九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。

则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；
点P 在圆外⇔ 。

2、过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。

⑶三角形外心的形成：三角形 的交点， 相等。

1、直线与圆的位置关系有 种：
○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线。

2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：
直线l 与⊙O 相交r d _____⇔
直线l 与⊙O 相切r d _____⇔
直线l 与⊙O 相离r d _____⇔
3、 切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。

【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。

⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。

【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。

4、 切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角
5、 三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；
⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点；
（3）内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 。

【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=
考点一：切线的性质
例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．
（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；
（2）证明：PE=PF；
（3）若PF=13，sinA=
5
13
，求EF的长．
对应训练
1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF=4
5
，求DE的长．
考点二：切线的判定
例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，
且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
对应训练
2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．
知识点三、圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；
○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；
○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；
○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。

【谈重点】两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯
一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆，
此时d= 。

考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系
例题3如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE 为直径的圆与BC的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
例题4已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．内切
对应训练
3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）
4．已知⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是方程32
1
x x
=
-
的根，⊙O1与⊙O2的圆心距为
1，那么两圆的位置关系为（）
A．内含B．内切C．相交D．外切
补充例题
例1、已知圆的半径为6.5cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A 、相交 B、相切 C 、相离 D、相交或相离
解：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm，大于圆的半径6.5cm，所以直线与圆相离。

变式题：同一平面上的两圆，有两条公切线，则它们的位置关系是：
A 、相交 B、相切 C 、相离 D、相交或相离
例2、如图，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，
若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，求
解：由题，
BC=22AB AC -=6, 过O 分别作OD ⊥AB,
OE⊥OE，则D 、E 分别是AB 、AC 与⊙O 相切的切点
则AD=AE ，OD=OE ，
2
6,AP CP AC AP BC
OE CP BC CP
BCP =∴=-==⊥⊥∴又△∽△OEP
∴EP=OE，设OE=x
则BD=AB-AD=AB-AE=10-(2+x)=8-x
OB=BP-OP=2
∴(8-x)2+x 2=2(6-x)2
∴x=1
∴⊙O 的半径为1
变式题：已知：如图，△ABC 中，∠A=600，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC
于点D 、E.连接DE 、OE. 下列结论：①BC=2DE;②D 点到OE 的距离不变；③BD+CE=2DE;④OE 为△ADE 外接圆的切线。

其中正确的结论是
例3、（已知: 如图, AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过AC 的中点D, DE 切⊙O 于点D, 交BC 于点E.
(1)求证: DE ⊥BC; (2)如果CD=4, CE=3, 求⊙O 的半径.
(1)连结OD.
∵DE 切⊙O 于点D
∴DE ⊥OD, ∴∠ODE=900
又∵AD=DC, AO=OB
∴OD//BC)
∴∠DEC=∠ODE=900, ∴DE ⊥BC)
(2)连结BD.
∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=900
∴BD ⊥AC, ∴∠BDC=900
又∵DE ⊥BC, △RtCDB ∽△RtCED
∴CE DC DC BC =, ∴BC=3
163422==CE DC 又∵OD=21BC
∴OD=3831621=⨯, 即⊙O 的半径为38 变式题：如图所示，外切于P 点的
⊙O 1和⊙O 2是半径为3cm 的等圆，
连心线交⊙O 1于点A ，交⊙O 2于点
B ，A
C 与⊙O 2相切于点C ，连接PC ，
求PC 的长
【补充练习】
1．如图，已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为2cm ，将⊙O 1，⊙O 2放置在直线l 上，如果⊙O 1在直线l 上任意滚动，那么圆心距O 1O 2的长不可能是（ ）
A ．6cm
B ．3cm
C ．2cm
D ．0.5cm
2．如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB=AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
3．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为（ ）
A ．4
B ．33
C ．6
D ．23
4．如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）．则半圆还露在外
面的部分（阴影部分）的面积为．
5．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为AD上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．
（1）求证：CB=CF；
（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=3
5
，求⊙O的半径．
【专题训练】
一、选择题
1．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定
2．已知⊙O1的半径是3cm，⊙O2的半径是2cm，O1O2=6cm，则两圆的位置关系是（
A．相离B．外切C．相交D．内切
3．已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2 B．3 C．6 D．12
4．如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）
A．外切B．相交C．内切D．内含
5．在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）
A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC
7．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC 于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）
A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°
8．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，下列判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°
D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形
二、填空题
9．已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．
10．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．
11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．
12．如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是．
13．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．
14．如左下图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为．
15．如右上图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=3
5
，求⊙O的半径．
17．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=25
3
，求AC的长．
19．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=2
3
，求BE的长．。