1.7-量子力学中的算符和力学量

算符即运算规则算符即运算规则。。它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)

§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符

例：)()(ˆx x F

ϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dx

d D =ˆ1、定义

2、乘法与对易

算符的乘法一般不服从交换律:

)ˆ(ˆˆψψB A B

A ≡A

B B A

ˆˆˆˆ≠例如:

则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：

若对任意若对任意ΨΨ，都有：

则称

和对易:

引入记号: ψψA B B A

ˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A

≡−0]ˆ,ˆ[=B A

I x D

ˆ]ˆ,ˆ[=h i p x

x =]ˆ,ˆ[易证:

可定义算符的可定义算符的n n 次方为：

A A A

A n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。。例如：

3、线性算符

设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：

则称其为线性算符则称其为线性算符。。

量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符

例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：

2

2112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x p

H y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂

算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值

λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。。例如，e 2x 是微商算符的本征函数：

)()(ˆx x F

λψψ=)(x ψF

ˆF ˆF ˆ

定态薛定谔方程：

它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。。

例如例如：：ψψE H

=ˆ2

21

1ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ2

21122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：

狄拉克符号：

〉

≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉

〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v

一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：

其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。。

动量算符是厄米算符：

>>=<=<=∫∫ϕψϕψτψϕτϕψ|ˆˆ|)ˆ(ˆ*

*F F

d F d F Ψ−Ψ−=−Ψ∫∫∞+∞−∞+∞−∞+∞−dx dx d i dx dx d i )(|)(***

ϕϕϕh h dx dx d i *)()(Ψ=∫+∞

∞−ϕh dx p x *)ˆ(∫∞+∞−Ψ=ϕ*ˆ||ˆ〉

〈=〉〈ψϕϕψF F 〉=<〉<ϕψϕψ|ˆˆ|p p

定理定理：：若两个厄米算符和对易对易，，即，则乘积算符是厄米的是厄米的。。

证明证明：：考虑积分假如是厄米算符是厄米算符，，按照定义有按照定义有: :

即必有必有：：>=<>>=<>=<=<==∫

∫∫ϕψϕψϕψϕψτϕψτϕψτϕψ|ˆˆ|ˆˆˆ|ˆˆˆ|)ˆˆ()ˆ()ˆ()ˆˆ(***B A

A B B A B A

d A B d B A d B A A B B A ˆˆˆˆ=B A ˆˆ厄米算符B A ˆˆA ˆA B B A ˆˆˆˆ=B ˆ>>=<<ϕψϕψ|ˆˆˆˆ|B A B A

>>=<>=<<ϕψϕψϕψ|ˆˆˆ|ˆˆˆ|A B B A B A

B ˆA

ˆ

可以证明可以证明，，量子力学中的力学量算符都是厄米的。例如例如：：

易证易证：：厄米算符乘上实常数仍为厄米算符厄米算符乘上实常数仍为厄米算符，，厄米算符之和仍为厄米算符米算符。。)

(ˆr V v r

ˆv 2

ˆp

m

p T

2ˆˆ2

=V T H

ˆˆˆ+=〉=<〉=<〉<ϕψϕψϕψ|ˆ|ˆˆ|2

2

p p p

二、厄米算符的本征函数厄米算符的本征函数、、本征值的性质证：

由厄米算符性质：

所以：

λψψ=F

ˆ〉〈=〉〈ψψλψψ|ˆ|F

〉

〈=〉〈=〉〈=〉〈ψψλψλψψψψψ||)(|ˆˆ|*F F 逆定理逆定理：：如果算符的所有本征值都是实数如果算符的所有本征值都是实数，，则该算符一定是厄米算符则该算符一定是厄米算符。。

*

λ

λ=

2. 2. 本征函数正交性本征函数正交性

证明证明：：本征值方程为本征值方程为：：

则：但：

m m m F

ψλψ=ˆn

n n F ψλψ=ˆ〉〈=〉〈n m n n m F

ψψλψψ|ˆ|〉

〈=〉〈=〉〈=〉〈=〉〈n m m n m m n m m n m n m F F

ψψλψψλψψλψψψψ||||ˆˆ|*

0|)(=〉〈−n m n m ψψλλ因：故必有：

|=〉〈m m ψψ*

λ

λ≠所以必有：