向量法求空间点到平面的距离
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向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
?
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到面 距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法 2、等体积法； 方法3、空间向量。
13
wk.baidu.com
小结：向量法求点到平 面的距离 要求一个点到平面的距 离，可以分为以下三个 步骤： （1）找出从该点出发的平 面的任一条斜线段对应 的向量； （2）求出该平面的一个法 向量； （3）求出法向量与斜线段 对应的向量的数量积的 绝对值 再除以法向量的模，即 可求出点到平面距离。
思考、 已知不共线的三点坐标 ,如何求经过这三点的
平面的一个法向量 ?
例 1、在空间直角坐标系中 ,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0,2) ,试求平面 ABC 的一个法向量 .
r
解:r设平uu面ur ArBCu的uur一个法uuu向r 量为 n ? ( x,uuyu,rz) 则 n ? AB，n ? AC .∵ AB ? (? 3,4,0) , AC ? (? 3,0, 2)
?
BA BA? BO
?
BA? BO
, 如果令平面 ? 的法向量为 n,考虑到法向
BA BO
BO
AB? n
量的方向，可以得到点 B到平面? 的距离为 BO ?
。
n
3、因此要求一个点到平 面的距离，可以分为以下三个步骤：（1）找 出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向 量；（2）求出该平 面的一个法向量；（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量 的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平 面距离。
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离 .
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0) ， E(2,4,0) ，
2、向量数量积公式
a ? b ? a b cos? (?为a与b的夹角）
二、新课
向量法求点到平面的距 离
B
n
A
O
?
1、剖析：如图， BO ? 平面 ?，垂足为 O , 则点 B到平面 ?的距离
线段 BO 的长度。
2、若AB是平面 ? 的任一条斜线段，则在 Rt? BOA中，BO ? BA ? cos ? ABO
∴
?( ??(
x, x,
y, y,
z) z)
?(? ?(?
3,4,0) 3,0,2)
? ?
0 0
即
? ? ?
? ?
3 3
x x
? ?
4y 2z
? ?
0 0
r
取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6)
∴
? ?? ? ? ?
y? z?
3 4 3 2
x x
r
∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量 .
则 A(0,0,0),B(2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
uuur
uuur
uuur
AB ? ( 2,1,0), CB ? ( 2,0,0), CP ? (0, ? 1,1) ,
r
设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x?, y?, z?) ,
r uuur
则
?? ?
n r
?CB uuur
?2x ? 2y ? 0
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?
2
x
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(
1
,
1
,1)
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d
?
|
nv3?Bu3uEur|
v
?
2
11
n
11
点评：斜线段也可以选 择BF或者BG都行，
练习 1
练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图,
?
0
z
?n ?CP ? 0
?(x?, y?, z?)?( 2,0,0) ? 0 ??(x?, y?, z?)?(0,?1,1)? 0
∴
? x?? 0 ??y?? z?
x
y
r
令 y?? ?1, n ? (0,?1,?1),d=
2
2
课下作业、在三棱锥B ? ACD中, 平面ABD? 平面ACD，若棱长 AC ? CD ? AD ? AB? 1，且? BAD? 300，求点D到平面ABC 的距离。（答案d ? 39 ）
Fu(u4ur,2,0) ，G(0,u0u,ur2)．
xD
EF ? (2, ?2, 0), EG ? (2?? , 4, 2), uuur
F
BE ? (2, 0, 0)
设平r 面 EFG 的一个法向量A 为 n ? ( x, y, z)
E
C
B
y
r uuurr uuru n ? EF，n ? EG
?
B
n
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新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到面 距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法 2、等体积法； 方法3、空间向量。
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小结：向量法求点到平 面的距离 要求一个点到平面的距 离，可以分为以下三个 步骤： （1）找出从该点出发的平 面的任一条斜线段对应 的向量； （2）求出该平面的一个法 向量； （3）求出法向量与斜线段 对应的向量的数量积的 绝对值 再除以法向量的模，即 可求出点到平面距离。
思考、 已知不共线的三点坐标 ,如何求经过这三点的
平面的一个法向量 ?
例 1、在空间直角坐标系中 ,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0,2) ,试求平面 ABC 的一个法向量 .
r
解:r设平uu面ur ArBCu的uur一个法uuu向r 量为 n ? ( x,uuyu,rz) 则 n ? AB，n ? AC .∵ AB ? (? 3,4,0) , AC ? (? 3,0, 2)
?
BA BA? BO
?
BA? BO
, 如果令平面 ? 的法向量为 n,考虑到法向
BA BO
BO
AB? n
量的方向，可以得到点 B到平面? 的距离为 BO ?
。
n
3、因此要求一个点到平 面的距离，可以分为以下三个步骤：（1）找 出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向 量；（2）求出该平 面的一个法向量；（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量 的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平 面距离。
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离 .
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0) ， E(2,4,0) ，
2、向量数量积公式
a ? b ? a b cos? (?为a与b的夹角）
二、新课
向量法求点到平面的距 离
B
n
A
O
?
1、剖析：如图， BO ? 平面 ?，垂足为 O , 则点 B到平面 ?的距离
线段 BO 的长度。
2、若AB是平面 ? 的任一条斜线段，则在 Rt? BOA中，BO ? BA ? cos ? ABO
∴
?( ??(
x, x,
y, y,
z) z)
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3,4,0) 3,0,2)
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∴
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∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量 .
则 A(0,0,0),B(2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
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uuur
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AB ? ( 2,1,0), CB ? ( 2,0,0), CP ? (0, ? 1,1) ,
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设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x?, y?, z?) ,
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点评：斜线段也可以选 择BF或者BG都行，
练习 1
练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图,
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课下作业、在三棱锥B ? ACD中, 平面ABD? 平面ACD，若棱长 AC ? CD ? AD ? AB? 1，且? BAD? 300，求点D到平面ABC 的距离。（答案d ? 39 ）
Fu(u4ur,2,0) ，G(0,u0u,ur2)．
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F
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设平r 面 EFG 的一个法向量A 为 n ? ( x, y, z)
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