沪教版七年级下册12.7分数指数幂教案

§12.7分数指数幂(1)

教学目标：

1.理解分数指数幂的意义.

2.能将方根与分数指数幂互化，体会化归的数学思想. 教学重点及难点:将方根与分数指数幂互化. 教学过程： 一、复习引入

1.引言：加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？

2．思考：

把3

2表示为2的m 次幂的形式.

引导分析：

（1）解决这个问题之前，先口答：（用幂的形式表示）

_____,)2(32= .______23=-

（2）这是以前所学的整数指数幂，负整数指数幂可以转化为正整数指数幂.到目前为止2的任何整数指数

幂都是有理数，而32是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把3

2

表示为m 2的形式.

（3）假设m

223

=成立，问：在等式成立的前提下，如何消除根号进行转化呢？

那么3

33)2()2(m =

说明：原有的幂的运算性质应该保持不变. 左边=21

，右边=m 32

要使 左边=右边 成立，则13=m ，即3

1=

m 所以 3

13

22=

追问1：被开方数中2的指数是几？（师可用红色粉笔标注出指数） 问2：猜想433=？ ?33

= 3. 讨论

通过3

13

22=

，4

34

3

33=，2

33

33=的转化，讨论方根与幂的形式如何互化？（学生讨论）

二、学习新课

1．分数指数幂概念

师：把指数的取值范围扩大到分数，我们规定

)

0(1)0(>=

≥=-a

a a

a

a a n m n

m

n m n

m （其中m 、n 为整数，1>n ）.

【说明】在说明p

p a a 1

=

-同样适用后，导出后一个负分数指数幂. 上面规定中的n

m

a 和n

m a -

叫做分数指数幂，a 是底数.

揭示课题：12.7分数指数幂

[说明]指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.

2.有理数指数幂

整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂. 3．例题分析

例1 把下列方根化为幂的形式： （1）35； （2）

3

2

51

； （3）43

5； （4）49

每一题问：如何转化？谁做分数指数幂中指数的分母？

师：刚才将方根转化为分数指数幂，反过来分数指数幂可以转化为方根进行开方运算. 例2 计算：

（1）2

149；（2）3

1)8

1(；（3）4116-；（4）31

21274⨯.

解：（1）74949

21

==；

（2）2

1

81)81(3

31

==； （3）2

116

1

16

116

4

4

14

1=

=

=

-

； （4）63227427433

12

1=⨯=⨯=⨯.

小结：可将分数指数幂转化为方根的形式再求值，最后写成分数指数幂的形式.

例3 将幂的形式转化为方根形式：

（1）316；（2）329；（3）4

14.6-

；（4）43

)7

5

(

解：（1）3

3

1

66=

； （2）323

299＝；

（3）4

4

14

14

.61

4

.614

.6=

=

-

； （4）3443

)75

()75(=.

小结：分数指数幂中指数的分母是方根中的根指数.

三、巩固练习

1.把下列方根化为幂的形式：

（1）34；（2）4

32；（3）

8

1； （4）5

3

1

．

*2. 把下列幂化为方根的形式：

（1）3136； （2）2

3-12； （3）4

1158⎪⎭

⎫

⎝⎛； （4）52

-10-．

*3.把下列方根化为幂的形式： （1）46； （2）5

3

7； （3）

4

3

3

1

； （4）32

5

-.

4.计算（口答）：

（1）2

19；（2）21121；（3）21144；（4）3164；（5）31125；（6）4

1256．

四、课堂小结

学生自主小结：你学到了什么? 你有什么体会或想法? 数学思想：化归思想.

五、作业：

练习册、堂堂练