高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质

高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质考向一 由函数图像求解析式【母题来源】2022年高考全国乙卷(文科)【母题题文】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像,则该函数是( )A. 3231x x y x -+=+B. 321x x y x -=+C. 22cos 1x x y x =+D.22sin 1x y x =+ 【答案】A【试题解析】设()321x x f x x -=+,则()10f =,故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0cos 1x <<,所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++,故排除C;设()22sin 1x g x x =+,则()2sin 33010g =>,故排除D.故选:A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质,属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图,试题难度不大,多为中低档题,函数图像是历年高考的热点,其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现.常见的命题角度有:(1)由函数的图像来研究函数的性质;(2)由函数图像求解析式;(3)由解析式判断大致图像.【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1) 从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2) 从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3) 从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4) 从函数的周期性,判断图像的循环往复.(5) 从函数的特征点,排除不合要求的图象.考向二 由解析式判断图像【母题来源】2022年高考全国乙卷(文科)【母题题文】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A. B. C. D.【答案】A【试题解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦, 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-,所以()f x 为奇函数,排除BD ;又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,330,cos 0x x x -->>,所以()0f x >,排除C.故选:A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质,属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图,试题难度不大,多为中低档题,函数图像是历年高考的热点,其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现.常见的命题角度有:(1)由函数的图像来研究函数的性质;(2)由函数图像求解析式;(3)由解析式判断大致图像.【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.真题汇总及解析1.函数()22cos6x x y x -=-的图像大致是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】【分析】利用排除法求解,先判断函数的奇偶性,再利用函数的变化情况判断即可【详解】定义域为R ,因为()()()22cos(6)22cos6()x x x x f x x x f x ---=--=--=-,所以函数为奇函数,所以排除AB , 当012x π<<时,062x π<<,则cos60x >,因为当012x π<<时,220x x -->,所以当012x π<<时,()22cos60x x y x -=->,所以排除D ,故选:C 2.从函数y x =,2y x ,2x y -=,sin y x =,cos y x =中任选两个函数,记为()f x 和()g x ,若()()()h x f x g x =+或()()()h x f x g x =-的图象如图所示,则()h x =( )A .2sin x x -B .cos x x +C .2sin x x -+D .cos x x -【答案】C【解析】【分析】 根据图象可知函数()h x 过定点(0,1),当0x <时()1h x >,为减函数;当0x >时()0h x >或()0h x <交替出现,结合排除法和选项中函数的图象与性质,即可得出结果.【详解】由图象可知,函数()h x 过定点(0,1),当0x <时,()1h x >,为减函数;当0x >时,()0h x >或()0h x <交替出现.若2()sin h x x x =-,则()00h =,不符合题意,故A 错误;若()cos h x x x =+,则(0)1h =,即函数()h x 过定点(0,1),又1cos 1x -≤≤,当1x <-时,()cos 0h x x x =+<,不符合题意,故B 错误;若()cos h x x x =-,则(0)1h =-,不符合题意,故D 错误.故选:C3.函数()2cos sin ln 2cos x f x x x-=⋅+的部分图象大致为( ) A .B .C .D .【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性得函数为奇函数,进而排除AB 选项,再根据0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数符号排除D 选项得答案.【详解】解:由题意可知,函数()f x 的定义域为R ,因为2cos()2cos ()sin()ln sin ln ()2cos()2cos x x f x x x f x x x----=-=-⋅=-+-+, 所以()f x 为奇函数,图象关于原点对称,排除选项A ,B ;当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin 0,2cos 2cos 0x x x >+>->,所以2cos 012cos x x -<<+, 所以2cos ()sin ln02cos x f x x x-=⋅<+,排除D. 故选:C.4.已知R α∈,则函数()e x x f x α=的图象不可能是( ) A . B .C .D .【答案】C【分析】 令12α=、2α=、1α=-,结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象,即可得答案.【详解】 当12α=时,()e x x f x =且0x ≥,则12()e x x f x x-'=, 所以1(0,)2上 ()0f x '>,()f x 递增;1(,)2+∞上 ()0f x '<,()f x 递减,且(0)0f =, 所以A 图象可能;当2α=时,2()0ex x f x =≥且R x ∈,则(2)()e x x x f x '-=, 所以(,0)-∞上()0f x '<,()f x 递减,(0,2)上 ()0f x '>,()f x 递增,(2,)+∞上 ()0f x '<,()f x 递减,所以B 图象可能;当1α=-时,1()e xf x x =且0x ≠,则21()e x x f x x +'=-, 所以(,1)-∞-上()0f x '>,()f x 递增,(1,0)-上 ()0f x '<,()f x 递减,(0,)+∞上 ()0f x '>,()f x 递增,又0x <时()0f x <,而0x >时()0f x >,所以D 图象可能;综上,排除A 、B 、D.故选:C5.函数()2222x xx x f x -+=+的部分图象大致是( ) A . B . C . D .【答案】B【分析】先判断()f x 的奇偶性,可排除A ,再由单调性、特值点排除选项C 、D ,即可得出答案.【详解】函数的定义域为R ,因为()()2222x x x x f x f x -+-==+,所以()f x 是偶函数,排除选项A ;当x →+∞时,考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度,知x →+∞时,()0f x →,故排除选项C ,D .故选:B .6.函数()22x f x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性,再根据特殊值判断即可;【详解】解:∵()()22x f x x f x --=⋅=,∴()f x 是偶函数,函数图象关于y 轴对称,排除A ,B 选项;∵()()122f f ==,∴()f x 在[0,2]上不单调,排除D 选项.故选:C7.下图中的函数图象所对应的解析式可能是( )A .112x y -=-B .112xy =-- C .12x y -=-D .21x y =--【答案】A【解析】【分析】 根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点,利用排除法即可求解.【详解】解:根据图象可知,函数关于1x =对称,且当1x =时,1y =-,故排除B 、D 两项; 当1x >时,函数图象单调递增,无限接近于0,对于C 项,当1x >时,12x y -=-单调递减,故排除C 项.故选:A.8.函数()x b f x a -=的图像如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A .1a >,0b <B .1a >,0b >C .01a <<,0b >D .01a <<,0b <【答案】D【解析】【分析】 由函数的单调性得到a 的范围,再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.【详解】由函数()x b f x a -=的图像可知,函数()x b f x a -=在定义域上单调递减,01a ∴<<,排除AB 选项;分析可知:函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得,0b ∴->,0b ∴<.故D 选项正确. 故选:D9.已知函数()f x ax b =+的图象如图所示,则函数()x g x a b =+的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】由函数()f x ax b =+的图象可得1a >,1b <-,从而可得()x g x a b =+的大致图象.【详解】由()f x ax b =+的图象可得(0)1f b =<-,(1)0f a b =+>,所以1a >,1b <-,故函数()x g x a b =+为增函数,相对x y a =向下平移大于1个单位故选:B10.设函数f (x )=2x ,则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )A .y =f (|x )B .y =-|f (x )| )C .y =-f (-|x )D .y =f (-|x )【答案】C【解析】 由题意结合指数函数的图象及函数图象的变换可得函数图象对应的函数解析式,即可得解.【详解】由图象可知函数图象对应的函数解析式是||2x y -=-,所以函数图象对应的函数解析式是y =-f (-|x |).故选:C .【点睛】本题考查了指数函数的图象及函数图象变换的应用,属于基础题.11.函数()cos f x x x =的图像大致是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-,即函数()f x 为奇函数,排除选项D ;再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-,∴函数()f x 为奇函数,排除选项D ; 当(0,)2x π∈时,0x >,0cos 1x <<, 0()f x x ∴<<,排除选项BC . 故选:A .12.下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为( )①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x =A .④②①③B .②④①③C .②④③①D .④②③①【答案】A【解析】【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断,再利用导数对①求导,求其在()0,π上的最大值.【详解】()f x ,()t x 的定义域为R ,()g x ,()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x =>在定义域内恒成立,则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时,则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭,令()0f x '>,则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数故选:A .。
2024年高考数学真题分类汇编09:函数与导数(含详细答案解析)

