《平行关系的性质》教学课件【高中数学必修2(北师大版)】

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高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT

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由此易知三者之间可以任意转化.另一种转化就是空间问题平 面化,辅助面在转化空间问题为平面问题中有着重要作用.
3.有关线面、面面平行的判定与性质,可按下面的口诀去记忆 空间之中两直线,平行相交和异面. 线线平行同方向,等角定理进空间. 判断线和面平行,面中找条平行线; 已知线和面平行,过线作面找交线. 要证面和面平行,面中找出两交线. 线面平行若成立,面面平行不用看. 已知面与面平行,线面平行是必然. 若与三面都相交,则得两条平行线.
∵M,N,K 分别为 AE,CD1,CD 的中点,
∴MK∥AD,NK∥DD1. 又∵MK 平面 ADD1A1,NK AD,DD1 平面 ADD1A1,
平面 ADD1A1,
∴MK∥平面 ADD1A1,NK∥平面 ADD1A1, 又 MK∩NK=K,∴平面 MNK∥平面 ADD1A1. 又 MN 平面 MNK,MN 平面 ADD1A1, ∴MN∥平面 ADD1A1.
规律方法 以符号语言为载体考查位置关系问题的判断题,是 高考选择题考查立体几何的主要形式,要熟悉相关定理是前提, 全面分析问题是关键,合理应用模型及排除法是常用方法.
【变式 1】 两个相交平面分别过两条平行直线中的一条,则它 们的交线和这两条平行直线是什么位置关系?试说明理由. 解 平行. 如右图,已知 a α,b β,a∥b,α∩β=l. 因为 a α,b⃘α,且 a∥b,所以 b∥α.
【解题流程】 α∥β → AB∥A′B′,BC∥B′C′,AC∥A′C′
→ 线段成比例 → S△A′B′C′ [规范解答] 相交直线 AA′、BB′所在平面和两平行平面 α、β 分 别相交于 AB、A′B′, 由面面平行的性质定理可得,AB∥A′B′.(2 分) 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面 α、β 分别相交 于 BC、B′C′,从而 BC∥B′C′. 同理易证 AC∥A′C′.(4 分)

北师大版高中数学必修2课件:1.5.2 平行关系的性质(2)PPT课件

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日期:
演讲者:蒝味的薇笑巨蟹
γ
a
b
α
β
例题讲解
例1、求证: 夹在两个平行平面间的
平行线段相等.
如 图 ,//,A B//C D , A
D
且A,C,
B ,D .
求 证 : A B C D B
C
例题讲解
证 明 : 因 为 AB//CD ,
所 以 过 A B , C D 可 作 平 面 ,
且 平 面 与 平 面 和 分 别 相 交 于 A C 和 B D .
(A) 0 (B) 1 (√C) 0或1 (D) 1或2
2. 平面M∥平面N,直线a M,直线b N,
下面四种情形: (1)a ∥ b (2)a ⊥ b (3)a与b异面 (4)a与b相交
其中可能出现的情形有 ( )
(A)1种 (B) 2种 (√C)3种 (D)4种
例题讲解
例2、如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 、
在 B C A 中 , N M //A C , N M //平 面
平 面 //平 面
NM/
平 面 P N M //平 面 直 线 M P//平 面 .
课堂小结
1. 复习了平面与平面平行的 概念及判定;
2. 学习并掌握平面与平面平 行的性质.
1.5.2 平行关系(2)
问题引入 1、什么叫两平面平行?
2、两平面平行的判定定理? 如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面,那么这两个平面平行. 3、推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别平 行于另一个平面内的两条直线,那么这两个 平面平行.

2019-2020学年北师大版必修二 平行关系的性质 课件(14张)

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3.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题是否正确: (1)若m//α, n//α, 则m//n;
(2)若m//α, m//n, 则n//α;
(3)若m//α, 则m平行α内所有直线; (4)若m平行于α内无数条直线, 则m//α .
4.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线
a
b
a //,a , b a // b.
线面平行则线线平行
3.应 用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. (1)要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面AC是什么位置关系?
解:(1)在面A1C内,过点P画直线EF, D1
使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1于点E、
思考:若DE=6, EF=2, BC=3. 则AB=__9______.
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗?为什么?
2.如果直线a//直线 b , 且a//α , 那么b与α的位置关系是( D )
A. 相交 B. b//a C. b D. b//a 或 b
证明:
a a
a
// a b a // b
b b b
b a
另证:
// b //
b
b
b
a // b
a
2.抽象概括: 平面与平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们 的交线平行.
//
a
a // b
b
a
a
b
b
a //,a , b a // b
a //,a , b a // b
a
证明:

