解.【答案】m =3或253. 例2.已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a +=，得离心率e 1ca==. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.1-同类训练 已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点， 0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a .由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.. 例3.如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的方程以及离心率. 【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程.25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c=的距离之比是常数ca(0)a c >>，求点P 的轨迹方程. （记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=.）【答案】221259x y +=.3.课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：222e (1)c bb a e a a==⇒=⇒=-. （三）课后作业 基础型 自主突破1.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为（ ） A.1 B.32 C. 3 D.83 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又c a ＝12，∴2－m 2＝12，∴m＝32.【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题. 【答案】B2.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有（ ）A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝8=，故选B. 【思路点拨】灵活利用椭圆a,b,c 三者关系. 【答案】B3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ） A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43， ∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义. 【答案】A.4.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A.14 B.55 C.12 D.5－2 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝5 5.【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系.【答案】B5.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.【思路点拨】利用条件求a,b,c的值.【答案】y216＋x2＝1.6.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32.则长轴长的取值范围为________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又c2a2＝a2－1a2＝1－1a2≤34，∴1a2≥14，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.【思路点拨】利用离心率的定义建立不等关系. 【答案】2<2a≤4能力型师生共研7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎨⎧2a ＝12，c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6，c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题. 【答案】x 236＋y 29＝18.椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【思路点拨】数形结合解题. 【答案】3 探究型 多维突破9.已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 24＝1.把⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y 代入x 208＋y 204＝1，得22(26)(2)184x y -+=， 即22(3)12x y -+=为所求.【思路点拨】相关点转移法求轨迹.【答案】22(3)12x y -+=.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，S ＝12ab ＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.（2）由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.【思路点拨】建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值得方法确定最值. 【答案】（1）x 24＋y 22＝1；（2）2 6. 自助餐1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（ ） A.8,6 B.4,3 C.2， 3 D.4,2 3 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B. 【思路点拨】利用椭圆的几何性质量的关系解题. 【答案】B2.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且，12:2:1PF PF =则△F 1PF 2的面积等于（ ） A.5 B.4 C.3 D.1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又12:2:1PF PF =，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 【思路点拨】充分利用椭圆的定义求出三角形三边解题. 【答案】B3.已知A ＝{1,2,4,5}，a ，b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为（ ）A.34B.38C.316D.12 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵a ，b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个. 由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2,4,5；a ＝2时，b ＝4,5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38. 【思路点拨】注意椭圆的焦点在y 轴上. 【答案】B4.已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)两个焦点，P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，且当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则椭圆的标准方程为（ ） A.x 212＋y 23＝1 B.x 214＋y 25＝1 C.x 215＋y 26＝1 D.x 216＋y 27＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵当P 在短轴端点时，S △F 1PF 2最大，∴∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝bc ，∵c ＝3，∴b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝12，椭圆方程为x 212＋y 23＝1.【思路点拨】利用几何关系. 【答案】A5.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵(2)33m m m m m m +-=>++，∴m >m m ＋3.即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ==.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12). 【思路点拨】利用离心率的定义建立关系.6.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】解法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2， 而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b23b ＝2a .∴b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设M(c，23b)，代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，∴c2a2＝59，∴ca＝53，即e＝53.【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题.。
甘肃省兰州新区舟曲中学高中数学 椭圆的简单几何性质导学案 新人教版选修2-1
§2.1.2椭圆的简单几何性质学习目标（1）通过对椭圆标准方程的讨论，理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点 ④离心率； （2）掌握e c b a ,,,的几何意义及相互关系． 学习过程一．课前准备：1： 椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．2：方程2215x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．二．新课导学：1．阅读课本P65—P66内容并填写以下表格：椭圆的简单几何性质2.研究椭圆12516+=的几何性质范围：x ： ，y ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴长为 ；短轴长为 ；离心率：ce a== ． 离心率：刻画椭圆 程度．（椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a=，且01e <<）． 三．新知探究：利用性质求椭圆的方程例1求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标课堂检测1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）16,3a e ==（2）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和42．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，求椭圆的方程。
课后作业1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，求m 的值。
2．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，求其离心率。
3、若椭圆过点(M 和(1N ，求椭圆的标准方程。
课堂小结本节课我们是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？从中你有何启发？研究椭圆的性质，类似于研究函数的性质：（定义域、值域、奇偶性、单调性等）本节课主要以曲线的方程为工具，利用 方法（即坐标法）研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想方法。
高二数学选修2-1《2.2.2椭圆的简单几何性质》学案(第1.
