三角学和天文学~高中科普
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在这个三角形中，SM边是事先选定的“基线”；e 角的大小可以从地球上同时观测太阳和灯 M来确定； S角就是地球向径（SE"）同基线 SM所夹的角， 其大小也可以通过对恒星的观测来确定。有了这些 已知条件，便可以得知三角形SE'M中SE"的距离， 或者说地球E'相对于基线SM的位置完全可确定。 因此，只要在纸上任意画一条基线SM，凭着我们 观测到的e和S的角度，就可以作出三角形SE'M来。 我们可以在一年中经常这样做，每次都会在纸上得 到地球E'对于那条基线SM的不同位置，并且给它 们逐个注上日期，然后把这些点连成曲线……。这 样，我们就从经验上确定了地球的轨道。虽然其大 小还是相对的，然而却是“真实”的。
三角学和与天文学
舒兰一中 一 年一班 四组
雷格蒙塔努斯 （Regiomontanus Johannes，1436—1476） 德国数学家、天文学家。
约翰尼斯· 开普勒(Johanns Kpler,1571—1630),杰出的 德国天文学家 弗朗索瓦· 韦达 （Franç ois Viète，1540－ 1603）现代数 学之父
开普勒要测定地球（在其轨道上）与 太阳的距离。在这里，太阳好比是上 述例证中的A地，地球则是河对岸的 那座塔C。为了布设“基线”，还需 要另找一个定点 B。可是，在行星系 统里，除了太阳是唯一“静止”的中 心天体外，再也找不出第二个这样的 “定点”。这要由开普勒另行觅取。
我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M，它有足够 的明亮度，并且永远悬挂在那里，以使地球上的观测者在每年 任何日期都能看到它；又假定这灯距太阳比地球还要远些。如 果具备这些条件，它就成了我们所需要的第个定点。太阳与灯 的连线就是我们所要布设的“基线”。借助这样一盏灯，就能 用下述办法来测定地球的轨道。 譬如，每年都会有这样一个时刻，地球 （E）正好在太阳（S） 和灯（M）的连线上。这时，从地球上来看灯，我们的视线EM 就会同SM（太阳～灯）重合，我们可以把后者在天空中的位置 （它指向某一恒星）记录下来。 以后，在另一个时刻，地球运行到轨道上的另一位置E'，这时 它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE'M。
三维极坐标系统是在二维球面坐标系的 基础上增加一条向径r构成的﹐向径是 坐标原点到所研究的天体的线距离。人 造卫星的空间位置可以用它的赤经﹑赤 纬和向径唯一地加以确定﹐因相应的二 维球面坐标系的不同﹐所以又有三维赤 道球坐标和三维黄道球坐标等不同的球 坐标系统。
三维直角坐标系又称为空间直角坐标系。 在通常情况下﹐为便于与相应的球坐标 系进行坐标转换﹐空间直角坐标系 OXYZ 的OZ 轴取球面坐标系的极点所 在的方向﹐OX 轴取主点所在的方向 ﹐OXY 平面与基圈相重合﹐而OXZ 平 面与主圈相重合。这时﹐空间坐标与相 应的二维球坐标或三维球坐标之间有最 简单的关系。另外﹐对应于不同的二维 球面坐标系﹐也可以有不同的空间直角 坐标系﹐如赤道直角坐标系﹑黄道直角 坐标系等。
天文学
chapter1：古希腊的自然科学家泰勒斯（公元前624年－ 公元前546年）的理论，可以认为是三角学的萌芽，但历史 上都 认为古希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者。
chapter2：古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右） 著《球面学》提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角 学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天 文学大成》，初步发展了三角学．
应用实例二：
天球坐标系（ps.太美了...）
