三角函数中三角变换常用的方法和技巧例题及答案

三角函数公式的应用
1、已知tan()34πα+=-，求22sin cos sin sin cos 1
ααααα-+的值。

解：∵tan()14tan tan()2441tan()4π
αππααπα+-=+-==++， ∴222222sin cos 2sin cos 2tan 47sin sin cos 1sin sin cos sin cos 2tan tan 1ααααααααααααααα===-+-++-+ 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

2、 已知α为第二象限角，且15sin 4
α=，求πsin 4sin2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值． 解：原式22(sin cos )2(sin cos )22sin cos 2cos 4cos (sin cos )
αααααααααα++==++当α为第二象限角，且15sin 4α=时，sin cos 0αα+≠，1cos 4
α=-，所以πsin 242sin2cos 214cos αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-++． 评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．
3、求值：︒
︒︒+︒-480sin 20sin 220sin 820sin 433 解：原式：＝︒︒-︒-20sin 3)
20sin 21(20sin 432＝︒︒
︒-20sin 340cos 20sin 43 =︒
︒
︒-︒+︒20sin 340cos 20sin 4)2040sin(2=︒︒︒-︒︒20sin 320sin 40cos 20cos 40(sin 2＝︒︒-︒20sin 3)2040sin(2＝332 4、化简βαβαβα2cos 2cos 2
1cos cos sin sin 2222-+。

解：原式βαβαβα2cos 2cos 2
1)2cos 1)(2cos 1(41)2cos 1)(2cos 1(41-+++--= )2cos 2cos 2cos 2cos 1(41)2cos 2cos 2cos 2cos 1(41βαβαβαβα+++++--=βα2cos 2cos 21- 212cos 2cos 2
1)2cos 2cos 1(21=-+=
βαβα 5.求值（21cos 80o —23cos 10o ）·1c o s 20o 解：∵21cos 80o —23cos 10o ＝2222cos 103cos 80cos 80cos 10o o o o －
＝223cos 10sin 10o o
o o o o （cos10+3sin10）（cos10－sin10） ＝22cos10cos 10sin 10
o o o o o o o o o o 4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10） ＝24sin 40sin 201sin 204
o o o ＝16sin 40sin 20o
o ＝32cos20o ∴原式＝32 6.已知k =++α
ααtan 12sin sin 22 )24(παπ<<，试用k 表示ααcos sin -的值。

分析：将已知条件“切化弦”转化为ααcos ,sin 的等式。

解：由已知k ==++=++ααα
αααααααcos sin 2cos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22；24παπ<< ααc o s s i n >∴∴ααc o s s i n -k -=-=-=1c o s s i n 21)c o s (s i n 2αααα。

7.求()
002012sin 212cos 4)312tan 3(--的值。

分析：先看角，都是0
12，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。

解：原式2
12cos 4121312cos 12sin 30000-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)112cos 2(12cos 12sin 212cos 312sin 3020000--= 000024cos 24sin )12cos 2312sin 21(32-=0
0000024cos 24sin )60sin 12cos 60cos 12(sin 32-=(常数变换) 000024cos 24sin 2)6012sin(34-=(逆用差角公式)3448sin )48sin(340
0-=-(逆用二倍角公式)。

8. ︒
+︒︒+︒20cos 80sin 70cos 10sin ︒+︒︒+︒20cos 80sin 70cos 10sin =︒+︒︒+︒20cos 10cos 20sin 10sin =︒︒︒︒5cos 15cos 25cos 15sin 2=︒15tan =︒
︒-30sin 30cos 1=32-。