§2.2.2椭圆的简单几何性质 (第 1课时一、学习目标:(1知识与技能: 通过对椭圆标准方程的讨论 , 理解并掌握椭圆的几何性质 ;(2过程与方法:能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图 ;(3情感态度与价值观:培养学生分析问题、解决问题的能力 , 并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备 .二、学习重点、难点:重点: 椭圆的简单几何性质 .难点:椭圆的简单几何性质及其探究过程[教材助读 ]: 研究椭圆 12222=+b y a x (a>b >0 的几何性质 1.范围:椭圆位于直线 x =____和 y =____围成的矩形里. 2.对称性:椭圆关于 _______、 _______、 _______都是对称的.3.顶点:上述椭圆的四个顶点坐标分别是 _______、 _______、 _______4.离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 e=三、预习自测1 、求椭圆 14416922=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标2 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1 经过点 P(-4, 0、 Q(0,5; . 5316 2(,离心率等于短轴的长等于四、合作探究展示点评探究一:椭圆的简单几何性质例 1、求下列椭圆的长轴长和短轴长,焦点坐标,顶点坐标和离心率:(1224936x y +=(2222241(0 m x m y m +=>探究二:由椭圆的几何性质求方程例 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1长轴在 x 轴上,长轴的长等于 12,离心率等于 23; (2长轴长是短轴长的 2倍,且椭圆过点 (-2,-4 .五、当堂检测1.椭圆 1422=+y x 的离心率为 ( A.32 B. 34C. 22 D. 232.椭圆 122=+y x 的焦距是 2,则 m 的值为 ( A . 5 B . 3 C. 5或 3 D. 203.椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5,则此椭圆的标准方程是 ______________.4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为_______.5、椭圆 x225+y29=1上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是 ( A . 8,2B . 5,4C . 9,1D . 5,1。
数学选修2-1人教A教案导学案2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案(人教A版选修2-1)
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．4346，文P37~ P40找出疑惑之处）复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、新课导学※学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率： c e a== ． 反思：b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※ 典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a=，13e=；⑵焦点在y轴上，3c=，35e=；⑶经过点(3,0)P-，(0,2)Q-；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升※学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．※知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值是（ ）．A ．3B ．3或253C D 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．。
高中数学选修2-1优质学案11：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）教材新知入门答辩图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．问题1：椭圆具有对称性吗？问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？新知自解(1)椭圆的简单几何性质：(2)当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越，则椭圆越接近于圆．归纳领悟1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P(x，y)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点，由图形易知当x＝0时，|OP|取得最小值b，此时P位于椭圆短轴端点处；当x＝±a时，|OP|取得最大值a，这时P位于长轴端点处．2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)．热点考向考点一椭圆的简单的几何性质例1求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．一点通已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．题组集训1．若椭圆x2a2＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A.32 B.12C.22 D.522．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．考点二利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.一点通 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数． 题组集训3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( ) A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．考点三椭圆的离心率问题例3 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．一点通 求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法： (1)直接求出a 和c 的值，套用公式e ＝ca求得离心率；(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a ，b ，c 之间的关系式，结合椭圆定义以及a 2＝b 2＋c 2等，消去b ，得到a 和c 之间的关系，从而求得离心率的值或范围． 题组集训5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若uuu r A P ＝2u u u rPB ，则椭圆的离心率是( ) A.32B.22C.13D.126．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P .若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 方法小结1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用． 创新演练1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 3．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.454．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C ． 5D ．15或51535．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．6．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．7.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．8.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若2AF u u u r ＝2 2F B u u u r ，1AF u u u r ·AB uu u r ＝32，求椭圆的方程．