微专题11 与平面向量相关的最值问题

微专题11 与平面向量相关的最值问题

与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出现．解决此

类问题需要先根据题中的向量关系得出未知元之间的关系式，再求出目标的最值．本专题主要研究平面向量线性表示背景下的最值问题，并在解决问题的过程中体会数学思想方法的灵活运用.

例题：如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC →＝xOA →＋yOB →

(x ，y ∈R ) ，求x ＋4y 的取值范围．

变式1设点A ，B ，C 为单位圆上不同的三点，若∠ABC ＝π4，OB →＝mOA →＋nOC →

(m ，n ∈R )，则m ＋n 的

最小值为________________．

变式2如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC →＝λDE →＋μAP →

(λ，μ∈R )，求λ＋μ的最小值．

串讲1已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP

→

＋13

AC →，则|BQ →

|的最小值为________________．

串讲2已知三角形ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ，AC 于M ，N 两点，设AM →

＝xAB →，AN →＝yAC →

(xy ≠0)，求4x ＋y 的最小值．

(2017·新课标Ⅲ卷)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP →＝λAB →＋μAD →

，求λ＋μ的最大值．

(2018·洛阳三模)在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →

，过点P 的直线与AB ，AC 所以直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →

(m ＞0，n ＞0)，求m ＋2n 的最小值． 答案：3.

解析：因为BP →＝2PC →，所以，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23(AC →－AB →

)＝13AB →＋23AC →，4分

又因为AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AP →

＝13m AM →＋23n AN →，7分

由于M ，P ，N 三点共线，所以13m ＋2

3n

＝1，9分

所以m ＋2n ＝13(m ＋2n))21(n m +＝1

3)2241(n

m m n +++≥13)2225(n m m n +＝3，12分 当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，所以m ＋2n 的最小值为3.14分