函数与导数一、单选题1.(2024·全国)已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x+ln (x +1),x ≥0,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)2.(2024·全国)已知函数为f (x )的定义域为R ,f (x )>f (x -1)+f (x -2),且当x <3时f (x )=x ,则下列结论中一定正确的是()A.f (10)>100B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<100003.(2024·全国)设函数f (x )=a (x +1)2-1,g (x )=cos x +2ax ,当x ∈(-1,1)时,曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点,则a =()A.-1B.12C.1D.24.(2024·全国)设函数f (x )=(x +a )ln (x +b ),若f (x )≥0,则a 2+b 2的最小值为()A.18B.14C.12D.15.(2024·全国)曲线f x =x 6+3x -1在0,-1 处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-326.(2024·全国)函数f x =-x 2+e x -e -x sin x 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为()A. B.C. D.7.(2024·全国)设函数f x =e x +2sin x1+x 2,则曲线y =f x 在0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.238.(2024·北京)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是函数y =2x图象上不同的两点,则下列正确的是()A.log 2y 1+y 22>x 1+x22 B.log 2y 1+y 22<x 1+x22C.log 2y 1+y 22>x 1+x 2D.log 2y 1+y 22<x 1+x 29.(2024·天津)下列函数是偶函数的是()A.y=e x-x2x2+1B.y=cos x+x2x2+1C.y=e x-xx+1D.y=sin x+4xe|x|10.(2024·天津)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a11.(2024·上海)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x+cos xB.sin x cos xC.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x12.(2024·上海)已知函数f(x)的定义域为R,定义集合M=x0x0∈R,x∈-∞,x0,f x <f x0,在使得M =-1,1的所有f x 中,下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x=2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x=-1处取到极小值二、多选题13.(2024·全国)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f x2C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)14.(2024·全国)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则()A.当a>1时,f(x)有三个零点B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a,使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题15.(2024·全国)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=.16.(2024·全国)已知a>1,1log8a -1log a4=-52,则a=.17.(2024·全国)曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点,则a的取值范围为.18.(2024·天津)若函数f x =2x2-ax-ax-2+1有唯一零点,则a的取值范围为.19.(2024·上海)已知f x =x,x>01,x≤0,则f3 =.四、解答题20.(2024·全国)已知函数f(x)=ln x2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0,且f (x)≥0,求a的最小值;(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;(3)若f (x )>-2当且仅当1<x <2,求b 的取值范围.21.(2024·全国)已知函数f (x )=e x -ax -a 3.(1)当a =1时,求曲线y =f (x )在点1,f (1) 处的切线方程;(2)若f (x )有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.22.(2024·全国)已知函数f x =a x -1 -ln x +1.(1)求f x 的单调区间;(2)若a ≤2时,证明:当x >1时,f x <e x -1恒成立.23.(2024·全国)已知函数f x =1-ax ln 1+x -x .(1)当a =-2时,求f x 的极值;(2)当x ≥0时,f x ≥0恒成立,求a 的取值范围.24.(2024·北京)已知f x =x +k ln 1+x 在t ,f t t >0 处切线为l .(1)若切线l 的斜率k =-1,求f x 单调区间;(2)证明:切线l 不经过0,0 ;(3)已知k =1,A t ,f t ,C 0,f t ,O 0,0 ,其中t >0,切线l 与y 轴交于点B 时.当2S △ACO =15S △ABO ,符合条件的A 的个数为?(参考数据:1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)25.(2024·天津)设函数f x =x ln x .(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程;(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立,求a 的取值范围;(3)若x 1,x 2∈0,1 ,证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12.26.(2024·上海)若f x =log a x (a >0,a ≠1).(1)y =f x 过4,2 ,求f 2x -2 <f x 的解集;(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列,求a 的取值范围.27.(2024·上海)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ,令s x =(x -a )2+f x -b 2,若P x 0,f x 0 是s x取到最小值的点,则称P 是M 在f x 的“最近点”.(1)对于f (x )=1x(x >0),求证:对于点M 0,0 ,存在点P ,使得点P 是M 在f x 的“最近点”;(2)对于f x =e x ,M 1,0 ,请判断是否存在一个点P ,它是M 在f x 的“最近点”,且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直;(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x ),且函数g (x )在定义域R 上恒正,设点M 1t -1,f t -g t ,M 2t +1,f t +g t .若对任意的t ∈R ,存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”,试判断f x 的单调性.参考答案:1.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【解析】因为f x 在R上单调递增,且x≥0时,f x =e x+ln x+1单调递增,则需满足--2a2×-1≥0-a≤e0+ln1,解得-1≤a≤0,即a的范围是[-1,0].故选:B.2.B【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.【解析】因为当x<3时f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2,又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确;且无证据表明ACD一定正确.故选:B.【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2,再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)+ f(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.3.D【分析】解法一:令F x =ax2+a-1,G x =cos x,分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上,即可得a=2,并代入检验即可;解法二:令h x =f(x)-g x ,x∈-1,1,可知h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可.【解析】解法一:令f(x)=g x ,即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得ax2+a-1=cos x,令F x =ax2+a-1,G x =cos x,原题意等价于当x∈(-1,1)时,曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,注意到F x ,G x 均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,可得F0 =G0 ,即a-1=1,解得a=2,若a=2,令F x =G x ,可得2x2+1-cos x=0因为x∈-1,1,则2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得2x2+1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,所以a=2符合题意;综上所述:a=2.解法二:令h x =f(x)-g x =ax2+a-1-cos x,x∈-1,1,原题意等价于h x 有且仅有一个零点,因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ,则h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0,即h 0 =a -2=0,解得a =2,若a =2,则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ,又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时,等号成立,可得h x ≥0,当且仅当x =0时,等号成立,即h x 有且仅有一个零点0,所以a =2符合题意;故选:D .4.C【分析】解法一:由题意可知:f (x )的定义域为-b ,+∞ ,分类讨论-a 与-b ,1-b 的大小关系,结合符号分析判断,即可得b =a +1,代入可得最值;解法二:根据对数函数的性质分析ln (x +b )的符号,进而可得x +a 的符号,即可得b =a +1,代入可得最值.【解析】解法一:由题意可知:f (x )的定义域为-b ,+∞ ,令x +a =0解得x =-a ;令ln (x +b )=0解得x =1-b ;若-a ≤-b ,当x ∈-b ,1-b 时,可知x +a >0,ln x +b <0,此时f (x )<0,不合题意;若-b <-a <1-b ,当x ∈-a ,1-b 时,可知x +a >0,ln x +b <0,此时f (x )<0,不合题意;若-a =1-b ,当x ∈-b ,1-b 时,可知x +a <0,ln x +b <0,此时f (x )>0;当x ∈1-b ,+∞ 时,可知x +a ≥0,ln x +b ≥0,此时f (x )≥0;可知若-a =1-b ,符合题意;若-a >1-b ,当x ∈1-b ,-a 时,可知x +a 0,ln x +b 0,此时f (x )<0,不合题意;综上所述:-a =1-b ,即b =a +1,则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12,当且仅当a =-12,b =12时,等号成立,所以a 2+b 2的最小值为12;解法二:由题意可知:f (x )的定义域为-b ,+∞ ,令x +a =0解得x =-a ;令ln (x +b )=0解得x =1-b ;则当x ∈-b ,1-b 时,ln x +b <0,故x +a ≤0,所以1-b +a ≤0;x ∈1-b ,+∞ 时,ln x +b >0,故x +a ≥0,所以1-b +a ≥0;故1-b +a =0,则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12,当且仅当a =-12,b =12时,等号成立,所以a 2+b 2的最小值为12.故选:C .【点睛】关键点点睛:分别求x +a =0、ln (x +b )=0的根,以根和函数定义域为临界,比较大小分类讨论,结合符号性分析判断.5.A【分析】先求出切线方程,再求出切线的截距,从而可求面积.【解析】f x =6x 5+3,所以f 0 =3,故切线方程为y =3(x -0)-1=3x -1,故切线的横截距为13,纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为12×1×13=16故选:A .6.B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ,代入x =1可得f 1 >0,可排除D .【解析】f -x =-x 2+e -x -e x sin -x =-x 2+e x -e -x sin x =f x ,又函数定义域为-2.8,2.8 ,故该函数为偶函数,可排除A 、C ,又f 1 =-1+e -1e sin1>-1+e -1e sin π6=e 2-1-12e >14-12e>0,故可排除D .故选:B .7.A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1 处的切线方程,即可得其与坐标轴交点坐标,即可得其面积.【解析】fx =ex+2cos x 1+x 2 -e x +2sin x ⋅2x1+x 22,则f0 =e 0+2cos0 1+0 -e 0+2sin0 ×01+02=3,即该切线方程为y -1=3x ,即y =3x +1,令x =0,则y =1,令y =0,则x =-13,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S =12×1×-13 =16.故选:A .8.A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ;举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设x 1<x 2,因为函数y =2x 是增函数,所以0<2x 1<2x 2,即0<y 1<y 2,对于选项AB :可得2x1+2x 22>2x 1·2x 2=2x 1+x 22,即y 1+y 22>2x 1+x 22>0,根据函数y =log 2x 是增函数,所以log 2y 1+y 22>log 22x 1+x22=x 1+x22,故A 正确,B 错误;对于选项C :例如x 1=0,x 2=1,则y 1=1,y 2=2,可得log 2y 1+y 22=log 232∈0,1 ,即log 2y 1+y 22<1=x 1+x 2,故C 错误;对于选项D :例如x 1=-1,x 2=-2,则y 1=12,y 2=14,可得log 2y 1+y 22=log 238=log 23-3∈-2,-1 ,即log 2y 1+y 22>-3=x 1+x 2,故D 错误,故选:A .9.B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A ,设f x =e x -x 2x 2+1,函数定义域为R ,但f -1 =e -1-12,f 1 =e -12,则f -1 ≠f 1 ,故A 错误;对B ,设g x =cos x +x 2x 2+1,函数定义域为R ,且g -x =cos -x +-x 2-x 2+1=cos x +x 2x 2+1=g x ,则g x 为偶函数,故B 正确;对C ,设h x =e x -xx +1,函数定义域为x |x ≠-1 ,不关于原点对称,则h x 不是偶函数,故C 错误;对D ,设φx =sin x +4x e |x |,函数定义域为R ,因为φ1 =sin1+4e ,φ-1 =-sin1-4e ,则φ1 ≠φ-1 ,则φx 不是偶函数,故D 错误.故选:B .10.B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为y =4.2x 在R 上递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,所以0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a <1<b ,因为y =log 4.2x 在(0,+∞)上递增,且0<0.2<1,所以log 4.20.2<log 4.21=0,即c <0,所以b >a >c ,故选:B 11.A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【解析】对A ,sin x +cos x =2sin x +π4,周期T =2π,故A 正确;对B ,sin x cos x =12sin2x ,周期T =2π2=π,故B 错误;对于选项C ,sin 2x +cos 2x =1,是常值函数,不存在最小正周期,故C 错误;对于选项D ,sin 2x -cos 2x =-cos2x ,周期T =2π2=π,故D 错误,故选:A .12.B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断,对于B ,构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【解析】对于A ,若存在y =f (x )是偶函数, 取x 0=1∈[-1,1],则对于任意x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而f (-1)=f (1), 矛盾, 故A 错误;对于B ,可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ,当x <-1时,则f x =-2,当-1≤x ≤1时,f x ∈-1,1 ,当x >1时,f x =1,则该函数f x 的最大值是f 2 ,则B 正确;对C ,假设存在f x ,使得f x 严格递增,则M =R ,与已知M =-1,1 矛盾,则C 错误;对D ,假设存在f x ,使得f x 在x =-1处取极小值,则在-1的左侧附近存在n ,使得f n >f -1 ,这与已知集合M 的定义矛盾,故D 错误;故选:B .13.ACD【分析】求出函数f x 的导数,得到极值点,即可判断A ;利用函数的单调性可判断B ;根据函数f x 在1,3 上的值域即可判断C ;直接作差可判断D .【解析】对A ,因为函数f x 的定义域为R ,而f x =2x -1 x -4 +x -1 2=3x -1 x -3 ,易知当x ∈1,3 时,f x <0,当x ∈-∞,1 或x ∈3,+∞ 时,f x >0函数f x 在-∞,1 上单调递增,在1,3 上单调递减,在3,+∞ 上单调递增,故x =3是函数f x 的极小值点,正确;对B ,当0<x <1时,x -x 2=x 1-x >0,所以1>x >x 2>0,而由上可知,函数f x 在0,1 上单调递增,所以f x >f x 2 ,错误;对C ,当1<x <2时,1<2x -1<3,而由上可知,函数f x 在1,3 上单调递减,所以f 1 >f 2x -1 >f 3 ,即-4<f 2x -1 <0,正确;对D ,当-1<x <0时,f (2-x )-f (x )=1-x 2-2-x -x -1 2x -4 =x -1 22-2x >0,所以f (2-x )>f (x ),正确;故选:ACD .14.AD【分析】A 选项,先分析出函数的极值点为x =0,x =a ,根据零点存在定理和极值的符号判断出f (x )在(-1,0),(0,a ),(a ,2a )上各有一个零点;B 选项,根据极值和导函数符号的关系进行分析;C 选项,假设存在这样的a ,b ,使得x =b 为f (x )的对称轴,则f (x )=f (2b -x )为恒等式,据此计算判断;D 选项,若存在这样的a ,使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心,则f (x )+f (2-x )=6-6a ,据此进行计算判断,亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A 选项,f (x )=6x 2-6ax =6x (x -a ),由于a >1,故x ∈-∞,0 ∪a ,+∞ 时f (x )>0,故f (x )在-∞,0 ,a ,+∞ 上单调递增,x ∈(0,a )时,f (x )<0,f (x )单调递减,则f (x )在x =0处取到极大值,在x =a 处取到极小值,由f (0)=1>0,f (a )=1-a 3<0,则f (0)f (a )<0,根据零点存在定理f (x )在(0,a )上有一个零点,又f (-1)=-1-3a <0,f (2a )=4a 3+1>0,则f (-1)f (0)<0,f (a )f (2a )<0,则f (x )在(-1,0),(a ,2a )上各有一个零点,于是a >1时,f (x )有三个零点,A 选项正确;B 选项,f (x )=6x (x -a ),a <0时,x ∈(a ,0),f (x )<0,f (x )单调递减,x ∈(0,+∞)时f (x )>0,f (x )单调递增,此时f (x )在x =0处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的a ,b ,使得x =b 为f (x )的对称轴,即存在这样的a ,b 使得f (x )=f (2b -x ),即2x 3-3ax 2+1=2(2b -x )3-3a (2b -x )2+1,根据二项式定理,等式右边(2b -x )3展开式含有x 3的项为2C 33(2b )0(-x )3=-2x 3,于是等式左右两边x 3的系数都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的a ,b ,使得x =b 为f (x )的对称轴,C 选项错误;D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简f (1)=3-3a ,若存在这样的a ,使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心,则f (x )+f (2-x )=6-6a ,事实上,f (x )+f (2-x )=2x 3-3ax 2+1+2(2-x )3-3a (2-x )2+1=(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a ,于是6-6a =(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a即12-6a =012a -24=018-12a =6-6a,解得a =2,即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心,D 选项正确.方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,f (x )=2x 3-3ax 2+1,f (x )=6x 2-6ax ,f (x )=12x -6a ,由f (x )=0⇔x =a 2,于是该三次函数的对称中心为a 2,f a2,由题意(1,f (1))也是对称中心,故a2=1⇔a =2,即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心,D 选项正确.故选:AD【点睛】结论点睛:(1)f (x )的对称轴为x =b ⇔f (x )=f (2b -x );(2)f (x )关于(a ,b )对称⇔f (x )+f (2a -x )=2b ;(3)任何三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 都有对称中心,对称中心是三次函数的拐点,对称中心的横坐标是f (x )=0的解,即-b 3a ,f -b3a 是三次函数的对称中心15.ln2【分析】先求出曲线y =e x +x 在0,1 的切线方程,再设曲线y =ln x +1 +a 的切点为x 0,ln x 0+1 +a ,求出y ,利用公切线斜率相等求出x 0,表示出切线方程,结合两切线方程相同即可求解.【解析】由y =e x +x 得y =e x +1,y |x =0=e 0+1=2,故曲线y =e x +x 在0,1 处的切线方程为y =2x +1;由y =ln x +1 +a 得y =1x +1,设切线与曲线y =ln x +1 +a 相切的切点为x 0,ln x 0+1 +a ,由两曲线有公切线得y =1x 0+1=2,解得x 0=-12,则切点为-12,a +ln 12 ,切线方程为y =2x +12 +a +ln 12=2x +1+a -ln2,根据两切线重合,所以a -ln2=0,解得a =ln2.故答案为:ln216.64【分析】将log 8a ,log a 4利用换底公式转化成log 2a 来表示即可求解.【解析】由题1log 8a -1log a 4=3log 2a -12log 2a =-52,整理得log 2a 2-5log 2a -6=0,⇒log 2a =-1或log 2a =6,又a >1,所以log 2a =6=log 226,故a =26=64故答案为:64.17.-2,1【分析】将函数转化为方程,令x 3-3x =-x -1 2+a ,分离参数a ,构造新函数g x =x 3+x 2-5x +1,结合导数求得g x 单调区间,画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令x 3-3x =-x -1 2+a ,即a =x 3+x 2-5x +1,令g x =x 3+x 2-5x +1x >0 ,则g x =3x 2+2x -5=3x +5 x -1 ,令g x =0x >0 得x =1,当x ∈0,1 时,g x <0,g x 单调递减,当x ∈1,+∞ 时,g x >0,g x 单调递增,g 0 =1,g 1 =-2,因为曲线y =x 3-3x 与y =-x -1 2+a 在0,+∞ 上有两个不同的交点,所以等价于y =a 与g x 有两个交点,所以a ∈-2,1.故答案为:-2,1 18.-3,-1 ∪1,3【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系,构造函数g x =2x 2-ax 与h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a,则两函数图象有唯一交点,分a =0、a >0与a <0进行讨论,当a >0时,计算函数定义域可得x ≥a 或x ≤0,计算可得a ∈0,2 时,两函数在y 轴左侧有一交点,则只需找到当a ∈0,2 时,在y 轴右侧无交点的情况即可得;当a <0时,按同一方式讨论即可得.【解析】令f x =0,即2x 2-ax =ax -2 -1,由题可得x 2-ax ≥0,当a =0时,x ∈R ,有2x 2=-2 -1=1,则x =±22,不符合要求,舍去;当a >0时,则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a,即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a有唯一交点,由x 2-ax ≥0,可得x ≥a 或x ≤0,当x ≤0时,则ax -2<0,则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ,即4x 2-4ax =1-ax 2,整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0,当a =2时,即4x +1=0,即x =-14,当a ∈0,2 ,x =-12+a 或x =12-a>0(正值舍去),当a ∈2,+∞ 时,x =-12+a <0或x =12-a<0,有两解,舍去,即当a ∈0,2 时,2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤0时有唯一解,则当a ∈0,2 时,2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥a 时需无解,当a ∈0,2 ,且x ≥a 时,由函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a关于x =2a 对称,令h x =0,可得x =1a 或x =3a ,且函数h x 在1a ,2a上单调递减,在2a ,3a上单调递增,令g x =y =2x 2-ax ,即x -a 2 2a 24-y 2a 2=1,故x ≥a 时,g x 图象为双曲线x2a 24-y 2a2=1右支的x 轴上方部分向右平移a2所得,由x2a 24-y 2a2=1的渐近线方程为y =±aa 2x =±2x ,即g x 部分的渐近线方程为y =2x -a 2,其斜率为2,又a ∈0,2 ,即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x ≥2a 时的斜率a ∈0,2 ,令g x =2x 2-ax =0,可得x =a 或x =0(舍去),且函数g x 在a ,+∞ 上单调递增,故有1a <a 3a>a,解得1<a <3,故1<a <3符合要求;当a <0时,则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a,即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a有唯一交点,由x 2-ax ≥0,可得x ≥0或x ≤a ,当x ≥0时,则ax -2<0,则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ,即4x 2-4ax =1-ax 2,整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0,当a =-2时,即4x -1=0,即x =14,当a ∈-2,0 ,x =-12+a <0(负值舍去)或x =12-a0,当a ∈-∞,2 时,x =-12+a >0或x =12-a>0,有两解,舍去,即当a ∈-2,0 时,2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥0时有唯一解,则当a ∈-2,0 时,2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤a 时需无解,当a ∈-2,0 ,且x ≤a 时,由函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a关于x =2a 对称,令h x =0,可得x =1a 或x =3a ,且函数h x 在2a ,1a上单调递减,在3a ,2a上单调递增,同理可得:x ≤a 时,g x 图象为双曲线x 2a 24-y 2a 2=1左支的x 轴上方部分向左平移a2所得,g x 部分的渐近线方程为y =-2x +a 2,其斜率为-2,又a ∈-2,0 ,即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x <2a 时的斜率a ∈-2,0 ,令g x =2x 2-ax =0,可得x =a 或x =0(舍去),且函数g x 在-∞,a 上单调递减,故有1a >a 3a<a,解得-3<a <-1,故-3<a <-1符合要求;综上所述,a ∈-3,-1 ∪1,3 .故答案为:-3,-1 ∪1,3 .【点睛】关键点点睛:本题关键点在于将函数f x 的零点问题转化为函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a的交点问题,从而可将其分成两个函数研究.19.3【分析】利用分段函数的形式可求f 3 .【解析】因为f x =x ,x >01,x ≤0, 故f 3 =3,故答案为:3.20.(1)-2(2)证明见解析(3)b ≥-23【分析】(1)求出f x min =2+a 后根据f (x )≥0可求a 的最小值;(2)设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点,可证P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n 也在函数的图像上,从而可证对称性;(3)根据题设可判断f 1 =-2即a =-2,再根据f (x )>-2在1,2 上恒成立可求得b ≥-23.【解析】(1)b =0时,f x =ln x2-x+ax ,其中x ∈0,2 ,则f x =1x +12-x =2x 2-x+a ,x ∈0,2 ,因为x 2-x ≤2-x +x 2 2=1,当且仅当x =1时等号成立,故f x min =2+a ,而f x ≥0成立,故a +2≥0即a ≥-2,所以a 的最小值为-2.,(2)f x =ln x2-x+ax +b x -1 3的定义域为0,2 ,设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点,P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n ,因为P m ,n 在y =f x 图象上,故n =ln m2-m+am +b m -1 3,而f 2-m =ln 2-m m +a 2-m +b 2-m -1 3=-ln m2-m +am +b m -1 3 +2a ,=-n +2a ,所以Q 2-m ,2a -n 也在y =f x 图象上,由P 的任意性可得y =f x 图象为中心对称图形,且对称中心为1,a .(3)因为f x >-2当且仅当1<x<2,故x=1为f x =-2的一个解,所以f1 =-2即a=-2,先考虑1<x<2时,f x >-2恒成立.此时f x >-2即为lnx2-x+21-x+b x-13>0在1,2上恒成立,设t=x-1∈0,1,则ln t+11-t-2t+bt3>0在0,1上恒成立,设g t =ln t+11-t-2t+bt3,t∈0,1,则g t =21-t2-2+3bt2=t2-3bt2+2+3b1-t2,当b≥0,-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0,故g t >0恒成立,故g t 在0,1上为增函数,故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当-23≤b<0时,-3bt2+2+3b≥2+3b≥0,故g t ≥0恒成立,故g t 在0,1上为增函数,故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当b<-23,则当0<t<1+23b<1时,g t <0故在0,1+2 3b上g t 为减函数,故g t <g0 =0,不合题意,舍;综上,f x >-2在1,2上恒成立时b≥-2 3 .而当b≥-23时,而b≥-23时,由上述过程可得g t 在0,1递增,故g t >0的解为0,1,即f x >-2的解为1,2.综上,b≥-2 3 .【点睛】思路点睛:一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解,而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点,另外,根据函数不等式的解确定参数范围时,可先由恒成立得到参数的范围,再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.21.(1)e-1x-y-1=0(2)1,+∞【分析】(1)求导,结合导数的几何意义求切线方程;(2)解法一:求导,分析a≤0和a>0两种情况,利用导数判断单调性和极值,分析可得a2+ln a-1>0,构建函数解不等式即可;解法二:求导,可知f (x)=e x-a有零点,可得a>0,进而利用导数求f x 的单调性和极值,分析可得a2+ln a-1>0,构建函数解不等式即可.【解析】(1)当a=1时,则f(x)=e x-x-1,f (x)=e x-1,可得f(1)=e-2,f (1)=e-1,即切点坐标为1,e-2,切线斜率k=e-1,所以切线方程为y-e-2=e-1x-1,即e-1x-y-1=0.(2)解法一:因为f(x)的定义域为R,且f (x)=e x-a,若a≤0,则f (x)≥0对任意x∈R恒成立,可知f (x )在R 上单调递增,无极值,不合题意;若a >0,令f (x )>0,解得x >ln a ;令f (x )<0,解得x <ln a ;可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减,在ln a ,+∞ 内单调递增,则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3,无极大值,由题意可得:f ln a =a -a ln a -a 3<0,即a 2+ln a -1>0,构建g a =a 2+ln a -1,a >0,则g a =2a +1a>0,可知g a 在0,+∞ 内单调递增,且g 1 =0,不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ,解得a >1,所以a 的取值范围为1,+∞ ;解法二:因为f (x )的定义域为R ,且f (x )=e x -a ,若f (x )有极小值,则f (x )=e x -a 有零点,令f (x )=e x -a =0,可得e x =a ,可知y =e x 与y =a 有交点,则a >0,若a >0,令f (x )>0,解得x >ln a ;令f (x )<0,解得x <ln a ;可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减,在ln a ,+∞ 内单调递增,则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3,无极大值,符合题意,由题意可得:f ln a =a -a ln a -a 3<0,即a 2+ln a -1>0,构建g a =a 2+ln a -1,a >0,因为则y =a 2,y =ln a -1在0,+∞ 内单调递增,可知g a 在0,+∞ 内单调递增,且g 1 =0,不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ,解得a >1,所以a 的取值范围为1,+∞ .22.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导,含参分类讨论得出导函数的符号,从而得出原函数的单调性;(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x >1时,e x -1-2x +1+ln x >0即可.【解析】(1)f (x )定义域为(0,+∞),f (x )=a -1x =ax -1x当a ≤0时,f (x )=ax -1x <0,故f (x )在(0,+∞)上单调递减;当a >0时,x ∈1a,+∞ 时,f (x )>0,f (x )单调递增,当x ∈0,1a时,f (x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递减;a >0时,f (x )在1a ,+∞ 上单调递增,在0,1a上单调递减.(2)a ≤2,且x >1时,e x -1-f (x )=e x -1-a (x -1)+ln x -1≥e x -1-2x +1+ln x ,令g (x )=e x -1-2x +1+ln x (x >1),下证g (x )>0即可.g (x )=e x -1-2+1x ,再令h (x )=g (x ),则h (x )=e x -1-1x2,显然h (x )在(1,+∞)上递增,则h (x )>h (1)=e 0-1=0,即g (x )=h (x )在(1,+∞)上递增,故g (x)>g (1)=e0-2+1=0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0,问题得证23.(1)极小值为0,无极大值.(2)a≤-12【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数,就a≤-12、-12<a<0、a≥0分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】(1)当a=-2时,f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x,故f (x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-11+x+1,因为y=2ln(1+x),y=-11+x+1在-1,+∞上为增函数,故f (x)在-1,+∞上为增函数,而f (0)=0,故当-1<x<0时,f (x)<0,当x>0时,f (x)>0,故f x 在x=0处取极小值且极小值为f0 =0,无极大值.(2)f x =-a ln1+x+1-ax1+x-1=-a ln1+x-a+1x1+x,x>0,设s x =-a ln1+x-a+1x1+x,x>0,则s x =-ax+1-a+11+x2=-a x+1+a+11+x2=-ax+2a+11+x2,当a≤-12时,sx >0,故s x 在0,+∞上为增函数,故s x >s0 =0,即f x >0,所以f x 在0,+∞上为增函数,故f x ≥f0 =0.当-12<a<0时,当0<x<-2a+1a时,sx <0,故s x 在0,-2a+1 a上为减函数,故在0,-2a+1a上s x <s0 ,即在0,-2a+1 a上f x <0即f x 为减函数,故在0,-2a+1 a上f x <f0 =0,不合题意,舍.当a≥0,此时s x <0在0,+∞上恒成立,同理可得在0,+∞上f x <f0 =0恒成立,不合题意,舍;综上,a≤-1 2 .【点睛】思路点睛:导数背景下不等式恒成立问题,往往需要利用导数判断函数单调性,有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征,处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.24.(1)单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞).(2)证明见解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1,再利用导数研究其单调性即可;(2)写出切线方程y-f(t)=1+k1+t(x-t)(t>0),将(0,0)代入再设新函数F(t)=ln(1+t)-t1+t,利用导数研究其零点即可;(3)分别写出面积表达式,代入2S △ACO =15S ABO 得到13ln (1+t )-2t -15t1+t=0,再设新函数h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)研究其零点即可.【解析】(1)f (x )=x -ln (1+x ),f (x )=1-11+x =x1+x(x >-1),当x ∈-1,0 时,f x <0;当x ∈0,+∞ ,f x >0;∴f (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.则f (x )的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞).(2)f (x )=1+k 1+x ,切线l 的斜率为1+k1+t,则切线方程为y -f (t )=1+k1+t (x -t )(t >0),将(0,0)代入则-f (t )=-t 1+k 1+t,f (t )=t 1+k1+t ,即t +k ln (1+t )=t +t k 1+t ,则ln (1+t )=t 1+t ,ln (1+t )-t1+t =0,令F (t )=ln (1+t )-t1+t,假设l 过(0,0),则F (t )在t ∈(0,+∞)存在零点.F (t )=11+t -1+t -t (1+t )2=t(1+t )2>0,∴F (t )在(0,+∞)上单调递增,F (t )>F (0)=0,∴F (t )在(0,+∞)无零点,∴与假设矛盾,故直线l 不过(0,0).(3)k =1时,f (x )=x +ln (1+x ),f (x )=1+11+x =x +21+x>0.S △ACO =12tf (t ),设l 与y 轴交点B 为(0,q ),t >0时,若q <0,则此时l 与f (x )必有交点,与切线定义矛盾.由(2)知q ≠0.所以q >0,则切线l 的方程为y -t -ln t +1 =1+11+t x -t ,令x =0,则y =q =y =ln (1+t )-tt +1.∵2S △ACO =15S ABO ,则2tf (t )=15t ln (1+t )-t t +1,∴13ln (1+t )-2t -15t 1+t =0,记h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0),∴满足条件的A 有几个即h (t )有几个零点.h(t )=131+t -2-15(t +1)2=13t +13-2t 2+2t +1 -15(t +1)2=2t 2+9t -4(t +1)2=(-2t +1)(t -4)(t +1)2,当t ∈0,12 时,h t <0,此时h t 单调递减;当t ∈12,4 时,h t >0,此时h t 单调递增;当t ∈4,+∞ 时,h t <0,此时h t 单调递减;因为h (0)=0,h 120,h (4)=13ln5-20 13×1.6-20=0.8>0,h (24)=13ln25-48-15×2425=26ln5-48-725<26×1.61-48-725=-20.54<0,所以由零点存在性定理及h (t )的单调性,h (t )在12,4 上必有一个零点,在(4,24)上必有一个零点,综上所述,h (t )有两个零点,即满足2S ACO =15S ABO 的A 有两个.【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键是采用的是反证法,转化为研究函数零点问题.25.(1)y =x -1(2)2(3)证明过程见解析【分析】(1)直接使用导数的几何意义;(2)先由题设条件得到a =2,再证明a =2时条件满足;(3)先确定f x 的单调性,再对x 1,x 2分类讨论.【解析】(1)由于f x =x ln x ,故f x =ln x +1.所以f 1 =0,f 1 =1,所以所求的切线经过1,0 ,且斜率为1,故其方程为y =x -1.(2)设h t =t -1-ln t ,则h t =1-1t =t -1t,从而当0<t <1时h t <0,当t >1时h t >0.所以h t 在0,1 上递减,在1,+∞ 上递增,这就说明h t ≥h 1 ,即t -1≥ln t ,且等号成立当且仅当t =1.设g t =a t -1 -2ln t ,则f x -a x -x =x ln x -a x -x =x a 1x -1-2ln 1x=x ⋅g 1x.当x ∈0,+∞ 时,1x的取值范围是0,+∞ ,所以命题等价于对任意t ∈0,+∞ ,都有g t ≥0.一方面,若对任意t ∈0,+∞ ,都有g t ≥0,则对t ∈0,+∞ 有0≤g t =a t -1 -2ln t =a t -1 +2ln 1t ≤a t -1 +21t -1 =at +2t-a -2,取t =2,得0≤a -1,故a ≥1>0.再取t =2a ,得0≤a ⋅2a +2a 2-a -2=22a -a -2=-a -2 2,所以a =2.另一方面,若a =2,则对任意t ∈0,+∞ 都有g t =2t -1 -2ln t =2h t ≥0,满足条件.综合以上两个方面,知a 的取值范围是2 .(3)先证明一个结论:对0<a <b ,有ln a +1<f b -f ab -a<ln b +1.证明:前面已经证明不等式t -1≥ln t ,故b ln b -a ln a b -a =a ln b -a ln ab -a +ln b =ln b a b a -1+ln b <1+ln b ,且b ln b -a ln a b -a =b ln b -b ln a b -a +ln a =-ln a b 1-a b +ln a >-ab-1 1-a b+ln a =1+ln a ,所以ln a +1<b ln b -a ln ab -a <ln b +1,即ln a +1<f b -f a b -a<ln b +1.由f x =ln x +1,可知当0<x <1e 时f x <0,当x >1e时f x >0.所以f x 在0,1e 上递减,在1e,+∞ 上递增.不妨设x 1≤x 2,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一:当1e≤x 1≤x 2<1时,有f x 1 -f x 2 =f x 2 -f x 1 <ln x 2+1 x 2-x 1 <x 2-x 1<x 2-x 1,结论成立;情况二:当0<x 1≤x 2≤1e时,有f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2.对任意的c ∈0,1e,设φx =x ln x -c ln c -c -x ,则φx =ln x +1+12c -x.由于φx 单调递增,且有φ c 2e1+12c=ln c2e1+12c+1+12c -c2e1+12c<ln1e1+12c+1+12c -c2=-1-12c +1+12c=0,且当x ≥c -14ln 2c-1 2,x >c 2时,由12c -x≥ln 2c -1可知φ x =ln x +1+12c -x >ln c 2+1+12c -x =12c -x-ln 2c -1 ≥0.所以φ x 在0,c 上存在零点x 0,再结合φ x 单调递增,即知0<x <x 0时φ x <0,x 0<x <c 时φ x >0.故φx 在0,x 0 上递减,在x 0,c 上递增.①当x 0≤x ≤c 时,有φx ≤φc =0;②当0<x <x 0时,由于c ln 1c =-2f c ≤-2f 1e =2e <1,故我们可以取q ∈c ln 1c,1 .从而当0<x <c1-q 2时,由c -x >q c ,可得φx =x ln x -c ln c -c -x <-c ln c -c -x <-c ln c -q c =c c ln 1c-q <0.再根据φx 在0,x 0 上递减,即知对0<x <x 0都有φx <0;综合①②可知对任意0<x ≤c ,都有φx ≤0,即φx =x ln x -c ln c -c -x ≤0.根据c ∈0,1e和0<x ≤c 的任意性,取c =x 2,x =x 1,就得到x 1ln x 1-x 2ln x 2-x 2-x 1≤0.所以f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2≤x 2-x 1.情况三:当0<x 1≤1e ≤x 2<1时,根据情况一和情况二的讨论,可得f x 1 -f 1e≤1e -x 1≤x 2-x 1,f 1e -f x 2 ≤x 2-1e ≤x 2-x 1.而根据f x 的单调性,知f x 1 -f x 2 ≤f x 1 -f 1e 或f x 1 -f x 2 ≤f 1e-f x 2 .故一定有f x 1 -f x 2 ≤x 2-x 1成立.综上,结论成立.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于第3小问中,需要结合f x 的单调性进行分类讨论.26.(1)x |1<x <2(2)a >1【分析】(1)求出底数a ,再根据对数函数的单调性可求不等式的解;(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解,利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围.【解析】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ,故log a 4=2,故a 2=4即a =2(负的舍去),而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数,故f 2x -2 <f x ,故0<2x -2<x 即1<x <2,故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列,故2f ax =f x +1 +f x +2 有解,故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ,因为a >0,a ≠1,故x >0,故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解,由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解,令t =1x ∈0,+∞ ,而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ,故a 2>1即a >1.27.(1)证明见解析(2)存在,P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0),利用基本不等式即可;(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ,利用导函数得到其最小值,则得到P ,再证明直线MP 与切线垂直即可;(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0,对两等式化简得f x 0 =-1g (t ),再利用“最近点”的定义得到不等式组,即可证明x 0=t ,最后得到函数单调性.【解析】(1)当M (0,0)时,s x =(x -0)2+1x -0 2=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2,当且仅当x 2=1x 2即x =1时取等号,故对于点M 0,0 ,存在点P 1,1 ,使得该点是M 0,0 在f x 的“最近点”.(2)由题设可得s x =(x -1)2+e x -0 2=(x -1)2+e 2x ,则s x =2x -1 +2e 2x ,因为y =2x -1 ,y =2e 2x 均为R 上单调递增函数,则s x =2x -1 +2e 2x 在R 上为严格增函数,而s 0 =0,故当x <0时,s x <0,当x >0时,s x >0,故s x min =s 0 =2,此时P 0,1 ,而f x =e x ,k =f 0 =1,故f x 在点P 处的切线方程为y =x +1.而k MP =0-11-0=-1,故k MP ⋅k =-1,故直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直.(3)设s 1x =(x -t +1)2+f x -f t +g t 2,s 2x =(x -t -1)2+f x -f t -g t 2,而s 1x =2(x -t +1)+2f x -f t +g t f x ,s 2x =2(x -t -1)+2f x -f t -g t f x ,若对任意的t ∈R ,存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”,设P x 0,y 0 ,则x 0既是s 1x 的最小值点,也是s 2x 的最小值点,因为两函数的定义域均为R ,则x 0也是两函数的极小值点,则存在x0,使得s 1 x 0 =s 2 x 0 =0,即s 1 x 0 =2x 0-t +1 +2f x 0 f x 0 -f (t )+g (t ) =0①s 2 x 0 =2x 0-t -1 +2f x 0 f x 0 -f (t )-g (t ) =0②由①②相等得4+4g (t )⋅f x 0 =0,即1+f x 0 g (t )=0,即f x 0 =-1g (t ),又因为函数g (x )在定义域R 上恒正,则f x 0 =-1g (t )<0恒成立,接下来证明x 0=t ,因为x 0既是s 1x 的最小值点,也是s 2x 的最小值点,则s 1x 0 ≤s (t ),s 2x 0 ≤s (t ),即x 0-t +1 2+f x 0 -f t +g t 2≤1+g t 2,③x 0-t -12+f x 0 -f t -g t 2≤1+g t 2,④③+④得2x 0-t 2+2+2f x 0 -f (t ) 2+2g 2(t )≤2+2g 2(t )即x 0-t 2+f x 0 -f t 2≤0,因为x 0-t 2≥0,f x 0 -f t 2≥0则x 0-t =0f x 0 -f t =0,解得x 0=t ,则f t =-1g (t )<0恒成立,因为t 的任意性,则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t ),再利用最值点定义得到x 0=t 即可.。
函数模块5年高考真题汇总通用版(含答案)

答案解释考点01函数概念与单调性考点02函数周期性与奇偶性应用又因为x 不恒为0,可得()1e e 0a x x --=,即()1e e a x x -=,则()1x a x =-,即11a =-,解得2a =.故选:D.5.(2022·全国·统考高考真题)已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑()A .21-B .22-C .23-D .24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-,从而得到()()()352110f f f +++=- ,()()()462210f f f +++=- ,然后根据条件得到(2)f 的值,再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称,所以()()22g x g x -=+,因为()(4)7g x f x --=,所以(2)(2)7g x f x +--=,即(2)7(2)g x f x +=+-,因为()(2)5f x g x +-=,所以()(2)5f x g x ++=,代入得[]()7(2)5f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=-,所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ,()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=,所以(0)(2)5f g +=,即()01f =,所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=,所以(4)()7g x f x +-=,又因为()(2)5f x g x +-=,联立得,()()2412g x g x -++=,所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称,因为函数()g x 的定义域为R ,所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=,所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选:D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.6.(2022·全国·统考高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑()A .3-B .2-C .0D .1【答案】A【分析】法一:根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6,求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值,即可解出.【详解】[方法一]:赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=,令1,0x y ==可得,()()()2110f f f =,所以()02f =,令0x =可得,()()()2f y f y f y +-=,即()()f y f y =-,所以函数()f x 为偶函数,令1y =得,()()()()()111f x f x f x f f x ++-==,即有()()()21f x f x f x ++=+,从而可知()()21f x f x +=--,()()14f x f x -=--,故()()24f x f x +=-,即()()6f x f x =+,所以函数()f x 的一个周期为6.因为()()()210121f f f =-=-=-,()()()321112f f f =-=--=-,()()()4221f f f =-==-,()()()5111f f f =-==,()()602f f ==,所以一个周期内的()()()1260f f f +++= .由于22除以6余4,所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .[方法二]:【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=,联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=,可设()cos f x a x ω=,则由方法一中()()02,11f f ==知二、填空题考点03函数图像应用一、单选题-的大致图像,1.(2022·全国·统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]则该函数是()A .3231x xy x -+=+B .321x xy x -=+C .2y =【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解【详解】设()321x x f xx -=+,则()10f =,故排除B;设()22cos 1x x h x x =+,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0cos 1x <<,....A.10π9BC.4π3D【答案】C【分析】由图可得:函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭,即可得到....【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.....【答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性,易于确定函数为奇函数,由(4)f 的近似值即可得出结果.【详解】设32()22x x y f x ==+32()22x x x f x -=-=-+,344240,2-⨯>+排除选项D ;考点04函数性质综合应用一、单选题1.(2022·全国·统考高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑()A .3-B .2-C .0D .1【答案】A【分析】法一:根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6,求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值,即可解出.【详解】[方法一]:赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=,令1,0x y ==可得,()()()2110f f f =,所以()02f =,令0x =可得,()()()2f y f y f y +-=,即()()f y f y =-,所以函数()f x 为偶函数,令1y =得,()221k f k ==∑()A .21-B .22-C .23-D .24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-,从而得到()()()352110f f f +++=- ,()()()462210f f f +++=- ,然后根据条件得到(2)f 的值,再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称,所以()()22g x g x -=+,因为()(4)7g x f x --=,所以(2)(2)7g x f x +--=,即(2)7(2)g x f x +=+-,因为()(2)5f x g x +-=,所以()(2)5f x g x ++=,代入得[]()7(2)5f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=-,所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ,()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=,所以(0)(2)5f g +=,即()01f =,所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=,所以(4)()7g x f x +-=,又因为()(2)5f x g x +-=,联立得,()()2412g x g x -++=,所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称,因为函数()g x 的定义域为R ,所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=,所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选:D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.3.(2021·全国·统考高考真题)设0a ≠,若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点,则()A .a b <B .a b>C .2ab a <D .2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否变号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到,a b 所满足的关系,由此确定正确选项.【详解】若a b =,则()()3f x a x a =-为单调函数,无极值点,不符合题意,故a b ¹.()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点,且在x a =左右附近是不变号,在x b =左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时,由x b >,()0f x ≤,画出()f x 的图象如下图所示:由图可知b a <,a<0,故2ab a >.当0a >时,由x b >时,()0f x >,画出()f x 的图象如下图所示:由图可知b a >,0a >,故2ab a >.综上所述,2ab a >成立.故选:D933⎝⎦。
高考数学文科基本初等函数(Ⅰ)及应用最全讲解含答案解析