﹐朝上的一点Z 称为天顶﹐朝下的一点Z 称为天底。 过天顶Z 和天体作一垂直圈﹐它与地平圈交于垂足D 点﹐ 则天体 在地平坐标系中的第一坐标就是大圆弧D 或极距 Z 。D =h 称为地平纬度﹐又称地平高度﹐简称高度﹔ 而Z= 称为天顶距。地平高度也可以用平面角OD 来量度﹐ 而天顶距也可以用平面角OZ 来量度。 天球上与地平圈相平行的小圆称为地平纬圈﹐也称平行圈。 同一地平纬圈上任意点的地平高度都是相同的﹐因此可以称为 等高圈。 南点S 与垂足D 之间的大圆弧SD =a ﹐是地平坐标系中的 第二坐标﹐称为地平经度或天文方位角﹐简称方位角。 方位角也可以用平面角SOD 来量度﹐天文学中习惯从南 点起按顺时针方向量度。以地平圈为基圈﹑子午圈为主圈﹑南 点为主点的坐标系称为地平坐标系。 由于周日视运动﹐天体的地平坐标不断发生变化。另一方 面﹐对不同的观测者﹐由于铅垂线方向的不同﹐就有不同的地 平坐标系﹐同一天体也就有不同的地平坐标。这种随测站而异 的性质使记录天体位置的各种星表不能采用地平坐标系统。
空间坐标系的转换包括﹕对应于同一球面坐标系统的空 间直角坐标系和空间球坐标系之间的转换﹔不同空间直 角坐标系之间的转换﹔对应于不同的二维球面坐标系的 空间直角坐标和空间球坐标之间的转换﹔原点不同(如 地心﹑日心等)的坐标转换。 相对坐标系 在研究邻近天体的相对位置及其运动状态时 ﹐往往要使用相对坐标系﹐它又称为微分坐标系。用相 对坐标系研究的不是天体在天球上的具体位置﹐而是一 个天体相对于附近另一个天体的相对位置。以赤道坐标 系为例﹐两个天体S (α﹐和S (α﹐)之间的相对关系 α=α－α=sin p sec ﹐=－=cos p 。 称 =sin p ﹐ =cos p 为天体S 相对于天体S 的直角坐标。 这里﹐两天体之间的球面距离为一小量﹐﹑和 均以角秒 为单位。S S P为一窄球面三角形。
应用实例一：开普勒测量行星轨道 半径
开普勒如何从行星的使人眼花缭乱的视行中 推出它们的“真实”轨道？只要想到人们永 远不可能看到行星的真实运动，而只能从运 动着的地球上看到它们在天空的什么方向， 就知道问题困难了。倘使行星所作的是简单 的匀速圆周运动，从地球上看去，还比较容 易地察觉这种运动该是怎样的；可是实际情 形比这要复杂得多，而且地球本身同样是以 某种未知方式绕太阳运动。这就使问题变得 无比复杂和困难了
要研究天，最好先懂得 地！
开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理 出一个完整清楚的头绪来。他同哥白尼一样，敏 锐地领悟到，“要研究天，最好先懂得地”，他 也把着眼点放在地球上，力图先摸清地球本身的 运动，然后再研究行星的运动。
在大地测量工作中，常常要测定那些由于某种 自然障碍而无法直接到达的目标的距离。假定 需要测定A地到对岸塔C的距离，因A、C两地 被大河阻隔，无法直接去测量这段距离的长度。 为了解决这个困难，观测者可在河的这岸另择 一点B，AB的距离是可以直接丈量的。这段经 过选定的、已知其长度的线段AB，用测量学的 术语来说，叫做“基线”。基线确定后，可在 它的两端用测角仪分别测定A、B两角的大小。 于是，在三角形ABC中，已知两角大小和它们 所夹的边 （基线）长，三角形的其他角和边， 就可以计算出来。应用这个简单方法可以求得 无法达到的目标的距离。
Only two things are infinite – the universe and human stupidity, and I';m not sure about the former. - Albert Einstein
提 出 了 三 角 学 的 基 础 问
Chapter3:瓦拉哈米希拉（Varahamihira，约505～587年）最早 引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学 者进一步探讨了三角学． chapter4:纳西尔丁（Nasir ed－Din al Tusi，1201～1274年）的 《横截线原理书》开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个 独立分支
第谷· 布拉赫
莱昂哈德· 欧拉 （Leonhard Euler ，1707年4 月15日～1783年 9月18日），瑞士 数学家、自然科
三角学：