高中数学北师大版必修二 1.5.2平行关系的性质 课件(36张)

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目标导航
预习引导
预习交流 3
若平面 α∥平面 β,直线 a⫋α,那么 a 与 β 的位置关系是怎样的? 提示:a∥β.由于 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,而 a⫋α,所以 a 与 β 也没有公共点.故必有 a∥β.由此可得到证明线面平行的一种新方法,即 转化为面面平行.
预习交流 4
若平面 α∥平面 β,直线 a⫋α,直线 b⫋β,那么 a 与 b 的位置关系是怎 样的? 提示:直线 a 与 b 可能平行,也可能异面,但不可能相交.
问题导学
当堂检测
证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点.又 M 是 PC 的中点, ∴ AP∥OM. 又 OM⫋平面 BMD,AP⊈ 平面 BMD,∴ AP∥平面 BMD. ∵ 平面 PAHG∩平面 BMD=GH,AP⫋平面 PAHG, ∴ AP∥GH.
(1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长.
问题导学
当堂检测
思路分析:由 PB 与 PD 相交于点 P 可知 PB,PD 确定一个平面,结合 α∥β,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,这样就转化为平 面问题.
问题导学
当堂检测
(1)证明:∵ PB∩PD=P, ∴ 直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又 α∥β,∴ AC∥BD. (2)解:由(1)得 AC∥BD,∴ ∴=
目标导航
预习引导
2.平面和平面平行的性质定理 (1)文字叙述: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)符号表示: ������ ∥ ������ ������⋂������ = a ⇒ a∥b. ������⋂������ = b (3)图形表示:

北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的性质课件(数学北师大必修二)

北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的性质课件(数学北师大必修二)
( )
⑹ 若 a ∥ , a ∥ ,则 ∥ .
二、知识应用: 题型二 线面平行的性质应用
例 2. 一木块如图所示,棱 BC 平行于面 A' C' .⑴ 要经过面 A' C' 内的 一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线?⑵ 所画的线与平 面 AC 是什么位置关系?
D’
解:⑴ 过 p 画一条直线与 B C 平行,即可; (2) l∥ B C , B C ∥面 AC,则 l 平行于面 AC.
第五节·平行关系
5.2 平行关系的性质
一、新课讲授:
1.直线和平面平行的性质
文字语言:直线和平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
图形语言:
符号语言: a / / , a ,
= b a / /b .
一、新课讲授:
2. 两平面平行的性质
c ,∴a∥c.
∵ a∥b,∴b∥c.∵ b , c ,∴ b ∥ .
二、知识应用: 题型三 面面平行的性质应用
C
例 4. 已知两条异面直线 AB , CD 与三个平行平面 , , 分别相交于 A, E , B 及 C , F , D .又 AD , BC 与平面的交点为 H , G . A EHFG 求证:四边形 为平行四边形.
⑴ 文字语言:两平面平行,则其中一平面内的任一条直线都 平行于另一平面.
图形语言:

a

符号语言:若 // , a ,则 a // .
一、新课讲授:
2. 两平面平行的性质
⑵ 文字语言:平面和平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个 平面相交,那么它们的交线平行. 图形语言:

2017-2018学年高中数学北师大版必修2课件:1.5.2平行关系的性质

2017-2018学年高中数学北师大版必修2课件:1.5.2平行关系的性质

【做一做】 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平 面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是 .
答案:平行
2.平面与平面平行的性质定理
题型一
题型二
题型三
题型一
线面平行性质的应用
【例1】 已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β. 求证:a∥l. 分析:先利用线面平行的性质将线面平行转化为线线平行,再利 用平行公理证明. 证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b. ∵a∥α,∴a∥b. 过a作平面δ交平面β于c. ∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c. 又b⊈β,c⫋β,∴b∥β. 又b⫋α,α∩β=l,∴b∥l,∴a∥l.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 例2中若点P在α与β之间,在第(2)问的条件下,求 PD的长.
解:仿照例 2 易证得 AC∥BD, ∴ ������������ = ������������ , ������������ + ������������ ������������ + ������������ 即 = . ������������ ������������ 5 ������������ +3 3 ∴ = , 解得PD= .
1
2
3
4
5
2.如图所示是长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为 截面,则四边形EFGH的形状为 .
答案:平行四边形
1
2
3
4
5
3.如图所示,直线a∥平面α,点A和直线a分别在α的两侧,点B,C,D∈a. 线段AB,AC,AD分别交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则 EG= .
(1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. 分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β, 可使用面面平行的性质定理推出线线平行的关系,这样就转化为平 面问题.