——★ 参 考 答 案 ★——教材新知 入门答辩问题1：提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形．问题2：提示：可以，令y ＝0得x ＝±a ，故A 1(－a,0)，A 2(a,0)，同理可得B 1(0，－b )，B 2(0，b )．问题3：提示：x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]． 问题4：提示：b 越小，椭圆越扁． 新知自解(2)接近于1 接近于0 热点考向考点一椭圆的简单的几何性质例1 解：将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53.题组集训 1．[答案]A[解析]由椭圆方程知长轴长为2a ，短轴长为2， ∴2a ＝2×2＝4，∴a ＝2，∴c ＝22－12＝3， ∴e ＝c a ＝32.2．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1.∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)； 四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12).考点二利用椭圆的几何性质求标准方程例2 解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝10，a ＝5.e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.题组集训 3．[答案]D[解析]由题意2a ＝12，∴a ＝6.又e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝62－22＝32，∴椭圆方程是x 236＋y 232＝1. 4．解：(1)将方程4x 2＋9y 2＝36化为x 29＋y 24＝1，可得椭圆焦距为2c ＝2 5.又因为离心率e ＝55，即55＝5a ，所以a ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20. 若椭圆焦点在x 轴上，则其标准方程为x 225＋y 220＝1；若椭圆焦点在y 轴上，则其标准方程为y 225＋x 220＝1.(2)依题意2a ＝2·2b ，即a ＝2b .若椭圆焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋16b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝68，b 2＝17，所以标准方程为x 268＋y 217＝1.若椭圆焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，16a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝32，b 2＝8.所以标准方程为x 28＋y 232＝1.考点三椭圆的离心率问题例3 解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a 3，∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33， 即椭圆的离心率是33. 题组集训 5．[答案]D[解析]∵uuu r A P ＝2u u u r PB ，∴|uuu r A P |＝2|u u u rPB |. 又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.6．[答案]2－1[解析]由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.创新演练 1．[答案]D[解析]由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)． 2．[答案]A[解析]由已知得a ＝9,2c ＝13·2a ，∴c ＝13a ＝3.又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.3．[答案]C[解析]由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.4．[答案]B[解析]由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.5．[答案]x 212＋y 29＝1[解析]如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.6．[答案]255[解析]由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.7.解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.8.解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．高中数学选修2-1学案11 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由2AF u u u r ＝22F B u u u r ⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b 2)． 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由1AF u u u r ·AB uu u r ＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。
2019-2020学年高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质(一)导学案 理新人教A版选修2-1.doc
2019-2020学年高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质（一）导学案 理新人教A 版选修2-1一、学习目标：1.会根据椭圆的标准方程确定曲线所在范围；2.会根据椭圆的标准方程求出其顶点坐标；3.会根据曲线方程判断曲线的对称性。
二、重点：椭圆的范围、对称性、顶点.难点：椭圆的范围、对称性、顶点.三、导思探究：1、你知道解析几何研究问题的核心吗？2、阅读课本4443P P -,体会它是如何通过椭圆的标准方程研究其性质的。
3、观察方程12222=+by a x （a>b>0）,对应的椭圆在坐标系下的位置如何？ 能否通过方程来说明？4、椭圆有哪些对称性，如何根据其标准方程分析其对称性？你能知道方程x y 22=对应的曲线有无对称性，请交流。
5、椭圆的顶点是如何定义的，给出椭圆方程如何求其顶点坐标？6、什么是椭圆的长轴、短轴、焦距，这些量与椭圆在坐标系中的位置 有关吗？四、导练展示：1.求椭圆400162522=+y x 的长轴和短轴的长，焦点坐标和顶点坐标。
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）经过点P （-3,0），Q （0，-2）；（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3。
3.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距 离的最大值为3，求椭圆C 的标准方程。
五、达标训练：1.下列方程表示的曲线中：①022=+y x ； ②022=+y x ； ③1222=+y x ；④02=++y xy x ； ⑤1222=++y xy x ，关于x 轴对称的有关于y 轴对称的有 ；关于原点对称的有 。
2.48P 1，2.六、反思小结：。
人教新课标版数学高二B版选修2-1导学案 第二章 椭圆定义1
§2.2.1（1）椭圆的定义和标准方程学习目标1.阅读课本，明确椭圆的定义，并利用几何画板验证椭圆定义。
2.根据求曲线方程的一般步骤求椭圆方程，整理得椭圆的标准方程。
学习过程【任务一】阅读教材，明确定义。
请大家仔细阅读教材P39，明确椭圆的定义。
文字语言：轨迹上动点满足的几何关系式：（请描述清楚关系式中字母表示含义）【任务二】利用几何画板验证椭圆定义【任务三】椭圆的标准方程的推导（1）建系，设动点：（2）列出动点满足几何关系：（3）几何关系代数化：（4）整理化简：（5）验证：可得焦点在x轴上的椭圆标准方程为：同理可得焦点在y轴上的椭圆标准方程为：【任务三】典型例题分析例1：判断下列椭圆方程焦点位置，并写出焦点坐标。
（1）16410022=+y x （2）125922=+y x （3）364922=+y x（4）1422=+y x例2：求满足下列条件的椭圆的标准方程。
（1）3,5==c a ，焦点在x 轴上。
（2）焦点坐标分别为)3,0(),3,0(1F F -,椭圆上任一点P 到两焦点的距离和为12。
（3）两个焦点分别为)0,2(),0,2(1F F -，且过点)3,2(P 点。
【任务四】课堂达标练习1.到两定点)0,2(),0,2(1F F -的距离和为4的点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.线段C.圆D.以上均不对2.椭圆12522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为3.写出下列椭圆方程的焦点坐标。