第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1.根式的性质 (1)(n a )n=a .(2)当n 为奇数时,na n =a .(3)当n 为偶数时,na n=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0),-a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义. (5)零的任何次方根都等于零. 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂:①正分数指数幂:a m n =na m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1).②负分数指数幂:a -m n =1a m n =1n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1).③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质. ①a r ·a s =ar +s(a >0,r ,s ∈Q ).②(a r)s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ).③(ab )r =a r b r(a >0,b >0,r ∈Q ). 二、对数及对数运算 1.对数的定义一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫作以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数.2.对数的性质 (1)log a 1=0,log a a =1. (2)a log a N =N ,log a a N =N . (3)负数和零没有对数. 3.对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么 (1)log a (M N )=log a M +log a N . (2)log a MN =log a M -log a N .(3)log a M n=n log a M (n ∈R ). (4)换底公式log a b =log m blog m a(a >0且a ≠1,b >0,m >0,且m ≠1). [小题速通] 1.化简(a 23·b -1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0,b >0)的结果是( )A .aB .abC .a 2bD.1a解析:选D 原式=a3-1b 12a -12b13a 16b56=a---111362·b+-151362=1a. 2.若x =log 43,则(2x -2-x )2=( ) A.94 B.54 C.103D.43解析:选D 由x =log 43,得4x =3,即4-x =13,(2x -2-x )2=4x -2+4-x =3-2+13=43.3.(log 23)2-4log 23+4+log 213=( )A .2B .2-2log 23C .-2D .2log 23-2解析:选B (log 23)2-4log 23+4+log 213=(log 23-2)2-log 23=2-log 23-log 23=2-2log 23.4.已知f (x )=2x +2-x ,若f (a )=3,则f (2a )=( )A .11B .9C .7D .5解析:选C 由题意可得f (a )=2a +2-a =3,则f (2a )=22a +2-2a=(2a +2-a )2-2=7.[清易错]1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.2.在对数运算时,易忽视真数大于零. 1.化简-x 3x 的结果是( )A .--x B.x C .-xD.-x解析:选A 依题意知x <0,故-x 3x=--x 3x 2=--x . 2.若lg x +lg y =2lg(x -2y ),则 xy 的值为________. 解析:∵lg x +lg y =2lg(x -2y ), ∴xy =(x -2y )2,即x 2-5xy +4y 2=0, 即(x -y )(x -4y )=0,解得x =y 或x =4y . 又x >0,y >0,x -2y >0, 故x =y 不符合题意,舍去. 所以x =4y ,即xy =4. 答案:4二次函数[过双基]1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). (2)顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). (3)零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 2.二次函数的图象和性质解析式f (x )=ax 2+bx +c (a >0)f (x )=ax 2+bx +c (a <0) 图象定义域 RR值域⎣⎡⎭⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝⎛⎦⎤-∞,4ac -b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤-∞,-b2a 上单调递减; 在⎣⎡⎭⎫-b2a ,+∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤-∞,-b2a 上单调递增; 在⎣⎡⎭⎫-b2a ,+∞上单调递减[小题速通]1.若二次函数y =-2x 2-4x +t 的图象的顶点在x 轴上,则t 的值是( ) A .-4 B .4 C .-2D .2解析:选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上,∴Δ=16+8t =0,可得t =-2. 2.(2018·唐山模拟)如果函数f (x )=x 2-ax -3在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a 的取值范围为( )A .[8,+∞)B .(-∞,8]C .[4,+∞)D .[-4,+∞)解析:选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x =a 2,由题意得a2≥4,解得a ≥8.3.(2017·宜昌二模)函数f (x )=-2x 2+6x (-2≤x ≤2)的值域是( ) A .[-20,4] B .(-20,4) C.⎣⎡⎦⎤-20,92 D.⎝⎛⎭⎫-20,92 解析:选C 由函数f (x )=-2x 2+6x 可知,二次函数f (x )的图象开口向下,对称轴为x =32,当-2≤x <32时,函数f (x )单调递增,当32≤x ≤2时,函数f (x )单调递减,∴f (x )max =f ⎝⎛⎭⎫32=-2×94+6×32=92,又f (-2)=-8-12=-20,f (2)=-8+12=4,∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤-20,92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )=ax 2+bx +c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )=ax 2-4x +c 的值域为[0,+∞),则a ,c 满足的条件是________.解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,4ac -164a =0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0,ac -4=0.答案:a >0,ac =41.幂函数的定义一般地,形如y =x α的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数. 2.常见的5种幂函数的图象3.常见的5种幂函数的性质1.幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是( )解析:选C 令f (x )=x α,则4α=2,∴α=12,∴f (x )=x 12.故C 正确.2.(2018·贵阳监测)已知幂函数y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13,3,则f ⎝⎛⎭⎫12=( ) A.12 B .2 C. 2D.22解析:选C 设幂函数的解析式为f (x )=x α,将⎝⎛⎭⎫13,3代入解析式得3-α=3,解得α=-12,∴f (x )=x -12,f ⎝⎛⎭⎫12=2,故选C.3.若函数f (x )=(m 2-m -1)x m 是幂函数,且在x ∈(0,+∞)上为增函数,则实数m 的值是( )A .-1B .2C .3D .-1或2解析:选B ∵f (x )=(m 2-m -1)x m 是幂函数,∴m 2-m -1=1,解得m =-1或m =2.又f (x )在x ∈(0,+∞)上是增函数,所以m =2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.幂函数y =xm 2-2m -3(m ∈Z )的图象如图所示,则m 的值为( )A .-1<m <3B .0C .1D .2解析:选C 从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m 2-2m -3<0,即-1<m <3;又从图象看,函数是偶函数,故m 2-2m -3为负偶数,将m =0,1,2分别代入,可知当m =1时,m 2-2m -3=-4,满足要求.指数函数指数函数的图象与性质y =a x (a >0,且a ≠1)a >10<a <11.函数f(x )=a x -2+1(a >0,且a ≠1)的图象必经过点( )A .(0,1)B .(1,1)C .(2,0)D .(2,2)解析:选D 由f (2)=a 0+1=2,知f (x )的图象必过点(2,2). 2.函数f (x )=1-2x 的定义域是( ) A .(-∞,0] B .[0,+∞) C .(-∞,0)D .(-∞,+∞)解析:选A 要使f (x )有意义须满足1-2x ≥0,即2x ≤1,解得x ≤0. 3.函数y =a x -a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( )解析:选C 当x =1时,y =a 1-a =0,所以函数y =a x -a 的图象过定点(1,0),结合选项可知选C.4.设a =⎝⎛⎭⎫3525,b =⎝⎛⎭⎫2535,c =⎝⎛⎭⎫2525,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a >c >b B .a >b >c C .c >a >bD .b >c >a解析:选A 构造指数函数y =⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R ),由该函数在定义域内单调递减可得b <c ;又y =⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y =⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论:当x >0时,有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ,故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525,即a >c ,故a >c >b .5.下列四类函数中,具有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是( )A .幂函数B .对数函数C .指数函数D .余弦函数解析:选C 由指数运算的规律易知,a x +y =a x ·a y ,即令f (x )=a x ,则f (x +y )=f (x )f (y ),故该函数为指数函数.[清易错]指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关,要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2,则a 的值为________.解析:当a >1时,f (x )=a x 为增函数, f (x )max =f (2)=a 2,f (x )mi n =f (1)=a . ∴a 2-a =a2.即a (2a -3)=0.∴a =0(舍去)或a =32>1.∴a =32.当0<a <1时,f (x )=a x 为减函数, f (x )max =f (1)=a ,f (x )mi n =f (2)=a 2. ∴a -a 2=a2.即a (2a -1)=0,∴a =0(舍去)或a =12.∴a =12.综上可知,a =12或a =32.答案:12或32对数函数的图象与性质当0<x <1时,y ∈(-∞,0);当x >1时,y ∈(0,+∞) 当0<x <1时,y ∈(0,+∞); 当x >1时,y ∈(-∞,0) 在(0,+∞)上为增函数在(0,+∞)上为减函数1.若函数f (x )=log a (3x -2)(a >0,且a ≠1)的图象经过定点A ,则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,23 B.⎝⎛⎭⎫23,0 C .(1,0) D .(0,1)答案:C2.已知a >0,且a ≠1,函数y =a x 与y =log a (-x )的图象可能是( )解析:选B 由题意知,y =a x 的定义域为R ,y =log a (-x )的定义域为(-∞,0),故排除A 、C ;当0<a <1时,y =a x 在R 上单调递减,y =log a (-x )在(-∞,0)上单调递增;当a >1时,y =a x 在R 上单调递增,y =log a (-x )在(-∞,0)上单调递减,结合B 、D 图象知,B 正确.3.函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为__________,单调递增区间为__________. 解析:作出函数y =log 2x 的图象,将其关于y 轴对称得到函数y =log 2|x |的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y =log 2|x +1|的图象(如图所示).由图知,函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).答案:(-∞,-1) (-1,+∞)4.函数f (x )=log a (x 2-2x -3)(a >0,a ≠1)的定义域为________.解析:由题意可得x 2-2x -3>0,解得x >3或x <-1,所以函数的定义域为{x |x >3或x <-1}.答案:{x |x >3或x <-1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域. (2)对数底数的取值范围. 1.(2018·南昌调研)函数y =log 23(2x -1) 的定义域是( )A .[1,2]B .[1,2)C.⎣⎡⎦⎤12,1D.⎝⎛⎦⎤12,1解析:选D 要使函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x -1)≥0,2x -1>0,解得12<x ≤1.2.函数y =log a x (a >0,且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a 的值为________. 解析:当a >1时,函数y =log a x 在[2,4]上是增函数, 所以log a 4-log a 2=1,即log a 2=1,所以a =2. 当0<a <1时,函数y =log a x 在[2,4]上是减函数, 所以log a 2-log a 4=1,即log a 12=1,所以a =12.故a =2或a =12.答案:2或 12一、选择题1.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x-1,x ≤0,x 12,x >0,满足f (x )=1的x 的值为( )A .1B .-1C .1或-2D .1或-1解析:选D 由题意,方程f (x )=1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,2-x -1=1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x 12=1,解得x =-1或1.2.函数f (x )=ln|x -1|的图象大致是( )解析:选B 令x =1,x -1=0,显然f (x )=ln|x -1|无意义,故排除A ;由|x -1|>0可得函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),故排除D ;由复合函数的单调性可知f (x )在(1, +∞)上是增函数,故排除C ,选B.3.(2018·郑州模拟)设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( )解析:选D 结合二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象知: 当a <0,且abc >0时,若-b2a <0,则b <0,c >0,故排除A ,若-b2a>0,则b >0,c <0,故排除B. 当a >0,且abc >0时,若-b2a <0,则b >0,c >0,故排除C ,若-b2a>0,则b <0,c <0,故选项D 符合. 4.设a =0.32,b =20.3,c =log 25,d =log 20.3,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( ) A .d <b <a <c B .d <a <b <c C .b <c <d <aD .b <d <c <a解析:选B 由对数函数的性质可知c =log 25>2,d =log 20.3<0, 由指数函数的性质可知0<a =0.32<1,1<b =20.3<2, 所以d <a <b <c .5.(2018·长春模拟)函数y =4x +2x +1+1的值域为( )A .(0,+∞)B .(1,+∞)C .[1,+∞)D .(-∞,+∞)解析:选B 令2x =t ,则函数y =4x +2x +1+1可化为y =t 2+2t +1=(t +1)2(t >0). ∵函数y =(t +1)2在(0,+∞)上递增, ∴y >1.∴所求值域为(1,+∞).故选B. 6.(2017·大连二模)定义运算:x y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,xy ≥0,y ,xy <0,例如:=3,(-=4,则函数f (x )=x 2x -x 2)的最大值为( )A .0B .1C .2D .4解析:选D 由题意可得f (x )=x2x -x 2)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x >2或x <0,当0≤x ≤2时,f (x )∈[0,4];当x >2或x <0时,f (x )∈(-∞,0).综上可得函数f (x )的最大值为4,故选D.7.已知函数f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x +a 是奇函数,且在x =0处有意义,则该函数为( )A .(-∞,+∞)上的减函数B .(-∞,+∞)上的增函数C .(-1,1)上的减函数D .(-1,1)上的增函数解析:选D 由题意知,f (0)=lg(2+a )=0,∴a =-1,∴f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x -1=lg x +11-x ,令x +11-x >0,则-1<x <1,排除A 、B ,又y =21-x -1=-1+-2x -1在(-1,1)上是增函数,∴f (x )在(-1,1)上是增函数.选D.8.(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )=1-x +1,g (x )=ln(ax 2-3x +1),若对任意x 1∈[0,+∞),都存在x 2∈R ,使得f (x 1)=g (x 2),则实数a 的最大值为( )A.94 B .2 C.92D .4解析:选A 设g (x )=ln (ax 2-3x +1)的值域为A ,因为函数f (x )=1-x +1在[0,+∞)上的值域为(-∞,0],所以(-∞,0]⊆A ,因此h (x )=ax 2-3x +1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h (0)=1,于是,实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,9-4a ≥0,解得a ≤94.故选A.二、填空题9.(2018·连云港调研)当x >0时,函数y =(a -8)x 的值恒大于1,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意知,a -8>1,解得a >9. 答案:(9,+∞)10.若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________. 解析:设f (x )=x α, 又f (4)=3f (2), ∴4α=3×2α, 解得α=log 23, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=⎝⎛⎭⎫12log 23=13. 答案:1311.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e 1-x ,x ≤1,ln (x -1),x >1,则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________.解析:由题意,f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1,e 1-x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1,ln (x -1)≥2,解得x ≤1-ln 2或x ≥1+e 2,则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(-∞,1-ln 2]∪[1+e 2,+∞). 答案:(-∞,1-ln 2]∪[1+e 2,+∞)12.若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,12,恒有4x<log a x (a >0且a ≠1),则实数a 的取值范围是________. 解析:令f (x )=4x ,则f (x )在⎝⎛⎭⎫0,12上是增函数,g (x )=log a x ,当a >1时,g (x )=log a x 在⎝⎛⎭⎫0,12上是增函数,且g (x )=log a x <0,不符合题意;当0<a <1时,g (x )=log a x 在⎝⎛⎭⎫0,12上是减函数,则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12,解得22≤a <1.答案:⎣⎡⎭⎫22,1 三、解答题13.函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),且f (2)-f (4)=1. (1)若f (3m -2)>f (2m +5),求实数m 的取值范围; (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x -4x =log 123成立的x 的值. 解:(1)由f (2)-f (4)=1,得a =12.∵函数f (x )=log 12x 为减函数且f (3m -2)>f (2m +5),∴0<3m -2<2m +5,解得23<m <7,故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23,7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x -4x =log 123,即x -4x =3,x 2-3x -4=0, 解得x =4或x =-1. 14.已知函数f (x )=a -22x+1为奇函数. (1)求a 的值;(2)试判断函数f (x )在(-∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(3)若对任意的t ∈R ,不等式f [t 2-(m -2)t ]+f (t 2-m +1)>0恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)∵函数f (x )为奇函数,∴f (x )=-f (-x ), ∴a -22x +1=-a +22-x +1,∴2a =2·2x 2x +1+22x +1=2,∴a =1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数.证明如下:设任意x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=1-22 x 1+1-1+22 x 2+1 =2(2 x 1-2 x 2)(2 x 1+1)(2 x 2+1).∵x 1<x 2,∴2 x 1-2 x 2<0,(2 x 1+1)(2 x 2+1)>0, ∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )为R 上的单调递增函数. (3)∵f (x )=1-22x+1为奇函数,且在R 上为增函数, ∴由f [t 2-(m -2)t ]+f (t 2-m +1)>0恒成立, ∴f [t 2-(m -2)t ]>-f (t 2-m +1)=f (m -t 2-1), ∴t 2-(m -2)t >m -1-t 2对t ∈R 恒成立, 化简得2t 2-(m -2)t -m +1>0, ∴Δ=(m -2)2+8(m -1)<0, 解得-2-22<m <-2+22,故m 的取值范围为(-2-22,-2+22).高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·安徽江南七校联考)已知幂函数f (x )=(+2-2)·x n 2-3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n 的值为( )A .-3B .1C .2D .1或-3(2)1.112,0.912,1的大小关系为________.[解析] (1)由于f (x )为幂函数,所以n 2+2n -2=1,解得n =1或n =-3,当n =1时,函数f (x )=x-2为偶函数,其图象关于y 轴对称,且f (x )在(0,+∞)上是减函数,所以n =1满足题意;当n =-3时,函数f (x )=x 18为偶函数,其图象关于y 轴对称,而f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以n =-3不满足题意,舍去.故选B.(2)把1看作112,幂函数y =x 12在(0,+∞)上是增函数. ∵0<0.9<1<1.1,∴0.912<112<1.112. 即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.[即时演练]1.已知f (x )=x 12,若0<a <b <1,则下列各式正确的是( )A .f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B .f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C .f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D .f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析:选C ∵0<a <b <1,∴0<a <b <1b <1a,又f (x )=x 12为增函数,∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 2.若(a +1)-13<(3-2a ) -13,则实数a 的取值范围是________________.解析:不等式(a +1)-13<(3-2a ) -13等价于a +1>3-2a >0或3-2a <a +1<0或a +1<0<3-2a . 解得23<a <32或a <-1.答案:(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫23,32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时,要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.[解] 法一:用“一般式”解题 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7. 法二:用“顶点式”解题 设f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). ∵f (2)=f (-1),∴抛物线的对称轴为x =2+(-1)2=12,∴m =12.又根据题意,函数有最大值8,∴n =8, ∴y =f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -122+8. ∵f (2)=-1,∴a ⎝⎛⎭⎫2-122+8=-1,解得a =-4, ∴f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -122+8=-4x 2+4x +7. 法三:用“零点式”解题由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1)(a ≠0), 即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值8,即4a (-2a -1)-a 24a =8.解得a =-4或a =0(舍去).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:[即时演练]1.为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示).若对应的两条曲线关于y 轴对称,AE ∥x 轴,AB =4 cm ,最低点C 在x 轴上,高CH =1 cm ,BD =2 cm ,则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A .y =14(x +3)2B .y =-14(x -3)2C .y =-14(x +3)2D .y =14(x -3)2解析:选D 由题图可知,对应的两条曲线关于y 轴对称,AE ∥x 轴,AB =4 cm ,最低点C 在x 轴上,高CH =1 cm ,BD =2 cm ,所以点C 的纵坐标为0,横坐标的绝对值为3,即C (-3,0),因为点F 与点C 关于y 轴对称,所以F (3,0),因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点,所以设该二次函数为y =a (x -3)2(a >0),将点D (1,1)代入得,a =14,即y =14(x -3)2.2.已知二次函数f (x )是偶函数,且f (4)=4f (2)=16,则函数f (x )的解析式为________. 解析:由题意可设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),则f (4)=16a +c =16,f (2)=4a +c =4,解得a =1,c =0,故f (x )=x 2.答案:f(x)=x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有:(1)二次函数的图象与性质;(2)二次函数的最值问题.1.(2018·武汉模拟)已知函数f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且x1<x2,x1+x2=1-a,则下列结论正确的是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析:选A f(x)的对称轴为x=-1,因为1<a<3,则-2<1-a<0,若x1<x2≤-1,则x1+x2<-2,不满足x1+x2=1-a且-2<1-a<0;若x1<-1,x2≥-1,则|x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1=x1+x2+2=3-a>0(1<a<3),此时x2到对称轴的距离大,所以f(x2)>f(x1);若-1≤x1<x2,则此时x1+x2>-2,又因为f(x)在[-1,+∞)上为增函数,所以f(x1)<f(x2).2.设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),且实数m的取值范围是()A.(-∞,0] B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]解析:选D二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0,f′(x)=2a(x -1)<0,x∈[0,1],所以a>0,即函数的图象开口向上,又因为对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解.角度二:二次函数的最值问题3.已知二次函数f (x )=ax 2-2x (0≤x ≤1),求f (x )的最小值.解:(1)当a >0时,f (x )=ax 2-2x 图象的开口方向向上,且对称轴为x =1a . ①当1a ≤1,即a ≥1时,f (x )=ax 2-2x 图象的对称轴在[0,1]内, ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0,1a 上递减,在⎣⎡⎦⎤1a ,1上递增. ∴f (x )mi n =f ⎝⎛⎭⎫1a =1a -2a =-1a .②当1a >1,即0<a <1时,f (x )=ax 2-2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧, ∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )mi n =f (1)=a -2.(2)当a <0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向下,且对称轴x =1a <0,在y 轴的左侧, ∴f (x )=ax 2-2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )mi n =f (1)=a -2.综上所述,f (x )mi n =⎩⎪⎨⎪⎧a -2,a ∈(-∞,0)∪(0,1),-1a ,a ∈[1,+∞).4.已知a 是实数,记函数f (x )=x 2-2x +2在[a ,a +1]上的最小值为g (a ),求g (a )的解析式.解:f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[a ,a +1],a ∈R ,对称轴为x =1.当a +1<1,即a <0时,函数图象如图(1),函数f (x )在区间[a ,a +1]上为减函数,所以最小值为f (a +1)=a 2+1;当a ≤1≤a +1,即0≤a ≤1时,函数图象如图(2),在对称轴x =1处取得最小值,最小值为f (1)=1;当a >1时,函数图象如图(3),函数f (x )在区间[a ,a +1]上为增函数,所以最小值为f (a )=a 2-2a +2.综上可知,g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a 2+1,a <0,1,0≤a ≤1,a 2-2a +2,a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到:区间的两个端点处,或对称轴处.也可以作出二次函数在该区间上的图象,由图象来判断最值.解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系.1.(2016·全国卷Ⅲ)已知a =243,b =425,c =2513,则( ) A .b <a <c B .a <b <c C .b <c <aD .c <a <b解析:选A 因为a =243,b =425=245,由函数y =2x 在R 上为增函数,知b <a ;又因为a =243=423,c =2513=523,由幂函数y =x 23在(0,+∞)上为增函数,知a <c .综上得b <a <c .故选A.2.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i =1mx i =( )A .0B .mC .2mD .4m解析:选B ∵f (x )=f (2-x ),∴函数f (x )的图象关于直线x =1对称.又y =|x 2-2x -3|=|(x -1)2-4|的图象关于直线x =1对称,∴两函数图象的交点关于直线x =1对称.当m 为偶数时,∑i =1mx i =2×m2=m ;当m 为奇数时,∑i =1mx i =2×m -12+1=m .故选B. 3.(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析:当x <1时,由ex -1≤2得x ≤1+ln 2,∴x <1;当x ≥1时,由x13≤2得x ≤8,∴1≤x ≤8.综上,符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案:(-∞,8]一、选择题1.(2018·绵阳模拟)幂函数y =(m 2-3m +3)x m 的图象过点(2,4),则m =( ) A .-2 B .-1 C .1D .2解析:选D ∵幂函数y =(m 2-3m +3)x m的图象过点(2,4),∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m +3=1,2m =4,解得m =2.故选D.2.(2018·杭州测试)若函数f (x )=x 2-2x +1在区间[a ,a +2]上的最小值为4,则实数a 的取值集合为( )A .[-3,3]B .[-1,3]C .{-3,3}D .{-1,-3,3}解析:选C ∵函数f (x )=x 2-2x +1=(x -1)2的图象的对称轴为直线x =1,f (x )在区间[a ,a +2]上的最小值为4,∴当a ≥1时,f (x )mi n =f (a )=(a -1)2=4,a =-1(舍去)或a =3;当a +2≤1,即a ≤-1时,f (x )mi n =f (a +2)=(a +1)2=4,a =1(舍去)或a =-3; 当a <1<a +2,即-1<a <1时,f (x )mi n =f (1)=0≠4. 故a 的取值集合为{-3,3}.故选C.3.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出下面四个结论:①b 2>4ac ;②2a -b =1;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确的结论是( ) A .②④ B .①④ C .②③D .①③解析:选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点,∴b 2-4ac >0,即b 2>4ac ,①正确; 对称轴为x =-1,即-b2a =-1,2a -b =0,②错误;结合图象知,当x =-1时,y >0,即a -b +c >0,③错误; 由对称轴为x =-1知,b =2a ,又函数图象开口向下,∴a <0,∴5a <2a ,即5a <b ,④正确.故选B.4.若对任意a ∈[-1,1],函数F (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 的值恒大于零,则x 的取值范围是( )A .(1,3)B .(-∞,1)∪(3,+∞)C .(1,2)D .(-∞,1)∪(2,+∞)解析:选B 由题意,令f (a )=F (x )=x 2+(a -4)x +4-2a =(x -2)a +x 2-4x +4,对任意a ∈[-1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=x 2-3x +2>0,f (-1)=x 2-5x +6>0,解得x <1或x >3. 5.若函数f (x )=mx 2-2x +3在[-1,+∞)上递减,则实数m 的取值范围为( ) A .(-1,0) B .[-1,0) C .(-∞,-1]D .[-1,0]解析:选D 当m =0时,f (x )=-2x +3在R 上递减,符合题意;当m ≠0时,函数f (x )=mx 2-2x +3在[-1,+∞)上递减,只需对称轴x =1m ≤-1,且m <0,解得-1≤m <0,综上,实数m 的取值范围为[-1,0].6.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A .(-3,1)∪(3,+∞)B .(-3,1)∪(2,+∞)C .(-1,1)∪(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(1,3)解析:选A ∵f (1)=3,∴不等式f (x )>f (1),即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,x 2-4x +6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0,x +6>3,解得x >3或-3<x <1. 7.已知a ,b ,c ,d 都是常数,a >b ,c >d .若f (x )=2 017-(x -a )(x -b )的零点为c ,d ,则下列不等式正确的是( )A .a >c >b >dB .a >b >c >dC .c >d >a >bD .c >a >b >d解析:选D f (x )=2 017-(x -a )(x -b )=-x 2+(a +b )x -ab +2 017,又f (a )=f (b )=2 017,c ,d 为函数f (x )的零点,且a >b ,c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象,如图所示,由图可知c >a >b >d ,故选D.8.(2017·浙江高考)若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ( )A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关解析:选B f (x )=⎝⎛⎭⎫x +a 22-a24+b , ① 当0≤-a 2≤1时,f (x )mi n =m =f ⎝⎛⎭⎫-a 2=-a 24+b ,f (x )max =M =max{f (0),f (1)}=max{b,1+a +b },∴M -m =max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24,1+a +a 24与a 有关,与b 无关;②当-a2<0时,f (x )在[0,1]上单调递增,∴M -m =f (1)-f (0)=1+a 与a 有关,与b 无关; ③当-a2>1时,f (x )在[0,1]上单调递减,∴M -m =f (0)-f (1)=-1-a 与a 有关,与b 无关. 综上所述,M -m 与a 有关,但与b 无关. 二、填空题9.已知幂函数f (x )=x -m 2+2m +3(m ∈Z )在(0,+∞)上为增函数,且在其定义域内是偶函数,则m 的值为________.解析:∵幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴-m 2+2m +3>0,即m 2-2m -3<0,解得-1<m <3. 又m ∈Z ,∴m =0或m =1或m =2.当m =0或m =2时,f (x )=x 3在其定义域内为奇函数,不满足题意;当m =1时,f (x )=x 4在其定义域内是偶函数,满足题意.综上可知,m 的值是1. 答案:110.二次函数y =3x 2+2(m -1)x +n 在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m =________.解析:二次函数y =3x 2+2(m -1)x +n 的图象的开口向上,对称轴为直线x =-m -13,要使得函数在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则x =-m -13=1,解得m =-2.答案:-211.(2018·南通一调)若函数f (x )=ax 2+20x +14(a >0)对任意实数t ,在闭区间[t -1,t +1]上总存在两实数x 1,x 2,使得|f (x 1)-f (x 2)|≥8成立,则实数a 的最小值为________.解析:由题意可得,当x ∈[t -1,t +1]时,[f (x )max -f (x )mi n ]mi n ≥8,当[t -1,t +1]关于对称轴对称时,f (x )max -f (x )mi n 取得最小值,即f (t +1)-f (t )=2at +a +20≥8,f (t -1)-f (t )=-2at +a -20≥8,两式相加,得a ≥8,所以实数a 的最小值为8.答案:812.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤a ,x 2,x >a ,若存在实数b ,使得函数y =f (x )-bx 恰有2个零点,则实数a 的取值范围为_______.解析:显然x =0是y =f (x )-bx 的一个零点; 当x ≠0时,令y =f (x )-bx =0得b =f (x )x, 令g (x )=f (x )x =⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≤a ,x ,x >a ,则b =g (x )存在唯一一个解.当a <0时,作出函数g (x )的图象,如图所示,显然当a <b <a 2且b ≠0时,b =g (x )存在唯一一个解,符合题意; 当a >0时,作出函数g (x )的图象,如图所示,若要使b =g (x )存在唯一一个解,则a >a 2,即0<a <1, 同理,当a =0时,显然b =g (x )有零解或两解,不符合题意. 综上,a 的取值范围是(-∞,0)∪(0,1). 答案:(-∞,0)∪(0,1) 三、解答题13.(2018·杭州模拟)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f (x )满足f (-1+x )=f (-1-x ),且方程f (x )=0的两个实根x 1,x 2满足|x 1-x 2|=2.(1)求f (x )的表达式;(2)函数g (x )=f (x )-kx 在区间[-1,2]上的最大值为f (2),最小值为f (-1),求实数k 的取值范围.解:(1)由f (-1+x )=f (-1-x ),可得f (x )的图象关于直线x =-1对称, 设f (x )=a (x +1)2+h =ax 2+2ax +a +h (a ≠0), 由函数f (x )的值域为[-1,+∞),可得h =-1, 根据根与系数的关系可得x 1+x 2=-2,x 1x 2=1+ha ,∴|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2= -4ha =2,解得a =1, ∴f (x )=x 2+2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[-1,2]上单调递增, 又g (x )=f (x )-kx =x 2-(k -2)x .∴g (x )的对称轴方程为x =k -22, 则k -22≤-1,即k ≤0,故k 的取值范围为(-∞,0].14.(2018·成都诊断)已知函数f (x )=x 2+ax +3-a ,若x ∈[-2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围.解:f (x )=⎝⎛⎭⎫x +a 22-a24-a +3,令f (x )在[-2,2]上的最小值为g (a ). (1)当-a2<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥0,∴a ≤73.又a >4,∴a 不存在.(2)当-2≤-a2≤2,即-4≤a ≤4时,g (a )=f ⎝⎛⎭⎫-a 2=-a24-a +3≥0, ∴-6≤a ≤2.又-4≤a ≤4, ∴-4≤a ≤2.(3)当-a2>2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥0,∴a ≥-7.又a <-4,∴-7≤a <-4.综上可知,a 的取值范围为[-7,2].1.设函数f (x )=ax 2+bx +c (a >b >c )的图象经过点A (m 1,f (m 1))和点B (m 2,f (m 2)),f (1)=0.若a 2+[f (m 1)+f (m 2)]·a +f (m 1)·f (m 2)=0,则( )A .b ≥0B .b <0C .3a +c ≤0D .3a -c <0解析:选A 由f (1)=0可得a +b +c =0,若a ≤0,由a >b >c ,得a +b +c <0,这与a +b +c =0矛盾,故a >0,若c ≥0,则有b >0,a >0,此时a +b +c >0,这与a +b +c =0矛盾;所以c <0成立,因为a 2+[f (m 1)+f (m 2)]·a +f (m 1)·f (m 2)=0,所以(a +f (m 1))(a +f (m 2))=0,所以m 1,m 2是方程f (x )=-a 的两个根,Δ=b 2-4a (a +c )=b (b +4a )=b (3a -c )≥0,而a >0,c <0,所以3a -c >0,所以b ≥0.2.设函数f (x )=2ax 2+2bx ,若存在实数x 0∈(0,t ),使得对任意不为零的实数a ,b ,均有f (x 0)=a +b 成立,则t 的取值范围是________.解析:因为存在实数x 0∈(0,t ),使得对任意不为零的实数a ,b ,均有f (x 0)=a +b 成立, 所以2ax 2+2bx =a +b 等价于(2x -1)b =(1-2x 2)a .当x =12时,左边=0,右边≠0,即等式不成立,故x ≠12;当x ≠12时,(2x -1)b =(1-2x 2)a 等价于b a =1-2x 22x -1,设2x -1=k ,因为x ≠12,所以k ≠0,则x =k +12,则ba =1-2⎝⎛⎭⎫k +122k =12⎝⎛⎭⎫1k -k -2. 设g (k )=12⎝⎛⎭⎫1k-k -2, 则函数g (k )在(-1,0),(0,2t -1)上的值域为R . 又因为g (k )在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减, 所以g (k )在(-1,0),(0,2t -1)上单调递减, 故当k ∈(-1,0)时,g (k )<g (-1)=-1;当k ∈(0,2t -1)时,g (k )>g (2t -1)=12⎝⎛⎭⎫12t -1-2t -1,故要使值域为R ,则g (2t -1)<g (-1),即12t -1-2t -1<-2,解得t >1. 答案:(1,+∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1)函数f (x )=e ·x e 2x +1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x -a =1x -1成立,则实数a 的取值范围是( )A .(2,+∞)B .(0,+∞)C .(0,2)D .(0,1)[解析] (1)因为f (-x )=e -x ·x 2e -2x +1=e x ·x 21+e 2x=f (x ),所以函数f (x )为偶函数,所以排除A 、D项.当x =0时,y =0,故排除B 项,选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y =1x -1和y =2x -a 的图象,则由图知,当a ∈(0,2)时符合要求.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a ),(0,1),⎝⎛⎭⎫-1,1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. [即时演练] 1.函数f (x )=2|x-1|的图象是( )解析:选B 由题意得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥1,⎝⎛⎭⎫12x -1,x <1,结合图象知,选B.2.(2018·衡水模拟)若曲线|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________.解析:曲线|y |=2x +1与直线y =b 的图象如图所示,由图可知:如果|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[-1,1].角度一:比较大小或解不等式1.(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A .1.72.5>1.73 B .0.6-1>0.62C .0.8-0.1>1.250.2 D .1.70.3<0.93.1解析:选B A 中,∵函数y =1.7x 在R 上是增函数,2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A 错误; B 中,∵y =0.6x 在R 上是减函数,-1<2, ∴0.6-1>0.62,故B 正确;C 中,∵0.8-1=1.25,∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y =1.25x 在R 上是增函数,0.1<0.2, ∴1.250.1<1.250.2, 即0.8-0.1<1.250.2,故C 错误;D 中, ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1, ∴1.70.3>0.93.1,故D 错误.2.(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x |f (x -2)>0}=( ) A .{x |x <-2或x >4} B .{x |x <0或x >4} C .{x |x <0或x >6}D .{x |x <-2或x >2}解析:选B ∵f (x )为偶函数, 当x <0时,f (x )=f (-x )=2-x -4.∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x-4,x ≥0,2-x -4,x <0,若f (x -2)>0,则有⎩⎪⎨⎪⎧ x -2≥0,2x -2-4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x -2<0,2-x +2-4>0, 解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小.(2)有关指数不等式问题,应注意a 的取值,及结合指数函数的性质求解. 角度二:与指数函数有关的函数值域问题3.已知0≤x ≤2,则y =4x -12-3·2x +5的最大值为________.解析:令t =2x ,∵0≤x ≤2,∴1≤t ≤4,又y =22x -1-3·2x +5,∴y =12t 2-3t +5=12(t -3)2+12,∵1≤t ≤4,∴t =1时,y max =52.答案:52[方法技巧]形如y =a 2x +b ·a x +c (a >0,且a ≠1)型函数最值问题多用换元法,即令t =a x 转化为y =t 2+bt +c 的最值问题,注意根据指数函数求t 的范围.角度三:与指数函数有关的单调性问题 4.若函数f (x )=a |2x -4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( )A .(-∞,2]B .[2,+∞)C .[-2,+∞)D .(-∞,-2]解析:选B 由f (1)=19,得a 2=19,解得a =13或a =-13(舍去),即f (x )=⎝⎛⎭⎫13|2x -4|.由于y =|2x -4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B.5.已知函数f (x )=a |x +1|(a >0,且a ≠1)的值域为[1,+∞),则f (-4)与f (1)的大小关系是________________.解析:∵|x +1|≥0,函数f (x )=a |x +1|(a >0,且a ≠1)的值域为[1,+∞),∴a >1.由于函数f (x )=a |x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x =-1对称,则函数在(-∞,-1)上是减函数,故f (1)=f (-3),f (-4)>f (1).答案:f (-4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成,要注意数形结合思想的运用.角度四:与指数函数有关的最值与参数问题6.设x ,y ∈R ,a >1,b >1,若a x =b y =3,a +b =23,则1x +1y 的最大值为( ) A .2 B.32 C .1D.12解析:选C 由a x =b y =3,可得a =31x ,b =31y, 所以23=a +b =31x +31y≥23+11x y,则1x +1y ≤1,当且仅当x =y 时,等号成立. 故1x +1y 的最大值为1.7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )+3m 有3个零点,则实数m 的取值范围是________.解析:因为函数g (x )=f (x )+3m 有3个零点,所以函数y =f (x )的图象与直线y =-3m 有三个不同的交点,作出函数y =f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x-1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0的图象如图所示,则0<-3m <1,所以-13<x <0. 答案:⎝⎛⎭⎫-13,01.(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x -a )<1成立,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,+∞) B .(-2,+∞) C .(0,+∞)D .(-1,+∞)解析:选D 法一:不等式2x (x -a )<1可变形为x -a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y =x -a 与y =⎝⎛⎭⎫12x的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a <1,所以a >-1,选D.法二:由2x (x -a )<1得a >x -12x .令f (x )=x -12x ,即a >f (x )有解,则a >f (x )mi n .又y =f (x )在(0,+∞)上递增,所以f (x )>f (0)=-1, 所以a >-1,选D.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 3.(2015·江苏高考)不等式2x 2-x <4的解集为________. 解析:∵2x 2-x <4,∴2x 2-x <22, ∴x 2-x <2,即x 2-x -2<0,∴-1<x <2. 答案:{x |-1<x <2}4.(2015·山东高考)已知函数f (x )=a x +b (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =________.解析:当a >1时,函数f (x )=a x+b 在[]-1,0上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =-1,a 0+b =0无解.当0<a <1时,函数f (x )=a x +b 在[-1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =0,a 0+b =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-2,所以a +b =-32.答案:-32一、选择题。
2020年高考文科数学专题二 函数 含习题答案

