东南大学信号与系统复习总结

F ( j)e j0d 2f (0) 。




常用信号的傅里叶变换： F (t) 1 ， F (t) ()
1 j
，
F
e jct
2 ( c ) ， F (t t0 ) e jt0 ，
Fcosct

n! s n1
， Lt t
1 s2
， L t 1，
L
tet t

1 (s )2
。
周期信号的拉普拉斯变换：若
f t 为周期为 T 的有始函数，在其第一周期内函数可表示为
f1
t

，则
L
f
t


1
F1s
esT
。
拉普拉斯反变换——部分分式展开法。
s

f (t)est dt

f (t)e j t dt ，

单边拉普拉斯变换： F s f (t)est dt f (t)e j t dt 。
0
0
常用信号的拉普拉斯变换： L
et t

1 s
东南大学《信号与系统》知识点总结
第一章 绪论
信号的分类：确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号、能量信号——总能量W lim T f 2 (t)dt T T
非零有限与功率信号—— P lim 1 T f 2 (t)dt 功率非零有限。
T 2T T
拉普拉斯变换的性质：尺度变换特性：
f
at a

0

1 a
F
s a

，延时特性：
f
t
t0 t
t0
F s est0
，移频特性：
f tes0t

F
s

s0

df t
，时域微积分特性：
dt


sF
s

f
0
t
， 0-
f d
Ane jnt
n
，其中
An

2 T
T f (t)e jnt dt 。
0
An 即幅度关于 n 偶对称，n 即相位关于 n 奇对称，偶函数 An 为实数，奇函数 An 为纯虚数。
周期信号的偶函数分量
fe (t)

1f
2
(t)
f
(t ) ，奇函数分量
fo (t)

1f

F s ，复频域微积分特性：tf t dF s ，
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第三章 连续信号的正交分解
连续周期时间信号展开为傅里叶级数：
f
(t)

a0 2


an
n1
cos nt
bn
sin
nt
a0 2

n1
An
cos(nt
n) ，
指数形式的傅里叶级数：
f
(t)

1 2

Ane jntn
n

1 2


1 2
F
j

c

F
j

c
，
F
f
(t)
sin ct

1 2j
F
j

c

F
j

c
。
周期信号的频谱函数： F j 2


An



n




F

jn


n

2


F j 2n 2n 。
2 n
n
T n T
T

周期性矩形脉冲信号的频谱函数： F ( j) A
Sa n n 2A
Sa n 2n 。
n 2
T n T
T
傅里叶变换的性质：延时特性：
次方程 D( p)r(t) N ( p)e(t) 。 D( p) 0 称为系统的特征方程，其解 称为系统的自然频率。若 无重根，则系统的零输入
n
响应的形式为 rzi (t) cieit (t) ，带入初始条件即可求解系统的零输入响应 rzi t 。 i 1
n
系统的冲激响应 h(t) H ( p) (t) ，若 无重根，则系统的冲激响应的形式为 h(t) kieit (t) bm (t) ，若一特征根 为 i 1
系统的零状态响应 rzs (t) e(t) h(t) ，系统的全响应 r(t) rzi (t) rzs (t) 。
指数函数信号激励下系统全响应组成分量： 自然响应（自然频率的响应分量）与受迫响应（自然频率外的激励频率的响应分量）； 零输入响应（无输入激励时由初始条件引起的响应分量）与零状态响应（无初始储能时由外加激励引起的响应分量）； 瞬态响应（随着时间趋于零的响应分量）与稳态响应（随着时间趋于稳定值的响应分量）。 自然响应可能含有零状态响应分量，受迫响应一定不含有零输入响应分量。
数应为 H ( j) Ke jt0 。
信号的调制与解调——抑制载频调幅：若
a(t)

e(t)
cos ct
，即
A(
j)

1 2
E
j

c

E
j

c
，同步解调后有
b(t)

a(t) cosct

e(t ) 1
cos 2
2ct

，即
B(
j)

1 4
2
(t)
f
(t)。
周期性方波信号
f
(t)

4
n1
1 sin nt(n为奇数) n

2


n
1 n
je jnt (n为奇数) 。周期性矩形脉冲信号
f
(t)

A
T
1


2
n1
Sa
n 2
cos
nt


A T
n
2
6
(t) (t t1) (t) (t t2 ) t (t) (t t1) (t t1) (t t2 ) (t t2 ) (t t1 t2 ) (t t1 t2 ) ，
et
(t)


(t)
数。偶函数的频谱函数为实偶函数，奇函数的频谱函数为虚奇函数，且 Fe j R ，Fo j jX 。
周期信号平均功率满足
f
2 (t)

