张量分析(本科)

xi
ei
eii
可以证明, Hamilton算子具有张量的属性,相当 于一阶张量。
2、梯度
1 标量场
(x1, x2, x3) grad ,iei
为一阶张量－－矢量
2 张量场
A Aijeie j
（1）左梯度
A eii Ajk e jek Ajk ,ieie jek
（2）右梯度
A i Ajke jekei Ajk,ie jekei 高一阶的张量场
'
j
T
xx12''
由（）式得
x1 x2
i
'
j
1xx12''
比较 :
i
'
j
T
i
'
j
1
[i' j ] 为正交矩阵
引用指标符号：
xi ij x j
xi x i j' j'
由 xi x i j' j' ij' j'k xk
又 xi ik xk
ij' j'k ik
1 上述表达式具有不变性特征；
2 张量分量 Tij 与坐标系有关； 3 Tij 在坐标变换时遵循相同的变换规律
5.矢量与张量的点积
T Tijeie j
1 左点乘：
a aiei
a T (ai ei ) (Tjke jek ) aiTj ki jek aiTikek 2 右点乘 :
T a (Ti jeie j ) (ak ek ) Ti jakeiδ j k Ti ja jei aiTkiek
第一节 问题的提出 第二节 矢量的基本运算 第三节 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1,x2xn 记作 xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数 指标 i 可以是下标，如 xi
V
S
式中，S是空间体积Ｖ的封闭边界面，ni为边
界面S的外法向方向余弦。
讨论：
1、标量场
,idv nids
V
S
dv nds
2、矢量场
V
S
Aj,idv Ajnids
V
S
Aj, jdv Ajn jds
V
S
Adv n Ads
V
S
3 推广到任意阶张量的情形：
Ai jk,ldv Ai jknlds
22
23
～ yx
y
yz
31 32 33 zx zy z
一．若干约定 哑标和自由标
1. Einstein求和约定
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的 指标，表示对该指标在它的取值范围内求和， 并称这样的指标为哑指标。如：
ai xi (i 1,2,n)
a1x1 a2x2 an xn
xi' i' j x j
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
可试证：
（正交性）
i' j jk'
i'k'
4. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系 的量称为张量
i' j'k'l'
i'i j' j k 'k
ijkl
ijkl
展开共9项， ei e j 可视为并矢的基
ai b j为并矢的分解系数或分量
2. 平面笛卡儿坐标系旋转变换
x2
x1'
x2'
x2
x2'
e2'
e2 e1'
x1'
e1 x1
x1
x2
x1'
x
' 2
x2
x2'
e2'
e2 e1'
x1'
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j ) ( i' , j 1,2 )
V
S
Ai jk,idv Ai jknids
V
S
其不变性记法为 :
Adv n Ads
V
S
称为广义高斯公式，或称散度定理。
2.求导记号的缩写约定
(
), j
x j
(
)
ui, j
百度文库
ui x j
(
) ,ij
2( ) xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
3.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi bj j 为自由标
j=1 a11x1 a12 x2 a13 x3 b1
1 同一个方程中各项自由标必须相同
Aij jk Aik
ij jk ik
ij jk kl il
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
§A－2 张量的定义和 代数运算
1. 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 aiei
基矢量e1 e2 e3 说明
( 3个坐标方向的单位矢量）
0 0 1 31 32 33
ij Ai
1 j A1
2 j A2
3 j A3
A1 A2
A3
Aj
j 1 j2 j3
ds2 dx2 dy2 dz2 dxidxi ijdxidx j
性质：
ijij ii 11 22 33 3
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
4、旋度
1 矢量场
e1 e2 e3
ei e j
curu x
y
z
ei j kiu jek
ei e jiu j
u1 u2 u3
eii u je j u
2 张量场
（1）左旋度 A eii Aj ke jek Aj k,iei j rerek ei j r Aj k,ierek
ii '
jj' kk' ll '
i' j'k 'l'
自由标数目n－－张量的阶数；对于三维空间， 张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
φ ijkl eie jek el
()
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
讨论
T Tijei e j T e e k'l' k' l'
er k i Ak j,reie j （2）右旋度 A i Aj ke jek ei ek ir Aj k,ie jer ek ri Aj k,re jei ek r j Aik,reie j
一般 A A
二. 高斯Gauss公式
Tjk... p,idv Tjk... pnids
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： a ji xi bj
akixi bj akixi bk
wrong right
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 定义：
ij 10
由定义
当i j 当i j
1 0 0 11 12 13
I 0
1
0 21
22
23
ij
n i 1
ai
xi
又如：
ii jj 11 22 33 x y z
1 求和约定仅对字母指标有效，如 33 z
2 重复不止一次的指标，求和约定失败
3 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aij xi x j
a x x 3
3
i 1 i 1 ij i j
4 哑标可以换用不同的字母指标
一般 A A
3、散度
1 矢量场
divu u j, j eii u je j u 为一标量
2 张量场
（1）左散度
A eii Ajk e jek Ajk ,iijek Ajk , jek
（2）右散度
A i Ajke jek ei Ajk ,ie jki Ajk ,ke j Akj, jek
也可以是上标，如 xi
指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13 x xy xz
ij (i, j 1,2,3)～ 21
则：αi' j
ccooss((ee21''
, e1 ) ,e1 )
cos(e1' cos(e2'
,e2 ) ,e2 )
cos sin
sin cos
于是：xx12''
12'1'1
1'2 2'2
xx12
i'
j
xx12
( )
同样：xx12
1211''
1
2'
2
2'
xx12''
i
1 任意矢量可以表示为基矢量的线性组合
2 基矢量不是唯一的
点积 1 基矢量点积
ei e j δij
2 任意两矢量的点积
a b aiei bje j aibjδij aibi a jbj
3 矢量的基本运算还有叉积 、混合积等
并矢（并乘）
定义：
ab ai eibj e j ai bj eie j
讨论:上式的几何意义
说明
1 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律
ei' i' je j ei ij' e j'
2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi' i' jv j vi ij' v j'
3. 三维情况
ei e j ij
ei' e j' i' j'
考虑一位置矢量
x x je j x j' e j' x je j ei' x j' e j' ei' x j cos(e j ,ei' ) x j' j'i' xi'
一般a T T a, 只有Tij Tji时相等
点乘得到的新张量比原张量低一阶
§A－3 张量分析
一 .梯度、散度、旋度
力学中：
几何方程与位移场的梯度有关 平衡方程与应力场的散度有关
转动量与位移场的旋度有关
1、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)
梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表 示为: