张量弹性力学2
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简化后得
3 J1 2 J 2 J 3 0
(1.14)
J1 11 22 33 kk
是关于λ 的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。
式中:
11 12 22 23 33 31 1 J2 ( ii kk ik ki ) 21 22 32 33 13 11 2
l1 0 及l2 0
它们分别作用在 与相应主方向成 45º的斜截面上
第一组解：l 2 ; l 0 ; l 1 2 3
2
2 2
13
1 3
2
l1 0 及l2 0
第二组解： l1 0 ; l2 第三组解： l1
2 2 ; l3 2 2
(1.10)
方向余弦满足条件：
2 l12 l2 l32 1
(1.11)
lili 1
(1.12)
联合求解 l1,l2,l3：
( 11 )l1 12l2 13l3 0 l ( )l l 0 21 1 22 2 23 3 31l1 32l2 ( 33 )l3 0 2 2 2 l l l 1 1 2 3
最大最小剪应力：
取主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N SN 1 SN 2 SN 3 N (1l1 ) ( 2l2 ) ( 3l3 ) (1l1 2l2 3l3 )
2 l12 l2 l32 1
11 12 13 J 3 21 22 23 ij 31 32 33
(1.15)
主应力大小与坐标选择无关，故 J1,J2,J3也必与坐标选择无关。
J1 , J 2 , J 3 : 应力不变量
1.1 应力张量
若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：
J1 1 2 3
J 2 ( 1 2 2 3 3 1 )
J 3 1 2 3
(1.16)
主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：
1
2 3
2
, 2
3 1
2 3
, 3
1 2
2
(1.17)
3
1
1
2 1
1
主剪应力面(1 )
2
1.1 应力张量
几个基本概念
张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
•
八面体的法线方向余弦：
l1 l2 l3
2 l12 l2 l32 1
l1 l2 l3 1/ 3
或
(1.19)
arccos(l1 ) arccos(l2 ) arccos(l3 ) 54 44'
•
八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：
P 1 1l1 1 / 3, P 2 2l2 2 / 3, P 3 3l3 3 / 3
数学上，在坐标变换时，服从一 定坐标变换式的九个数所定义的 量叫做二阶张量。
1.1 应力张量
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos( n, x1 ) l1 cos( n, x2 ) l2 cos( n, x ) l 3 3
令斜截面ABC 的面积为1
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
自由标号: 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)
内分别取数1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
(1.20)
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
• 八面体面上的正应力为:
(1.3)
SNi ij l j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N S N 1l1 S N 2l2 S N 3l3
2 11l12 22l2 33l32 2 12l1l2 2 23l2l3 2 31l3l1
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
2 2 2 2 N SN S S 1 N2 N3 N
(1.6)
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面
主应力--λ :主平面上的正应力
S N 1 l1 S N 2 l2 (1.7) S l 3 N3
消去l3：
2 2 2 2 2 2 2 2 N (12 3 )l1 ( 2 3 )l2 3 [(1 3 )l12 ( 2 3 )l2 3 ]2
由极值条件
n 0及 n 0 l1 l2
1 2 l1 ( 1 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l2 ( 1 3 )] 0 2
1 l2 ( 2 3 )[( 1 3 )l ( 2 3 )l ( 2 3 )] 0 2
2 1 2 2
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
1 2 l1 ( 1 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l2 ( 1 3 )] 0 2 1 l2 ( 2 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l22 ( 2 3 )] 0 2
几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程 N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
Aijk Bijk Cijk
aij bkl Cijkl
3 、张量函数的求导 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui u1 u2 u3 ui ,i xi x1 x2 x3
ui , jk
2 2ui 2u x u y 2u z , , x j xk x j xk x j xk x j xk
11 12 13 ij 22 23 21 31 32 33
下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3 即x、y、z方向
应力张量
(1.1)
y
yz
A O
xy xy
x
P
zy
zx
z
用张量下标记号法
一点的应力状态
x
(1.2)
l1,l2,l3wenku.baidu.com全等于0
11 12 13 21 22 23 0 31 32 33
(1.13)
