微探究 圆与直角坐标系

微探究

圆与直角坐标系

点是构成图形的基本元素，是联系图形与坐标的纽带. 通过点的坐标把数与形有机结合，由坐标找点和由点求坐标，是“数”与“形”相互转换的最基本形式.

圆置于直角坐标系中，通过图形中关键点的坐标表示，赋予图形以数的特征，使“数”与“形”融合共生. 把代数与几何融合在一起，既引进运动观念，又考查数形结合、分析转化、分类讨论思想方法及探究能力.

视野窗

图形与坐标

彰显坐标是沟通“数”与“形”的纽带，体现坐标在解决问题中的工具性，揭示坐标本质的变化规律与对应关系.

坐标变化是图形运动变化的本质反映，这种变化常通过“代数式”、“方程”或“函数”体现出来. 我们常借助于代数运算，运用方程、函数等工具，利用程序化的运算，探讨图形的相关性质.

例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P ，⊙P 是以点P 为圆心，2为半径的圆，若一次函数y kx b =+的图象过点(1,0)A -且与⊙P 相切，则k b +的值为 .

试一试 关注直线与y 轴交点坐标，作出圆中辅助线，由比例线段求出点的坐标.

例2 如图，以(5,0)M -为圆心，4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线P A 、PB 分别交y 轴于C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长（ ）

A.

等于 B. 等于 C. 等于6 D. 随P 点位置的变化而变化 试一试 排除干扰，突出形的分析（图中有全等形？相似形？）是解题的关键.

例3 如图，在平面直角坐标系中，点(10,0)A ，以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆圆周上一动点，连接OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴的垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连接CF .

（1）当∠AOB=30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE=8时，求线段EF 的长；

（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.

试一试 对于（3），在点B 的运动过程中，点E 、F 的位置也随之发生改变，故按恰当的标准全面构建图形是解题的关键.

例4 如图，直线(4)y x b b =+>与x 轴、y 轴分别相交于A 、B ，与反比例函数4

y x

=-

的图象相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），⊙O 是以CD 的长为半径的圆. CE ∥x 轴，DE ∥y 轴，CE 、DE 相交于点E

.

（1）△CDE 是 三角形；点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 （用含有b 的代数式表示）；

（2）当b 为何值时，点E 在⊙O 上？

（3）随着b 的取值逐渐增大，直线y x b =+与⊙O 有哪些位置关系？求出相应的b 的取值范围.

试一试 对于（2），E 点坐标由（1）顺延得到，E x 、E y 及y x b =+隐含了怎样的图形特征？OE=CD ，建立b 的等式；对于（3），从⊙O 与直线y x b =+相切切入.

视野窗

例4立足于b 的约束，融合了直线形、函数、圆等丰富的知识，解题的关键是突出图形的生成过程，注重图形生成条件的探索过程，并把条件代数化，建立方程. 问题（2）中点E 承上启下，有多种解决方法，读者不妨多试.

抛物线与圆

例5 如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于(1,0)A -，(2,0)B ，交y 轴于

(0,2)C -，过A 、C 画直线.

备用图

（1）求二次函数解析式；

（2）点P 在x 轴正半轴上，且P A=PC ，求OP 的长.

（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H . ① 点M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标； ②

若⊙M M 的坐标. 分析 对于（3），用几何方法确定点M 的位置，再用代数方法（建立方程）求其坐标. 解 （1）22y x x =--；

（2）设(,0)p x ，由P A=PC ，得22PA PC =，即222(1)2x x +=+，解得3

2

x =， ∴3(,0)2P ，32

OP =

. （3）① ∵△CHM ∽△AOC ，∴∠MCH=∠CAO . 情形1：如图①，当H 在点C 下方时， ∵∠CAO=∠MCH ，∴CM ∥x 轴.

∴2M y =-，∴222x x --=-， 解得0x =（舍去）或1x =，∴(1,2)M -.

图① 图②

情形2：如图①，当H 在点C 上方时， ∵∠M′CH=∠CAO ，

由（2）得，M′为直线CP 与抛物线的另一交点，

设直线C M′的解析式为2y kx =-，把3

(,0)2P 的坐标代入，得3202

k -=，

解得43k =

，∴423y x =-. 由24

223

x x x -=--，

解得0x =（舍去）或73x =，此时109y =，∴710

'(,)39

M .

② 如图②，在x 轴上取一点D ，过点D

作DE ⊥AC 于点E ，使DE =∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD ，

∴△AED ∽△AOC

，∴AD DE

AC OC =

52=，解得AD=2. ∴(1,0)D 或(3,0)D -.

过点D 作DM ∥AC ，交抛物线于M ，

则直线DM 的解析式为22y x =-+或26y x =--. 当2262x x x --=--时，方程无实数解；

当2222x x x

-+=--时，解得1

x =，2x

=. ∴点

M 的坐标为

M

或M .

视野窗