（1）13422=+y x （2）1161222=+y x （3）82422=+y x（4）19422=+y x3.椭圆的两焦点坐标分别为)8,0(),8,0(1F F -，且椭圆上一点到两个焦点距离的和是20，求此椭圆的标准方程。
人教新课标版数学高二选修1-1导学案 2.1.2椭圆的简单几何性质(一)
2.1.2椭圆的简单几何性质(一)【教学目标】1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.1.2椭圆的简单几何性质(一)》课件“新课导入”部分，带着问题思考与互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)三、合作探究问题1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．问题2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．问题3如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．探究点1由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca ＝74，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．探究点2 椭圆的几何性质的简单应用例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．解 依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形，∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1. 反思与感悟 确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．探究点3 椭圆的离心率的求解例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．解 依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc 2)．因为点B 在椭圆上，所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1， 即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1， 所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2. 由|k |≤142，得k 2≤72， 即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72， 所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1， 所以12≤e 2<1，即22≤e <1. 反思与感悟 求e 的范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．四、当堂测试1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6答案 B解析 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1， 知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10,2b ＝6，c a＝0.8. 2．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°答案 B解析 由椭圆的定义得|PF 2|＝2，因为|F 1F 2|＝29－2＝27， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12， 因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________．答案 x 225＋y 216＝1 解析 据题意a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4，又焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案 (0，±69)解析 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．(3)利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。
人教新课标版-数学-高二B版选修2-1学案 2.2.2 椭圆的几何性质(一)
2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)图形对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 范围 x ∈，y ∈x ∈，y ∈顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴|B 1B 2|＝2b ，长轴|A 1A 2|＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率e ＝ca (0＜e ＜1)最大距离：a ＋c ；最小距离：a －c .(2)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义是什么？在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示．即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．1．思考辨析(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆．()(2)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相等．()(3)已知椭圆x2k＋8＋y29＝1的离心率e＝12，则k的值为4或－54.()(1)×离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆．(2)√(3)√由e2＝1－b2a2；又因椭圆的焦点在x轴或在y轴上，所以有两个值．当a＞1时，焦点在x轴上，a2＝k＋8，c2＝k－1，又e＝12，所以14＝k－1k＋8，解得：k＝4；当k＜1时，焦点在y轴上，a2＝9，c2＝1－k，又e＝12，所以14＝1－k9，解得k＝－54.2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0) D．(0，－6)，(0，6) D3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为()A．32B．34C．22D．23A hslx3y3h x24＋y2＝1，a＝2，b＝1，c＝a2－b2＝3，e＝ca＝32.合作探究·攻重难思路探究解规律方法跟踪训练解思路探究解规律方法跟踪训练解探究问题提示提示思路探究解解解规律方法当堂达标·固双基由a＝2b＝2，b＝1得c＝3，e＝ca ＝32.c＝1，由e＝ca＝12得a＝2，由b2＝a2－c2得b2＝3.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而e＝ca＝22.由题意知a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b2＝3.又焦点在x轴上，∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.解hslx3y3h已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca ＝74，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．。
人教A版高中数学选修2-1教案椭圆的简单几何性质(1)
又221||OF c a b =+，△F 1OB 边OF 1上的高为B y ，而B y 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为12
cb 。
所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。
点评：抓住△F 1AB 中c OF =||1为定值，以及椭圆是中心对称图形。
（2）易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。
连PB ，PF 。
由椭圆的定义知：||||10PB PF +=，
所以||10||PB PF =-，
||||||10||10(||||)PA PB PA PF PA PF +=+-=+-所以。
