数学必修1—10.函数与方程

第10讲 函数与方程

考点1函数的零点

考法1函数零点的概念

1.把函数()y f x =的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.也可说成是使函数值为零的自变量的值.

函数的零点是一个实数，而不是点，例如函数1y x =+的零点为1-,不是(1,0)-. 因此，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根. 2()23f x x x =--的零点就是方程2230x x --=的两个实根.

2.并不是每一个函数都有零点，如函数2()1f x x =+没有零点.

3.若函数有零点，零点一定在定义域内.

考法2 存在性定理

如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()f a ()0f b ⋅<, 那么, 函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点, 即存在(,)c a b ∈,使 ()0f c =, 这个c 也就是方程()0f x =的根．

函数在区间[],a b 上有零点必须满足两个条件：

（1）连续； （2）()()0f a f b ⋅<.

1.函数1()f x x =,易知(1)(1)0f f -⋅<，但1()f x x

=

2.函数()y f x =在区间(2,2)-内没有零点.

考法3 唯一性定理 如果函数()y f x =在区间[],a b 上的连续且单调，如果有()()0f a f b ⋅<, 那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有且仅有一个零点.

考点2 判断函数的零点方法

考法1 求函数的零点

1.求函数)1lg()(-=x x f 的零点．

2.求函数2()28f x x x =--的零点．

3求函数32()89f x x x x =--的零点.

考法2 判断函数零点的个数及所在的区间

1.（2014·北京）已知函数()26log f x x x

=-，在下列区间中，包含()f x 零点的 区间是

A.()0,1

B.()1,2

C.()2,4

D.()4,+∞

2.求函数2()ln f x x x

=-的零点个数，并指出其零点所在的大致区间. 3.判断函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．

4.指出函数3()37f x x x =+-的零点所在的大致区间.

5.判断函数832)(-+=x x f x 的零点个数，并指出其零点所在的大致区间．

6.（2011·全国新课标）在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区 间为 A.1(,0)4- B. 1(0,)4 C. 11(,)42 D. 13(,)24

7.函数()37ln f x x x =-+的零点位于区间(,1)n n +(n N ∈)内，则n =____.

8.函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间是

A ．(2,1)--

B ．(1,0)-

C ．(0,1)

D ．(1,2) 考点3 函数零点的应用

1.判断方程2112x x -+=实数根的个数.

2.判断方程2ln 3x x =-+实数根的个数.

3.方程223x x -+=的实数解的个数为

A ．1 B.2 C ．3 D ．4

4.设0x 是函数21()()log 3

x f x x =-的零点，若00a x <<,则()f a 的值满足 A. ()0f a = B.()0f a < C. ()0f a > D.符号不确定

5.（2013·天津）函数2()2log 1x f x x =-的零点的个数

A ．1 B.2 C ．3 D ．4

6.已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，3()h x x x =+的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为

A ．a b c >> B. b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >>

7.（2015·湖南）若函数()22x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是__.

8.（2015·天津）已知函数22|| 2()(2) 2

x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，函数()3(2)g x f x =--，则函 数()()y f x g x =-的零点的个数为

A.2

B.3

C.4

D.5

9.已知函数151()()4

x f x x =-，那么函数的零点所在的区间可以是 A ．(1,0)- B. 1(0,)5 C ．11(,)54 D ．1(,1)4