2020年高考文科数学专题二函数含习题答案函数是中学数学中的重点内容,是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.本章内容有两条主线:一是对函数性质作一般性的研究,二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等.§2-1 函数【知识要点】要了解映射的概念,映射是学习、研究函数的基础,对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念.1、设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.记作f:A→B,其中x叫原象,y叫象.2、设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.3、函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素都有原象.构成函数的三要素:定义域,值域和对应法则.其中定义域和对应法则是核心.【复习要求】1.了解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.2.能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数.3.掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法),理解函数符号f(x)(对应法则),能依据一定的条件求出函数的对应法则.4.理解定义域在三要素的地位,并会求定义域.【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N.映射f:A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x+x,则在映射f作用下,2的象是______;20的原象是______.【分析】由已知,在映射f 作用下x 的象为2x +x . 所以,2的象是22+2=6;设象20的原象为x ,则x 的象为20,即2x +x =20.由于x ∈N ,2x +x 随着x 的增大而增大,又可以发现24+4=20,所以20的原象是4.例2 设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)=______;若f (0)+f (a )=-2,则a的所有可能值为______.【分析】从映射的角度看,函数就是映射,函数解析式就是映射的法则. 所以f (1)=3.又f (0)=-1,所以f (a )=-1, 当a ≤0时,由a -1=-1得a =0;当a >0时,由-a 2+2a +2=-1,即a 2-2a -3=0得a =3或a =-1(舍). 综上,a =0或a =3.例3 下列四组函数中,表示同一函数的是( ) (A)22)(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)x x y x y 2,==【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同,所以不是同一函数.(B)中两个函数的定义域相同,化简后为y =|x |及y =|t |,法则也相同,所以选(B).【评析】判断两个函数是否为同一函数,就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同.一般有两个步骤:(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域,看定义域是否一致.(2)对解析式进行合理变形的情况下,看法则是否一致.例4 求下列函数的定义域 (1);11--=x y(2);3212-+=x x y(3);)1()3lg(0-+-=x xx y(4);2|2|12---=x x y解:(1)由|x -1|-1≥0,得|x -1|≥1,所以x -1≥1或x -1≤-1,所以x ≥2或x ≤0.所以,所求函数的定义域为{x |x ≥2或x ≤0}. (2)由x 2+2x -3>0得,x >1或x <-3. 所以,所求函数的定义域为{x |x >1或x <-3}.(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/>-,01,0,03x x x 得x <3,且x ≠0,x ≠1, 所以,所求函数的定义域为{x |x <3,且x ≠0,x ≠1}(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即,,得,所以-1≤x ≤1,且x ≠0.所以,所求函数定义域为{x |-1≤x ≤1,且x ≠0}.例5 已知函数f (x )的定义域为(0,1),求函数f (x +1)及f (x 2)的定义域.【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式,这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情:①定义域是指x 的取值范围;②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的.那么由f (x )的定义域是(0,1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0,1),而在函数f (x +1)中,受f 直接制约的是x +1,而定义域是指x 的范围,因此通过解不等式0<x +1<1得-1<x <0,即f (x +1)的定义域是(-1,0).同理可得f (x 2)的定义域为{x |-1<x <1,且x ≠0}.例6 如图,用长为l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长为2x ,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并指出定义域.解:根据题意,AB =2x .⋅--==2π2,πxx l AD x 所以,.)2π2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅根据问题的实际意义.AD >0,x >0.解.π20,02π2,0+<<⎪⎩⎪⎨⎧>-->l x xx l x 得所以,所求函数定义域为⋅+<<}π20|{lx x 【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题.(1)给出函数解析式求定义域(如例4),这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有:①分式中分母不为零;②偶次方根下被开方数非负;③零次幂的底数要求不为零;④对数中的真数大于零,底数大于零且不等于1;⑤y =tan x ,则2ππ+≠k x ,k ∈Z . (2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5).其解决办法见例5的分析.(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6).在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制,还应考虑实际问题对自变量的限制.另外,在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识,这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时,首先要考虑的就是函数的定义域.例7 (1)已知21)1(x xxf -=,求f (x )的解析式; (2)已知221)1(xx x x f +=+,求f (3)的值;(3)如果f (x )为二次函数,f (0)=2,并且当x =1时,f (x )取得最小值-1,求f (x )的解析式; (4)*已知函数y =f (x )与函数y =g (x )=2x 的图象关于直线x =1对称,求f (x )的解析式. 【分析】(1)求函数f (x )的解析式,从映射的角度看就是求对应法则,于是,我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题.方法一.⋅-=-=1)1(111)1(2xxx xxf 通过这样“凑型”的方法,我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.所以,⋅-=1)(2x xx f 方法二.设t x =1,则tx 1=.则1111)(22-=-=t t t t t f ,所以⋅-=1)(2x x x f 这样,通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么. (2)用“凑型”的方法,.7)3(,2)(.2)1(1)1(2222=-=-+=+=+f x x f xx x x x x f 所以 (3)因为f (x )为二次函数,并且当x =1时,f (x )取得最小值-1,所以,可设f(x)=a(x-1)2-1,又f(0)=2,所以a(0-1)2-1=2,所以a=3.f(x)=3(x-1)2-1=3x2-6x+2.(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件,进而求函数f(x)的解析式.所以,可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式.设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x,y),则P关于x=1对称点的坐标为Q(2-x,y),由已知,点Q在函数y=g(x)的图象上,所以,点Q的坐标(2-x,y)满足y=g(x)的解析式,即y=g(2-x)=22-x,所以,f(x)=22-x.【评析】由于已知条件的不同,求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法;有象(3)所用到的待定系数法;也有象(4)所用到的解析法.值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法,是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系.例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x=1,且图象在y轴上的截距为-3,被x轴截得的线段长为4,求f(x)的解析式.解:解法一设f(x)=ax2+bx+c,由f(x)的对称轴为x=1,可得b=-2a;由图象在y轴上的截距为-3,可得c=-3;由图象被x轴截得的线段长为4,可得x=-1,x=3均为方程ax2+bx+c=0的根.所以f(-1)=0,即a-b+c=0,所以a=1.f(x)=x2-2x-3.解法二因为图象被x轴截得的线段长为4,可得x=-1,x=3均为方程f(x)=0的根.所以,设f(x)=a(x+1)(x-3),又f(x)图象在y轴上的截距为-3,即函数图象过(0,-3)点.即-3a=-3,a=1.所以f(x)=x2-2x-3.【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型,在高中数学中地位很重.二次函数的解析式有三种形式:一般式y=ax2+bx+c;顶点式y =a (x -h )2+k ,其中(h ,k )为顶点坐标;双根式y =a (x -x 1)(x -x 2),其中x 1,x 2为函数图象与x 轴交点的横坐标,即二次函数所对应的一元二次方程的两个根.例9 某地区上年度电价为0.8元/kW·h ,年用电量为a kW·h .本年度计划将电价降到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间,而用户期望电价为0.40元/kW·h .经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.30元/kW·h .(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式;(2)设k =0.2a ,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?解:(1)依题意,当实际电价为x 元/kW·h 时,用电量将增加至,4.0a x k+-故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤-+-=x x a x ky .(2)易知,上年度的收益为(0.8-0.3)a ,依题意,%),201)(3.08.0()3.0)(4.02.0(+-≥-+-a x a x a且0.55≤x ≤0.75,解得0.60≤x ≤0.75.所以,当电价最低定为0.60元/kW·h 时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.练习2-1一、选择题 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ,g (x )=ln(1+x )的定义域为N ,则M ∩N =( ) (A){x |x >1}(B){x |x <1}(C){x |-1<x <1} (D)∅2.图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y(C))20(|1|23≤≤--=x x y (D)y =1-|x -1|(0≤x ≤2)3.已知f (x -1)=x 2+2x ,则=)1(xf ( )(A)x x 212+(B)112-x(C)22143x x x ++(D)212xx + 4.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )=3,则x 的值是( )(A)0 (B)0或23 (C)3± (D)3二、填空题5.给定映射f :(x ,y )→(x +2y ,x -2y ),在映射f 下(0,1)的象是______;(3,1)的原象是______. 6.函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______. 7.已知函数f (x ),g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为______;满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是______.8.已知函数y =f (x )与函数y =g (x )=2x 的图象关于点(0,1)对称,则f (x )的解析式为______. 三、解答题9.已知f (x )=2x+x -1,⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (-1),g [f (1)]的值.10.在如图所示的直角坐标系中,一运动物体经过点A (0,9),其轨迹方程为y =ax 2+c (a <0),D =(6,7)为x 轴上的给定区间.为使物体落在区间D 内,求a 的取值范围.11.如图,直角边长为2cm的等腰Rt△ABC,以2cm/s的速度沿直线l向右运动,求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3),并求出y的最大值.§2-2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等.本章着重研究后四个方面的性质.本节的重点在于理解与函数性质有关的概念,掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用.数形结合是本节常用的思想方法.1.设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数.设函数y=g(x)的定义域为D,如果对于D内任意一个x,都有-x∈D,且g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数.由奇函数定义可知,对于奇函数y=f(x),点P(x,f(x))与点P (-x,-f(x))都在其图象上.又点P 与点P '关于原点对称,我们可以得到:奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;通过同样的分析可以得到,偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形.2.一般地,设函数y =f (x )的定义域为A ,区间M ⊆A .如果取区间M 中的任意两个值x 1,x 2,改变量∆x =x 2-x 1>0,则当∆y =f (x 2)-f (x 1)>0时,就称函数y =f (x )在区间M 上是增函数; 当∆y =f (x 2)-f (x 1)<0时,就称函数y =f (x )在区间M 上是减函数.如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M 上具有单调性,区间M 称为单调区间.在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.3.一般的,对于函数f (x ),如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域中的每一个值时,f (x +T )=f (x )都成立,那么就把函数y =f (x )叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.4.一般的,对于函数f (x ),如果存在一个不为零的常数a ,使得当x 取定义域中的每一个值时,f (a +x )=f (a -x )都成立,则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 【复习要求】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;会用定义证明函数的单调性,会利用函数的单调性处理有关的不等式问题;2.了解函数奇偶性的含义.能判断简单函数的奇偶性. 3.了解函数周期性的含义.4.了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系,并能解决相关的简单问题. 【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性. (1);1)(-=x xx f(2);11)(+=xx f (3)f (x )=x 3-3x ;(4);11lgxxy -+= (5)⋅+-=1212xx y 解:(1)解01≥-x x,得到函数的定义域为{x |x >1或x ≤0},定义域区间关于原点不对称,所以此函数为非奇非偶函数.(2)函数的定义域为{x |x ≠0},但是,由于f (1)=2,f (-1)=0,即f (1)≠f (-1),且f (1)≠-f (-1),所以此函数为非奇非偶函数.(3)函数的定义域为R ,又f (-x )=(-x )3-3(-x )=-x 3+3x =-f (x ), 所以此函数为奇函数. (4)解011>-+xx,得-1<x <1, 又),(11lg 11lg )(1)(1lg)(x f xxx x x x x f -=-+-=+-=---+=-所以此函数为奇函数.(5)函数的定义域为R ,又)(21211212)(x f x f xxxx -=+-=+-=---, 所以此函数为奇函数.【评析】由函数奇偶性的定义,可以得到下面几个结论:①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称; ②f (x )是奇函数,并且f (x )在x =0时有定义,则必有f (0)=0; ③既是奇函数又是偶函数的函数,其解析式一定为f (x )=0. 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤: ①判断函数的定义域是否关于原点对称; ②考察f (-x )与f (x )的关系.由此,若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数,偶函数,既奇又偶函数和非奇非偶函数四类.例2 设函数f (x )在R 上有定义,给出下列函数:①y =-|f (x )|;②y =xf (x 2);③y =-f (-x );④y =f (x )-f (-x ). 其中必为奇函数的有______.(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F (x )=-|f (x )|,则F (-x )=-|f (-x )|,由于f (x )与f (-x )关系不明确,所以此函数的奇偶性无法确定.②令F (x )=xf (x 2),则F (-x )=-xf [(-x )2]=-xf (x 2)=-F (x ),所以F (x )为奇函数. ③令F (x )=-f (-x ),则F (-x )=-f [-(-x )]=-f (x ),由于f (x )与f (-x )关系不明确,所以此函数的奇偶性无法确定.④令F (x )=f (x )-f (-x ),则F (-x )=f (-x )-f [-(-x )]=f (-x )-f (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数.所以,②④为奇函数.例3 设函数f (x )在R 上有定义,f (x )的值不恒为零,对于任意的x ,y ∈R ,恒有f (x +y )=f (x )+f (y ),则函数f (x )的奇偶性为______.解:令x =y =0,则f (0)=f (0)+f (0),所以f (0)=0,再令y =-x ,则f (0)=f (x )+f (-x ),所以f (-x )=-f (x ),又f (x )的值不恒为零, 故f (x )是奇函数而非偶函数.【评析】关于函数方程“f (x +y )=f (x )+f (y )”的使用一般有以下两个思路:令x ,y 为某些特殊的值,如本题解法中,令x =y =0得到了f (0)=0.当然,如果令x =y =1则可以得到f (2)=2f (1),等等.令x ,y 具有某种特殊的关系,如本题解法中,令y =-x .得到f (2x )=2f (x ),在某些情况下也可令y =x1,y =x ,等等. 总之,函数方程的使用比较灵活,要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候,要有试一试的勇气.例4 已知二次函数f (x )=x 2+bx +c 满足f (1+x )=f (1-x ),求b 的值,并比较f (-1)与f (4)的大小.解:因为f (1+x )=f (1-x ),所以x =1为二次函数图象的对称轴, 所以12=-b,b =-2. 根据对称性,f (-1)=f (3),又函数在[1,+∞)上单调递增, 所以f (3)<f (4),即f (-1)<f (4).例5 已知f (x )为奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-2x , (1)求f (-1)的值;(2)当x <0时,求f (x )的解析式.解:(1)因为f (x )为奇函数,所以f (-1)=-f (1)=-(12-2×1)=1.(2)方法一:当x <0时,-x >0.所以,f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-2(-x )]=-x 2-2x . 方法二:设(x ,y )是f (x )在x <0时图象上一点,则(-x ,-y )一定在f (x )在x >0时的图象上.所以,-y =(-x )2-2(-x ),所以y =-x 2-2x .例6 用函数单调性定义证明,函数y =ax 2+bx +c (a >0)在区间),2(+∞-ab上为增函数.证明:设),2(21+∞-∈abx x 、,且x 1<x 2 f (x 2)-f (x 1)=(ax 22+bx 2+c )-(ax 12+bx 1+c )=a (x 22-x 12)+b (x 2-x 1) =a (x 2+x 1)(x 2-x 1)+b (x 2-x 1)=(x 2-x 1)[a (x 1+x 2)+b ] 因为x 1<x 2,所以x 2-x 1>0,又因为),2(21+∞-∈abx x 、, 所以0)(,2121>++->+b x x a ab x x ,所以f (x 2)-f (x 1)>0, 函数y =ax 2+bx +c (a >0)在区间),2(+∞-ab上为增函数. 例7 已知函数f (x )是定义域为R 的单调增函数. (1)比较f (a 2+2)与f (2a )的大小;(2)若f (a 2)>f (a +6),求实数a 的取值范围.解:(1)因为a 2+2-2a =(a -1)2+1>0,所以a 2+2>2a , 由已知,f (x )是单调增函数,所以f (a 2+2)>f (2a ).(2)因为f (x )是单调增函数,且f (a 2)>f (a +6),所以a 2>a +6, 解得a >3或a <-2.【评析】回顾单调增函数的定义,在x 1,x 2为区间任意两个值的前提下,有三个重要的问题:∆x =x 2-x 1的符号;∆y =f (x 2)-f (x 1)的符号;函数y =f (x )在区间上是增还是减.由定义可知:对于任取的x 1,x 2,若x 2>x 1,且f (x 2)>f (x 1),则函数y =f (x )在区间上是增函数;不仅如此,若x 2>x 1,且函数y =f (x )在区间上是增函数,则f (x 2)>f (x 1); 若f (x 2)>f (x 1),且函数y =f (x )在区间上是增函数,则x 2>x 1;于是,我们可以清晰地看到,函数的单调性与不等式有着天然的联系.请结合例5例6体会这一点.函数的单调性是极为重要的函数性质,其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛,在复习中要予以充分注意.例8 设f (x )是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,且它在区间(-∞,0)上是减函数. (1)试比较f (-2)与-f (3)的大小;(2)若mn <0,且m +n <0,求证:f (m )+f (n )>0. 解:(1)因为f (x )是奇函数,所以-f (3)=f (-3),又f (x )在区间(-∞,0)上是减函数,所以f (-3)>f (-2),即-f (3)>f (-2). (2)因为mn <0,所以m ,n 异号,不妨设m >0,n <0, 因为m +n <0,所以n <-m ,因为n ,-m ∈(-∞,0),n <-m ,f (x )在区间(-∞,0)上是减函数, 所以f (n )>f (-m ),因为f (x )是奇函数,所以f (-m )=-f (m ), 所以f (n )>-f (m ),即f (m )+f (n )>0.例9 函数f (x )是周期为2的周期函数,且f (x )=x 2,x ∈[-1,1]. (1)求f (7.5)的值;(2)求f (x )在区间[2n -1,2n +1]上的解析式.解:(1)因为函数f (x )是周期为2的周期函数,所以f (x +2k )=f (x ),k ∈Z . 所以f (7.5)=f (-0.5+8)=f (-0.5)=41. (2)设x ∈[2n -1,2n +1],则x -2n ∈[-1,1]. 所以f (x )=f (x -2n )=(x -2n )2,x ∈[2n -1,2n +1].练习2-2一、选择题1.下列函数中,在(1,+∞)上为增函数的是( ) (A)y =x 2-4x(B)y =|x |(C)xy 1(D)y =x 2+2x2.下列判断正确的是( )(A)定义在R 上的函数f (x ),若f (-1)=f (1),且f (-2)=f (2),则f (x )是偶函数 (B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)>f (1),则f (x )在R 上不是减函数(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(-∞,0]上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数,则f (x )在R 上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3.已知函数f (x )是R 上的奇函数,并且是周期为3的周期函数,又知f (1)=2.则f (2)=( ) (A)-2(B)2(C)1(D)-14.设f (x )是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) (A)f (x )f (-x )是奇函数(B)f (x )|f (-x )|是奇函数 (C)f (x )-f (-x )是偶函数(D)f (x )+f (-x )是偶函数二、填空题5.若函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞)是增函数,则m 的取值范围是______;f (1)的取值范围是______.6.已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x -x 4,则当x ∈(0,+∞)时,f (x )=______.7.设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数,则实数a =______.8.已知函数f (x )=x 2-cos x ,对于]2π,2π[-上的任意x 1,x 2,有如下条件:①x 1>x 2; ②;2221x x > ③|x 1|>x 2. 其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题9.已知函数f (x )是单调减函数. (1)若a >0,比较)3(aa f +与f (3)的大小; (2)若f (|a -1|)>f (3),求实数a 的取值范围.10.已知函数).,0()(2R ∈=/+=a x xa x x f (1)判断函数f (x )的奇偶性;(2)当a =1时,证明函数f (x )在区间[2,+∞)上是增函数.11.定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足①f (2)=1;②f (xy )=f (x )+f (y ),其中x ,y 为任意正实数,③任意正实数x ,y 满足x ≠y 时,(x -y )[f (x )-f (y )]>0恒成立. (1)求f (1),f (4)的值; (2)试判断函数f (x )的单调性;(3)如果f (x )+f (x -3)≤2,试求x 的取值范围.§2-3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数,三角函数在三角部分复习.函数的图象上直观地反映着函数的性质,学习函数的“捷径”是熟知函数的图象.熟知函数图象包括三个方面:作图,读图,用图.掌握初等函数一般包括以下一些内容:首先是函数的定义,之后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域,值域,图象特征,单调性,奇偶性,周期性,零点、最值以及值的变化特点等,研究和记忆函数性质的时候应全面考虑.函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质,我们可以通过解析式研究函数的性质,也可以通过解析式画出函数的图象,进而直观的发现函数的性质. 【知识要点】1.一次函数:y =kx +b (k ≠0) (1)定义域为R ,值域为R ; (2)图象如图所示,为一条直线;(3)k >0时,函数为增函数,k <0时,函数为减函数;(4)当且仅当b =0时一次函数是奇函数.一次函数不可能是偶函数. (5)函数y =kx +b 的零点为⋅-kb2.二次函数:y =ax 2+bx +c (a ≠0)通过配方,函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R :当a >0时,值域为),44[2+∞-ab ac ;当a <0时,值域为]44,(2ab ac --∞;(2)图象为抛物线,抛物线的对称轴为abx 2-=,顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --.当a >0时,抛物线开口向上;当a <0时,抛物线开口向下.(3)当a >0时,]2,(a b --∞是减区间,),2[+∞-a b是增区间; 当a <0时,]2,(a b --∞是增区间,),2[+∞-ab是减区间.(4)当且仅当b =0时,二次函数是偶函数;二次函数不可能是奇函数.(5)当判别式∆=b 2-4ac >0时,函数有两个变号零点aacb b 242-±-;当判别式∆=b 2-4ac =0时,函数有一个不变号零点ab 2-; 当判别式∆=b 2-4ac <0时,函数没有零点. 3.指数函数y =a x (a >0且a ≠1) (1)定义域为R ;值域为(0,+∞).(2)a >1时,指数函数为增函数;0<a <1时,指数函数为减函数; (3)函数图象如图所示.不具有奇偶性、周期性,也没有零点.4.对数函数y =log a x (a >0且a ≠1),对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数. (1)定义域为(0,+∞);值域为R .(2)a >1时,对数函数为增函数;0<a <1时,对数函数为减函数;(3)函数图象如图所示.不具有奇偶性、周期性,(4)函数的零点为1.5.幂函数y=xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质:(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);(2)如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地接近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地接近x轴.要注意:因为所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且当x∈(0,+∞)时,xα>0,所以所有的幂函数y=xα(α∈R)在第一象限都有图象.根据幂函数的共同性质,可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象,再根据幂函数的定义域和奇偶性,我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象,这样就能够得到这个幂函数的大致图象.6.指数与对数(1)如果存在实数x,使得x n=a(a∈R,n>1,n∈N+),则x叫做a的n次方根.负数没有偶次方根.),1()(+∈>=N n n a a n n ;⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a n n |,|,)( (2)分数指数幂,)0(1>=a a a n n;,0()(>==a a a a n m m n nm n ,m ∈N *,且nm为既约分数). *N ,,0(1∈>=-m n a aa nm nm ,且nm为既约分数). (3)幂的运算性质a m a n =a m +n ,(a m )n =a mn ,(ab )n =a n b n ,a 0=1(a ≠0).(4)一般地,对于指数式a b =N ,我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N , 即b =log a N (a >0,且a ≠1). (5)对数恒等式:Na alog =N .(6)对数的性质:零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!); 底的对数是1,1的对数是0. (7)对数的运算法则及换底公式:N M NMN M MN a a a a a a log log log ;log log )(log -=+=; M M a a log log αα=;bNN a a b log log log =.(其中a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,M >0,N >0).【复习要求】1.掌握基本初等函数的概念,图象和性质,能运用这些知识解决有关的问题;其中幂函数主要掌握y =x ,y =x 2,y =x 3,21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质.2.准确、熟练的掌握指数、对数运算;3.整体把握函数的图象和性质,解决与函数有关的综合问题.【例题分析】例1 化简下列各式: (1)31522732-⨯;(2)031π2)27102(412-+-;(3)21)972()71()027.0(231+----;(4)log 2[log 3(log 464)];(5)4015018lg 5lg 2lg g g --+.解:(1)⋅=⨯=⨯=⨯---3432)3()2(2732123135253152 (2)⋅=-+=-+=-+--41243232)2764()49(π2)27102()412(3121315.0(3)443549310)925(49)103()972()71()027.0(21313321231-=+-=+-=+-----(4)log 2[log 3(log 464)]=log 2[log 3(log 443)]=log 2[log 33]=log 21=0.(5) .145lg 45lg4050lg 852lg40150lg 8lg 5lg 2lg ==⨯=--+g 【评析】指数、对数运算是两种重要的运算,在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键.例2 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值为8,试确定f (x )的解析式.解:解法一设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),依题意⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++,7,4,4,,8441,1242c b a ab ac c b a c b a 解之得解之得所以所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7. 解法二f (x )=a (x -h )2+k (a ≠0),为f (2)=-1,f (-1)=-1,所以抛物线的对称轴为212)1(2=-+=x , 又f (x )的最大值为8,所以8)21()(2+-=x a x f .因为(-1,-1)点在抛物线上,所以8)211(12+--=-a ,解得a =-4. 所以所求二次函数为7448)21(4)(22++-=+--=x x x x f .例3 (1)如果二次函数f (x )=x 2+(a +2)x +5在区间(2,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是______.(2)二次函数y =ax 2-4x +a -3的最大值恒为负,则a 的取值范围是______. (3)函数f (x )=x 2+bx +c 对于任意t ∈R 均有f (2+t )=f (2-t ),则f (1),f (2),f (4)的大小关系是_______.解:(1)由于此抛物线开口向上,且在(2,+∞)上是增函数, 画简图可知此抛物线对称轴22+-=a x 或与直线x =2重合,或位于直线x =2的左侧, 于是有222≤+-a ,解之得6-≥a . (2)分析二次函数图象可知,二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a <0,且判别式∆<0”,即⎩⎨⎧<--<0)3(416,0a a a ,解得a ∈(-∞,-1).(3)因为对于任意t ∈R 均有f (2+t )=f (2-t ),所以抛物线对称轴为x =2,又抛物线开口向上,做出函数图象简图可得f (2)<f (1)<f (4).例4 已知函数f (x )=mx 2+(m -3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的范围.解:当m =0时,f (x )=-3x +1,其图象与x 轴的交点为)0,31(,符合题意; 当m <0时,注意到f (0)=1,又抛物线开口向下,所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点两侧.所以m <0符合题意;当m >0时,注意到f (0)=1,又抛物线开口向上,所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点同侧(如果存在),所以若满足题意,则⎩⎨⎧>-=-≥--=∆,0232,04)3(2mm a b m m 解得0<m ≤1.综上,m ∈(-∞,1].【评析】在高中阶段,凡“二次”皆重点,二次函数,一元二次方程,一元二次不等式,二次曲线都应着重去理解、掌握.例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用.例5 (1)当a≠0时,函数y=ax+b与y=b ax的图象只可能是( )(2)函数y=log a x,y=log b x,y=log c x,y=log d x的图象分别是图中的①、②、③、④,则a,b,c,d的大小关系是______.【分析】(1)在选项(A)中,由y=ax+b图象可知a<0,b>1,所以b a<b0=1(根据以为底的指数函数的性质),所以y=b ax=(b a)x应为减函数.在选项(B)中,由y=ax+b图象可知a>0,b>1,所以b a>b0=1,所以y=b ax=(b a)x应为增函数.在选项(C)中,由y=ax+b图象可知a>0,0<b<1,所以b a<b0=1,所以y=b ax=(b a)x应为减函数.与图形提供的信息相符.在选项(D)中,由y=ax+b图象可知a<0,0<b<1,所以b a>b0=1,所以y=b ax=(b a)x应为增函数.综上,选C.(2)如图,作直线y=1与函数y=log a x,y=log b x,y=log c x,y=log d x的图象依次交于A,B,C,D四点,则A,B,C,D四点的横坐标分别为a,b,c,d,显然,c<d<a<b.【评析】在本题的解决过程中,对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用. 这里,对基本初等函数图象的熟悉是前提,对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的,例4中“注意到f (0)=1”,例5中“作直线y =1”就是具体的表现,没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的,也作不出“直线y =1”.例6 已知幂函数)()(22123Z ∈=-+k xx f k k .(1)若f (x )为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,求f (x )的解析式; (2)若f (x )在(0,+∞)上是减函数,求k 的取值范围. 解:(1)因为f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以021232>-+k k ,解得-1<k <3, 因为k ∈Z ,所以k =0,1,2,又因为f (x )为偶函数,所以k =1,f (x )=x 2. (2)因为f (x )在(0,+∞)上是减函数,所以021232<-+k k , 解得k <-1,或k >3(k ∈Z ). 例7 比较下列各小题中各数的大小 (1)21log ,0,6.0log 6.02;(2)lg2与lg(x 2-x +3);(3)0.50.2与0.20.5; (4)332与;(5)21log ,32,)21(3131;(6)a m +a -m 与a n +a -n (a >0,a ≠1,m >n >0)【分析】(1)函数y =log 2x 在区间(0,+∞)上是增函数,所以log 20.6<log 21=0, 函数y =log 0.6x 在区间(0,+∞)上是减函数,所以01log 21log 6.06.0=> 所以216.0log 06.0log 2<<. (2)由于2411)21(322>+-=+-x x x ,所以lg2<lg(x 2-x +3). (3)利用幂函数和指数函数单调性.0.50.2>0.20.2>0.20.5.(4)因为9)3(,8)2(636==.根据不等式的性质有.323<(5)因为;32)21(,)728()21(,27821313131>>>即所以 比较32与log 32,只需比较3233log 与log 32,因为y =log 3x 是增函数,所以只需比较323与2的大小, 因为3332289)3(=>=,所以2332>,所以2log 323>, 综上,.2log 32)21(331>>(6))1)((1)(--=+-+++--n m n m nm n n m m a a a aa a a a ,当a >1时,因为m >n >0,a m >a n ,a m +n >1,所以a m +a-m>a n +a -n ;当0<a <1时,因为m >n >0,a m <a n ,a m +n <1,所以a m +a -m >a n +a -n . 综上,a m +a -m >a n +a -n .例8 已知a >2,b >2,比较a +b ,ab 的大小. 【分析】方法一(作商比较法)b a ab b a 11+=+,又a >2,b >2,所以211,211<<b a ,所以1<+abba ,所以a +b <ab . 方法二(作差比较法))]2()2([21)]2()2[(21)222(21a b b a ab b ab a ab b a ab b a -+-=-+-=-+=-+, 因为a >2,b >2,所以2-a <0,2-b <0,所以a +b -ab <0,即a +b <ab . 方法三(构造函数)令y =f (a )=a +b -ab =(1-b )a +b ,将y 看作是关于a 的一次函数, 因为1-b <0,所以此函数为减函数,又a ∈(2,+∞),y 最大<f (2)=(1-b )×2+b =2-b <0,所以a +b -ab <0,即a +b <ab . 【评析】两个数比较大小的基本思路:如果直接比较,可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”,如例8的方法一与方法二),或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3),例8的方法三).如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形,转化成对另两个数的比较,也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6)).。
高考十年高考文数分项版(新课标1专版)专题02 函数(解析版)