由平面几何知识，||||||||PA PF AF -≤，即||10|)||(|max AF PB PA +=+， 而22
||(34)(20)5AF =-+-=， 所以510|)||(|max +=+PB PA 。
点评：由△PAF 成立的条件||||||||AF PF PA <-，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||AF PF PA ≤-这一关键结论。
三、课堂小结
1、椭圆的几何性质。
2、运用椭圆的几何性质求离心率、简单的最值。
四、作业:教师安排同步练习
教学后记：。
高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(1)教案 新人教A版选修2-1(2021年整理)
高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）教案新人教A版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）教案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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椭圆的简单的几何性质（1）【教学目标】知识目标:1．能够根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）;2．会根据椭圆的几何条件求出椭圆的方程．能力目标：通过对图像和方程研究椭圆的几何性质，体会数形结合的思想方法，培养学生综合运用能力、归纳能力，自觉养成运算能力、动手、动脑的良好习惯.情感目标：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践.【重点难点】1.教学重点：能够根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质。
2.教学难点：会用几何性质解决一些简单的问题。
【教学过程】☆情境引入☆椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
2。
椭圆的标准方程是：当焦点在X轴上时22221(0)x ya ba b+=>>当焦点在Y轴上时22221(0)y xa b a b+=>>☆探索新知☆椭圆22221x ya b+=简单的几何性质1、范围：221,x a ≤221yb≤得： -a≤x≤a, -b≤y≤b知椭圆落在x=±a,y= ± b 组成的矩形中 椭圆的对称性从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。
从方程上看：(1）把x 换成—x 方程不变,图象关于y 轴对称; （2）把y 换成-y 方程不变，图象关于x 轴对称；(3）把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，图象关于原点成中心对称。
高中数学人教A版选修(2-1)2.2.3《椭圆的简单几何性质(一)》word导学案
2.2.3椭圆的简单几何性质（一）
【学习目标】
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质
2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
【自主学习】
1.椭圆的标准方程中的y x ,
2.
3.椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,
4.椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，
5.画椭圆草图的方法是怎样的？
【自主检测】
1.在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：
（1）22
12516
x y += （2）22
1925
x y += 2.求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标：
(1)221625400x y += (2)22981x y +=
【典型例题】
例.已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值．
【目标检测】
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
⑴经过点(8,0)-、(0,6)
⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)；
⑶焦距是8，离心率等于
45.
2.短轴长为8，离心率为5
3的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF 的周长为 .
3.已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率
【总结提升】由椭圆的方程研究椭圆的性质或其图像的特点。
注意数形结合思想的应用。
(新课程)高中数学《2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)》导学案 新人教A版选修21
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．4346，文P 37~ P 40找出疑惑之处）复习1： 椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．复习2：方程2215x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．二、新课导学※ 学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x y a b +=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca 称为离心率，记ce a =，且01e <<．试试：椭圆221169y x +=的几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率： ce a == ．反思：ba 或cb 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※ 典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a=，13e=；⑵焦点在y轴上，3c=，35e=；⑶经过点(3,0)P-，(0,2)Q-；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升※学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．※ 知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值是（ ）．A ．3B ．3或253C 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）． A ．34 B ．23 C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．。
椭圆的简单几何性质导学案——高二上学期数学人教A版选修2-1
椭圆的简单几何性质(导学案)一、学习目标1.掌握椭圆的范围，对称性、顶点、离心率等几何性质；2.明确椭圆标准方程中a,b以及c,e的几何意义，a,b,c,e之间的相互关系；3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题.二、教学重难点1、椭圆标准方程和离心率的求解；2利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题.【学习过程】第一环节：自学(课前)椭圆的简单几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b第二环节：展评(课堂) 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()2．做一做(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3,45B．10,6,45C．5,3,35D．10,6,35(2)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(3)设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．探究1椭圆的简单几何性质例1已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．【跟踪训练1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.探究2 椭圆的离心率问题例2 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【跟踪训练2】 (1)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22(2) 已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值．第三环节：总结1.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．3.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．课堂练习1．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0<k<9)的关系为()A．有相等的长轴B．有相等的短轴C．有相同的焦点D．有相等的焦距2．点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2<a< 2 B．a<－2或a>2 C．－2<a<2 D．－1<a<13．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.52 B.33 C.12 D.134. 过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________。
高中数学2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案新人教A版选修2-1
1 / 6高中数学 椭圆及其简单几何性质 (1) 教案 新人教 A 版选修 2-1学习目标1．依据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．依据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，绘图．学习过程一、课前准备（预习教材理 P 43~ P 46，文 P 37 ~ P 40 找出迷惑之处）复习 1： 椭圆x 2y 2 1 上一点 P 到左焦点的距离是 2 ，那么它到右焦点的距离是． 16 122 2复习 2：方程xy 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是． 5 m二、新课导学※学习研究问题 1：椭圆的标准方程x 2 y 2 22 1 ( a b 0) ，它有哪些几何性质呢？ab图形：范围： x ： y ：对称性： 椭圆对于轴、轴和都对称； 极点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率： 刻画椭圆程度． 椭圆的焦距与长轴长的比 c称为离心率，a记 ec，且 0 e 1 ．a1试一试：椭圆y2x2 1 的几何性质呢？16 9图形：范围： x ：y ：对称性：椭圆对于轴、轴和都对称；极点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；c离心率： e=．b c反省：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例 1 求椭圆 16 x225y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和极点的坐标．2 2变式：若椭圆是9 x y81呢？2 / 62 3 / 6小结：①先化为标准方程，找出a, b ，求出 c ；②注意焦点所在座标轴．25 的距离的比是常数 4 ，求点M的例 2 点 M (x, y) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l : x4 5轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※着手试一试练 1．求合适以下条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在 x 轴上，a 6 ，e 1 ；3⑵焦点在 y 轴上， c 3 ，e 3 ；5⑶经过点 P( 3,0) ， Q(0,2) ；⑷长轴长等到于20，离心率等于 3 ．5三、总结提高※学习小结34 / 65 / 61 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、极点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率． ※知识拓展（数学与生活） 已知水平川面上有一篮球，在斜平行光芒的照耀下，其暗影为一椭圆， 且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．学习评论※自我评论 你达成本节导教案的状况为（ ） .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1．若椭圆x 2y 21 的离心率 e10，则 m 的值是（）．5 m5A ．3B ．3或25 C ． 15 D ． 15或5 153 32．若椭圆经过原点，且焦点分别为 F 1 (1,0) ， F 2 (3,0) ，则其离心率为（ ）．A ．3B．2C ．1D ．143243．短轴长为5 ，离心率 e2的椭圆两焦点为 F 1, F 2 ，过 F 1 作直线交椭圆于A, B 两点，则3ABF 2 的周长为（）．A ． 3B ． 6C ．12D ．242 24．已知点 P 是椭圆xy 1 上的一点， 且以点 P 及焦点 F 1 , F 2 为极点的三角形的面积等于541 ，则点 P 的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18 ，且两个焦点恰巧将长轴三平分，则此椭圆的方程是．课后作业1．比较以下每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？ ⑴ 9 x 2y236 与 x 2y 2 1 ；16 1222⑵ x 29y 236 与xy 1 ．6 102．求合适以下条件的椭圆的标准方程： ⑴经过点 P( 2 2,0) ， Q(0, 5) ； ⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点 P(3,0) ；⑶焦距是 8 ，离心率等于 0.8 ．45 6 / 6。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《椭圆的简单几何性质》示范教案(第1课时)
2.2.2椭圆的简单几何性质整体设计教材分析利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，本节在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，第1课时不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．课时安排：本节内容共需约3个课时．第一课时主要讲性质1～3；第二节讲性质4及应用；第三课时讲直线与椭圆的有关问题．第1课时教学设计(一)教学目标知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．过程与方法利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．情感、态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验探究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．重点难点教学重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．教学难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的教学过程．学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点．教学过程引入新课提出问题：方程16x 2＋25y 2＝400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？活动设计：情形1：列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题； 情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形； 情形3：方程变形，求出a ，b ，c ，联想椭圆画法，利用绳子作图；情形4：只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其他象限内的图形．辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯．设计意图：(1)问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；(2)课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点；(3)实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；(4)辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识．