用离散时间复指数信号表示信号Z变换.

n
n
n
0
0
0
Z[ f [n 1]u[n]] z(F(z) - f [0])
Z[ f [n 1]u[n]] f [n 1]z-n f [n]z-(n-1)
n0
n1
z f [n]z-n z(F(z) - f [0])
n1
Z[ f [n 2]u[n]] Z[ f [(n 1) 1]u[n]] z(Z[ f [n 1]]- f [1]) z2 (F (z) - f [0] - z-1 f [1])
Z[ f [n -1]u[n]] z-1F (z) f [-1] Z[ f [n - 2]u[n]] z-1Z[ f [n -1]u[n]] f [-2]
z-2F (z) z-1 f [-1] f [-2]
例：F(z)=1/(z-a) |z| a 求f [n]。
F(z)
பைடு நூலகம்
z -1
1-
1 az -1
[n]
1 0
0 n N -1
其它
RN [n]
N -1
F(z)
z -n
1- z-N
n0
1 - z -1
z 0
2)右边序列
F(z) f [n]z-n
例：f [n] anu[n] kN1
F(z)
n0
an z -n
1
-
1 az
-1
ROC z Rza
3)左边序列
N2
F (z) f [n]z-n n-
ch7 用离散时间复指数信号表示信号：Z变换 (the Laplace Transform)
Ch7.1 引言（Introduction）
1、从离散时间傅里叶变换到Z变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在。引入Z变换，从而也可以对这些信号进 行分析。 Z变换实质是将信号f(n)乘以衰减因子r-n 的傅 里叶分析。
2)
Z[
nu[n]]
1
-
1
z
-1
za
3)
e
j0
nu[n]
1
-
e
1
j0
z
-1
1- cos0z-1 j sin 0z-1 1- 2z-1 cos0 z-2
c
os(0
n)u[n]
1
-
1- cos0z 2z-1 cos0
-1
z
-2
sin(0n)u[n]
1
-
sin 0z-1 2z-1 cos0
z
-2
Ch7.4 Z变换的主要性质
ROC z R
例：f [n] -bnu[-n -1]
-1
F(z)
- bn z -n - b-n z n 1- b-n z n
n-
n1
n0
1
-
1
-
1 b
-1
z
1
-
1 bz
-1
zb
4)双边序列
F (z) f [n]z-n n-
ROC
例：f [n] anu[n] - bnu[-n -1]
k
f1[k ]Z[ f2[n - k ]] F2 (z) f1[k]z-k F1(z)F2 (z)
k
k
n
例：Z[ f [k]] Z[ f [n]u[n]]
F(z)
k 0
1 - z -1
例：两个序列的自相关定义为，R f (n) f (k) f (n k) 求Z[Rf(n)]
k
Z[Rf [n]] f [k]Z[ f [n k]]
例：RN [n] u[n] - u[n - N ]
F(z)
1 1 - z -1
-
1
z-N - z -1
1- z-N 1 - z -1
z 0
3．时移（Time Shift） 双边Z变换的位移 单边Z变换的位移 f (n)
f [n-k] z-kF(z)
f (n 1)
ROC = Rf f (n - 2)
R- z R
F(z) 1 1 1 - az -1 1 - bz -1
a z b
必须在|b||a|的条件下，序列的Z变换才存在。
例：f [n] an f [n] anu[n] - (-an )u[-n -1]
b - a a 序列的Z变换不存在。
三、基本序列的Z变换
1) Z[[n]] 1, z 0
-
1 az
-1
ROC R f
(n 1)anu[n]
1 (-z) (-1)(-a)(-1)z -2
(properties of Z Transform)
f1[n] F1(z) ROC Rf1 {z; Rf 1- z Rf 1} f2[n] F2 (z) ROC Rf2 {z; Rf 2- z Rf 2}
重点看以下几个：
1.线性(linearity)
af1[n] bf2[n] aF1(z) bF2 (z) ROC 包含 R f 1 R f 2
主要内容
• z变换的定义 • 基本信号的z变换 • z反变换 • 使用z变换分析系统
• 定义 • 收敛域 • S平面
Ch7.2 Z变换 (the Z - Transform)
一、定义
双边Z变换
F (z) f [n]z-n
收敛域(ROC):
n-
f [n]z-n
k -
Z反变换：
1
2j
k
f [k]F (z)zk F (z -1 )F (z)
k
5.序列指数加权（multiplication by exponential seguence）
an f [n]Z F (z / a) sin(0n)u[n]1-
ROC sin 0z-1
2z-1 cos0
a
Rf z -2
n
s in( 0 n)u[n]
f [n] a(n-1)u[n -1]
4. 序列卷积 (convolution)
序列卷积的定义： f1[n] f2[n] f1[k] f2[n - k]
k
f1[n] f2[n] F1(z)F2 (z) ROC 包含Rf1∩Rf2
证：Z[ f1[n] f2[n]] Z[ f1[k] f2[n - k]]
c
z
m-1dz
1 0
m0 其它
f [n] 1 F (z)zn-1dz
2j c
C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。
Re s{F (z)z n-1}zzi zi为F(z)zn-1在C中的极点
i
二、收敛域（ROC)
1)有限长序列
N2
F(z) f [n]z-n n N1
ROC 0 z
例：f
sin 0 (z /)-1 1- 2(z /)-1 cos0 (z /)-2
sin 0 z -1
1 - 2 z -1 cos0 2 z -2
6.序列线性加权--Z域微分 （differentiation in the z-domain）
nf [n] -z dF(z)
dz
例：anu[n]
1