相似三角形知识点复习

等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情况:

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相似三角形复习

1.图形的放大或缩小称为图形的放缩运动 (1)形状相同的两个图形称为相似形

(2)如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比 例(或各对应边长度的比值是相等的)

(3)正方形、等腰直角三角形、等边三角形、有一个角是钝角的等腰三角形一定是相似图 形.

a c

2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果b =d ，那么这四条线段

简称比例线段.

判定四条线段成比例线段的方法：

丄 a c

如一一 a 、b 、c 、d 四条线段成比例; b d

反之，a 、b 、c 、d 四条线段成比例

b d

3.比例的基本性质——两个外项的积等于两个内项的积 .

(1 )由a: b c: d 能得到ad be ；若ad=bc ,能得到 把这个乘积式化成比例式可以写成

a d a c c

b b d b

c

d b c a d c b'd

ba

de

a d a

a 、

b 、

c 、

d 叫做成比例线段，

a ： b=c : d

(等积式转化到比例式可以有多种形式

(2)由 a ： b=b ： c 可得 b= ac 由b 2

=

ac 可得 a ： b=b ： c ,线段 叫a 、c 的比例中项

4.比例的合比性质:

比例的等比性质：

如果7 b

a 如果-

b c =—

c

_ -,那么 ---------

d b d 那么字

b

a c b

(b+d

a c

如果一 一

b d

III% n

d 川n 0),那么b 6.黄金分割 线段AB 中,

AP 屆 AP>PB 贝y

AB

AP 是AB 和PB 的比例中项,

—PB 亦 1、

0.618,.(另外 ----------- ---------- )

AP 2

AF 2

=AB - PB

3 ）性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍

或 CG=2G 或 BG=2G 或 FC=3FG

10（ 1）三角形一边平行线判定定理

例，那么这条直线平行于三角形的第三边 （2）三角形一边的平行线判定定理推论

的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

C

7.等底等高的三角形的面积比是 1:1 ；

等底不等高的三角形的面积比等于高之比;

等高不等底的三角形的面积比等于底之比

8.（ 1）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线, 截得的对应

线段成比例

若DE // BC ,能得到的常用的比例式是:

AD AE AD AE DB EC

DB EC AB AC AB AC

如BE, CF 是 ABC 的中线，交于点

G 则有GE GF 1

GB GC 2

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比

如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边

C

（2）三角形一边的平行线性质定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直

2）作法：两条中线的交点

(2 )平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行的直线所截， 那么在另一直线上所截得的线段也相等

(2)相似三角形对应边的比 k ，叫做相似比(或相似系数). ［注］①两个相似三角形的相似比具有顺序性.

②全等三角形的相似比为

1 .

13. 相似三角形的判定方法:

(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；

(一般不用定义来判定)

在竺竺

DB EC

AD

AB AE,吏 皂中，知道任何一个比例都可以推出

AC AB AC

DE // BC

!!但是豈 AD 不能推出DE // BC ! ! AB 11 (1)平行线分线段成比例定理: 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例 符号语言表示: …AD// AB BC

BE// CF, DE BC EF EF ' AC DF

AB AC

DE DF

! !(是AC DF 上的线段成比例)！ !

】 (2)预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形 相似.【有平行就有比例线段，有平行就有相似三角形 如果在一直线上所截得的线段相等,

符号语言表示：

AD BE CF

DE DF

AB BC .

井字型

畸形(交点无用)

12( 1)对应角相等、对应边成比例的

两个三角形，叫做 相似三角形.

熟悉定理的几种变形

/

字型

字型

倒A 字型

A

X

(3)判定定理1 :两角对应相等，两个三角形相似;

(4)判定定理2:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似

(5)判定定理3:三边对应成比例，两个三角形相似

(6)直角三角形相似的判定方法.

①以上5种判定方法均适用；

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比

例，那么这两个直角三角形相似；

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

14.相似三角形判定定理的使用方法

(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.

(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.

(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可考虑一般三角形相似的方法15.相似三角形的判定定理的作用：

①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等、线段成比例;

③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件.