高中数学圆锥曲线选知识点总结

高中数学圆锥曲线选知识点总结

一、椭圆

1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．

即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

3常用的一些公式

（1）i 椭圆的标准方程：1

2

22

2

=+b y a

x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于

20πθ ） ii 一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. （2）焦点半径：

i. 设

)

,(00y x P 为椭圆)

0(1222

2

b a b y a

x =+上的一点，

2

1,F F 为左、右焦点，则

ii.设

)

,(00y x P 为椭圆)

0(12

22

2

b a a

y b

x =+上的一点，

2

1,F F 为上、下焦点，则

由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002

200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+

=归结起来为“左加右

减”.

（3）通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=

和),(2

a

b c

（4）若P 是椭圆：

12

22

2=+

b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为

2

tan

2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）

⇒

-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒

-=+=0201,ey a PF ey a PF

二、双曲线

1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

2、双曲线的几何性质：

3常用知识点．

（1）i 一般方程：

)0(12

2 AC Cy Ax =+

ii 参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x (2) 准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 2

2

(3) 焦点半径公式：对于双曲线方程1

2

22

2

=-

b y a

x

（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

a

ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足

a

MF MF 221=-

F M a

ex F M '--='01a

ey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'

-='+=-=02010201

(4) 等轴双曲线：双曲线2

22a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .

(5) 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双

曲线.λ=-22

22b y a x 与λ-=-222

2b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .

(6) P 为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>上一点，.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面

积为2cot

2θ

⋅b

三、抛物线

1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．

2、抛物线的几何性质：

3 i x c by ay =++2

顶点)244(

a

b

a b ac --. ii px y 22

=（或py x 22

=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩

⎨⎧==2

22pt y pt

x ）（t 为参数 4、关于抛物线焦点弦的几个结论：

设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则

⑴ 221212,;4

p x x y y p =

=- ⑵ 22;sin p

AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2

π； ⑸

112.||||FA FB P

+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⎩⎨

⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有)

位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置

直线与圆锥曲线.1 2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。 ①. 若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若0≠a ，设ac b 42-=∆。a .0>∆时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.0=∆时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.0<∆时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

五、弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根

与系数的关系，进行整体代入。即当直线()

k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则

AB =2k 1+21x x -=2

k 1+()212214x x x x -+