点评：(1)能够抓住椭圆的几何特征、范围、对称性、关键点作图； (2)研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；(3)本节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法．教师板书：椭圆的简单几何性质． 探求新知问题：学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)有什么特点？(1)椭圆方程是关于x ，y 的二元二次方程；(2)方程的左边是平方和的形式，右边是常数1； (3)方程中x 2和y 2的系数不相等． 设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备．【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围． 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维． 学生活动过程：情形1：x 2a 2＋y 2b 2＝1变形为y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，x 2≤a 2≤－a ≤x ≤a.这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围－a ≤x ≤a.同理，我们也可以得到y 的范围－b ≤y ≤b.情形2：可以把x 2a 2＋y 2b 2＝1看成sin 2α＋cos 2α＝1，利用三角函数的有界性来考虑x a ，yb 的范围．点评：你可能没有意识到，如果将a ，b 乘过去，就得到了⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acosα，y ＝bsinα，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下课后可以阅读有关内容．所以我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的是放宽研究问题的思路，拓宽我们的思维角度．谁还有其他的方法？情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以x 2a 2≤1，同理可以得到y 的范围．情景4：利用学习过函数的定义域、值域，这对研究椭圆的范围有何启示呢？由x 2a 2＋y 2b 2＝1，则y ＝±ba a 2－x 2，可通过求这个函数的定义域、值域得范围. 但y ＝±ba a 2－x 2是函数吗？ 学生(思考后)说不是.教师提问：怎么处理呢？ 学生活动：把 y ＝b a a 2－x 2和y ＝－baa 2－x 2分别看作是一个函数. 先求函数y ＝b aa 2－x 2的定义域、值域．利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得 －a ≤x ≤a , 0≤y ≤b ，同样得 y ＝－b aa 2－x 2中 －a ≤x ≤a , －b ≤y ≤0 ，于是得到范围．教师总结：只需求 y ＝b aa 2－x 2(0≤x ≤a) 的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围. 通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内．有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了．教师在黑板上示范作图(先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，再用光滑曲线连接，并注意对称性)．设计意图：(1)传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；(2)通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现得异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；(3)多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想． 结论：由椭圆方程中x ，y 的范围得到椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形里． 【问题2】 自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识： －x 代替x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称；－y代替y后方程不变，说明椭圆曲线关于x轴对称；－x、－y代替x，y后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称．问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？辨析与研讨：－x代替x后方程不变，就是用(－x，y)来代换方程中的(x，y)，方程不变，(－x，y)和(x，y)关于y轴对称，两点坐标都满足方程，而(x，y)是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于y轴对称；其他同理．相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．设计意图：(1)抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；(2)在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；(3)多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美．【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：在椭圆的标准方程中，令x＝0，得y＝±b，令y＝0，得x＝±a.顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)．相关概念：线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a 和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a，b，c就有了明显的几何意义．设置问题：在椭圆标准方程的推导过程中令a2－c2＝b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？学生探究：c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，连结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即a2－c2＝b2.多媒体展示特征三角形．设计意图：(1)利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是a2－c2＝b2的几何意义，多媒体课件的展示体现了a，b，c的几何意义，从而得到a2－c2＝b2的本质．运用新知活动设计：阅读课本例4，你有什么认识？活动成果：(1)利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的a，b，c.(2)利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边长，以原点为中心画矩形；②由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；③用曲线将四个顶点连成一个椭圆；④画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．设计意图：(1)学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；(2)与开头相呼应，使学生认识到运用椭圆的简单几何性质能够简化作图过程．反思与评价：回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：(1)知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；(2)过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；(3)情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．设计意图：不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次．课堂小结(1)椭圆的范围、长轴长、短轴长．(2)椭圆的对称性，对称轴、对称中心． 