一.基础题组1. 【2012全国1,文2】函数1y x =+(x ≥-1)的反函数为( )A .y =x 2-1(x ≥0)B .y =x 2-1(x ≥1)C .y =x 2+1(x ≥0)D .y =x 2+1(x ≥1) 【答案】A2. 【2011课标,文3】下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )A.3y x =B.||1y x =+C.21y x =-+ D.||2x y -=【答案】B【解析】由偶函数,排除A 、C 选项;在(0,)+∞上单调递增,排除D,故选B.3. 【2011全国1,文2】函数2(0)y x x =≥的反函数为( )(A )2()4x y x R =∈ (B )2(0)4x y x =≥ (C )24y x =()x R ∈ (D )24(0)y x x =≥4. 【2008全国1,文1】函数1y x x =- )A .{|1}x x ≤B .{|0}x x ≥C .{|10}x x x ≥或≤D .{|01}x x ≤≤【答案】D 【解析】5. 【2007全国1,文8】设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =( ) A.2 B.2 C.22 D.4【答案】:D【解析】:∵1a >,∴函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上为增函数,∴1log 2log 2a a a a -=,解得4a =.6. 【2005全国1,文7】)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是(A ))11( 112≤≤--+=x x y(B ))10( 112≤≤-+=x x y(C ))11( 112≤≤---=x x y(D ))10( 112≤≤--=x x y【答案】B7. 【2005全国1,文13】若正整数m 满足151210210m m -<<,则m = 。
文科数学高考真题分类汇编 函数的概念和性质答案

2
4 3 34
故 f (x −1) 1 的解集为[1 , 2] [ 4 , 7] .
2
43 34
32.D【解析】lg 2 + lg 1 = lg(2 1 ) = lg1 = 0 ,
2
2
f (x) + f (−x) = ln( 1+ 9x2 − 3x) +1+ ln[ 1+ 9(−x)2 − 3(−x)] +1
y
y=e-x
x O
y
y
y=x 3
y=lnx
x
x
O
O
y
y=|x|
O
显然 B 成立.
27.C【解析】用 −x 换 x ,得 f (−x) − g(−x) = (−x) 3 + (−x) 2 + 1,
化简得 f (x) + g(x) = −x3 + x2 +1 ,令 x = 1,得 f (1) + g(1) =1,故选 C.
所以 f (x) = 2x − 2−x 为奇函数,排除选项 C;选项 D 中 f ( x) = 2x + 2−x ,
则 f (− x) = 2− x + 2x = f (x) ,所以 f (x) = 2x + 2−x 为偶函数,选 D.
30.D【解析】 f ( ) = 2 + 1, f (− ) = −1,所以函数 f (x) 不是偶函数,排除 A;因为函 数 f (x ) 在( −2, −) 上单调递减,排除 B;函数 f (x) 在 (0, +) 上单调递增,所以函
所以 f (6) = f (51+ 1) = f (1) .而 f (1) = − f (−1) = −[(−1)3 − 1] = 2 ,
高考数学真题答案解析文科版

高考数学真题答案解析文科版(文科版)高考是每位学生在教育生涯中至关重要的一场考试。
其中,数学是文科生们最为关注的科目之一。
在这篇文章中,我们将以解析高考数学真题为主线,旨在帮助同学们更好地理解、掌握高考数学的解题技巧和思路。
第一部分:选择题选择题在高考数学中占据了重要的比重。
对于文科生而言,选择题解答起来有一定的技巧。
下面我们来看一道典型的选择题。
1. 已知函数f(x)的零点为x=-2和x=3,且对任意实数x满足f(x)=f(x-1)+x,求函数f(x)的解析式。
解析:首先,我们将已知条件整理一下。
由于函数f(x)的零点为x=-2和x=3,我们可以得出两个方程:f(-2) = 0f(3) = 0然后,我们对原方程进行变形,并利用已知条件进行求解。
f(x) = f(x-1)+x当x=-1时,原方程可转化为:f(-1) = f(-2)-1将f(-2)代入上式,得到:f(-1) = 0-1 = -1当x=0时,原方程可转化为:f(0) = f(-1)+0将f(-1)代入上式,得到:f(0) = -1+0 = -1将已知条件整理一下,我们可以确定f(x)的解析式为:f(x) = -1,x∈(-∞,-1]f(x) = f(x-1)+x,x∈(-1,∞)通过这道选择题的解析,我们可以看到,对于文科生而言,选择题的解答需要运用到数学常识和运算规则,并且需要灵活运用已知条件进行推导,找到解题的突破口。
第二部分:填空题填空题是高考数学中另一种常见的题型。
对于文科生而言,填空题的解答可以让我们更全面地了解数学知识点的细节,提高我们的运算能力和逻辑思维能力。
下面我们来看一道典型的填空题。
2. 若x满足不等式|x+1| < 2,则x的取值范围为_______。
解析:根据不等式的性质,我们知道|x+1| < 2可以拆分为两个条件:x+1 < 2或x+1 > -2对第一个条件进行简单的变形,得到:x < 1对第二个条件进行简单的变形,得到:x > -3综合以上两个条件,我们可以确定x的取值范围为-3 < x < 1。
文科数学高考真题分类汇编 函数综合及其应用答案

x
x
x
16.①③④【解析】对于①,根据题中定义, f (x) A 函数 y = f (x) ,x D 的值域
为 R ,由函数值域的概念知,函数 y = f (x) , x D 的值域为 R b R, a D f (a) = b ,所以①正确;对于②,例如函数 f ( x) = (1) |x| 的值域(0,1] 包含于区间[−1,1],
∴ p = −0.2t2 +1.5t − 2 = −0.2(t − 3.75)2 + 0.8125 ∴当 t = 3.75 分钟时,可食用率最大. 7.D【解析】设年平均增长率为 x ,原生产总值为 a ,则 (1 + p)(1 + q)a = a(1+ x)2 ,解得
x = (1+ p)(1+ q) −1 ,故选 D.
4.B【解析】因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗
油量V = 48 升.而这段时间内行驶的里程数 S = 35600−35000 = 600千米.所以这 段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 48 100 = 8 升,故选 B.
600 5.B 【解析】采用特殊值法,若 x = 1, y = 2, z = 3, a = 1,b = 2,c = 3 ,则 ax + by + cz = 14 ,
因此人均通勤时间
g(x)
=
30 n x%+ 40 n
n
(2x
+
1800 x
−90)
n
(1− x%) ,
x% +40 n
n
(1
− x %)
0 ,30
x ≤30
,
高考文科数学试题分项版解析专题05-函数图象与方程(Word解析版)【10页】

考纲解读明方向分析解读1.高考主要考查由函数解析式画出函数的图象,两个函数图象的交点出现的情况.近几年考查了用图象表示函数.2.在数学中,由“形”到“数”比较明显,由“数”到“形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”.在解答题中,要注意推理论证的严密性,避免出现以图代证的现象,利用图象研究函数的性质,特别是在判断非常规方程根的个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在“数”中的重要体现.分析解读函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,由于函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考中的热点问题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.2.【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】分析:由特殊值排除即可详解:当时,,排除A,B.,当时,,排除C 故正确答案选D.点睛:本题考查函数的图像,考查了特殊值排除法,导数与函数图像的关系,属于中档题。
2017年高考全景展示1.【2017课标1,文8】函数sin21cosxyx=-的部分图像大致为A.B.C.D.【答案】C【解析】【考点】函数图象【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域,从图象的对称性,分析函数的奇偶性,根据函数的奇偶性排除部分选择支,从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值利用特值检验,较难的需要研究单调性、极值等,从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等确定图象. 2.【2017课标3,文7】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为( )ABD .C D 【答案】D【考点】函数图像【名师点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去f “”,即将函数值的大小转化自变量大小关系3.【2017天津,文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立,则a 的取值范围是(A )[2,2]-(B)[-(C)[-(D)[-【答案】A 【解析】试题分析:首先画出函数()f x 的图象,当0a >时,()2xg x a =+的零点是20x a =-<,零点左边直线的斜率时112->-,不会和函数()f x 有交点,满足不等式恒成立,零点右边()2xg x a =+,函数的斜率12k =,根据图象分析,当0x =时,2a ≤,即02a <≤成立,同理,若0a < ,函数()2xg x a =+的零点是20x a =->,零点右边()()2x g x a f x =+<恒成立,零点左边()2xg x a =--,根据图象分析当0x =时,22a a -≤⇒≥-,即20a -≤< ,当0a =时,()()f x g x ≥恒成立,所以22a -≤≤,故选A.【考点】1.分段函数;2.函数图形的应用;3.不等式恒成立.【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法,转化为求函数最值的问题; 2.也可以画出两边的函数图象,根据临界值求参数取值范围;3.也可转化为()0F x >的问题,转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.2016年高考全景展示1. 【2016高考新课标1文数】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为( )(A )(B )(C )(D )【答案】D 【解析】试题分析:函数f (x )=2x 2–e |x |在[–2,2]上是偶函数,其图象关于y 轴对称,因为22(2)8,081f e e =-<-<,所以排除,A B 选项;当[]0,2x ∈时,4x y x e '=-有一零点,设为0x ,当0(0,)x x ∈时,()f x 为减函数,当0(,2)x x ∈时,()f x 为增函数.故选D.考点:函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.2.【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则1=mi i x =∑( )(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 【解析】考点: 函数的奇偶性,对称性.【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数的图象有对称中心.3. 【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是( )【答案】D 【解析】试题分析:因为2sin =y x 为偶函数,所以它的图象关于y 轴对称,排除A 、C 选项;当22x π=,即x =时,1max y =,排除B 选项,故选D.考点:三角函数图象.【方法点睛】给定函数的解析式识别图象,一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项:(1)从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的周期性,判断函数的循环往复;(5)从特殊点出发,排除不符合要求的选项.4.【2016高考山东文数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞ 【解析】 试题分析:画出函数图象如下图所示:由图所示,要()f x b =有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即2224,30m m m m m m m >-⋅+->,解得3m >考点:1.函数的图象与性质;2.函数与方程;3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题,关键在于能利用数形结合思想,通过对函数图象的分析,转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.5. 【2016高考浙江文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1.已知a≠0,且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2,x ∈R ,则实数a =_____,b =______. 【答案】-2;1. 【解析】考点:函数解析式.【思路点睛】先计算()()f x f a -,再将()()2x b x a --展开,进而对照系数可得含有a ,b 的方程组,解方程组可得a 和b 的值.。
高考数学文科导数及其应用最全讲解含答案解析

