第1讲 实 数

(1)常见无理数的几种类型:①根号型:如 2 , 7 等开方开不尽的数;② 构造型:如 0.323 223 222 3…(相邻两个 3 之间依次多 1 个 2);③三角 函数型:sin 45°,tan 30°等;④含π的数,如π+2 等.
(2)判断一个数是否是实数,不能只看形式,要看化简的结果.例如 ( 3 + 5 )0 化简后等于 1,因此( 3 + 5 )0 不是无理数.
(A)a>b (B)|a|<|b| (C)a+b>0 (D) a <0
b 解析:由题图,得-2<a<-1,0<b<1,∴a<b,故 A 错误;|a|>|b|,故 B 错误; a+b<0,故 C 错误; a <0,故 D 正确;故选 D.
b
4.(2018黔南)如图为洪涛同学的小测卷,他的得分应是 100 分.
(3)作商法:对任意正实数 a,b,若 a >1,则 a >
b
a = b,若 a <1,则 a < b.
b
(4)倒数法:对于任意正实数 a,b,若 1 > 1 ,则 a
ab
(5)估算近似值法.
b;若 a =1,则
b
<
b.
实数的分类 [例 1] 实数 tan 45°, 3 27 ,0,-π, 16 , 1 ,0.101 001 000 1…(相邻两个 1 之
5.(2018 资阳)已知 a,b 满足(a-1)2+ b 2 =0,则 a+b= -1 .
解析:∵(a-1)2+ b 2 =0,
∴
a b
1 2
0, 0.
解得
a b
1, 2.
∴把 a=1,b=-2 代入,
得 a+b=1-2=-1.
6.(2019
甘肃)计算:
1 2
2
+(2
019-π)0-
姓名 洪涛 得分 ? 填空(每小题25分,共100分) ①2的相反数是 -2 ; ②倒数等于它本身的数是 -1和1 ; ③-1的绝对值是 1 ; ④8的立方根是 2 .
解析:2的相反数是-2,①正确; 倒数等于它本身的数是1和-1,②正确; -1的绝对值是1,③正确; 8的立方根是2,④正确. 则洪涛同学的得分是4×25=100(分).
实数的运算
[例 5] (2019 达州)计算:(π-3.14)0- ( 1 )2 + 3 27 - 8 . 2
思路点拨:直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、立方根的性 质、算术平方根的性质分别化简后,根据实数混合运算的法则和顺序得出 答案.
解:(π-3.14)0- (1 )2 + 3 27 - 8 2
2019 2019
2019
(2)(2019德州)|x-3|=3-x,则x的取值范围是 x≤3
.
思路点拨:(2)根据“正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数, 0的绝对值是0”;由x-3的绝对值是它的相反数3-x可求解.
解析:(2)∵|x-3|=3-x,∴x-3≤0,解得x≤3, ∴x的取值范围是x≤3.
模块一 数与式 第1讲 实 数
1.按定义分
实数的分类
实数 有理数 负正零有有理理数数 负 负正 正分 整整 分数 数数 数
有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
2.按性质分
实数正0 实数非负数 负实数
实数的概念与性质(常考点)
1.数轴 规定了 原点 、正方向、单位长度的直线,叫做数轴.数轴上的点与 实数
3 tan 3
60°-|-3|.
解:
1 2
2
+(2
019-π)0-
3 tan 3
60°-|-3|
=4+1- 3 × 3 -3 3
=1.
点击进入 实战演练
实数的大小比较
1.法则比较法 正数都 大于 零,零 而小 .
大于
一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反
2.数轴比较法 在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数 大 .
3.特殊方法
(1)平方法:对任意正实数a,b,若a2>b2,则a > b. (2)作差法:对任意实数a,b有:若a-b>0,则a > b;若a-b=0,则a = b; 若a-b<0,则a < b.
3
间依次多一个 0),sin 60°,其中无理数有( C ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
思路点拨:先计算出各实数的值,再根据无理数的概念判断.
解析:tan 45°=1, 3 27 =3, 16 =4,sin 60°= 3 ,
2
∴无理数有-π,0.101 001 000 1…(相邻两个 1 之间依次多一个 0), sin 60°共 3 个.故选 C.
.