布置作业(1)反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；(2)研究y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)的范围、对称性、顶点；(3)课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中x 2和y 2的系数不相等”，因此当x 2和y 2的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业(1)强调研究方法的重要性，作业(2)是对学生学习效果的一种检验，作业(3)引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率；设计说明 1．课堂设计理念授人以鱼不如授人以渔．通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位．2.对教材的研究认识利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．3．课堂教学模式的设置自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力．数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处．因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习．4．课堂练习题的说明如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础．为了不冲淡主题，课堂教学过程重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力．因此，在椭圆几何性质的其他课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用．备课资料1．在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是()A．x2＝4y B．x2＋2xy＋y＝0C．x2－4y2＝5x D．9x2＋y2＝4答案：D2．设a，b，c分别表示同一椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，则a，b，c的大小关系是…()A．a>b>c>0 B．a>c>b>0C．a>c>0，a>b>0 D．c>a>0，c>b>0答案：C(设计者：靳祥利)教学设计(二)整体设计教材分析教材分析：椭圆的简单几何性质是本章的第二节第二课时，它是解析几何基本思想方法的具体体现；是用代数方法研究直线与圆的某些性质的平行发展，为即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定基础．学情分析：学生已经积累了函数方程、三角、不等式等相关知识，前面也学习了直线与圆这一章，初步掌握了解析几何的基本方法．本节课是在学完椭圆的定义和标准方程的基础上，利用标准方程的结构特征来探究椭圆的简单几何性质．教学目标知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点和轴等性质，掌握方程中a、b、c 的几何意义以及相互关系，初步尝试利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质．过程与方法学生通过自主探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发现和创造的历程，进一步培养学生观察、分析、联想、类比等逻辑推理能力以及数形结合的思想方法，提高学生的数学素养．情感、态度与价值观通过学生自主探究、合作交流，使学生亲自体验研究知识的过程，从中体味成功的喜悦，由此激发学生积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的团队意识；通过计算、画图以及多媒体展示，使学生体会椭圆标准方程结构的和谐美和曲线的对称美，培养学生严谨的科学态度．重点难点教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点和轴的概念及其应用．教学难点：椭圆几何性质的形成过程，特别要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高．教法学法教学活动采用“问题探究式”的教学模式，把学生需要掌握的知识转化成问题，引导学生分组讨论．将学生分成8个学习小组，展开竞争，最后评选出2个优秀小组．利用自制教具以及幻灯片、几何画板等多媒体手段，激发学习兴趣，提高课堂效率．学生则采用自主探究、合作交流的“研讨式”学习方式去体验知识的形成过程，参与问题的发现、解决过程，从而达到掌握知识、提高能力的目的．本节课坚持“以人为本，主动发展”的教学理念，采用“问题——探究——交流——反思”的课堂活动模式，通过直观感悟、画图操作、代数推理、上台板演等形式，从几何问题出发，用代数方法研究曲线的性质，最终又回到几何问题中去，充分体现了数与形的结合，初步掌握利用方程结构特征研究曲线几何性质的方法，渗透了数学思想方法，突出了教学重点，突破了难点，教学目标基本完成．整节课力主把更多的时间、机会留给学生，把探索的机会让给学生；把体会成功后的快乐送给学生，让学生在操作中探索，在探索中领悟，在领悟中理解，以体会数学之美，探究之趣．(设计者：牛传勇，本教学设计获山东省优秀课评选二等奖．)。
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2.2.2椭圆的简单几何性质(一)
【学习目标】
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.
2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．【学习过程】
一、自主学习
知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标
椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上焦点在y轴上
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围|x|≤，|y|≤|x|≤，|y|≤长轴、
短轴
长轴A1A2长为，短轴B1B2长为
(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝c
a叫椭圆的离心率．
(2)对于x2
a2＋y2
b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从
而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)
二、合作探究
问题1观察椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有
怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
问题2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？
问题3如何刻画椭圆的扁圆程度？
探究点1由椭圆方程研究其简单几何性质
例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
探究点2 椭圆的几何性质的简单应用
例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F
与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端
点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．
探究点3 椭圆的离心率的求解
例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤
142
，求椭圆离心率e 的取值范围．
三、当堂测试
1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A ．5、3、0.8
B ．10、6、0.8
C ．5、3、0.6
D ．10、6、0.6 2．椭圆x 29＋y 2
2
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )
A ．90°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________．
4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．
5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
四、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
五、学后反思
1、我的疑问：
2、我的收获：。