最新北师大版高一数学必修2全册课件【完整版】

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最新北师大版高一数学必修2全 册课件【完整版】目录
0002页 0068页 0111页 0120页 0181页 0247页 0302页 0355页 0412页 0438页 0509页 0556页 0600页 0616页 0640页 0688页 0710页
第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.2平行关系的性质 6.垂直关系 6.2垂直关系的性质 7.简单几何体的面积和体积 7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 习题1—7 课题学习 正方体截面的形状 复习题一 1.直线与直线的方程
第一章 立体几何初步
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1.简单几何体
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1.1简单旋转体
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1.2简单多面体
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习题1—1
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1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)

1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)

PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN,∴ AB =AE,DC =BD, ∴PM綊QN,即四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE,PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE,
法二:如图,连接AQ,并延长交BC于 K,连接EK. ∵AE=BD,AP=DQ, AP DQ ∴PE=BQ,∴PE= BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK,∴BQ=QK. AP AQ 由①②得PE=QK,∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC,EK平面BEC,∴PQ∥平面BEC. ① ②
写出已知和求证,利用直线和平面平行的性质定理来证 明.
[精解详析] 已知a∥α,a∥β,α∩β=b.
求证:a∥b. 证明:过a作平面δ,δ∩β=c, ∵a∥β,∴a∥c. 过a作平面γ,
γ∩α=d,∵a∥α,∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα,c
α,∴c∥α.
又∵cβ,α∩β=b, ∴c∥b,又c∥a,∴a∥b.
则得BC∥l.
②利用线面平行,面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一:(1)证明:因为
BC∥AD,
BC
平面PAD,AD平面PAD,
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=
l,所以BC∥l.
(2)平行.取PD的中点E,连接AE,NE,可以 证得NE∥AM且NE=AM. 可知四边形AMNE为平行四边形. 所以MN∥AE,MN 平面APD,AE平面
4.若平面α∥平面β,直线aα,点B∈β,则在β内过 点B的所有直线中 ( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 解析:利用面面平行的性质可知,a和B确定一个平面,

2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §5 5.2 平行关系的性质课件PPT

2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §5 5.2 平行关系的性质课件PPT
又由于此平面唯一确定,∴只有一种方法,故选B.]
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2.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,
G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,
EH∥FG,则EH与BD的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
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A [∵EH∥FG,EH 平面BCD,FG 平面BCD, ∴EH∥平面BCD,∵EH 平面ABD, 平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD.]
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[解] 因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1,又EH 平 面BCC1B1,B1C1 平面BCC1B1,
所以EH∥平面BCC1B1. 又平面FGHE∩平面BCC1B1=FG, 所以EH∥FG,即FG∥A1D1. 又FG 平面ADD1A1,A1D1 平面ADD1A1, 所以FG∥平面ADD1A1.
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面面平行性质的应用 【例2】 如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点 (不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B 和C,D.
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(1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求PD的长. [思路探究] 由PB与PD相交于点P,可知PB,PD确定一个平 面,结合α∥β,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,这 样就转化为平面问题.
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2.面面平行的性质定理 文字语言
如果两个平行平面同时 与第三个平面相交,那么 它们的 交线 平行
符号语言
图形语言
α∥β,
γ∩α=a

,⇒a∥b
γ∩β=b

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思考2:若平面α∥平面β,直线a α,直线b β,直线a与平面β 有怎样的位置关系?直线a与直线b有怎样的位置关系?