A0 2
2

1 2
n1
An2

1 4

An2
n
，非周期信号能量满足 W


Sa
n 2
e
jnt
，第
n
次谐波的幅度为
An

2 A T
Sa n 。 T
函数的奇偶特性与其谐波分量特性的关系：
函数特性
谐波分量特性
函数特性
谐波分量特性
奇函数
正弦谐波
奇奇谐函数 奇次正弦谐波
偶函数
余弦谐波
奇偶谐函数 偶次正弦谐波
奇谐函数
奇次谐波
偶奇谐函数 奇次余弦谐波

Enm A0
，调幅波的平均功率 P

1 2
A02

Enm n1 2
2

1 2
A02

mn n1 2
A0

2
。
脉冲幅度调制：若 s(t)


A G t
n
nT ， a(t)

e(t) s(t) ，即 S( j)

A T
Sa n n T
，
阶跃响应为 r(t) 1 1 c0 tt0 sin xdx 。含有通频带外频率分量的信号通过后会产生线性失真，且其不满足因果律，物理
2 0
x
不可实现。
系统物理可实现，符合因果律的充要条件为： h(t) (t) h(t) 。
系统使信号通过不产生失真的条件为：系统的幅频特性在整个频率范围为一常数，相频特性为过原点的直线，即频域系统函
E
j

2c

2E
j
E
j

2c
，后通过低通滤波器滤波；
幅度调制：若
a(t
)


A0

e(t
)cos
ct
，即
A(
j
)

A0



c





c


1 2
E

j


c


E

j


c
，后经过
检波电路解调；部分调幅系数 mn
，移频特性：
，
尺度变换特性：
，对称特性：
，则
，
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时域微积分特性：
，
，
频域微积分特性：
，
，
， ，
卷积特性：
，
，
奇偶虚实性：若 F ( j) R( j) jX ( j) F ( j) e j() ，则 R( j), F ( j) 是 的偶函数， X ( j), 是 的奇函
信号的简单处理：信号的相加与相乘、信号的延时、信号的尺度变换与反褶。 系统的分类：线性系统（齐次性与叠加性）与非线性系统、时不变系统与时变系统、连续时间系统与离散时间系统、因果系 统与非因果系统。
第二章 连续时间系统的时域分析
系统的转移算子 H ( p) N ( p) r(t) ，求解系统的零状态响应即求解齐次方程 D( p)r(t) 0 ，求解零状态响应即求解非齐 D( p) e(t)
n
阶重根，则对应的冲激响应为 ht
t
n
n1
1！e t

t

。
冲激函数的性质： t f
t dt

f
0， t
t1 f
t dt

f
t1 ，
f
t t
f
0 t，
f
t t
t1
f

R( E(
j) j)
，已知激励信号的各频率可通过系统的频率特性曲线（频率响应曲线）求
解系统的零状态响应。
理想低通滤波器的频域系统函数为： K ( j)
K ( j) e j()

Ke jt0 ,
c0
0,其他
，冲激响应为 h(t)

c0
Sa c0 t t0
， L t
1 s
， Lsint t
s2
2
， Lcost t
s2
s 2
，
L
etsint t


s 2
2
，L
etcost t

s
s 2 2
，L
t n t
偶谐函数
偶次谐波
偶偶谐函数 偶次余弦谐波
傅里叶变换与反变换： F ( j)

f
(t)e jt dt
，
f
(t)

1 2
F ( j)e jtd 。

可得： F ( j0)

f (t)e j0t dt

f (t)dt ，

F ( j)d
f
2 (t)dt

1 2
F ( j) 2 d ，

能量密度频谱函数
G(
)

1
F ( j) 2 ，总能量W

G()d 。
0
信号的频谱包括：单边频谱、双边频谱，幅度频谱、相位频谱，级数谱，密度谱，功率谱。
第四章 连续时间系统的频域分析
频域系统函数（频域响应函数）
H(
j)
t1 t
t1 ，
t t ， at 1 t 。
a

卷积积分： f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d 。
常用的信号卷积积分： f (t) (t) f (t) ， (t) (t) t (t) ， t (t) (t) 1 t 2 (t) ， t (t) t (t) 1 t3 (t) ，



c



c
，F sinct


j

c


c
，
F G
(t)
ASa
2

，
F et (t)


1 j
，
F
e |t|
2 。 2 2
调幅波——
F
f
(t)cosct

2n T
，
A( j)
A T
Sa n n T
E

j

2n T
，脉冲频率需满足 c

2 T
பைடு நூலகம்
2m ，使频谱不交叠，后经过低通滤波器滤波。
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第五章 连续时间系统的复频域分析
双边拉普拉斯变换： Fd


1
1 et

(t)
， et
(t) et
(t)

tet (t)
，
e1t
(t) e2t
(t)

2
1
1
e2t e1t
(t)(1 2 ) 。
延时特性：若 f1(t) f2 (t) f (t) ，则 f1(t t1) f2 (t t2 ) f (t t1 t2 ) 。