第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1.基本初等函数的导数公式2.(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). [小题速通]1.下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x +1x ′=1+1x 2 B .(log 2x )′=1x ln 2 C .(3x )′=3x log 3eD .(x 2cos x )′=-2sin x解析:选B ⎝⎛⎭⎫x +1x ′=1-1x 2;(log 2x )′=1x ln 2;(3x )′=3x ln 3;(x 2cos x )′=2x cos x -x 2sin x ,故选B.2.函数f (x )=(x +2a )(x -a )2的导数为( ) A .2(x 2-a 2) B .2(x 2+a 2) C .3(x 2-a 2)D .3(x 2+a 2)解析:选C ∵f (x )=(x +2a )(x -a )2=x 3-3a 2x +2a 3, ∴f ′(x )=3(x 2-a 2).3.函数f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(-1)=4,则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析:选D 因为f ′(x )=3ax 2+6x , 所以f ′(-1)=3a -6=4, 所以a =103. 4.(2016·天津高考)已知函数f (x )=(2x +1)e x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(0)的值为________.解析:因为f (x )=(2x +1)e x ,所以f ′(x )=2e x +(2x +1)e x =(2x +3)e x , 所以f ′(0)=3e 0=3. 答案:3[清易错]1.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(x n )′=nx n-1中n ≠0且n∈Q *,(cos x )′=-sin x .2.注意公式不要用混,如(a x )′=a x ln a ,而不是(a x )′=xa x -1.1.已知函数f (x )=sin x -cos x ,若f ′(x )=12f (x ),则tan x 的值为( )A .1B .-3C .-1D .2解析:选B ∵f ′(x )=(sin x -cos x )′=cos x +sin x , 又f ′(x )=12f (x ),∴cos x +sin x =12sin x -12cos x ,∴tan x =-3.2.若函数f (x )=2x +ln x 且f ′(a )=0,则2a ln 2a =( ) A .-1 B .1 C .-ln 2D .ln 2解析:选A f ′(x )=2x ln 2+1x ,由f ′(a )=2a ln 2+1a =0,得2a ln 2=-1a ,则a ·2a ·ln 2=-1,即2a ln 2a =-1.导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点P (x 0,y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数).相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)·(x -x 0).[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y =f (x )是可导函数,如图,直线y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线,令g (x )=xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)=( )A .-1B .0C .2D .4解析:选B 由题图可知曲线y =f (x )在x =3处切线的斜率等于-13,∴f ′(3)=-13,∵g (x )=xf (x ),∴g ′(x )=f (x )+xf ′(x ),∴g ′(3)=f (3)+3f ′(3),又由题图可知f (3)=1,所以g ′(3)=1+3×⎝⎛⎭⎫-13=0. 2.设函数f (x )=x ln x ,则点(1,0)处的切线方程是________.解析:因为f ′(x )=ln x +1,所以f ′(1)=1,所以切线方程为x -y -1=0. 答案:x -y -1=03.已知曲线y =2x 2的一条切线的斜率为2,则切点的坐标为________.解析:因为y ′=4x ,设切点为(m ,n ),则4m =2,所以m =12,则n =2×⎝⎛⎭⎫122=12,则切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12,12.答案:⎝⎛⎭⎫12,124.函数y =f (x )的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是y =3x -2,则f (1)+f ′(1)=________.解析:因为函数y =f (x )的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是y =3x -2,所以f ′(1)=3,且f (1)=3×1-2=1,所以f (1)+f ′(1)=1+3=4.答案:4[清易错]1.求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax 2+154x -9都相切,则a 等于( )A .-1或-2564B .-1或214C .-74或-2564D .-74或7解析:选A 因为y =x 3,所以y ′=3x 2, 设过点(1,0)的直线与y =x 3相切于点(x 0,x 30), 则在该点处的切线斜率为k =3x 20,所以切线方程为y -x 30=3x 20(x -x 0),即y =3x 20x -2x 30,又(1,0)在切线上,则x 0=0或x 0=32,当x 0=0时,由y =0与y =ax 2+154x -9相切,可得a =-2564, 当x 0=32时,由y =274x -274与y =ax 2+154x -9相切,可得a =-1,所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y =2x +1与曲线y =x 3+ax +b 相切于点(1,3),则实数b 的值为________.解析:因为函数y =x 3+ax +b 的导函数为y ′=3x 2+a ,所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3+a ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3+a =2,3=1+a +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =3.答案:31.函数f (x )在某个区间(a ,b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0,则f (x )在这个区间上是增加的. (2)若f ′(x )<0,则f (x )在这个区间上是减少的. (3)若f ′(x )=0,则f (x )在这个区间内是常数. 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x ).(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间. [小题速通]1.函数f (x )=2x 3-9x 2+12x +1的单调减区间是( ) A .(1,2) B .(2,+∞)C .(-∞,1)D .(-∞,1)和(2,+∞)解析:选A 解f ′(x )=6x 2-18x +12<0可得1<x <2,所以单调减区间是(1,2). 2.已知函数f (x )的导函数f ′(x )=ax 2+bx +c 的图象如图所示,则f (x )的图象可能是( )解析:选D 当x <0时,由导函数f ′(x )=ax 2+bx +c <0,知相应的函数f (x )在该区间内单调递减;当x >0时,由导函数f ′(x )=ax 2+bx +c 的图象可知,导函数在区间(0,x 1)内的值是大于0的,则在此区间内函数f (x )单调递增.只有D 选项符合题意.3.已知f (x )=x 2+ax +3ln x 在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,-26] B.⎝⎛⎦⎤-∞,62 C .[-26,+∞)D .[-5,+∞)解析:选C 由题意得f ′(x )=2x +a +3x =2x 2+ax +3x≥0在(1,+∞)上恒成立⇔g (x )=2x 2+ax +3≥0在(1,+∞)上恒成立⇔Δ=a 2-24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ=a 2-24>0,-a4≤1,g (1)=5+a ≥0⇔-26≤a ≤26或a >26⇔a ≥-26,故选C.[清易错]若函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增,则f ′(x )≥0,且在(a ,b )的任意子区间,等号不恒成立;若函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递减,则f ′(x )≤0,且在(a ,b )的任意子区间,等号不恒成立.若函数f (x )=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调增函数,则m 的取值范围是________. 解析:∵f (x )=x 3+x 2+mx +1, ∴f ′(x )=3x 2+2x +m .又∵f (x )在R 上是单调增函数,∴f ′(x )≥0恒成立, ∴Δ=4-12m ≤0,即m ≥13.答案:⎣⎡⎭⎫13,+∞1.函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ,b )内,函数y =f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值,称点x 0为函数y =f (x )的极大值点,其函数值f (x 0)为函数的极大值.2.函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ,b )内,函数y =f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值,称点x 0为函数y =f (x )的极小值点,其函数值f (x 0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.3.函数的最值(1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值.[小题速通]1.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象,则f (x )的极小值点的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选A 由图象及极值点的定义知,f (x )只有一个极小值点. 2.若函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9在x =-3时取得极值,则a 的值为( ) A .2 B .3 C .4D .5解析:选D f ′(x )=3x 2+2ax +3,由题意知f ′(-3)=0,即3×(-3)2+2a ×(-3)+3=0,解得a =5.3.(2017·济宁一模)函数f (x )=12x 2-ln x 的最小值为( )A.12 B .1 C .0D .不存在解析:选A f ′(x )=x -1x =x 2-1x ,且x >0.令f ′(x )>0,得x >1;令f ′(x )<0,得0<x <1.∴f (x )在x =1处取得极小值也是最小值,且f (1)=12-ln 1=12.4.若函数f (x )=12x 2-ax +ln x 有极值,则a 的取值范围为________.解析:f ′(x )=x -a +1x =x 2-ax +1x(x >0),因为函数f (x )=12x 2-ax +ln x 有极值,令g (x )=x 2-ax +1,且g (0)=1>0,所以⎩⎨⎧a2>0,g ⎝⎛⎭⎫a 2=-a 24+1<0,解得a >2.答案:(2,+∞)5.设x 1,x 2是函数f (x )=x 3-2ax 2+a 2x 的两个极值点,若x 1<2<x 2,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意,f ′(x )=3x 2-4ax +a 2=0,得x =a3或a .又∵x 1<2<x 2,∴x 1=a3,x 2=a ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2,a3<2,∴2<a <6.答案:(2,6)[清易错]1.f ′(x 0)=0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件.例如,f (x )=x 3,f ′(0)=0,但x =0不是极值点;又如f (x )=|x |,x =0是它的极小值点,但f ′(0)不存在.2.求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论. 1.(2017·岳阳一模)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A .y =x 3 B .y =ln(-x ) C .y =x e -xD .y =x +2x解析:选D 因为A 、B 为单调函数,所以不存在极值,C 不是奇函数,故选D. 2.设函数f (x )=x 3-3x +1,x ∈[-2,2]的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =________. 解析:f ′(x )=3x 2-3, 由f ′(x )>0可得x >1或x <-1, 由f ′(x )<0可得-1<x <1,所以函数f (x )的增区间是[-2,-1],[1,2],减区间是[-1,1]. 又因为f (-2)=-1,f (-1)=3,f (1)=-1,f (2)=3, 所以M =3,m =-1, 所以M +m =2. 答案:2一、选择题1.已知函数f (x )=log a x (a>0且a ≠1),若f ′(1)=-1,则a =( ) A .e B.1e C.1e2 D.12解析:选B 因为f ′(x )=1x ln a ,所以f ′(1)=1ln a=-1,所以ln a =-1,所以a =1e . 2.直线y =kx +1与曲线y =x 2+ax +b 相切于点A(1,3),则2a +b 的值为( ) A .-1 B .1 C .2D .-2解析:选C 由曲线y =x 2+ax +b ,得y ′=2x +a , 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k +1=3,k =2+a ,1+a +b =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =2,a =0,b =2,所以2a +b =2.3.函数y =2x 3-3x 2的极值情况为( ) A .在x =0处取得极大值0,但无极小值 B .在x =1处取得极小值-1,但无极大值C .在x =0处取得极大值0,在x =1处取得极小值-1D .以上都不对解析:选C y ′=6x 2-6x ,由y ′=6x 2-6x >0,可得x >1或x <0, 即单调增区间是(-∞,0),(1,+∞). 由y ′=6x 2-6x <0,可得0<x <1,即单调减区间是(0,1),所以函数在x =0处取得极大值0,在x =1处取得极小值-1. 4.若f(x)=-12x 2+m ln x 在(1,+∞)是减函数,则m 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .(-∞,1]D .(-∞,1)解析:选C 由题意,f ′(x )=-x +mx ≤0在(1,+∞)上恒成立,即m ≤x 2在(1,+∞)上恒成立,又因为x 2>1,所以m ≤1.5.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( ) A .(-∞,2) B .(0,3) C .(1,4)D .(2,+∞)解析:选D 依题意得f ′(x )=(x -3)′e x +(x -3)(e x )′=(x -2)e x ,令f ′(x )>0,解得x >2,∴f (x )的单调递增区间是(2,+∞).故选D.6.已知函数f (x )=x (x -m )2在x =1处取得极小值,则实数m =( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:选B f(x)=x(x 2-2mx +m 2)=x 3-2mx 2+m 2x ,所以f ′(x)=3x 2-4mx +m 2=(x -m)(3x -m).由f ′(1)=0可得m =1或m =3.当m =3时,f ′(x)=3(x -1)(x -3),当1<x<3时,f ′(x)<0,当x<1或x>3时,f ′(x)>0,此时在x =1处取得极大值,不合题意,∴m =1,此时f ′(x)=(x -1)(3x -1),当13<x <1时,f ′(x)<0,当x<13或x>1时,f ′(x)>0,此时在x =1处取得极小值.选B .7.已知曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A .3B .2C .1D.12解析:选A 已知曲线y =x 24-3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12,由y ′=12x -3x =12,得x =3,故选A.8.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-2x,x ≤0,x 3-3x +a ,x >0的值域为[0,+∞),则实数a 的取值范围是( )A .[2,3]B .(2,3]C .(-∞,2]D .(-∞,2)解析:选A 当x ≤0时,0≤f (x )=1-2x <1; 当x >0时,f (x )=x 3-3x +a ,f ′(x )=3x 2-3, 当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减, 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,所以当x =1时,函数f (x )取得最小值f (1)=1-3+a =a -2.由题意得0≤a -2≤1,解得2≤a ≤3,选A.二、填空题9.若函数f (x )=x +a ln x 不是单调函数,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意知f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1+ax ,要使函数f (x )=x +a ln x 不是单调函数,则需方程1+ax =0在(0,+∞)上有解,即x =-a ,∴a <0.答案:(-∞,0)10.已知函数f (x )=ln x -f ′(-1)x 2+3x -4,则f ′(1)=________.解析:∵f ′(x )=1x -2f ′(-1)x +3,∴f ′(-1)=-1+2f ′(-1)+3, ∴f ′(-1)=-2,∴f ′(1)=1+4+3=8. 答案:811.已知函数f (x )的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是y =12x +3,则f (1)+f ′(1)=________.解析:由题意知f ′(1)=12,f (1)=12×1+3=72,∴f (1)+f ′(1)=72+12=4.答案:412.已知函数g (x )满足g (x )=g ′(1)e x -1-g (0)x +12x 2,且存在实数x 0,使得不等式2m-1≥g (x 0)成立,则实数m 的取值范围为________.解析:g ′(x )=g ′(1)e x -1-g (0)+x ,令x =1时,得g ′(1)=g ′(1)-g (0)+1, ∴g (0)=1,g (0)=g ′(1)e 0-1=1,∴g ′(1)=e ,∴g (x )=e x -x +12x 2,g ′(x )=e x -1+x ,当x <0时,g ′(x )<0,当x >0时,g ′(x )>0, ∴当x =0时,函数g (x )取得最小值g (0)=1. 根据题意得2m -1≥g (x )min =1,∴m ≥1. 答案:[1,+∞) 三、解答题13.已知函数f (x )=x +ax +b (x ≠0),其中a ,b ∈R.(1)若曲线y =f (x )在点P (2,f (2))处的切线方程为y =3x +1,求函数f (x )的解析式; (2)讨论函数f (x )的单调性;(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12,2,不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14,1上恒成立,求实数b 的取值范围. 解:(1)f ′(x )=1-ax2(x ≠0),由已知及导数的几何意义得f ′(2)=3,则a =-8.由切点P (2,f (2))在直线y =3x +1上可得-2+b =7,解得b =9,所以函数f (x )的解析式为f (x )=x -8x+9.(2)由(1)知f ′(x )=1-ax2(x ≠0).当a ≤0时,显然f ′(x )>0,这时f (x )在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数. 当a >0时,令f ′(x )=0,解得x =±a , 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:上是减函数.(3)由(2)知,对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12,2,不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14,1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10,f (1)≤10,即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394-4a ,b ≤9-a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12,2成立,从而得b ≤74, 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,74. 14.已知函数f (x )=x 4+a x -ln x -32,其中a ∈R ,且曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y =12x .(1)求a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间与极值.解:(1)对f (x )求导,得f ′(x )=14-a x 2-1x (x >0),由f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y =12x ,知f ′(1)=-34-a =-2,解得a =54.(2)由(1)知f (x )=x 4+54x -ln x -32,则f ′(x )=x 2-4x -54x 2,令f ′(x )=0,解得x =-1或x =5.因为x =-1不在f (x )的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当x ∈(0,5)时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,5)内为减函数;当x ∈(5,+∞)时,f ′(x )>0,故f (x )在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数f (x )在x =5时取得极小值f (5)=-ln 5,无极大值. 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )=1x cos x ,则f (π)+f ′⎝⎛⎭⎫π2=( ) A .-3π2B .-1π2C .-3πD .-1π(2)已知f 1(x )=sin x +cos x ,f n +1(x )是f n (x )的导函数,即f 2(x )=f 1′(x ),f 3(x )=f 2′(x ),…,f n +1(x )=f n ′(x ),n ∈N *,则f 2 018(x )等于( )A .-sin x -cos xB .sin x -cos xC .sin x +cos xD .cos x -sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(1)+ln x ,则f ′(1)=( ) A .-e B .-1 C .1D .e[解析] (1)∵f ′(x )=-1x 2cos x +1x (-sin x ),∴f (π)+f ′⎝⎛⎭⎫π2=-1π+2π·(-1)=-3π. (2)∵f 1(x )=sin x +cos x , ∴f 2(x )=f 1′(x )=cos x -sin x , ∴f 3(x )=f 2′(x )=-sin x -cos x , ∴f 4(x )=f 3′(x )=-cos x +sin x , ∴f 5(x )=f 4′(x )=sin x +cos x , ∴f n (x )是以4为周期的函数,∴f 2 018(x )=f 2(x )=cos x -sin x ,故选D.(3)由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1x . ∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.[答案](1)C(2)D(3)B[方法技巧]1.可导函数的求导步骤(1)分析函数y=f(x)的结构特点,进行化简;(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导;(3)化简整理答案.2.求导运算应遵循的原则求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.[即时演练]1.(2018·江西九校联考)已知y=(x+1)(x+2)(x+3),则y′=()A.3x2-12x+6 B.x2+12x-11C.x2+12x+6 D.3x2+12x+11解析:选D法一:y′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.法二:∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.2.已知函数f(x)=x ln x,若f′(x0)=2,则x0=________.解析:f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x0+1=2,解得x0=e.答案:e导数的几何意义第(1)问中,难度较低,属中、低档题.常见的命题角度有:(1)求切线方程;(2)确定切点坐标;(3)已知切线求参数值或范围;(4)切线的综合应用.角度一:求切线方程1.已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是________.解析:∵f′(x)=11+x-1+2x,∴f′(1)=32,f(1)=ln 2,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y -ln 2=32(x -1),即3x -2y +2ln 2-3=0.答案:3x -2y +2ln 2-3=0角度二:确定切点坐标2.(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中,点M 在曲线C :y =x 3-x -1上,且在第三象限内,已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2,则点M 的坐标为________.解析:∵y ′=3x 2-1,曲线C 在点M 处的切线的斜率为2,∴3x 2-1=2,x =±1, 又∵点M 在第三象限,∴x =-1,∴y =(-1)3-(-1)-1=-1, ∴点M 的坐标为(-1,-1). 答案:(-1,-1)角度三:已知切线求参数值或范围3.(2017·武汉一模)已知a 为常数,若曲线y =ax 2+3x -ln x 上存在与直线x +y -1=0垂直的切线,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意知曲线上存在某点的导数值为1, 所以y ′=2ax +3-1x =1有正根, 即2ax 2+2x -1=0有正根. 当a ≥0时,显然满足题意;当a <0时,需满足Δ≥0,解得-12≤a <0.综上,a ≥-12.答案:⎣⎡⎭⎫-12,+∞ 4.若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线,则正实数a 的取值范围是________. 解析:设y =a ln x -1的切点为(x 0,y 0),求导y ′=ax ,则切线的斜率为ax 0,所以公切线方程为y -(a ln x 0-1)=ax 0(x -x 0),联立方程y =x 2-1可得x 2-ax 0x +a -a ln x 0=0,由题意,可得Δ=⎝⎛⎭⎫-ax 02-4(a -a ln x 0)=0, 则a =4x 20(1-ln x 0).令f(x)=4x2(1-ln x)(x>0),则f′(x)=4x(1-2ln x),易知,函数f(x)=4x2(1-ln x)在(0,e)上是增函数,在(e,+∞)上是减函数,所以函数f(x)=4x2(1-ln x)的最大值是f(e)=2e,则正实数a的取值范围是(0,2e].答案:(0,2e]角度四:切线的综合应用5.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f(1)=0,f′(x)=ln x+1x-3,f′(1)=-2.故曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x-a(x-1)x+1>0.设g(x)=ln x-a(x-1) x+1,则g′(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0.①当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0;②当a>2时,令g′(x)=0,得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(1,x2)上单调递减,因此g(x)<0.综上,a的取值范围是(-∞,2].[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知过某点M (x 1,f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时,常需设出切点A (x 0,f (x 0)),利用k =f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0求解.1.(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:选D y ′=a -1x +1,由题意得y ′x =0=2,即a -1=2,所以a =3. 2.(2017·全国卷Ⅰ)曲线y =x 2+1x在点(1,2)处的切线方程为________.解析:因为y ′=2x -1x 2,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x =1=2×1-112=1,所以切线方程为y -2=x -1,即x -y +1=0.答案:x -y +1=03.(2016·全国卷Ⅱ)若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线,也是曲线y =ln (x +1)的切线,则b =________.解析:y =ln x +2的切线方程为: y =1x 1·x +ln x 1+1(设切点横坐标为x 1), y =ln(x +1)的切线方程为: y =1x 2+1x +ln(x 2+1)-x 2x 2+1(设切点的横坐标为x 2), ∴⎩⎨⎧1x 1=1x 2+1,ln x 1+1=ln (x 2+1)-x2x 2+1,解得x 1=12,x 2=-12,∴b =ln x 1+1=1-ln 2. 答案:1-ln 24.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=ax 3+x +1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a =________.解析:∵f ′(x )=3ax 2+1, ∴f ′(1)=3a +1.又f (1)=a +2,∴切线方程为y -(a +2)=(3a +1)(x -1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a +2)=3a +1,解得a =1. 答案:15.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________.解析:∵y =x +ln x , ∴y ′=1+1x,y ′x =1=2.∴曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y -1=2(x -1),即y =2x -1.∵y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,∴a ≠0(当a =0时曲线变为y =2x +1与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -1,y =ax 2+(a +2)x +1,消去y , 得ax 2+ax +2=0.由Δ=a 2-8a =0,解得a =8. 答案:8一、选择题 1.设曲线y =1+cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2,1处的切线与直线x -ay +1=0平行,则实数a 等于( )A .-1 B.12 C .-2D .2解析:选A ∵y ′=-1-cos x sin 2x ,∴y ′x =π2=-1,由条件知1a =-1,∴a =-1. 2.(2018·衡水调研)曲线y =1-2x +2在点(-1,-1)处的切线方程为( )A .y =2x +1B .y =2x -1C .y =-2x -3D .y =-2x -2解析:选A ∵y =1-2x +2=x x +2, ∴y ′=x +2-x (x +2)2=2(x +2)2,y ′|x =-1=2, ∴曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为2, ∴所求切线方程为y +1=2(x +1),即y =2x +1.3.(2018·济南一模)已知曲线f (x )=ln x 的切线经过原点,则此切线的斜率为( ) A .e B .-e C .1eD .-1e解析:选C 法一:∵f (x )=ln x ,x ∈(0,+∞), ∴f ′(x )=1x.设切点P(x 0,ln x 0),则切线的斜率为k =f ′(x 0)=1x 0=k OP =ln x 0x 0.∴ln x 0=1,∴x 0=e ,∴k =1x 0=1e.法二:(数形结合法):在同一坐标系下作出y =ln x 及曲线y =ln x 经过原点的切线,由图可知,切线的斜率为正,且小于1,故选C .4.已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f (1)),则m 的值为( )A .-1B .-3C .-4D .-2解析:选D ∵f ′(x )=1x ,∴直线l 的斜率为k =f ′(1)=1. 又f (1)=0,∴直线l 的方程为y =x -1.g ′(x )=x +m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0), 则有x 0+m =1,y 0=x 0-1, 又因为y 0=12x 20+mx 0+72(m <0), 解得m =-2,故选D.5.(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y =x 3-3x +23上的任意一点,P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎡⎭⎫0,π2∪⎣⎡⎭⎫5π6,π B.⎣⎡⎭⎫2π3,πC .⎣⎡⎭⎫0,π2∪⎣⎡⎭⎫2π3,π D.⎝⎛⎦⎤π2,5π6解析:选C 因为y ′=3x 2-3≥-3,故切线斜率k ≥-3,所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0,π2∪⎣⎡⎭⎫2π3,π. 6.已知曲线y =1e x+1,则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A .x +4y -2=0 B .x -4y +2=0 C .4x +2y -1=0D .4x -2y -1=0解析:选A y ′=-e x(e x +1)2=-1e x +1ex +2,因为e x >0,所以e x +1e x ≥2e x ×1ex =2(当且仅当e x =1e x ,即x =0时取等号),则e x +1ex +2≥4,故y ′=-1e x +1ex +2≥-14(当x =0时取等号).当x =0时,曲线的切线斜率取得最大值,此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0,12,切线的方程为y -12=-14(x -0),即x +4y -2=0.故选A . 二、填空题7.已知f (x )为偶函数,当x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程是________.解析:由题意,当x >0时,则-x <0,f (x )=f (-x )=ln x -3x ,则f ′(x )=1x -3,所以曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线的斜率f ′(1)=-2,则切线方程为y -(-3)=-2(x -1),即2x +y +1=0.答案:2x +y +1=08.曲线y =log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________. 解析:∵y ′=1x ln 2,∴k =1ln 2, ∴切线方程为y =1ln 2(x -1), 令y =0,得x =1,令x =0,得y =-1ln 2, ∴所求三角形面积为S =12×1×1ln 2=12ln 2.答案:12ln 29.(2017·东营一模)函数f (x )=x ln x 在点P(x 0,f (x 0))处的切线与直线x +y =0垂直,则切点P(x 0,f (x 0))的坐标为________.解析:∵f (x )=x ln x , ∴f ′(x )=ln x +1,由题意得f ′(x 0)·(-1)=-1,即f ′(x 0)=1⇔ln x 0+1=1⇔ln x 0=0⇔x 0=1, ∴f (x 0)=1·ln 1=0, ∴P(1,0). 答案:(1,0)10.设过曲线f (x )=-e x -x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1,总存在过曲线g (x )=mx -3sin x 上的一点处的切线l 2,使l 1⊥l 2,则m 的取值范围是________.解析:设曲线f (x )上任意一点A(x 1,y 1),曲线g(x )上存在一点B(x 2,y 2),f ′(x )=-e x-1,g ′(x )=m -3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)=-1,且f ′(x 1)=-ex 1-1∈(-∞,-1),g ′(x 2)=m -3cos x 2∈[m -3,m +3].因为过曲线f (x )=-e x -x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1,总存在过曲线g (x )=mx -3sin x 上的一点处的切线l 2,使l 1⊥l 2,所以(0,1)⊆[m -3,m +3],所以m -3≤0,且m +3≥1,解得-2≤m ≤3. 答案:[-2,3] 三、解答题11.已知函数f (x )=13x 3-2x 2+3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.解:(1)由题意得f ′(x )=x 2-4x +3, 则f ′(x )=(x -2)2-1≥-1,即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k , 则由题意,及(1)可知,⎩⎪⎨⎪⎧k ≥-1,-1k ≥-1,解得-1≤k <0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x +3<0或x 2-4x +3≥1, 得x ∈(-∞,2-2]∪(1,3)∪[2+2,+∞). 12.(2017·北京高考)已知函数f (x )=e x cos x -x . (1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最大值和最小值. 解:(1)因为f (x )=e x cos x -x ,所以f ′(x )=e x (cos x -sin x )-1,f ′(0)=0. 又因为f (0)=1,所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =1. (2)设h (x )=e x (cos x -sin x )-1,则h ′(x )=e x (cos x -sin x -sin x -cos x )=-2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,h ′(x )<0, 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上单调递减. 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0,π2,有h (x )<h (0)=0, 即f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上单调递减. 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最大值为f (0)=1, 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2.1.(2018·广东七校联考)已知函数y =x 2的图象在点(x 0,x 20)处的切线为l ,若l 也与函数y =ln x ,x ∈(0,1)的图象相切,则x 0必满足( )A .0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析:选D y =ln x ,x ∈(0,1)的导数y ′=1x >1, 设切点为(t ,ln t ),则切线l 的方程为y =1t x +ln t -1,因为函数y =x 2的图象在点(x 0,x 20)处的切线l 的斜率为2x 0, 则切线方程为y =2x 0x -x 20,因为l 也与函数y =ln x ,x ∈(0,1)的图象相切, 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0=1t ,x 20=1-ln t ,则1+ln 2x 0=x 20,x 0∈(1,+∞).令g (x )=x 2-ln 2x -1,x ∈(1,+∞), 所以该函数的零点就是x 0,则排除A 、B ;又因为g ′(x )=2x -1x =2x 2-1x >0,所以函数g (x )在(1,+∞)上单调递增.又g (1)=-ln 2<0,g (2)=1-ln 22<0,g (3)=2-ln 23>0, 从而2<x 0< 3.2.函数y =f (x )图象上不同两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)处的切线的斜率分别是k M ,k N ,规定φ(M ,N )=|k M -k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y =f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”.设曲线f (x )=x 3+2上不同两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),且x 1x 2=1,则φ(M ,N )的取值范围是________.解析:f ′(x )=3x 2,设x 1+x 2=t (|t |>2), 则φ(M ,N )=|3x 21-3x 22|(x 1-x 2)2+(x 31+2-x 32-2)2 =|3x 21-3x 22|(x 1-x 2)2[1+(x 21+x 1x 2+x 22)2]=3|x 1-x 2|·|x 1+x 2||x 1-x 2|1+[(x 1+x 2)2-x 1x 2]2=3|x 1+x 2|1+[(x 1+x 2)2-1]2=3|t |1+(t 2-1)2=3t 2+2t2-2.设g (x )=x +2x ,x >4,则g ′(x )=1-2x 2>0,所以g (x )在(4,+∞)上单调递增,所以g (x )>g (4)=92. 所以t 2+2t 2-2>52,所以0<φ(M ,N )<3105.答案:⎝⎛⎭⎫0,3105高考研究课(二) 函数单调性必考,导数工具离不了 [全国卷5年命题分析]函数单调性的判断[典例] 设函数f (x )=-a 22[解] 由f (x )=-a 2ln x +x 2-ax ,可知f ′(x )=-a 2x +2x -a =2x 2-ax -a 2x=(2x +a )(x -a )x(x >0). 若a >0,则当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增;若a =0,则f ′(x )=2x >0在x ∈(0,+∞)内恒成立,函数f (x )单调递增;若a <0,则当x ∈⎝⎛⎭⎫0,-a 2时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,当x ∈⎝⎛⎭⎫-a2,+∞时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增.[方法技巧]导数法判断函数f (x )在(a ,b )内单调性的步骤(1)求f ′(x );(2)确定f ′(x )在(a ,b )内的符号;(3)作出结论:f ′(x )>0时为增函数;f ′(x )<0时为减函数.[提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.[即时演练]1.(2017·芜湖一模)函数f (x )=e x -e x ,x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0,+∞ B.()-∞,0 C.()-∞,1D.()1,+∞解析:选D 由题意知,f ′(x )=e x -e ,令f ′(x )>0,解得x >1,故选D.2.(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )=x -2x +2e x的单调性,并证明当x >0时,(x -2)e x+x +2>0.解:f (x )的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞). f ′(x )=(x -1)(x +2)e x -(x -2)e x (x +2)2=x 2e x(x +2)2≥0,当且仅当x =0时,f ′(x )=0,所以f (x )在(-∞,-2),(-2,+∞)上单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时,f (x )>f (0)=-1. 所以(x -2)e x >-(x +2),即(x -2)e x +x +2>0.利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点,其应用是考查热点.,常见的命题角度有: (1)y =f (x )与y =f ′(x )的图象辨识; (2)比较大小;(3)已知函数单调性求参数的取值范围; (4)构造函数解不等式.角度一:y =f (x )与y =f ′(x )的图象辨识1.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ,若函数f (x )的图象如图所示,则一定有( )A .b >0,c >0B .b <0,c >0C .b >0,c <0D .b <0,c <0解析:选B 由函数的图象与y 轴的交点在原点的上方可知,d >0,f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,由函数的图象可知,函数f (x )有两个极值点,且先增,再减,最后增,所以方程f ′(x )=0有两个大于0不同的实根,且a >0,由根与系数的关系可得-2b 3a >0,c3a>0,则b <0,c >0.2.已知函数y =f (x )的图象是下列四个图象之一,且其导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则该函数的图象是( )解析:选B 由函数f (x )的导函数y =f ′(x )的图象自左至右是先增后减,可知函数y =f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小.角度二:比较大小3.已知函数F (x )=xf (x ),f (x )满足f (x )=f (-x ),且当x ∈(-∞,0]时,F ′(x )<0成立,若a =20.1·f (20.1),b =ln 2·f (ln 2),c =log 212·f ⎝⎛⎭⎫log 212,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a >b >c B .c >a >b C .c >b >a D .a >c >b解析:选C 因为f (x )=f (-x ),所以f (x )是偶函数,则函数F (x )=xf (x )是奇函数. 因为当x ∈(-∞,0]时,F ′(x )<0成立, 所以F (x )在(-∞,0]上是减函数, 所以F (x )在R 上是减函数, 因为20.1>1,0<ln 2<1,log 212=-1<0,所以c >b >a .角度三:已知函数单调性求参数的取值范围4.(2018·宝鸡一检)已知函数f (x )=x 2+4x +a ln x ,若函数f (x )在(1,2)上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A .(-6,+∞)B .(-∞,-16)C .(-∞,-16]∪[-6,+∞)D .(-∞,-16)∪(-6,+∞)解析:选C ∵f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=2x +4+a x =2x 2+4x +ax,f (x )在(1,2)上是单调函数,∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立,即2x 2+4x +a ≥0或2x 2+4x +a ≤0在(1,2)上恒成立,即a ≥-()2x 2+4x 或a ≤-(2x 2+4x )在(1,2)上恒成立.记g (x )=-(2x 2+4x ),1<x <2, 则-16<g (x )<-6,∴a ≥-6或a ≤-16,故选C.5.(2018·成都模拟)已知函数f (x )=-12x 2+4x -3ln x 在区间[t ,t +1]上不单调,则t 的取值范围是________.解析:由题意知f ′(x )=-x +4-3x =-(x -1)(x -3)x ,由f ′(x )=0得函数f (x )的两个极值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t +1)内,函数f (x )在区间[t ,t +1]上就不单调,∴1∈(t ,t +1)或3∈(t ,t +1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t <1,t +1>1或⎩⎪⎨⎪⎧t <3,t +1>3⇔0<t <1或2<t <3.答案:(0,1)∪(2,3) [方法技巧]由函数的单调性求参数的范围的方法(1)可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到.(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性,区间I 中含有参数时,可先求出f (x )的单调区间,令I 是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.(4)若已知f (x )在D 上不单调,则f (x )在D 上有极值点,且极值点不是D 的端点.角度四:构造函数解不等式6.已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数,且f (1)=1e ,对任意实数都有f (x )-f ′(x )>0,则不等式f (x )<e x-2的解集为( )A .(-∞,e)B .(1,+∞)C .(1,e)D .(e ,+∞) 解析:选B 令g (x )=f (x )e x -2,g ′(x )=f ′(x )-f (x )e x -2<0,所以函数g (x )=f (x )ex -2是减函数,又g (1)=1,所以不等式f (x )<e x-2的解集为(1,+∞).7.设函数f (x )是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且有2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2 018)2f (x +2 018)-f (-1)<0的解集为________.解析:令g (x )=x 2f (x ),由2f (x )+xf ′(x )>x 2(x <0),得g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )=x [2f (x )+xf ′(x )]<x 3<0,故函数g (x )=x 2f (x )在(-∞,0)上是减函数,故由不等式(x +2 018)2f (x +2 018)-f (-1)<0,可得-1<x +2 018<0,即-2 019<x <-2 018,所以不等式的解集为(-2 019,-2 018).答案:(-2 019,-2 018)1.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )=x -13sin 2x +a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( )A .[-1,1] B.⎣⎡⎦⎤-1,13 C.⎣⎡⎦⎤-13,13 D.⎣⎡⎦⎤-1,-13 解析:选C 法一:取a =-1,则f (x )=x -13sin 2x -sin x ,f ′(x )=1-23cos 2x -cos x ,但f ′(0)=1-23-1=-23<0,不具备在(-∞,+∞)单调递增的条件,故排除A 、B 、D.故选C.法二:函数f (x )=x -13sin 2x +a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,等价于f ′(x )=1-23cos2x +a cos x =-43cos 2x +a cos x +53≥0在(-∞,+∞)恒成立.设cos x =t ,则g (t )=-43t 2+at +53≥0在[-1,1]恒成立,所以⎩⎨⎧g (1)=-43+a +53≥0,g (-1)=-43-a +53≥0,解得-13≤a ≤13.故选C.2.(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( )A .(-∞,-2]B .(-∞,-1]C .[2,+∞)D .[1,+∞)解析:选D 因为f (x )=kx -ln x ,所以f ′(x )=k -1x .因为f (x )在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x >1时,f ′(x )=k -1x ≥0恒成立,即k ≥1x 在区间(1,+∞)上恒成立.因为x >1,所以0<1x<1,所以k ≥1.故选D.3.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=e x (e x -a )-a 2x . (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )≥0,求a 的取值范围.解:(1)函数f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=2e 2x -a e x -a 2=(2e x +a )(e x -a ).①若a =0,则f (x )=e 2x 在(-∞,+∞)上单调递增. ②若a >0,则由f ′(x )=0,得x =ln a . 当x ∈(-∞,ln a )时,f ′(x )<0; 当x ∈(ln a ,+∞)时,f ′(x )>0.故f (x )在(-∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,+∞)上单调递增. ③若a <0,则由f ′(x )=0,得x =ln ⎝⎛⎭⎫-a2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫-∞,ln ⎝⎛⎭⎫-a 2时,f ′(x )<0; 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫-a 2,+∞时,f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,ln ⎝⎛⎭⎫-a 2上单调递减, 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫-a 2,+∞上单调递增. (2)①若a =0,则f (x )=e 2x ,所以f (x )≥0.②若a >0,则由(1)得,当x =ln a 时,f (x )取得最小值,最小值为f (ln a )=-a 2ln a . 从而当且仅当-a 2ln a ≥0,即0<a ≤1时,f (x )≥0.③若a <0,则由(1)得,当x =ln ⎝⎛⎭⎫-a 2时,f (x )取得最小值,最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫-a 2=a 2⎣⎡⎦⎤34-ln ⎝⎛⎭⎫-a 2.从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34-ln ⎝⎛⎭⎫-a 2≥0, 即-2e 34≤a <0时,f (x )≥0.综上,a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-2e 34,1.一、选择题1.已知函数f (x )=ln x +x 2-3x (a ∈R),则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫-∞,12 B .(1,+∞) C.⎝⎛⎭⎫-∞,12和(1,+∞) D.⎝⎛⎭⎫0,12和(1,+∞) 解析:选D f ′(x )=2x 2-3x +1x (x >0),令f ′(x )=0,得x =12或x =1,当0<x <12或x >1时,f ′(x )>0,所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0,12和(1,+∞). 2.(2018·成都外国语学校月考)已知函数f (x )=x 2+2cos x ,若f ′(x )是f (x )的导函数,则函数f ′(x )的图象大致是( )解析:选A 设g (x )=f ′(x )=2x -2sin x ,g ′(x )=2-2cos x ≥0,所以函数f ′(x )在R 上单调递增.3.对于R 上可导的任意函数f (x ),若满足1-xf ′(x )≤0,则必有( )A .f (0)+f (2)>2f (1)B .f (0)+f (2)≤2f (1)C .f (0)+f (2)<2f (1)D .f (0)+f (2)≥2f (1)解析:选A 当x <1时,f ′(x )<0,此时函数f (x )单调递减,当x >1时,f ′(x )>0,此时函数f (x )单调递增,∴当x =1时,函数f (x )取得极小值同时也取得最小值, 所以f (0)>f (1),f (2)>f (1),则f (0)+f (2)>2f (1).4.已知函数f (x )=x sin x ,x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,且f (x 1)<f (x 2),那么( ) A .x 1-x 2>0B .x 1+x 2>0C .x 21-x 22>0D .x 21-x 22<0解析:选D 由f (x )=x sin x 得f ′(x )=sin x +x cos x =cos x (tan x +x ),当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )>0,即f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为增函数,又f (-x )=-x sin(-x )=x sin x ,因而f (x )为偶函数,∴当f (x 1)<f (x 2)时,有f (|x 1|)<f (|x 2|),∴|x 1|<|x 2|,x 21-x 22<0,故选D.5.(2017·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足:f ′(x )>f (x )恒成立,若x 1<x 2,则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A .e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)B .e x 1f (x 2)<e x 2f (x 1)C .e x 1f (x 2)=e x 2f (x 1)D .e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析:选A 设g (x )=f (x )e x ,则g ′(x )=f ′(x )e x -f (x )e x (e x )2=f ′(x )-f (x )e x ,由题意知g ′(x )>0,所以g (x )单调递增,当x 1<x 2时,g (x 1)<g (x 2),即f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2,所以e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1). 6.(2018·九江模拟)已知函数f (x )=12x 2+2ax -ln x ,若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13,2上是增函数,则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤-∞,43B.⎣⎡⎭⎫43,+∞ C.⎝⎛⎦⎤-∞,-32D.⎣⎡⎭⎫-32,+∞ 解析:选B f ′(x )=x +2a -1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13,2上恒成立, 即2a ≥-x +1x 在⎣⎡⎦⎤13,2上恒成立, ∵⎝⎛⎭⎫-x +1x max =83, ∴2a ≥83,即a ≥43.二、填空题7.设函数f (x )=x (e x -1)-12x 2,则函数f (x )的单调增区间为________.解析:因为f (x )=x (e x -1)-12x 2,所以f ′(x )=e x -1+x e x -x =(e x -1)(x +1).令f ′(x )>0,即(e x -1)·(x +1)>0,解得x ∈(-∞,-1)或x ∈(0,+∞).所以函数f (x )的单调增区间为(-∞,-1)和(0,+∞).答案:(-∞,-1)和(0,+∞)8.已知函数f (x )=x ln x -ax 2-x .若函数f (x )在定义域上为减函数,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意可知函数f (x )的定义域为(0,+∞). f ′(x )=ln x -2ax ,因为函数f (x )在定义域上为减函数, 所以ln x -2ax ≤0,即a ≥ln x2x在(0,+∞)上恒成立,。
(2021年整理)高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含问题详解)