1.1 应力张量
联合求解 l1,l2,l3：
行列式展开后得：
( 11 )( 22 )( 33 ) 12 23 31 21 32 13 13 31 ( 22 ) 23 32 ( 11 ) 12 21 ( 33 ) 0
代入
S N 1 11l1 12l2 13l3 S N 2 21l1 22l2 23l3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
( 11 )l1 12l2 13l3 0 21l1 ( 22 )l2 23l3 0 l l ( )l 0 32 2 33 3 31 1
23
2 3
2
消去l2
2 2 ; l2 ; l3 0 2 2
12
1 2
2
因为：1
2 3
max 3 1 min 2
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
•
3
八面体（每个坐标象限1个面）
2 1
沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八面体。
弹塑性力学基础
1.1 应力张量
1.2 偏量应力张量
1.3 应变张量 1.4 应变速率张量
1.5 应力、应变 Lode参数
1.1 应力张量
1).一点的应力状态
～力学的语言
z
n
C
A
pn n lim A 0 A
正应力
n
ps n lim A0 A
剪应力
y
O
x
(i :自由下标，j : 哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
1 0 0 张量表示：d ij 0 1 0 0 0 1
几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为： 2 、张量的乘法 第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
采用张量下标记号
(1.8)
( ij dij )l j 0
Kroneker delta记号
(1.9)
1.1 应力张量
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
采用张量表示
1 0 0 d ij 0 1 0 0 0 1
SOBC 1 cos( n, x1 ) l1 SOAC 1 cos( n, x2 ) l2 S OAB 1 cos( n, x3 ) l3
3 S N 1 11l1 12l2 13l3 1 j l j j 1 3 S N 2 21l1 22l2 23l3 2 j l j j 1 3 S N 3 31l1 32l2 33l3 3 j l j j 1
过C点可以做无 穷多个平面K 不同的面上的应 力是不同的
到底如何描绘一 点处的应力状态?
1.1 应力张量
C
z
zx zy yz x y xz yx
B
y
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
z
yx xz
x xy xz ij yx y yz zx zy z
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
M=rn=3n
几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区 别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
3 J1 2 J 2 J 3 0
(1.14)
J1 11 22 33 kk
是关于λ 的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。
式中:
11 12 22 23 33 31 1 J2 ( ii kk ik ki ) 21 22 32 33 13 11 2
l1 0 及l2 0
它们分别作用在 与相应主方向成 45º的斜截面上
第一组解：l 2 ; l 0 ; l 1 2 3
2
2 2
13
1 3
2
l1 0 及l2 0
第二组解： l1 0 ; l2 第三组解： l1
2 2 ; l3 2 2
(1.10)
方向余弦满足条件：
2 l12 l2 l32 1
(1.11)
lili 1
(1.12)
联合求解 l1,l2,l3：
( 11 )l1 12l2 13l3 0 l ( )l l 0 21 1 22 2 23 3 31l1 32l2 ( 33 )l3 0 2 2 2 l l l 1 1 2 3
最大最小剪应力：
取主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N SN 1 SN 2 SN 3 N (1l1 ) ( 2l2 ) ( 3l3 ) (1l1 2l2 3l3 )
2 l12 l2 l32 1
11 12 13 J 3 21 22 23 ij 31 32 33
(1.15)
主应力大小与坐标选择无关，故 J1,J2,J3也必与坐标选择无关。
J1 , J 2 , J 3 : 应力不变量
1.1 应力张量
若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：
J1 1 2 3
J 2 ( 1 2 2 3 3 1 )
J 3 1 2 3
(1.16)
主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：
1
2 3
2
, 2
3 1
2 3
, 3
1 2
2
(1.17)
3
1
1
2 1
1
主剪应力面(1 )
2
1.1 应力张量
几个基本概念
张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
•
八面体的法线方向余弦：
l1 l2 l3
2 l12 l2 l32 1
l1 l2 l3 1/ 3
或
(1.19)
arccos(l1 ) arccos(l2 ) arccos(l3 ) 54 44'
•
八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：
P 1 1l1 1 / 3, P 2 2l2 2 / 3, P 3 3l3 3 / 3
数学上，在坐标变换时，服从一 定坐标变换式的九个数所定义的 量叫做二阶张量。
1.1 应力张量
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos( n, x1 ) l1 cos( n, x2 ) l2 cos( n, x ) l 3 3
令斜截面ABC 的面积为1
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
自由标号: 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)
