几种典型变力做功的计算

几种典型变力做功的计算

孙百强

我们在很多情况下会碰到变力做功的问题，此类问题无法直接用功的计算式αcos FL W =进行计算，对于一些特殊的变力问题，虽然无法直接利用该计算式进行计算，但从该计算式出发，我们可以间接应用，也可以起到很好的解题效果。

一．当力的大小不变，而力的方向始终与运动方向相同或相反时，这类变力的功等于力和路程的乘积，如：滑动摩擦力、空气阻力做功等等。

例题1、如图1所示，某个力F 作用在半径为R 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F 做的功为（ ） （A ）0 （B ）2πRF （C ）2RF （D ）无法确定

解析：对于这个题目，如果不仔细分析，容易得出错误的答案A 选项，以

为物体转动一周，位移为零，所以F 做功为零。其实F 的方向不断变化，为变力。所以本题属于变力做功问题，正确答案应为B 选项。

二．当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值

2

2

1F F F +=

，再由αcos L F W =计算，如：弹簧弹力做功。

例题2、用锤击钉，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板深度成正比，每次击锤时，锤子对钉子做的功相同，已知第一次时，钉子进入板内的深度为d ，则第二次又将进入木板多少深度？

解析：如图2所示，这是一个变力做功问题，由于该变力随进入深度增加而增加，且成正比关系，可用一段过程中的平均作用力乘以进入的深度来求功。设木板对钉子的阻力kx F f =，

其中x 为进入深度，k 为比例常数，并设第一次进入到深度1x 处，而第二次进入到深度2x 处。

则

第一次木板对钉子的平均阻力为2

201

11kx kx F f =+=，第一次锤子对钉子做的功为2

11112

1kx x F W f =

=； 第二次木板对钉子的平均阻力为2

2

12kx kx F f +=

，第二次锤子对钉子做的功为)(2

)(122

1

1222x x kx kx x x F W f -+=-=，

图1

1 F F 图2

根据两次锤子对钉子做的功相同，可得21W W =（图中面积相等），由此可得122x x =，

所以，击打第二次时，钉子又进入木板的深度为d x x x )12(12-=-=∆

例题3、如图3所示，面积很大的水池，水深为H 水面浮着一正方体木块，木块边长为a ，密度为水的

2

1

，质量为m ，开始时，木块静止，现用力F 将木块缓慢往下压，求从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F 所做的功。

解析：方法（一）通过功能关系求解

因为水池面积很大，故木块压入水中所引起的水深变化可忽略，木块刚好完全没入水中时，木块下方深度为

2

a

空间内的水被排开，结果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m ，其势能的改变量（增加）为

mga a mg

E 4

3

43==∆水， 木块下降

2a 的高度，其势能的改变量（减少）为mga a mg E 2

1

2-=-=∆木， 根据功能关系，力F 所做的功为系统势能的变化mga E E W 4

1

＝＋木水∆∆=。

方法（二）通过特殊变力做功的方法求解

因为物体被缓慢下压，所以力F 应不断增大，其大小等于浮力减去重力，又因为重力不变，而浮力的大小与下压的深度成正比关系，所以压力的平均值为mg mg F 2

1

20=+=，压力做功为mga a mg L F W 4

1

221==

=。 显然，方法（二）比方法（一）要简洁很多。

当然，动能定理是解决变力做功问题最常用的方法，也是最有效的方法，但是，像以上所提到的那些特殊变力问题，应用这样的特殊方法可以起到事半功倍的效果。

图3