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本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为 <(完整版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含问题详解)> 这篇文档的全部内容.函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()a b,其复合函数f x的定义域为[,]f g x的定义域应由不等式()[()]≤≤解出.a g x b⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2++=,则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时,由于,x y为实数,故必须有2()4()()0∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.b y a yc y④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【1.2。
2020年高考数学(文) 函数 (解析版)

专题 函 数一、选择题1.(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ,则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是A .(,1]-∞-B .(0,)+∞C .(1,0)-D .(,0)-∞D 【解析】当0x ≤时,函数()2x f x -=是减函数,则()(0)1f x f =≥,作出()f x 的大致图象如图所示,结合图象可知,要使(1)(2)+<f x f x ,则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥,所以0x <,故选D .xyO2.(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是A .B .C .D .D 【解析】设||()2sin 2x f x x =,其定义域关于坐标原点对称,又||()2sin(2)()x f x x f x --=⋅-=-,所以()y f x =是奇函数,故排除选项A ,B ;令()0f x =,所以sin 20x =,所以2x k π=(k ∈Z ),所以2k x π=(k ∈Z ),故排除选项C .故选D . 3.(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)-=+f x f x .若(1)2=f ,则(1)(2)(3)++f f f (50)++=L fA .50-B .0C .2D .50C 【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,()()-=-f x f x .且(0)0=f .∵(1)(1)-=+f x f x ,∴()(2)=-f x f x ,()(2)-=+f x f x∴(2)()+=-f x f x ,∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ,∴()f x 是周期函数,且一个周期为4,∴(4)(0)0==f f ,(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ,(3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f , ∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ,故选C . 解法二 由题意可设()2sin()2f x x π=,作出()f x 的部分图象如图所示.xy4321-22O由图可知,()f x 的一个周期为4,所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f , 所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ,故选C . 4.(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为D 【解析】当0x =时,2y =,排除A ,B .由3420y x x '=-+=,得0x =或22x =±,结合三次函数的图象特征,知原函数在(1,1)-上有三个极值点,所以排除C ,故选D .5.函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为C 【解析】由题意知,函数sin 21cos xy x=-为奇函数,故排除B ;当x π=时,0y =,排除D ;当1x =时,sin 21cos 2y =-,因为22ππ<<,所以sin 20>,cos20<,故0y >,排除A .故选C .6.函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为A .B .C .D .D 【解析】当1x =时,(1)2sin12f =+>,排除A 、C ;当x →+∞时,1y x →+,排除B .选D .7.已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是A .[2,2]-B .[3,2]-C .[2,3]-D .[3,23]- A 【解析】由题意0x =时,()f x 的最小值2,所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22x a +≤在R 上恒成立.当3a =0x =,得|2322x+>,不符合题意,排除C 、D ; 当23a =-0x =,得|2322x->,不符合题意,排除B ;选A .8.设,01 ()2(1),1x xf xx x⎧<<⎪=⎨-⎪⎩≥,若()(1)f a f a=+,则1()fa=A.2 B.4 C.6 D.8C【解析】由1x≥时()()21f x x=-是增函数可知,若,则()()1f a f a≠+,所以01a<<,由()(+1)f a f a=得2(11)a a=+-,解得14a=,则1(4)2(41)6f fa⎛⎫==-=⎪⎝⎭,故选C.9.(2018天津)已知13313711log,(),log245a b c===,则,,a b c的大小关系为A.a b c>>B.b a c>>C.c b a>>D.c a b>>D【解析】1331log log55c==,因为3logy x=为增函数,所以3337log5log log312>>=.因为函数1()4xy=为减函数,所以1311()()144<=,故c a b>>,故选D.10.(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef xx的图像大致为B【解析】当0<x时,因为0--<x xe e,所以此时2()0--=<x xe ef xx,故排除A.D;又1(1)2=->f ee,故排除C,选B.11.(2018全国卷Ⅲ)下列函数中,其图象与函数lny x=的图象关于直线1x=对称的是A.ln(1)y x=-B.ln(2)y x=-C.ln(1)y x=+D.ln(2)y x=+B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y,则其关于直线1x=的对称点的坐标为(2,)x y-,由对称性知点(2,)x y-在函数()lnf x x=的图象上,所以ln(2)y x=-,故选B.解法二由题意知,对称轴上的点(1,0)即在函数lny x=的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A ,C ,D ,选B . 12.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y f x =的图像关于直线1x =对称D .()y f x =的图像关于点(1,0)对称 C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-,02x <<知,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,排除A 、B ;又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=,所以()f x 的图象关于1x =对称,C 正确. 13.函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A .(,2)-∞-B .(,1)-∞C .(1,)+∞D .(4,)+∞ D 【解析】由2280x x -->,得2x <-或4x >,设228u x x =--,则(,2)x ∈-∞-,u 关于x 单调递减,(4,)x ∈+∞,u 关于x 单调递增,由对数函数的性质,可知ln y u =单调递增,所以根据同增异减,可知单调递增区间为(4,)+∞.选D .14.已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若21(log )5a f =-,2(log 4.1)b f =,0.8(2)c f =,则,,a b c 的大小关系为A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .c a b << C 【解析】函数()f x 为奇函数,所以221(log )(log 5)5a f f =-=,又222log 5log 4.1log 42>>=,0.8122<<,由题意,a b c >>,选C .15.已知函数1()3()3x xf x =-,则()f xA .是偶函数,且在R 上是增函数B .是奇函数,且在R 上是增函数C .是偶函数,且在R 上是减函数D .是奇函数,且在R 上是增函数 B 【解析】由11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-,得()f x 为奇函数, ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>,所以()f x 在R 上是增函数.选B .16.若函数e ()xf x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A .()2xf x -=B .2()f x x=C .()3xf x -=D .()cos f x x =A 【解析】对于A,令()e 2xxg x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x x g x ---'=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A .17.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N最接近的是 (参考数据:lg 3≈0.48)A .3310B .5310C .7310D .9310D 【解析】设36180310M x N ==,两边取对数得,36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈,所以93.2810x =,即M N最接近9310,选D .18.若函数2()f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M m -A . 与a 有关,且与b 有关B . 与a 有关,但与b 无关C . 与a 无关,且与b 无关D . 与a 无关,但与b 有关 B 【解析】函数()f x 的对称轴为2ax =-, ①当02a-≤,此时(1)1M f a b ==++,(0)m f b ==,1M m a -=+; ②当12a-≥,此时(0)M f b ==,(1)1m f a b ==++,1M m a -=--;③当012a<-<,此时2()24a a m f b =-=-,(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++,24a M m -=或214a M m a -=++.综上,M m -的值与a 有关,与b 无关.选B .19.若0a b >>,01c <<,则A .log log a b c c <B .log log c c a b <C .c c a b <D .a bc c >B 【解析】因为01c <<,所以log c y x =在(0,)+∞上单调递减,又0b a <<,所以log log c c a b <,故选B .20.函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为A .B .C .D .D 【解析】∵2||2x y x e =-是偶函数,设2||2x y x e =-,则222(2)228f e e =⨯-=-,所以0(2)1f <<,以排除A ,B ;当02x剟时,22x y x e =-,所以4x y x e '=-,又()4x y e ''=-,当0ln4x <<时,()0y ''>,当ln42x <<时,()0y ''<,所以4x y x e '=-在(0,ln 4)单调递增,在(ln 4,2)单调递减,所以4xy x e '=-在[0,2]有14(ln 41)y '--剟,所以4x y x e '=-在[0,2]存在零点ε,所以函数22x y x e =-在[0,)ε单调递减,在(,2]ε单调递增,排除C ,故选D .21.下列函数中,其定义域和值域分别与函数lg 10xy =的定义域和值域相同的是A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y=D 【解析】函数lg 10xy =的定义域为(0,)+∞,又lg 10xy x ==,所以函数的值域为(0,)+∞,故选D .22.已知4213332,3,25a b c ===,则A .b a c <<B .a b c <<C .b c a <<D .c a b <<A 【解析】因为422333243a b ==>=,1223332554c a ==>=,所以b a c <<,故选A . 23.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点,则a =A .12-B .13C .12D .1 C 【解析】令()0f x =,则方程112()2x x a ee x x --++=-+有唯一解,设2()2h x x x =-+,11()x x g x e e --+=+,则()h x 与()g x 有唯一交点,又11111()2x x x x g x ee e e --+--=+=+≥,当且仅当1x =时取得最小值2.而2()(1)11h x x =--+≤,此时1x =时取得最大值1,()()ag x h x =有唯一的交点,则12a =.选C . 24.设1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩≥,若()(1)f a f a =+,则1()f a =A .2B .4C .6D .8C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C . 25.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是A .y cos x =B .y sin x =C .y ln x =D .21y x =+A 【解析】cos y x =是偶函数且有无数多个零点,sin y x =为奇函数,ln y x =既不是奇函数又不是偶函数,21y x =+是偶函数但没有零点.故选A . 26.已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩≤,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为 A .2 B .3 C .4 D .5A 【解析】当0x <时,2(2)f x x -=,此时方程2()()1||f x g x x x -=--+的小于零的零点为x =当02x ≤≤时,(2)2|2|f x x x -=--=,方程()()2||2f x g x x x -=-+=无零点;当2x >时,(2)2|2|4f x x x -=--=-,方程22()()(2)733f x g x x x x x -=-+-=--大于2的零点有一个,故选A .27.对二次函数2()f x ax bx c =++(a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是A .-1是()f x 的零点B .1是()f x 的极值点C .3是()f x 的极值D .点(2,8)在曲线()y f x =上 A 【解析】由A 知0a b c -+=;由B 知()2f x ax b '=+,20a b +=;由C 知()2f x ax b '=+,令()0f x '=可得2b x a =-,则()32bf a-=,则2434ac b a -=; 由D 知428a b c ++=,假设A 选项错误,则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩,得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,满足题意,故A 结论错误,同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意,故选A .28.已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是A .[2,2]- B.[2]- C.[2,- D.[- A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示,当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时,可知2a =±.当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时,由22x a x x+=+,得2240x ax -+=,由0∆=,并结合图象可得2a =,要使()||2xf x a +≥恒成立,当0a ≤时,需满足2a -≤,即20a -≤≤,当0a >时,需满足2a ≤,所以22a -≤≤.解法二 由题意0x =时,()fx 的最小值2,所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22x a +≤在R 上恒成立.当a=0x =,得|22x+>,不符合题意,排除C 、D ; 当a =-0x =,得|22x->,不符合题意,排除B ;选A .29.已知函数()f x (x ∈R )满足()(2)f x f x =-,若函数2|23|y x x =--与y =f (x )图像的交点为11(,)x y ,22(,)x y ,…,(,)m m x y ,则1=mi i x =∑A .0B .mC .2mD .4m B 【解析】由()(2)f x f x =-知()f x 的图像关于直线1x =对称,又函数22|23||(1)4|y x x x =--=--的图像也关于直线1x =对称, 所以这两个函数图像的交点也关于直线1x =对称, 不妨设12m x x x <<⋅⋅⋅<,则112mx x +=,即12m x x +=, 同理212m x x -+=,……,由121mim i xx x x ==++⋅⋅⋅+∑,所以121112()()()2mim m m i xx x x x x x m -==++++⋅⋅⋅++=∑,所以1mi i x m ==∑,故选B .30.已知函数()f x 满足:()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .A .若()f a b ≤,则a b ≤B .若()2bf a ≤,则a b ≤ C .若()f a b ≥,则a b ≥ D .若()2b f a ≥,则a b ≥B 【解析】由已知可设2(0)()2(0)-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩x x x f x x ,则2(0)()2(0)-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩a aa f a a ,因为()f x 为偶函数,所以只考虑0≥a 的情况即可.若()2≤bf a ,则22≤a b,所以≤a b .故选B .二、填空题31.(2018江苏)函数()f x =的定义域为 .[2,)+∞【解析】要使函数()f x 有意义,则2log 10x -≥,即2x ≥,则函数()f x 的定义域是[2,)+∞.32.(2018江苏)函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤则((15))f f 的值为 .2【解析】因为函数()f x 满足(4)()f x f x +=(x ∈R ),所以函数()f x 的最小正周期是4.因为在区间(2,2]- 上,cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤,所以1((15))((1))()cos 242f f f f f π=-===. 33.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当(,0)x ∈-∞时,32()2f x x x =+,则(2)f = .12【解析】∵()f x 是奇函数,所以32(2)(2)[2(2)(2)]12f f =--=-⨯-+-=34.设函数1,0()2,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤,则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____.1(,)4-+∞【解析】当12x >时,不等式为12221x x-+>恒成立; 当102x <≤,不等式12112xx +-+>恒成立;当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即104x -<≤;综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞.35.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且(4)(2)f x f x +=-.若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则(919)f = .6【解析】由(4)(2)f x f x +=-,得(6)()f x f x +=,所以函数()f x 的周期6T =,所以(919)(61531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.36.已知a ∈R ,函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 . 9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈,∴4[4,5]x x+∈①当5a ≥时,44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤, 所以()f x 的最大值245a -=,即92a =(舍去) ②当4a ≤时,44()5f x x a a x x x=+-+=+≤,此时命题成立.③当45a <<时,max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+,则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=,解得92a =或92a <,综上可得,实数a 的取值范围是9(,]2-∞. 37.已知函数31()2xx f x x x e e=-+-,其中e 是自然数对数的底数,若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a的取值范围是 .1[1,]2-【解析】因为31()2e ()e x x f x x f x x -=-++-=-,所以函数()f x 是奇函数,因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥,所以数()f x 在R 上单调递增,又21)02()(f f a a +-≤,即2())2(1a a f f ≤-,所以221a a ≤-,即2120a a +-≤,解得112a -≤≤,故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 38.(2018全国卷Ⅰ)已知函数22()log ()=+f x x a ,若(3)1=f ,则a =________.7-【解析】由(3)1f =得,22log (3)1a +=,所以92a +=,即7a =-.39.(2018全国卷Ⅲ)已知函数())1f x x =+,()4f a =,则()f a -=___.2-【解析】由())14f a a =+=,得)3a =,所以())11)1f a a a -=+=-+=-+312=-+=-.40.(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---,若幂函数()α=f x x 为奇函数,且在0+∞(,)上递减,则α=_____1-【解析】由题意()f x 为奇函数,所以α只能取1,1,3-,又()f x 在(0,)+∞上递减,所以1α=-.41.(2018上海)已知常数0a >,函数2()(2)x x f x ax =+的图像经过点6()5P p ,、1()5Q q -,,若236p qpq +=,则a =__________.6a =【解析】由题意2625=+p pap ,2125=-+q q aq ,上面两式相加, 得22122+=++p qpq ap aq,所以22+=p q a pq ,所以236=a ,因为0>a ,所以6=a . 42.已知函数31()2xx f x x x e e=-+-,其中e 是自然数对数的底数,若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a的取值范围是 .1[1,]2-【解析】因为31()2e ()e x x f x x f x x -=-++-=-,所以函数()f x 是奇函数,因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥,所以数()f x 在R 上单调递增,又21)02()(f f a a +-≤,即2())2(1a a f f ≤-,所以221a a ≤-,即2120a a +-≤,解得112a -≤≤,故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 43.(2018江苏)若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .3-【解析】2()622(3)f x x ax x x a '=-=-(a ∈R ),当0a ≤时()0f x '>在(0,)+∞ 上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增,又(0)1f =,所以此时()f x 在(0,)+∞内无零点,不满足题意.当0a >时,由()0f x '>得3a x >,由()0f x '<得03a x <<,则()f x 在(0,)3a 上单调递减,在(,)3a+∞上单调递增,又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点,所以3()10327a a f =-+=,得3a =,所以32()231f x x x =-+,则()6(1)f x x x '=-,当(1,0)x ∈-时,()0f x '>,()f x 单调递增,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则max ()(0)1f x f ==,(1)4f -=-,(1)0f =, 则min ()4f x =-,所以()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为3-. 44.(2018浙江)已知λ∈R ,函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥,当2λ=时,不等式()0f x <的解集是______.若函数()f x 恰有2个零点,则λ的取值范围是____.(1,4);(1,3](4,)+∞U 【解析】若2λ=,则当2x ≥时,令40x -<,得24x <≤;当2x <时,令2430x x -+<,得12x <<.综上可知14x <<,所以不等式()0f x <的解集为(1,4).令40x -=,解得4x =;令2430x x -+=,解得1x =或3x =.因为函数()f x 恰有2个零点,结合函数的图象(图略)可知13λ<≤或4λ>.45.设()f x 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[0,1)上,2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x xn n-==∈*N ,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 8【解析】由于()[0,1)f x ∈,则需考虑110x ≤<的情况,在此范围内,x ∈Q 且x D ∈时,设*,,,2qx p q p p=∈≥N ,且,p q 互质, 若lg x ∈Q ,则由lg (0,1)x ∈,可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ,且,m n 互质, 因此10n mq p=,则10()nm q p =,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lg x ∉Q ,因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等,只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点, 画出函数图象,图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x D ∉的部分, 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<,则在1x =附近仅有一个交点,因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8.46.已知函数()f x =2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中0m >.若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值范围是_______.()3,+∞【解析】当x m >时,222()24()4f x x mx m x m m m =-+=-+-,其顶点为2(,4)m m m -;当x m „时,函数()f x 的图象与直线x m =的交点为(,)Q m m .①当24m m m m>⎧⎨-⎩…,即03m <„时,函数()f x 的图象如图1所示,此时直线y b =与函数()f x 的图象有一个或两个不同的交点,不符合题意;②当240m m m m ⎧-<⎨>⎩,即3m >时,函数()f x 的图象如图2所示,则存在实数b 满足24m m b m -<„,使得直线y b =与函数()f x 的图象有三个不同的交点,符合题意.综上,m 的取值范围为(3,)+∞.图1 图247.已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是_______.12[,)33【解析】由()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤,又方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解,所以12132,1637a a a <-≤⇒>≥,因此a 的取值范围是12[,)33.48.设函数32()31f x x x =++.已知0a ≠,且()()f x f a -=2()()x b x a --,x ∈R ,则实数a =_____,b =______.-2;1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--,23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-,所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩,解得21a b =-⎧⎨=⎩.三、解答题49.(2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为30,030,()1800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩≤(单位:分钟), 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式;讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义. 【解析】(1)当030x <≤时,()3040f x =<恒成立,公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间;当30100x <<时,若40()f x <,即180029040x x+->,解得20x <(舍)或45x >; ∴当45100x <<时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间; (2)设该地上班族总人数为n ,则自驾人数为%n x ⋅,乘公交人数为(1%)n x ⋅-.因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤,整理得:240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3,则当(0,30](30,32.5]x ∈U ,即(0,32.5]x ∈时,()g x 单调递减;当(32.5,100)x ∈时,()g x 单调递增.实际意义:当有32.5%的上班族采用自驾方式时,上班族整体的人均通勤时间最短.适当的增加自驾比例,可以充分的利用道路交通,实现整体效率提升;但自驾人数过多,则容易导致交通拥堵,使得整体效率下降。
专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案