内分别取数1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
(1.20)
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
• 八面体面上的正应力为:
(1.3)
SNi ij l j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N S N 1l1 S N 2l2 S N 3l3
2 11l12 22l2 33l32 2 12l1l2 2 23l2l3 2 31l3l1
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
2 2 2 2 N SN S S 1 N2 N3 N
(1.6)
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面
主应力--λ :主平面上的正应力
S N 1 l1 S N 2 l2 (1.7) S l 3 N3
消去l3：
2 2 2 2 2 2 2 2 N (12 3 )l1 ( 2 3 )l2 3 [(1 3 )l12 ( 2 3 )l2 3 ]2
由极值条件
n 0及 n 0 l1 l2
1 2 l1 ( 1 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l2 ( 1 3 )] 0 2
1 l2 ( 2 3 )[( 1 3 )l ( 2 3 )l ( 2 3 )] 0 2
2 1 2 2
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
1 2 l1 ( 1 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l2 ( 1 3 )] 0 2 1 l2 ( 2 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l22 ( 2 3 )] 0 2
几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程 N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
Aijk Bijk Cijk
aij bkl Cijkl
3 、张量函数的求导 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui u1 u2 u3 ui ,i xi x1 x2 x3
ui , jk
2 2ui 2u x u y 2u z , , x j xk x j xk x j xk x j xk
11 12 13 ij 22 23 21 31 32 33
下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3 即x、y、z方向
应力张量
(1.1)
y
yz
A O
xy xy
x
P
zy
zx
z
用张量下标记号法
一点的应力状态
x
(1.2)
l1,l2,l3wenku.baidu.com全等于0
11 12 13 21 22 23 0 31 32 33
(1.13)
1.1 应力张量
联合求解 l1,l2,l3：
行列式展开后得：
( 11 )( 22 )( 33 ) 12 23 31 21 32 13 13 31 ( 22 ) 23 32 ( 11 ) 12 21 ( 33 ) 0
代入
S N 1 11l1 12l2 13l3 S N 2 21l1 22l2 23l3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
( 11 )l1 12l2 13l3 0 21l1 ( 22 )l2 23l3 0 l l ( )l 0 32 2 33 3 31 1
23
2 3
2
消去l2
2 2 ; l2 ; l3 0 2 2
12
1 2
2
因为：1
2 3
max 3 1 min 2
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
•
3
八面体（每个坐标象限1个面）
2 1
沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八面体。
弹塑性力学基础
1.1 应力张量
1.2 偏量应力张量
1.3 应变张量 1.4 应变速率张量
1.5 应力、应变 Lode参数
1.1 应力张量
1).一点的应力状态
～力学的语言
z
n
C
A
pn n lim A 0 A
正应力
n
ps n lim A0 A
剪应力
y
O
x
(i :自由下标，j : 哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
1 0 0 张量表示：d ij 0 1 0 0 0 1
几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为： 2 、张量的乘法 第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
采用张量下标记号
(1.8)
( ij dij )l j 0
Kroneker delta记号
(1.9)
1.1 应力张量
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
采用张量表示
1 0 0 d ij 0 1 0 0 0 1
SOBC 1 cos( n, x1 ) l1 SOAC 1 cos( n, x2 ) l2 S OAB 1 cos( n, x3 ) l3
3 S N 1 11l1 12l2 13l3 1 j l j j 1 3 S N 2 21l1 22l2 23l3 2 j l j j 1 3 S N 3 31l1 32l2 33l3 3 j l j j 1
过C点可以做无 穷多个平面K 不同的面上的应 力是不同的
到底如何描绘一 点处的应力状态?
1.1 应力张量
C
z
zx zy yz x y xz yx
B
y
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
z
yx xz
x xy xz ij yx y yz zx zy z
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
M=rn=3n
几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区 别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)