研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。 三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应 用于测量为目的，同时也研究三角函数的性质及其 应用的一门学科。三角学分为平面三角学与球面三 角学。它们都是研究三角形中边与角之间的关系的 学科。平面三角学分为角的度量、三角函数与反三 角函数、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公 式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容； 球面三角学研究球面上由大圆弧构成的球面三角形 的边与角之间的关系，在天文学、测量学、制图学、 结晶学、仪器学等方面有广泛的应用。
我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M，它 有足够的明亮度，并且永远悬挂在那里，以使地球上的观 测者在每年任何日期都能看到它；又假定这灯距太阳比地 球还要远些。如果具备这些条件，它就成了我们所需要的 第个定点。太阳与灯的连线就是我们所要布设的“基线”。 借助这样一盏灯，就能用下述办法来测定地球的轨道。 譬如，每年都会有这样一个时刻，地球 （E）正好在太阳 （S）和灯（M）的连线上。这时，从地球上来看灯，我 们的视线EM就会同SM（太阳～灯）重合，我们可以把后 者在天空中的位置 （它指向某一恒星）记录下来。 以后，在另一个时刻，地球运行到轨道上的另一位置E'， 这时它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE'M。
地球赤道平面延伸后与 天球相交的大圆﹐称为 天赤道。天赤道的几何 极称为天极。天赤道是 赤道坐标系中的基圈﹐ 北天极P 是赤道坐标系 的极
在研究太阳系内各 种天体的运动情况 时﹐要用另一种天 球坐标系﹐即黄道
地平坐标系和赤道坐 标系之间的关系 可根 据图 2的球面三角P Z 用球面三角的公式来 表示﹕ cosz =sin sin +cos cos cost ﹐ sinα sinz =cos sint ﹐ cosα sin =-cos sin +sin cos cost ﹐ 式中 =Z 为天体的天 顶距﹔ =90°－PZ
在这个三角形中，SM边是事先选定的“基线”；e 角的大小可以从地球上同时观测太阳和灯 M来确定； S角就是地球向径（SE"）同基线 SM所夹的角， 其大小也可以通过对恒星的观测来确定。有了这些 已知条件，便可以得知三角形SE'M中SE"的距离， 或者说地球E'相对于基线SM的位置完全可确定。 因此，只要在纸上任意画一条基线SM，凭着我们 观测到的e和S的角度，就可以作出三角形SE'M来。 我们可以在一年中经常这样做，每次都会在纸上得 到地球E'对于那条基线SM的不同位置，并且给它 们逐个注上日期，然后把这些点连成曲线……。这 样，我们就从经验上确定了地球的轨道。虽然其大 小还是相对的，然而却是“真实”的。
三角学和与天文学
舒兰一中 一 年一班 四组
雷格蒙塔努斯 （Regiomontanus Johannes，1436—1476） 德国数学家、天文学家。
约翰尼斯· 开普勒(Johanns Kpler,1571—1630),杰出的 德国天文学家 弗朗索瓦· 韦达 （Franç ois Viète，1540－ 1603）现代数 学之父
开普勒要测定地球（在其轨道上）与 太阳的距离。在这里，太阳好比是上 述例证中的A地，地球则是河对岸的 那座塔C。为了布设“基线”，还需 要另找一个定点 B。可是，在行星系 统里，除了太阳是唯一“静止”的中 心天体外，再也找不出第二个这样的 “定点”。这要由开普勒另行觅取。
我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M，它有足够 的明亮度，并且永远悬挂在那里，以使地球上的观测者在每年 任何日期都能看到它；又假定这灯距太阳比地球还要远些。如 果具备这些条件，它就成了我们所需要的第个定点。太阳与灯 的连线就是我们所要布设的“基线”。借助这样一盏灯，就能 用下述办法来测定地球的轨道。 譬如，每年都会有这样一个时刻，地球 （E）正好在太阳（S） 和灯（M）的连线上。这时，从地球上来看灯，我们的视线EM 就会同SM（太阳～灯）重合，我们可以把后者在天空中的位置 （它指向某一恒星）记录下来。 以后，在另一个时刻，地球运行到轨道上的另一位置E'，这时 它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE'M。