第一讲 三角函数的图象与性质1.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么sin α=y ,cos α=x ,tan α=yx.(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2 函数 性质 y =sin xy =cos xy =tan x定义域RR{x |x ≠k π+π2,k ∈Z}图象值域[-1,1] [-1,1]R对称性对称轴:x =k π+π2(k ∈Z);对称中心:(k π,0)(k ∈Z)对称轴:x = k π(k ∈Z);对称中心: (k π+π2,0)(k ∈Z)对称中心:⎝⎛⎭⎪⎫k π2,0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π-π2,2k π+π2](k ∈Z); 单调减区间[2k π+π2,2k π+3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π-π,2k π]( k ∈Z);单调增区间 (k π-π2,k π+π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3. y =A sin(ωx +φ)的图象及性质(1)五点作图法:五点的取法:设X =ωx +φ,X 取0,π2,π,3π2,2π时求相应的x值、y 值,再描点作图.(2)给出图象求函数表达式的题目,比较难求的是φ,一般是从“五点法”中的第一点(-φω,0)作为突破口. (3)图象变换y =sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y =sin(x +φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y =A sin(ωx +φ).1. (2013·江西)函数y =sin 2x +23sin 2x 的最小正周期T 为________.答案 π解析 y =sin 2x +3(1-cos 2x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+3, ∴T =π.2. (2013·山东)将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C .0D .-π4答案 B解析 把函数y =sin(2x +φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y =sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +φ2+π8=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +φ+π4为偶函数,则φ=π4.3. (2013·四川)函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A .2,-π3B .2,-π6C .4,-π6D .4,π3答案 A解析 34T =5π12-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,T =π,∴ω=2,∴2×5π12+φ=2k π+π2,k ∈Z ,∴φ=2k π-π3,k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴φ=-π3,选A. 4. (2012·课标全国)已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12D .(0,2]答案 A解析 取ω=54,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x +π4,其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,排除B ,C. 取ω=2,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4, 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z , 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,排除D. 5. (2011·安徽)已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数.f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π3,k π+π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π2,k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ,有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知,当x =π6时f (x )取最值,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+φ=±1,∴π3+φ=±π2+2k π(k ∈Z ), ∴φ=π6+2k π或φ=-5π6+2k π(k ∈Z ),又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),∴sin(π+φ)>sin(2π+φ), ∴-sin φ>sin φ,∴sin φ<0.∴φ取-5π6+2k π(k ∈Z ).不妨取φ=-5π6,则f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -5π6. 令-π2+2k π≤2x -5π6≤π2+2k π(k ∈Z ),∴π3+2k π≤2x ≤4π3+2k π(k ∈Z ), ∴π6+k π≤x ≤2π3+k π(k ∈Z ). ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6+k π,2π3+k π(k ∈Z ).题型一 三角函数的概念问题例1 如图,以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π),它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ,已知点P 的坐标为(-35,45).(1)求sin 2α+cos 2α+11+tan α的值;(2)若OP →·OQ →=0,求sin(α+β).审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α,cos α,代入求三角函数式子的值;(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β,cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α=-35,sin α=45,∴原式=2sin αcos α+2cos 2α1+sin αcos α=2cos αsin α+cos αsin α+cos αcos α=2cos 2α=2×(-35)2=1825.(2)∵OP →·OQ →=0,∴α-β=π2,∴β=α-π2,∴sin β=sin(α-π2)=-cos α=35,cos β=cos(α-π2)=sin α=45.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=45×45+(-35)×35=725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据,如果已知角终边上的点,则利用三角函数的定义,可求该角的正弦、余弦、正切值.(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式、注意公式应用的条件.变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x上,则cos 2θ等于( )A .-45B .-35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ=2,∴cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35.(2)已知角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边上一点P (-4,3),则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αsin -π-αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2-αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2+α的值为________.答案 -34解析 原式=-sin α·sin α-sin α·cos α=tan α.根据三角函数的定义,得tan α=y x =-34,所以原式=-34.题型二 函数y =A sin(ωx +φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)设0<x <π,且方程f (x )=m 有两个不同的实数根,求实数m 的取值范围以及这两个根的和.审题破题 (1)先由函数图象确定A ,ω,再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,2求φ;(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题,再利用数形结合法求解.解 (1)由图象知:A =2,34T =11π12-π6=3π4,则T =π,所以ω=2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,2, 所以2×π6+φ=π2,即φ=π6.所以所求的函数的解析式为f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6. (2)在同一坐标系中画出y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6和y =m (m ∈R )的图象,如图所示,由图可知,-2<m <1或1<m <2时,直线y =m 与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,故m 的取值范围为-2<m <1或1<m <2.当-2<m <1时,两根之和为4π3; 当1<m <2时,两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最大、最小值求出A ,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点,或者搞清点的对应关系);(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当-2<m <1或1<m <2时,直线y =m 与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,利用图象的对称性便可求出两根之和. 变式训练2 已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为( )A .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π4B .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +3π4C .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π4D .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -3π4答案 B解析 由图象可知A =2,T 2=3π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2=2π,即T =4π.又T =2πω=4π,所以ω=12,所以函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2+φ=2,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4+φ=1,即-π4+φ=π2+2k π,k ∈Z ,即φ=3π4+2k π,k ∈Z ,因为-π<φ<π,所以φ=3π4,所以函数为f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +3π4,选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )=4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π3+3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式;(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx +φ)的形式,然后求三角函数的最值.解 (1)f (x )=4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3-sin ωx sin π3+ 3=2sin ωx cos ωx -23sin 2ωx + 3=sin 2ωx +3cos 2ωx=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx +π3. ∵T =2π2ω=π,∴ω=1.∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3. (2)∵-π4≤x ≤π6,∴-π6≤2x +π3≤2π3,∴-12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3≤1,即-1≤f (x )≤2, 当2x +π3=-π6,即x =-π4时,f (x )min =-1,当2x +π3=π2,即x =π12时,f (x )max =2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函数式,尽量化为y =A sin(ωx +φ)+B 的形式,然后再求解. (2)对于y =a sin ωx +b cos ωx 型的三角函数,要通过引入辅助角化为y =a 2+b 2sin(ωx +φ)(cos φ=a a 2+b2,sin φ=ba 2+b 2)的形式来求.(3)讨论y =A sin(ωx +φ)+B ,可以利用换元思想设t =ωx +φ,转化成函数y =A sint +B 结合函数的图象解决.变式训练3 (1)函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6-2x (x ∈[0,π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π 答案 C解析 因为y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-2x =-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,由π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π,k∈Z ,解得π3+k π≤x ≤5π6+k π,k ∈Z ,即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3+k π,5π6+k π(k ∈Z ),所以当k =0时,增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,5π6,选C.(2)设函数f (x )=3cos(2x +φ)+sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2,且其图象关于直线x =0对称,则( )A .y =f (x )的最小正周期为π,且在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上为增函数B .y =f (x )的最小正周期为π,且在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上为减函数C .y =f (x )的最小正周期为π2,且在⎝⎛⎭⎪⎫0,π4上为增函数D .y =f (x )的最小正周期为π2,且在⎝⎛⎭⎪⎫0,π4上为减函数答案 B解析 f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3+φ,其图象关于直线x =0对称,∴f (0)=±2,∴π3+φ=k π+π2,k ∈Z .∴φ=k π+π6,又|φ|<π2,∴φ=π6.∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2=2cos 2x . ∴y =f (x )的最小正周期为π,且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上为减函数.题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )=sin ωx ·cos ωx +3cos 2ωx -32(ω>0),直线x =x 1,x =x 2是y =f (x )图象的任意两条对称轴,且|x 1-x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式;(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,若关于x 的方程g (x )+k =0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期,然后可求ω,即可得f (x )的表达式;(2)根据图象平移求出g (x ),然后利用换元法并结合图形求解.解 (1)f (x )=12sin 2ωx +31+cos 2ωx 2-32=12sin 2ωx +32cos 2ωx =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx +π3, 由题意知,最小正周期T =2×π4=π2,T =2π2ω=πω=π2,所以ω=2, 所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后,得到y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x -π6的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6的图象. 所以g (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6. 令2x -π6=t ,∵0≤x ≤π2,∴-π6≤t ≤5π6.g (x )+k =0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个实数解,即函数g (x )=sin t 与y =-k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图象可知-12≤-k <12或-k =1.所以-12<k ≤12或k =-1.反思归纳 确定函数y =g (x )的解析式后,本题解法中利用两个数学思想:整体思想(设t =2x -π6,将2x -π6视为一个整体).数形结合思想,将问题转化为g (x )=sin t 与y=-k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围.互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下,求函数y =g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的单调区间.解 g (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6.令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π6≤x ≤k π+π3,k ∈Z .又0≤x ≤π2,∴函数y =g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3.令2k π+π2≤2x -π6≤2k π+32π,k ∈Z ,得k π+π3≤x ≤k π+56π,k ∈Z .又0≤x ≤π2,∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3(x ∈R )的图象为C ,以下结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x =11π12对称;②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,0对称;③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,5π12内是增函数; ④由y =sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x =11π12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12-π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6-π3=sin 3π2=-1,为最小值,所以图象C 关于直线x =11π12对称,所以①正确;当x =2π3时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3-π3=sin π=0,图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,0对称,所以②正确;当-π12≤x≤5π12时,-π2≤2x -π3≤π2,此时函数单调递增,所以③正确;y =sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度,得到y =sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2π3,所以④错误,所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )=12sin 2x sin φ+cos 2x cos φ-12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+φ(0<φ<π),其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,12.(1)求φ的值;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4上的最大值和最小值.规范解答解 (1)f (x )=12sin 2x sin φ+cos 2x +12cos φ-12cos φ=12(sin 2x sin φ+cos 2x cos φ) =12cos(2x -φ). [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,12, ∴12=12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-φ,cos(π3-φ)=1. 由0<φ<π知φ=π3.[5分](2)由(1)知f (x )=12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到g (x )=12cos(4x -π3).[9分]∵0≤x ≤π4,∴-π3≤4x -π3≤2π3.当4x -π3=0,即x =π12时,g (x )有最大值12;当4x -π3=2π3,即x =π4时,g (x )有最小值-14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,12代入解析式给1分;从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-φ=1,由0<φ<π,得φ=π3得1分;(2)4x -π3范围计算正确,没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分. 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时,一般先将函数解析式化为f (x )=A sin(ωx +φ)或f (x )=A cos(ωx +φ)的形式,然后在此基础上把ωx +φ看作一个整体,结合题目要求进行求解.(2)解决图象变换问题时,要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小,避免出现错误.1. (2013·江苏)函数y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω=2,T =2π|ω|=π.2. (2013·湖北)将函数y =3cos x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y =3cos x +sin x =2sin(x +π3)向左平移m 个单位长度后得到y =2sin(x +π3+m ),它关于y 轴对称可得sin(π3+m )=±1,∴π3+m =k π+π2,k ∈Z , ∴m =k π+π6,k ∈Z ,∵m >0,∴m 的最小值为π6.3. 若点P (3,y )是角α终边上的一点,且满足y <0,cos α=35,则tan α等于( )A .-34B.34C.43D .-43答案 D 解析 cos α=39+y 2=35,∴y 2=16. ∵y <0,∴y =-4,∴tan α=-43.4. 设函数y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3(x ∈R ),则f (x )( )A .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π,-π2上是减函数 B .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,7π6上是增函数C .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8,π4上是增函数D .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时,2π3+π3≤x +π3≤7π6+π3,即π≤x +π3≤3π2,此时函数y=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3单调递减,所以y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,7π6上是增函数,选B.5. 已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T =2⎝⎛⎭⎪⎫5π4-π4=2π,∴2π=2πω,即ω=1,∴f (x )=sin(x +φ),∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+φ=±1, ∵0<φ<π,∴π4<φ+π4<5π4,∴φ+π4=π2,∴φ=π4.6. 函数f (x )=A sin(ωx +φ)(其中A >0,|φ|<π2)的图象如图所示,为了得到g (x )=sin3x 的图象,则只要将f (x )的图象( )A .向右平移π4个单位长度B .向右平移π12个单位长度C .向左平移π4个单位长度D .向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意,得函数f (x )的周期T =4⎝⎛⎭⎪⎫5π12-π4=2π3,ω=3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12+φ=-1,又|φ|<π2,所以φ=π4,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π4=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π12,所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )=sin 3x 的图象.专题限时规范训练一、选择题1. 已知sin θ=k -1,cos θ=4-3k ,且θ是第二象限角,则k 应满足的条件是( )A .k >43B .k =1C .k =85D .k >1答案 C解析 根据已知(k -1)2+(4-3k )2=1,即5k 2-13k +8=0,解得k =1或k =85,由于sin θ>0,cos θ<0,所以k >43,可得k =85.2. 设tan α=33,π<α<3π2,则sin α-cos α的值为( )A .-12+32B .-12-32C.12+32D.12-32答案 A解析 由tan α=33,π<α<3π2,不妨在角α的终边上取点P (-3,-3),则|OP |=23,于是由定义可得sin α=-12,cos α=-32,所以sin α-cos α=-12+32,故选A. 3. 函数y =log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π4时的值域为( ) A .[-1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-12 C .[0,1)D .[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π4,得12≤sin x ≤22, ∴-1≤log 2sin x ≤-12.4. 设函数y =3sin(2x +φ) (0<φ<π,x ∈R )的图象关于直线x =π3对称,则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知,2×π3+φ=k π+π2(k ∈Z ),所以φ=k π-π6(k ∈Z ),又0<φ<π,故当k =1时,φ=5π6,选D.5. 将函数f (x )=-4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象向右平移φ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x =π4对称,则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y =f (x )⇒y =-4sin[2(x -φ)+π4]=-4sin[2x -(2φ-π4)]⇒y =g (x )=-4sin[4x -(2φ-π4)],因为所得图象关于直线x =π4对称,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=±4, 得φ=k 2π+38π(k ∈Z ),故选B.6. 已知函数f (x )=A tan(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2),y =f (x )的部分图象如图所示,则f (π24)等于( )A .- 3B .-1 C. 3D .1答案 C解析 由图形知,T =πω=2(3π8-π8)=π2,ω=2.由2×3π8+φ=k π,k ∈Z ,得φ=k π-3π4,k ∈Z .又∵|φ|<π2,∴φ=π4.由A tan(2×0+π4)=1,知A =1,∴f (x )=tan(2x +π4),∴f (π24)=tan(2×π24+π4)=tan π3= 3.7. (2012·课标全国)设函数f (x )=cos ωx (ω>0),将y =f (x )的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )A.13B .3C .6D .9答案 C解析 由题意可知,nT =π3(n ∈N *),∴n ·2πω=π3(n ∈N *),∴ω=6n (n ∈N *),∴当n =1时,ω取得最小值6.8. 已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),y =f (x )的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π,则f (x )的单调递增区间是( )A .[k π-π12,k π+5π12],k ∈ZB .[k π+5π12,k π+11π12],k ∈ZC .[k π-π3,k π+π6],k ∈ZD .[k π+π6,k π+2π3],k ∈Z答案 C解析 f (x )=3sin ωx +cos ωx =2sin (ωx +π6)(ω>0).∵f (x )的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π,恰好是f (x )的一个周期,∴2πω=π,ω=2.∴f (x )=2sin (2x +π6).故其单调增区间应满足2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2(k ∈Z ).解得k π-π3≤x ≤k π+π6(k ∈Z ).二、填空题9. 函数f (x )=3cos 25x +sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________.答案 5π2解析 f (x )=3cos 25x +sin 25x =2sin(25x +π3),∴周期为T =2π25=5π,则相邻的对称轴间的距离为T 2=5π2.10.将函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向左平移π3个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω、φ的值分别为________.答案 2、-π3解析 由图可知T 4=7π12-π3=π4,∴T =π,∴ω=2.把(7π12,-1)代入y =sin (2(x +π3)+φ)得sin (7π6+2π3+φ)=-1,∴11π6+φ=2k π+3π2(k ∈Z ),φ=2k π-π3(k ∈Z ),∵|φ|<π2,∴φ=-π3.11.已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π6 (ω>0)和g (x )=2cos(2x +φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,则f (x )的取值范围是__________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同,∴二者的周期相同,即ω=2,f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1, ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3. 12.关于函数f (x )=sin 2x -cos 2x 有下列命题:①y =f (x )的周期为π;②x =π4是y =f (x )的一条对称轴;③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8,0是y =f (x )的一个对称中心;④将y =f (x )的图象向左平移π4个单位,可得到y =2sin 2x 的图象,其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上). 答案 ①③解析 由f (x )=sin 2x -cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4, 得T =2π2=π,故①对;f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=2sin π4≠±2,故②错; f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2sin 0=0,故③对; y =f (x )的图象向左平移π4个单位,得y =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4, 故④错.故填①③. 三、解答题13.(2013·湖南)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6+cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3,g (x )=2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角,且f (α)=335,求g (α)的值;(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合.解 f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3=32sin x -12cos x +12cos x +32sin x =3sin x ,g (x )=2sin 2x2=1-cos x .(1)由f (α)=335,得sin α=35,又α是第一象限角,所以cos α>0.从而g (α)=1-cos α=1-1-sin 2α=1-45=15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1-cos x ,即3sin x +cos x ≥1,于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6≥12.从而2k π+π6≤x +π6≤2k π+5π6,k ∈Z ,即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z }.14.已知函数f (x )=3sin ωx cos ωx +cos 2ωx -12(ω>0),其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式;(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y =g (x )的图象,若关于x 的方程g (x )+k =0,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.解 (1)f (x )=3sin ωx cos ωx +cos 2ωx -12=32sin 2ωx +cos 2ωx +12-12=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx +π6. 由题意知f (x )的最小正周期T =π2,T =2π2ω=πω=π2,所以ω=2,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后,得到y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x -π3的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象. 所以g (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3. 因为0≤x ≤π2,所以-π3≤2x -π3≤2π3.g (x )+k =0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个实数解,即函数y =g (x )与y =-k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个交点, 由正弦函数的图象可知-32≤-k <32或-k =1. 所以-32<k ≤32或k =-1.。
高考文科数学题型复习《函数模型及其应用》真题汇总含答案

高考文科数学题型复习《函数模型及其应用》真题汇总含答案1.(2019·北京·文·第14题)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当10x =时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 .【答案】①130;②15.【解析】①当10x =时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,可得6080140+=(元),即有顾客需要支付14010130-=(元);②在促销活动中,设订单总金额为m 元,可得()80%70%m x m -⨯⨯,即有8m x ,由题意可得120m ,可得120158x =,则x 的最大值为15元. 2.(2014高考数学湖北文科·第16题)某项研究表明,在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为l v v v F 2018760002++=(1)如果不限定车型,05.6=l,则最大车流量为_______辆/小时; (2)如果限定车型,5=l ,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时.【答案】(1)1900 (2)100解析:(1)依题意知,l >0,v >0,所以当l =6.05时,F =76000v v 2+18v +121=76000v +121v +18≤760002v ·121v+18=1900,当且仅当v =11时,取等号. (2)当l =5时,F =76000v v 2+18v +100=76000v +100v+18≤2000, 当且仅当v =10时,取等号,此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.。
(完整版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)

函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,当a>0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法:③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.转化成型如:)0(>+=k xkx y ,利用平均值不等式公式来求值域;⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. (7)求函数解析式的题型有:1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法;3)已知函数图像,求函数解析式;4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减. (2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.1 (4)证明函数单调性的一般方法:①定义法:设2121,x x A x x <∈且;作差)()(21x f x f -,判断正负号②用导数证明: 若)(x f 在某个区间A 内有导数,则()0f x ≥’,)x A ∈(⇔)(x f 在A 内为增函数;⇔∈≤)0)(A x x f ,(’)(x f 在A 内为减函数 (5)求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法(6)复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性:①若f 与g 的单调性相同,则[])(x g f 为增函数;②若f 与g 的单调性相反,则[])(x g f 为减函数注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集(7)一些有用的结论:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x bax y 在,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增;在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或,上是单调递减【1.3.2】奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =.()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±- 函数周期性定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立,则f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(-x);③y=f(x) ax =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x) xy =→直线y=f -1(x);⑤y=f(x) 原点→y= -f(-x)(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次当n 是偶数时,正数a 的正的n负的n次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当n 为奇数时,a =;当n 为偶数时,(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是:1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y fx -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;③将1()x fy -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q py x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a-+∞上递增,当2bx a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上)①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a ->,则()m f q = ①若02b x a -≤,则()M f q = ②02bx a ->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2bp a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2bq a ->,则()M f q =①若02bx a -≤,则()m f q = ②02bx a ->,则()m f =.>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x >O -=f(p)f (q) ()2bf a -x>O -=f(p)f (q) ()2bf a -0x x >O -=f (p) f (q) ()2b f a -0x x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -x <O -=f (p) f(q) ()2bf a -x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -0xx <O -=f(p) f (q)()2bf a -x<O-=f(p) f (q)()2bfa -0x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2021年高考数学分项汇编 专题02 函数(含解析)文

2021年高考数学分项汇编专题02 函数(含解析)文1. 【xx高考重庆文第3题】若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的取值范围是()A.B.C.D.(-2,2)【答案】D考点:函数图像;函数的奇偶性,单调性.2. 【xx高考重庆文第5题】不等式组的解集为()A.B.C.D.【答案】C考点:对数不等式;绝对值不等式.3. 【xx高考重庆文第9题】若动点在曲线上变化,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】考点:1配方法求最值;2换元法.4. 【xx高考重庆文第10题】设P(3,1)为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点,则(A)(B)(C)(D)【答案】C5. 【xx高考重庆文第6题】函数的反函数是(A) (B)(x>)(C) (<x≤ (D) (<x≤【答案】D6. 【xx高考重庆文第12题】函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是(A)[-] (B)[-] (C)[-] (D)[-]7. 【xx 高考重庆文第10题】把函数的图像向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度后得到图像.若对任意的,曲线与至多只有一个交点,则的最小值为( ) A .B .C .D .【答案】B考点:图像平移;转化思想.8. 【xx 高考重庆文第4题】函数的值域是 (A ) (B ) (C )(D ) 【答案】C考点:函数的值域.9. 【2011高考重庆文第6题】设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是A.B.C.D.【答案】B10. 【xx高考重庆文第7题】已知,,则a,b,c的大小关系是(A)(B)(C)(D)【答案】B考点:对数函数运算.11. 【xx高考重庆文第10题】设函数集合则为(A)(B)(0,1)(C)(-1,1)(D)【答案】D考点:函数的值域;集合的运算.12. 【xx高考重庆文第3题】函数的定义域是( ).A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)【答案】C考点:函数的定义域.13. 【xx 高考重庆文第9题】已知函数f (x )=ax 3+b sin x +4(a ,b ∈R ),f (lg(log 210))=5,则f (lg(lg 2))=( ).A .-5B .-1C .3D .4 【答案】C考点:函数的奇偶性.14. 【xx 高考重庆文第4题】下列函数为偶函数的是( ) 【答案】D考点:函数奇偶性的判断.15. 【xx 高考重庆文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在(内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:4321123456642246考点:1、分段函数;2、函数的零点;3、数形结合的思想.16. 【xx高考重庆文第6题】设函数y=f(x)的反函数为x=f-1(x),且y=f(2x-1)的图象过点(,1),则y=f--1(x)的图象必过点( )(A)(,1)(B)(1,)(C)(1,0)(D)(0,1)【答案】C17. 【xx高考重庆文第15题】设a>0,a≠1,函数f(x)=log a(x2-2x+3)有最小值,则不等式log a(x -1)>0的解集为____________.【答案】18. 【xx高考重庆文第16题】函数的最小值为。
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函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,当a>0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法:③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.转化成型如:)0(>+=k xkx y ,利用平均值不等式公式来求值域;⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. (7)求函数解析式的题型有:1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法;3)已知函数图像,求函数解析式;4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数,分别在[、上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.1 (4)证明函数单调性的一般方法:①定义法:设2121,x x A x x <∈且;作差)()(21x f x f -,判断正负号②用导数证明: 若)(x f 在某个区间A 内有导数,则()0f x ≥’,)x A ∈(⇔)(x f 在A 内为增函数;⇔∈≤)0)(A x x f ,(’)(x f 在A 内为减函数 (5)求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法(6)复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性:①若f 与g 的单调性相同,则[])(x g f 为增函数;②若f 与g 的单调性相反,则[])(x g f 为减函数(7)一些有用的结论:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x bax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭或上单调递增;在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减【1.3.2】奇偶性②若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =.()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±- 函数周期性定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立,则f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①y=f(x) 轴x →y=f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(x);③y=f(x)ax =→直线y=f(2a x); ④y=f(x)xy =→直线y=f 1(x);⑤y=f(x) 原点→y= f(x)(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当n 为奇数时,a =;当n 为偶数时,(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是:1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(6)设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y fx -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=;③将1()x fy -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义(2(3①一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a-+∞上递增,当2bx a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a=- ③若2bq a ->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②0b x ->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a=- ③若2bq a ->,则()M f q =①若02x a -≤,则()m f q = ②02x a ->,则(m f =xxxxxfxfxfxx第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
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函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[(y f g =(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数(f x max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称) 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当n 为奇数时,a =;当n 为偶数时,(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是:1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y fx -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=;③将1()x fy -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义y x =叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a-+∞上递增,当2bx a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a=- ③若2bq a ->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②0b x ->,则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a=- ③若2bq a ->,则()M f q =①若02x a -≤,则()m f q =②02x a ->,则(m f =xxxx x(q)0x xfxfxfxxx第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。