北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的性质课件(北师大版)

北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的性质课件(北师大版)

【答案】 D
3.已知直线 a∥平面 α , 平面 α ∥平面 β , 则 a 与 β 的位置关系为________。
【解析】
若 a β ,则显然满足题目条件。
若 a⊆ / β ,过直线 a 作平面 γ ,γ ∩α =b,γ ∩β =c, 于是由直线 a∥平面 α 得 a∥b,由 α ∥β 得 b∥c, 所以 a∥c,又 a⊆ / β ,c β ,所以 a∥β 。
作业
1.已知 a,b 表示直线,α ,β ,γ 表示平面,下列推理正确的是( A.α ∩β =a,b α ⇒a∥b B.α ∩β =a,a∥b⇒b∥α 且 b∥β C.a∥β ,b∥β ,a α ,b α ⇒α ∥β D.α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b⇒a∥b
【解析】 由面面平行的性质定理知 D 正确。
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
平行关系的性质
探究新知
教材整理 1 直线与平面平行的性质定理 阅读教材 P32“练习”以下至 P33“例 4”以上部分,完成下列问题。 文字语言 如果一条直线与一个平面平行, 那么 过该直线的 与已知平面的 符号语言 图形语言
任意一个平面
交线 与该直线平行
【精彩点拨】 连接AC交BD于O,连接MO → MO是△PAC的中位线 →
PA∥MO → PA∥平面BMD → PA∥GH → GH∥平面PAD
【自主解答】 如图所示, 连接 AC 交 BD 于点 O, 连接 MO。
∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点, 又 M 是 PC 的中点, ∴PA∥MO,而 AP⊆ / 平面 BDM,OM ∴PA∥平面 BMD,又∵PA 平面 BDM,
)
【答案】 D

高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.5.1.1直线与平面平行的判定2

高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.5.1.1直线与平面平行的判定2

题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知四边形ABCD,ABEF都是正方
形,M∈AC,N∈BF,且AM=FN.求证:MN∥平面BCE.
证明:如图所示,作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点
Q,连接 PQ,
∴MP∥NQ.
∵AM=FN,
∴MP=
2

2
=
2

2
= .
∴MPNQ, ∴四边形 MNQP 为平行四边形.
面不平行 直线在
平面内
——有无数个公共点
直线在平面内
②按是否在平面内分类 直线不在 直线和平面相交
平面内 直线和平面平行
【做一做1】 若直线l在平面α外且直线l上所有的点到平面α的距
离都相等,则直线l与平面α的位置关系是
.
答案:l∥α
2.直线与平面平行的判定定理
直线与平面平行的判定定理告知我们,可以通过直线间的平行来
直线与
个公共点 P,我们称直线 a 与
平面相交
平面 α 交于点 P
a∩α=P
如果直线 a 与平面 α 没有公
直线与
共点,我们称直线 a 与平面 α
平面平行
平行
a∥α
名师点拨直线与平面的位置关系有两种分类方法:
直线和
——无公共点
平面平行
①按公共点个数分类
直线和
有且只有
——
直线和平 平面相交
一个公共点
证明直线与平面平行.通常我们将其记为“若线线平行,则线面平行”.
因此,对于线面平行的问题通常转化为线线平行的问题来解决.也
就是说,证明一条直线和一个平面平行,只要在这个平面内找到一

高中数学必修二《平行关系的性质》教学课件(北师大版)

高中数学必修二《平行关系的性质》教学课件(北师大版)

思考9:若 // ,直线l与平面α相交,那么直线l与平面β
的位置关系如何?
l
α
α
β
β
思考10:若 // ,平面α与平面γ相交,则平面β与平
面γ的位置关系如何?

思考11:若 // ,平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b,
那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

,那么直线a与平面α内的直线
有哪些位置关系?
a
a
α
α
思考2:若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直线a平行 的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

知识探究(二):直线与平面平行的性质定理
思考5:综上分析,在直线与平面平行的条件下可以得到什么 结论?并用文字语言表述之.
定理:如果一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行.

思考6:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理,该定 理用符号语言可怎样表述?
平行关系的性质
问题提出
1.直线与平面平行和平面与平面平行的判定定理是什么?
定理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直 线与此平面平行 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则 这两个平面平行.
2.直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理 解决了直线与平面平行和平面与平面平行的条件问题,反之, 在直线与平面平行和平面与平面平行的条件下,可以得到什 么结论呢?
求证:AB DE
BC EF
A
证明:连结BM、EM、BE.
∵β∥γ,平面ACF分别交β、
γ于BM、CF,∴BM∥CF.∴
AB AM BC MF
B
同理,

