几种定积分的数值计算方法

几种定积分的数值计算方法

摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法，并着重分析了各种数值方法的计算

思想，结合实例，对其优劣性作了简要说明•

关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形

Several Numerical Methods for Solvi ng Defi nite In tegrals Abstract:Several com mon methods for solvi ng defi nite in tegrals are summarized in

this

paper. Mean time, the idea for each method is emphatically an alyzed. Afterwards, a

nu merical example is illustrated to show that the adva ntages and disadva ntages of these methods.

Keywords: Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class recta ngle, Class trapezoid

1.引言

在科学研究和实际生产中，经常遇到求积分的计算问题 ，由积分学知识可知，若函

数

f(x)在区间［a,b ］连续且原函数为F(x),则可用牛顿-莱布尼茨公式

b

a

f

(x) F(b) F(a)

求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用 •在科

学研究和实际生产中，经常遇到求积分的计算问题，由积分学知识可知 若函数f(x)在区间

［a,b ］连续且原函数为F(x),则可用牛顿-莱布尼茨公式

b

a f(x) F(b) F(a)

求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用 •另外，对

于

求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算，经常会 有这样的情况：

(1) 函数f(x)的原函数无法用初等函数给出.例如积分

等，从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分

(2) 函数f(x)使用表格形式或图形给出，因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3) 函数f(x)的原函数或导数值虽然能够求出，但形式过于复杂，不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性

，所以就有了求解数

值积分的很多方法，目前有牛顿一柯特斯公式法，矩形法梯形法，抛物线法，随机投点法，平均 值法,高斯型求积法，龙贝格积分法，李查逊外推算法等等，本文对其中部分方法作一个比较.

2•几何意义上的数值算法

s 在几何上表示以［a,b ］为底,以曲线y f(x)为曲边的曲边梯形的面积 A,因此，计算 s 的

近似值也就是A 的近似值，如图1所示.沿着积分区间［a,b ］,可以把大的曲边梯形分割 成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设［a,b ］上等分n 的小区间

b a

1 2

o e x dx . 1

sin x

dx

X i-1 X i h,x。a,X n b,其中h ——表示小区间的长度•

n

2.1矩形法

矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积 ，从面积得到S 的近似值.若取

2.2梯形法

梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积，见图2,从而得到S 的近似值, 即

A

匚 f ⑻

f(b) n1f (x i ).

n 2 i i

图2分割曲边梯形近似积分

2.3抛物线法

抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边，曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积，如 图3所示.

图3抛物线积分

y

k

£ E

小区间左端点的函数值为小矩形的高 ，如图1中所示，则A

(x)

图1 分割曲边矩形近似积分

*

X o,X i,X2对应的曲线上的点P O,R,P2可以唯一地确定一条抛物线y ax2 bx c ,这条抛物线将作将代替从X o至X2的曲线段，此时积分可以转化为对抛物线积分，而抛物线的积分可以利用牛顿一莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积：

X2/ 2h

A ( ax bx c)dx [f(x0) 4f(xJ f(x2)]

X

0 3

上面利用了条件F0,R,P2是抛物线上的点以及等式X2 X o 2X1 .同理可证：

A

2 尹Q EQ f(X

4

)]

h

A n/2 -[ f (X n 2) 4f(X ni) f (X n )]

n/ 2 n/2 1

所以,S A1 A2 A n/2 普{[f(a) f (b)] 4 f (X2i 1) 2 f^)}

i 1 i 1

3•概率意义上的数值算法

概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法，其设计思想简单，易于实现•尽管算法要耗费较多计算时间，但是往往能得到问题的近似解，并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高•概率算法可用于计算定积分的近似值•

3.1平均值法

b

考虑定积分I f (x)dx的近似计算，其中f (x)在a,b内可积,用平均值法计算该积a

分,首先随机产生n个独立的随机变量，且服从在a,b上均匀分布，即i(i 1,2, n);其次，计

算I的近似值「,r

n i1

f(i).