三维极坐标系统是在二维球面坐标系的 基础上增加一条向径r构成的﹐向径是 坐标原点到所研究的天体的线距离。人 造卫星的空间位置可以用它的赤经﹑赤 纬和向径唯一地加以确定﹐因相应的二 维球面坐标系的不同﹐所以又有三维赤 道球坐标和三维黄道球坐标等不同的球 坐标系统。
三维直角坐标系又称为空间直角坐标系。 在通常情况下﹐为便于与相应的球坐标 系进行坐标转换﹐空间直角坐标系 OXYZ 的OZ 轴取球面坐标系的极点所 在的方向﹐OX 轴取主点所在的方向 ﹐OXY 平面与基圈相重合﹐而OXZ 平 面与主圈相重合。这时﹐空间坐标与相 应的二维球坐标或三维球坐标之间有最 简单的关系。另外﹐对应于不同的二维 球面坐标系﹐也可以有不同的空间直角 坐标系﹐如赤道直角坐标系﹑黄道直角 坐标系等。
天文学
chapter1：古希腊的自然科学家泰勒斯（公元前624年－ 公元前546年）的理论，可以认为是三角学的萌芽，但历史 上都 认为古希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者。
chapter2：古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右） 著《球面学》提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角 学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天 文学大成》，初步发展了三角学．
应用实例二：
天球坐标系（ps.太美了...）
﹐朝上的一点Z 称为天顶﹐朝下的一点Z 称为天底。 过天顶Z 和天体作一垂直圈﹐它与地平圈交于垂足D 点﹐ 则天体 在地平坐标系中的第一坐标就是大圆弧D 或极距 Z 。D =h 称为地平纬度﹐又称地平高度﹐简称高度﹔ 而Z= 称为天顶距。地平高度也可以用平面角OD 来量度﹐ 而天顶距也可以用平面角OZ 来量度。 天球上与地平圈相平行的小圆称为地平纬圈﹐也称平行圈。 同一地平纬圈上任意点的地平高度都是相同的﹐因此可以称为 等高圈。 南点S 与垂足D 之间的大圆弧SD =a ﹐是地平坐标系中的 第二坐标﹐称为地平经度或天文方位角﹐简称方位角。 方位角也可以用平面角SOD 来量度﹐天文学中习惯从南 点起按顺时针方向量度。以地平圈为基圈﹑子午圈为主圈﹑南 点为主点的坐标系称为地平坐标系。 由于周日视运动﹐天体的地平坐标不断发生变化。另一方 面﹐对不同的观测者﹐由于铅垂线方向的不同﹐就有不同的地 平坐标系﹐同一天体也就有不同的地平坐标。这种随测站而异 的性质使记录天体位置的各种星表不能采用地平坐标系统。
空间坐标系的转换包括﹕对应于同一球面坐标系统的空 间直角坐标系和空间球坐标系之间的转换﹔不同空间直 角坐标系之间的转换﹔对应于不同的二维球面坐标系的 空间直角坐标和空间球坐标之间的转换﹔原点不同(如 地心﹑日心等)的坐标转换。 相对坐标系 在研究邻近天体的相对位置及其运动状态时 ﹐往往要使用相对坐标系﹐它又称为微分坐标系。用相 对坐标系研究的不是天体在天球上的具体位置﹐而是一 个天体相对于附近另一个天体的相对位置。以赤道坐标 系为例﹐两个天体S (α﹐和S (α﹐)之间的相对关系 α=α－α=sin p sec ﹐=－=cos p 。 称 =sin p ﹐ =cos p 为天体S 相对于天体S 的直角坐标。 这里﹐两天体之间的球面距离为一小量﹐﹑和 均以角秒 为单位。S S P为一窄球面三角形。
应用实例一：开普勒测量行星轨道 半径
开普勒如何从行星的使人眼花缭乱的视行中 推出它们的“真实”轨道？只要想到人们永 远不可能看到行星的真实运动，而只能从运 动着的地球上看到它们在天空的什么方向， 就知道问题困难了。倘使行星所作的是简单 的匀速圆周运动，从地球上看去，还比较容 易地察觉这种运动该是怎样的；可是实际情 形比这要复杂得多，而且地球本身同样是以 某种未知方式绕太阳运动。这就使问题变得 无比复杂和困难了
要研究天，最好先懂得 地！