2015高中数学北师大版必修二课件:《平行关系的性质》

2015高中数学北师大版必修二课件:《平行关系的性质》
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴O 是 AC 的中点.
又 M 是 PC 的中点,
∴MO∥PA.
又 MO⊂平面 BDM,PA⊄平面 BDM,
∴PA∥平面 BDM.
又经过 PA 与点 G 的平面交平面 BDM 于 GH,
∴AP∥GH.
第十五页,编辑于星期五:十二点 八分。
...
导学固思
如图,直线 AC、DF 被三个平行平面 α、β、γ
...
导学固思
如图,足球门的上边框与地面平行,我们发现不管什么时刻,只要
有太阳光照射着上边框,上边框在阳光的照射下的影子总是与上边
框保持着平行,大家思考过是什么原因吗?
第三页,编辑于星期五:十二点 八分。
...
导学固思
问题1 我们可以用直线与平面平行的性质定理来解释上述问题,因为太阳离
地球很远,所以照射球门框的那一束光线可以看作是经过球门框的
D.有无数条,一定在 α 内
【解析】设直线 a 与点 P 确定的平面为 β,则 β 与 α 的交线
b 就是与直线 a 平行的直线.由 β 的唯一性知直线 b 也是唯一的.
2
若平面 α∥β,直线 a⊂α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有
直线中( D ).
A.不一定存在与 a 平行的直线
B.只有两条与 a 平行的直线
平面 ABC∩平面 PAB=AB,所以 DE∥AB,

所以在△PAB 中, =.
第八页,编辑于星期五:十二点 八分。
...
导学固思
线面平行的性质和判定的综合应用
底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为
AC 的中点.求证:AB1∥平面 C1BD.

高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT

高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT
证明:因为AB // CD,
• 单击此所处以编过辑A母B,版C文D本可样作式平面,
• 二级
且• 三平级面 与平面和分别相交于AC和BD.
• 四级
因为• 五/级/ ,所以BD // AC.
因此,四边形ABCD是平行四边形. 所以, AB CD.
8
单击此处编辑母版标题样式
两个平面平行的其它性质
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二为•级A三B级、CD 的中点,
A
C
求证• :四直级• 五线级MP // 平面 .
NPபைடு நூலகம்
M
B
D
11
单击此证明处: 连编接B辑C,母设其版中标点为题N,样式
连接MN,NP,MP • 单击此在处编B辑CD母中版,文NP本//样BD式,NP//平面
• 二•级三在级BCA中,NM//AC, NM//平面 • 平四级面 // 平面
2
单击此平处面编与辑平面母平版行的标性题质样式
• 单击此处若编辑母版//文本,样且式 a,则与 的位
• 二•级置三级关系如何?
• 四级
设• 五级 b,则直线a、b的位置关系如何? 为什么?
3
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性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平
• 单击此面处相编交辑,母那版么文它本们样式的交线平行.
• 三级
•B四组级• 五级第2、3题.
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1•.二5级.2 • 三级
谢谢大家 • 四级 • 五级
北师大版 高中数学
15
• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
γ
a
b
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法二:连接 CM,并延长交 AD 于 Q,连接 PQ,
由 AD∥BC,且 AM=BM,得 QM=CM, 又 PN=CN, 则 MN 是△CPQ 的中位线, 所以 MN∥PQ, 又 MN⊆/ 平面 PAD,PQ 平面 PAD, 则 MN∥平面 PAD。
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探究 2 上述问题中条件不变,试判断 MN 与平面 PAD 是否平行,并证明你的结论。
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·立体几何初步
平行关系的性质
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教材整理 1 直线与平面平行的性质定理
阅读教材 P32“练习”以下至 P33“例 4”以上部分,完成下列问题。
文字语言
符号语言
图形语言
如果一条直线与一个平面平行,那么
过该直线的 任意一个平面 与已知平面的 交线 与该直线平行
【精彩点拨】从图形上看,若我们能设法证
明 FG∥A1D1 即可证明 FG∥平面 ADD1A1。
随堂练习
因为 EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,EH⊆/ 平面 BCC1B1,B1C1 平面 BCC1B1, 所以 EH∥平面 BCC1B1。 又平面 FGHE∩平面 BCC1B1=FG, 所以 EH∥FG,即 FG∥A1D1。 又 FG⊆/ 平面 ADD1A1,A1D1 平面 ADD1A1, 所以 FG∥平面 ADD1A1。
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教材整理 2 面面平行的性质定理
阅读教材 P33“练习 1”以下至 P34“练习 2”以上部分,完成下列问题。
文字语言
符号语言
图形语言
如果 两个平行平面 同 时与第三个平面相交,那 么它们的 交线 平行
α∥β
γ∩α=a ⇒a∥b γ∩β=b
随堂练习
六棱柱的两底面为 α 和 β,且 A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,
【提示】 平行。取 PD 的中点 E,
连接 AE,NE, 可以证得 NE∥AM 且 NE=AM。 可知四边形 AMNE 为平行四边形, 所以 MN∥AE,MN⊆/ 平面 PAD,AE 平面 PAD, 所以 MN∥平面 PAD。
随堂练习
例 3 如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH, 求证:GH∥平面 PAD。
随堂练习
2.已知 α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直线 AB 与 CD 交于点 S,且 SA=8,SB=9, CD=34,求当 S 在 α,β 之间时 SC 的长。
【解】如图所示, ∵AB 与 CD 相交于 S, ∴AB,CD 可确定平面 γ,且 α∩γ=AC,β∩γ=BD。 SA SC ∵α∥β,∴AC∥BD,∴SB=SD, SA SC SC 8 ∴SA+SB=CD,即34=17,解得 SC=16。
这样就转化为平面问题。
随堂练习
【自主解答】 (1)证明:∵PB∩PD=P,
∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ,
则 α∩γ=AC,β∩γ=BD,
又 α∥β,∴AC∥BD。
PA PC (2)由(1),得 AC∥BD,∴AB=CD,
43
15
∴5=CD,∴CD= 4 (cm),
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∴PD=PC+CD= 4 (cm)。
随堂练习
例 2 如图,已知 α∥β,点 P 是平面 α,β 外的一点(不在 α 与 β 之间), 直线 PB,PD 分别与 α,β 相交于点 A,B 和 C,D。 (1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长。
【精彩点拨】由PB与PD相交于点P,可知PB,PD确定一个平面, 结合α∥β,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,
且 AD∥BC,则 AB 与 CD 的位置关系为

