导数知识点各种题型归纳方法总结
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【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第3页共22页◎【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第4页共22页
值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如
1
()
f x x
x
=+的极大值为2-，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值⇒f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用（不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题）
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数（看正负）原函数（看升降增减）
'()
f x的符号()
f x单调性
'()
f x与x轴的交点且交点两侧异号()
f x极值
'()
f x的增减性()
f x的每一点的切线斜率的变化趋势（()
f x的图象的增减幅度）
'()
f x增()
f x的每一点的切线斜率增大（()
f x的图象的变化幅度快）
'()
f x减()
f x的每一点的切线斜率减小（()
f x的图象的变化幅度慢）
【题型针对训练】
1. 已知f(x)=e x-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R单调递增，求a的取值围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？
若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，
若x=
3
2时，y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
（请你欣赏）3.当0
>
x，证明不等式x
x
x
x
<
+
<
+
)
1
ln(
1
.
证明：
x
x
x
x
f
+
-
+
=
1
)1
ln(
)
(，x
x
x
g-
+
=)1
ln(
)
(，则
2
)
1(
)
(
x
x
x
f
+
=
'，
当0
>
x时。)(x
f
∴在()
+∞
,0是增函数，)0(
)
(f
x
f>
∴，即0
1
)
1
ln(>
+
-
+
x
x
x，
又
x
x
x
g
+
-
=
'
1
)
(，当0
>
x时，0
)
(<
'x
g，)(x
g
∴在()
+∞
,0是减函数，)0(
)
(g
x
g<
∴，即0
)
1
ln(<
-
+x
x，因此，当0
>
x时，不等式x
x
x
x
<
+
<
+
)
1
ln(
1
成立.
点评：由题意构造出两个函数
x
x
x
x
f
+
-
+
=
1
)1
ln(
)
(，x
x
x
g-
+
=)1
ln(
)
(.
利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.
（请你欣赏）4、已知函数32
f(x)ax bx(c3a2b)x d (a0)
=++--+>的图象如图所示。（Ⅰ）求c d
、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y110
+-=，
求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若
x5,
=方程f(x)8a
=有三个不同的根，数a的取值围。
解：由题知：2
f(x)3ax2bx+c-3a-2b
'=+
（Ⅰ）由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1
f'= 0
得
3
32c320
d
a b a b
=
⎧
⎨
++--=
⎩
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
3
c
d
（Ⅱ）依题意()2
f'= – 3 且f ( 2 ) = 5
124323
846435
a b a b
a b a b
+--=-
⎧
⎨
+--+=
⎩
解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x3– 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意f ( x ) = ax3 + bx2– ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) ()x
f'= 3ax2 + 2bx– 3a– 2b
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