开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理 出一个完整清楚的头绪来。他同哥白尼一样，敏 锐地领悟到，“要研究天，最好先懂得地”，他 也把着眼点放在地球上，力图先摸清地球本身的 运动，然后再研究行星的运动。
在大地测量工作中，常常要测定那些由于某种 自然障碍而无法直接到达的目标的距离。假定 需要测定A地到对岸塔C的距离，因A、C两地 被大河阻隔，无法直接去测量这段距离的长度。 为了解决这个困难，观测者可在河的这岸另择 一点B，AB的距离是可以直接丈量的。这段经 过选定的、已知其长度的线段AB，用测量学的 术语来说，叫做“基线”。基线确定后，可在 它的两端用测角仪分别测定A、B两角的大小。 于是，在三角形ABC中，已知两角大小和它们 所夹的边 （基线）长，三角形的其他角和边， 就可以计算出来。应用这个简单方法可以求得 无法达到的目标的距离。
Only two things are infinite – the universe and human stupidity, and I';m not sure about the former. - Albert Einstein
提 出 了 三 角 学 的 基 础 问
Chapter3:瓦拉哈米希拉（Varahamihira，约505～587年）最早 引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学 者进一步探讨了三角学． chapter4:纳西尔丁（Nasir ed－Din al Tusi，1201～1274年）的 《横截线原理书》开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个 独立分支
第谷· 布拉赫
莱昂哈德· 欧拉 （Leonhard Euler ，1707年4 月15日～1783年 9月18日），瑞士 数学家、自然科
三角学：
研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。 三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应 用于测量为目的，同时也研究三角函数的性质及其 应用的一门学科。三角学分为平面三角学与球面三 角学。它们都是研究三角形中边与角之间的关系的 学科。平面三角学分为角的度量、三角函数与反三 角函数、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公 式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容； 球面三角学研究球面上由大圆弧构成的球面三角形 的边与角之间的关系，在天文学、测量学、制图学、 结晶学、仪器学等方面有广泛的应用。
我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M，它 有足够的明亮度，并且永远悬挂在那里，以使地球上的观 测者在每年任何日期都能看到它；又假定这灯距太阳比地 球还要远些。如果具备这些条件，它就成了我们所需要的 第个定点。太阳与灯的连线就是我们所要布设的“基线”。 借助这样一盏灯，就能用下述办法来测定地球的轨道。 譬如，每年都会有这样一个时刻，地球 （E）正好在太阳 （S）和灯（M）的连线上。这时，从地球上来看灯，我 们的视线EM就会同SM（太阳～灯）重合，我们可以把后 者在天空中的位置 （它指向某一恒星）记录下来。 以后，在另一个时刻，地球运行到轨道上的另一位置E'， 这时它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE'M。
地球赤道平面延伸后与 天球相交的大圆﹐称为 天赤道。天赤道的几何 极称为天极。天赤道是 赤道坐标系中的基圈﹐ 北天极P 是赤道坐标系 的极
在研究太阳系内各 种天体的运动情况 时﹐要用另一种天 球坐标系﹐即黄道
地平坐标系和赤道坐 标系之间的关系 可根 据图 2的球面三角P Z 用球面三角的公式来 表示﹕ cosz =sin sin +cos cos cost ﹐ sinα sinz =cos sint ﹐ cosα sin =-cos sin +sin cos cost ﹐ 式中 =Z 为天体的天 顶距﹔ =90°－PZ