【解析】 ∵AD∥BC,∴A,B,C,D 共面, 设为 γ,由题意知,α∩γ=AB,β∩γ=CD,又 α∥β, ∴AB∥CD。
【答案】 平行
随堂练习
例 1 如图 1,在长方体 ABCD­A1B1C1D1 中,E,H 分别为棱 A1B1,D1C1 上 的点,且 EH∥A1D1,过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G, 求证:FG∥平面 ADD1A1。
【精彩点拨】
连接AC交BD于O,连接MO → MO是△PAC的中位线 → PA∥MO → PA∥平面BMD → PA∥GH → GH∥平面PAD
随堂练习
【自主解答】如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO。
∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点, 又 M 是 PC 的中点, ∴PA∥MO,而 AP⊆/ 平面 BDM,OM 平面 BDM, ∴PA∥平面 BMD,又∵PA 平面 PAHG, 平面 PAHG∩平面 BMD=GH,∴PA∥GH。 又 PA 平面 PAD,GH⊆/ 平面 PAD, ∴GH∥平面 PAD。a∥αaβ⇒a∥b
α∩β=b
随堂练习
如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上
的点,EH∥FG,则 EH 与 BD 的位置关系是( A )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
【解析】 ∵EH∥FG,EH⊆/ 平面 BCD,FG 平面 BCD, ∴EH∥平面 BCD,∵EH 平面 ABD, 平面 ABD∩平面 BCD=BD,∴EH∥BD
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探究 1 ▱ 如图所示,已知 P 是 ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点,
平面 PAD∩平面 PBC=l,直线 l 与直线 BC 平行吗?请说明理由。 【提示】 法一:平行。
因为 BC∥AD,BC⊆/ 平面 PAD,AD 平面 PAD, 所以 BC∥平面 PAD。 又因为 BC 平面 PBC, 平面 PBC∩平面 PAD=l, 所以 BC∥l。
随堂练习
1.如图所示,已知 AB∥平面 α,AC∥BD,且 AC,BD 与 α 分别相交于点 C,D。 (1)求证:AC=BD; (2)满足什么条件时,四边形 ABDC 为正方形?
随堂练习
【解】(1)证明:如图所示,连接 CD,
∵AC∥BD, ∴AC 与 BD 确定一个平面 β, 又∵AB∥α,AB β,α∩β=CD, ∴AB∥CD, ∴四边形 ABDC 是平行四边形, ∴AC=BD。 (2)由(1)知 ABDC 为平行四边形, 所以当 AB=AC 且 AB⊥AC 时,四边形 ABDC 为正方形。
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