数学建模的微分方程方法

数学建模的 微分方程方法
a
主讲人：杨和
1
2017.7.24-25
a
许多有趣的实际问题都包含着随时间发展 的过程。动态模型常被用于表现这些过程的演 变。动态模型建模时首先要根据建模目的和对 问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象 内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分 方程，接着求解微分方程并将微分方程的解翻 译回实际对象，最后就可以进行描述、分析、 预测和控制实际对象了。
本节简要介绍用数学建模解决问题的一
般过程，称之为五步方法。
a
1. 提出问题
2. 选择建模方法
3. 推导模型的数学表达式
4. 求解模型
5. 回答问题
5
a
例1.1 一头猪重200磅,每天增重5磅,伺 养每天需花费45美分。猪的市场价格是 每磅65美分，但是每天下降1美分。求出 售猪的最佳时间。
注：1磅 = 0.454千克
12
这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。
a
建模方法： 设 y f (x) 在 x S 处是可微的，如果
f ( x ) 在 x 处达到极大或极小, 则 f '(x) 0 。
细节可参阅微积分入门教材。
13
第三步是推导模型的数学表达式。即要把第一步 得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的 标准形式，以便于我们运用标准的算法过程求解。
C = 0.45t
R = p·w P = R-C t≥ 0 目标：求P的最大值
图1-1 售猪问题的 第一步的结果
注意：第一部分 三个阶段(变量 、假设、目标) 的确定不需要按 特定的顺序。
11
a
a
第二步是选择建模方法。 现在我们已经有了一 个用数学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方 法来获得解。许多问题都可以表示成一个已有的有效 的一般求解方法的标准形式。应用数学领域的多数研 究都包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题 的有效方法。在这一领域有许多文献，并且不断取得 新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有 经验或熟悉文献。在座的各位大都是首次参加数学建 模比赛，至多也就是参加了学校的建模比赛，对形形 色色的建模方法更是知之甚少。这也是我为什么选择
然后，写出关于这些变量所做的假设，列出已 知的或者假设的这些变量之间的关系式,包括等式或 不等式。
最后，用明确的数学语言写出这个问题的目标 的表达式。
变量、单位、等式、不等式和假设，就构成了 完整的问题。
8
a
在例1.1中，变量包括: 1. 猪的重量 w (磅) 2. 从现在到出售经历的时间 t (天) 3. t 天内伺养猪的花费 C (美元) 4. 猪的市场价格 p (美元/磅) 5. 售出生猪所获得的收益 R (美元) 6. 最终获得的净收益 P (美元) 还有一些量，如猪的初始重量(200磅)等，但这
析动态模型不可缺少的一部分。由于图形表示
特有的简单性，以及它的几何性质，使得它在
数学建模中占据了重要地位。事实上，对于动
态模型，数值方法结合图形分析才是最有效的
方法。
3
a
目录：
§1 五步方法 §2 灵敏性分析 §3 稳健性分析 §4 薄膜渗透率的测定 §5 香烟过滤嘴的作用 §6 其他实例
4
§1 五步方法
些量不是变量。把变量和常量分开是很重要的。 9
a
下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过
程中，我们要考虑问题中的常量的作用
(
w磅
)
(
200
磅
)
(
5磅 天
)(
t天
).
(
p
美元 磅
)
(
0.6
5美 磅
元
)
(
0.01美 元 磅 天
)(
t天
)
(C美
元)
(
0.45美 天
元
)( t天
)
(R美
元
)
(
p美 元 磅
14
a
第四步，利用第二步中确定的标准过程求解这个 模型。 如本例中即对 y = f(x) = (0.65 − 0.01x)(200+5x) − 0.45x 在区间 x≥0 上求最大值。 如图1-2可知，y = f(x) 关于 x 是二次的曲线图，易得
f ' (x) = − 0.1x+0.8 则在点 x = 8 处 f'(x)=0.
如：例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法
上就比较方便。
P = R−C = p·w − 0.45t = (0.65 − 0.01t)(200 + 5t) − 0.45t
a
记 y = P 为目标变量，x = t 为自变量，则问题转化为 在集合S={x:x≥0}上求下面函数的最大值：
y = f(x) = (0.65 − 0.01x)(200+5x) − 0.45x.
)(
w磅
)
(P美 元 ) (R美 元 ) (C美 元 )
10
把变量的单位带进去,可以检查所列式子是否有意义。
变量：t = 从现在到出售的时间(天) w = 猪的重量(磅) p = 猪的价格(美元/磅) C = 饲养 t 天的花费(美元) R = 售出猪的收益(美元) P = 净收益(美元)
假设：w = 200+5t p = 0.65-0.01t
五步方法、灵敏性分析和稳健性分析等基
本原则对动态模型是有意义并且是有用的。在
探讨一些最流行和最实用的动态建模技巧时，
我们常采用这些方法。
2
一般来讲，动态模型易于构造但是难于求解
。精确的解析解仅对少数特殊情况存在，如线
性系统。数值方法常常不能对系统的行为提供
a
一个好的定性的解释。所以图形表示通常是分
从而点(x,y)=(8, 133.20)是 f 在整个实轴上的全局最 16
大值点,也是区间 x≥0 上的最大值点。
a
第五步回答问题，即回答第一步中提出的问题 “何时售猪可以达到最大净收益？”
15
f(x)
134
133
132 132
131
130 130 128
y=−0.05x2+0.8x+130
5
10
15
20
a
126 0
5
10
15
20 x
图1-2 售猪问题的净收益 f(x)关于时间x的曲线图
由 f 在区间(−∞, 8)上单调递增,而在区间(8,+∞) 上单调递减。
故点 x = 8是全局最大值点。且有 f(8) = 133.20,
6
a
第一步是提出问题而，问题需要用数学语言表 达，这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要 对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为 我们总可以在后面的过程中随时返回并做出更好的 推测。在用数学术语提出问题之前，我们需要定义 所用的术语。
7
a
Leabharlann Baidu
首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰 当的单位。