一元二次方程的四种解法

一元二次方程的解法

（1）一元二次方程的概念

一、考点、热点回顾

1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:

(1)

(2)

(3)

2、一元二次方程的一般形式:

二、典型例题

例1：判断下列方程是否为一元二次方程：

①12=+x x ②12=x ③0322=+-y x x ④)4)(1(32--=-x x x ⑤02=++c bx ax ⑥02=mx （ｍ是不为零常数）

例2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

(5)3)2(2=+x (6)0)3)(3(=-+x x

例3：当m ________时，关于x 的方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是一元二次方程。

三、课堂练习

1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） 2222211.3(1)2(1) .20.0 .21

A x x

B x y

C ax bx c

D x x x +=++-=++=+=- 2、用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变形为（ ）

A 、y 2＋y －6＝0

B 、y 2－y －6＝0

C 、y 2－y ＋6＝0

D 、y 2＋y ＋6＝0

2(2)510 2.20x x +-=2(4)30

x x +=2(1)109000

x x --=2(3)2150x -=

3、已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.

4、已知关于x 的一元二次方程2(1)60x k x -+-=的一个根是2，求k 的值．

四、课后练习

1.将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .

2.方程2(4)5230k x x k -+++=是一元二次方程，则k 就满足的条件是 .

3. 已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式m 2-m=_____________

4.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则x 满足的方程是（ ）

（A ） 213014000x x +-= （B ）2653500x x +-=

（C ）213014000x x --= （D ）2653500x x --=

5．关于x 的方程

0)3(2=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程在什么条件下是一元一次方程

（2）--直接开方法

一、考点、热点回顾

1、了解形如x 2=a(a ≥0)或(x ＋h)2= k(k ≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法

小结：如果一个一元二次方程具有n m x =+2)((0≥n )的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）

【复习回顾】

1.方程2(4)5230k x x k -+++=是一元二次方程，则k 就满足的条件是 .

2.若（a+1）x 2+(x-1)2=0二次项的系数为-2,则a=

二、典型例题

例1：解下列方程：

（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0

例2、解下列方程：

⑴2)1(2=+x ⑵04)1(2=--x ⑶03)3(122=--x

推荐例3：用直接开平方法解下列方程

（1）

()21311504

x +-= （2）()()223421x x -=+（3）0222=-++b a ax x

三、课堂练习

1.若方程（x-4）2=m-6可用直接开平方法解 ，则m 的取值范围是（ ）

A ．m ＞6

B ．m ≥o

C ．m ≥6

D ．m=6

2.方程（1-x ）2=2的根是（ ）

、3 、-3 2、1+2 2、2+1

3.方程 (3x －1)2=－5的解是 。

4.用直接开平方法解下列方程：

(1)4x 2=9； (2)（x+2）2=16

(3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12

四、课后练习

1、4的平方根是______________，方程24x =的解是________________.

2、方程()211x +=的根是_________，方程()2

411x +=的根是____________.

3、当x 取____ ___时，代数式25x -的值是2；若20x =，则x ＝_________.

4、关于x 的方程0132=+-k x 若能用直接开平方法来解，则k 的取值范围是（ ）

A 、k ＞1

B 、k ＜1

C 、k ≤1

D 、k ≥1

5、解下列方程：

（1）221039x -= （2）()2546x -=

（3）(7x x += （4）()2

261280x --=

（5）220.503y -

= （6）()()22142x x +=-

6、已知一个等腰三角形的两边是方程0)10(42=--x 的两根，求等腰三角形的面积

（3）--配方法

一、考点、热点回顾

1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（x ＋h ）2= k （n ≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义；

2、填空：

（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；

(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；

(5)x 2+px+ =(x+ )2；

3、将方程x 2+2x-3=0化为(x+h)2=k 的形式为 ； 小结1：用配方法解一元二次方程的一般步骤：

1、把常数项移到方程右边；

2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

3、利用直接开平方法解之。

小结2：当一元二次方程二次项系数不为1时，用配方法解方程的步骤：

①二次项系数化为1；②移项；③直接开平方法求解．

二、典型例题

例１:将下列各进行配方：

⑴2x ＋10x ＋_____＝（x ＋_____）2 ⑵2x －6x ＋_____＝（x －_____）2

⑶2x －

4

5x ＋_____＝（x －____）2 ⑷2x +b x ＋_____＝（x ＋___）2 例２:解下列方程：

（1）0342=+-x x （2）0132=-+x x

推荐例3：用配方法解下列关于x 的方程：

（1）()()2

110190x x +-++= （2）2226940x ax a b -+-=