(2)一个正数的绝对值是 它本身
是它的 相反数 ,
aa 0,
即:|a|=
0
a
0,
aa 0.
原点 的距离叫做数a的绝对值,记 ,0的绝对值是 0 ,负数的绝对值
近似数和科学记数法(常考点)
1.近似数
将一个数按四舍五入后所得到的数.
2.科学记数法
(1)一般地说,一个绝对值大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中a的
=1-4+3-2 2 =-2 2 .
实数的运算是由绝对值、整数指数幂、特殊角的三角函数等基本单元组 成,解题时,一定要注意运算法则,把符号看仔细.
1.(2019重庆)下列各数中,比-1小的数是( D ) (A)2 (B)1 (C)0 (D)-2
解析:∵-2<-1<0<1<2,∴比-1小的数是-2,故选D.
2.(2019衢州)浙江省陆地面积为101 800平方千米,其中数据101 800用科学 记数法表示为( B ) (A)0.101 8×105 (B)1.018×105 (C)0.101 8×106 (D)1.018×106
解析:101 800=1.018×105,故选B.
3.(2019 广东)实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的 是( D )
实数的非负性 [例 3] 已知 a b +|b-1|=0,则 a+1= 2 .
思路点拨:先根据非负数的性质求得a,b的值,再代入代数式求值.
解析:∵ a b +|b-1|=0,
∴
b a
1 0，解得 b 0.
a b
1, 1.
把 a=1 代入,得 a+1=1+1=2.
(1)实数的三种非负数形式: a (a≥0),|a|,a2.
根,a的立方根为 3 a .
1
(3)若a≠0,则a0= 1 ,a-p= a p .
2.实数的运算律
在实数范围内常用的运算定律有加法 交换 律,加法 结合 律,乘法 交换 律,乘法 结合 律,乘法 分配 律.
3.实数运算的顺序 先算乘方, 开方 ,再算 乘除 先算括号内的,同一级运算从 左
,最后算 加减 ,运算中有括号的, 到 右 依次进行.
(2)几个非负数的和为 0,则这几个非负数都为 0.如:|a|+ b +c2=0,则 a=0,b=0,c=0.
近似数和科学记数法
[例4] (2019德州)据国家统计局统计,我国2018年国民生产总值(GDP)为900 300亿元.用科学记数法表示900 300亿是( D ) (A)9.003×1012 (B)90.03×1012 (C)0.900 3×1014 (D)9.003×1013
取值范围是 1≤|a|<10
,n是正整数.
(2)一般地,一个绝对值小于1的数可以表示为 a×10n 的形式,其中a
的取值范围是 1≤|பைடு நூலகம்|<10 ,n是负整数.
实数的运算(常考点)
1.乘方与开方
(1)正数的任何次方都是 正 数,负数的偶数次方是 正 数,奇数次方
是 负 数.
(2)若a>0,则数a的平方根为 a ,算术平方根为 a ,若a<0,则a 没有 平方
实数的概念 [例 2] (1)(2019 潍坊)2 019 的倒数的相反数是( B ) (A)-2 019 (B)- 1
2019 (C) 1 (D)2 019
2019
思路点拨:(1)根据非零实数 a 的倒数是 1 ,实数 1 的相反数是- 1 依次求解;
a
a
a
解析:(1)2 019 的倒数是 1 , 1 的相反数为- 1 ,故选 B.
是
一一对应的.
2.相反数
-a
(1)实数a的相反数为
=.
(2)a与b互为相反数⇔a+b
0.
(3)相原反点数的几何意义:在数轴上,表示相反原数点的两个点位于原点的两侧,且
到 3.倒数
1
的距离相a等.这两个点关于 1
对称.
(1)实数a的倒数是 ,其中a≠0.
4.绝对值
(1)一般地,数轴上表示数a的点与
作 |a|
思路点拨:先将900 300亿化为原数,再表示为a×10n的形式. 解析:900 300亿=90 030 000 000 000=9.003×1013.故选D.
用科学记数法表示一个数,就是把一个数写成a×10n的形式,关键是确定a 和n. (1)1≤|a|<10. (2)当原数的绝对值大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;当原数的 绝对值小于1时,n是负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前 所有零的个数(含小数点前面的0).