导数与函数压轴题之双变量问题归纳总结教师版

导数与函数之双变量问题归纳总结

类型一：齐次划转单变量

例1：已知函数()()

1ln 1

a x f x x x -=-

+()2a ≤.设,m n R +∈，且m n ≠，

求证

ln ln 2

m n m n

m n -+<

-. 解：设m n >，证明原不等式成立等价于证明

()2ln m n m

m n n

-<+成立，即证明

21ln 1

m m n m n n

⎛⎫

- ⎪⎝⎭<+成立.令m t n =，1t >，即证()()21ln 01t g t t t -=->+.由

（1）得，()g t 在()0,+∞上单调递增，故()()10g t g >=，得证.

变式1：对数函数()x f 过定点⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,e P ，函数()()()

为常数m ,n x f m n x g '-=，

()()的导函数为其中x f x f '.

（1）讨论()x g 的单调性；

（2）若对于()+∞∈∀,x 0有()m n x g -≤恒成立，且()()n x x g x h -+=2在

()2121x x x ,x x ≠=处的导数相等，求证：()()22721ln x h x h ->+.

解：（2）因为()1g n m =-，而()0,x ∀∈+∞有()()1g x n m g ≤-=恒成立，知

()g x 当1x =时有最大值()1g ，有（1）知必有1m =.

∴()()()11

ln ,22ln ,g x n x h x g x x n x x x x

=-

-=+-=-- 依题意设()()211

12222

11

20,1120

k x x h x h x k k x x ⎧-+-=⎪⎪''==⎨⎪-+-=⎪⎩∴12111x x +=

121212+=4x x x x x x ⇒≥>

∴()()()()121212*********+ln ln 21ln h x h x x x x x x x x x x x ⎛⎫

+=-+-+=-- ⎪⎝⎭

令()124,21ln t x x t t t ϕ=>=--，()()1204t t t

ϕ'=->> ∴()t ϕ在4t >单调递增，∴()()472ln 2t ϕϕ>=-

类型二：构造相同表达式转变单变量

例2：已知,m n 是正整数，且1m n <<，证明()()11.n

m

m n +>+

解：两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明()()ln 1ln 1n m m n +>+，

即证明

()()ln 1ln 1m n m n ++>

，构造函数()()

ln 1x f x x

+=，()()2ln 11x

x x f x x -++'=，令()()ln 11

x g x x x =-++，()()

()

2

2

1

10111x g x x x x -'=

-

=<+++，故()()00g x g <=，故()0f x '<，结合1,m n <<知()()f m f n >

类型三：方程消元转单变量

例3：已知()ln x

f x x

=

与()g x ax b =+，两交点的横坐标分别为1,2x x ，12x x ≠，求证：()()12122x x g x x ++>

解：依题意1

1211112

222222

ln ln ln ln x ax b x x ax bx x x ax bx ax b x ⎧=+⎪⎧=+⎪⎪

⇒⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪⎩，相减得： ()()()12121212ln ln x x a x x x x b x x -=+-+-，化简得

()()

1

21212ln

x x a x x b x x ++=

-，()()()()()()1

12121

1212121211222

2

1

ln ln 1x x x x x x x x g x x x x a x x b x x x x x x ++++=+++==⎡⎤⎣⎦-- 设12x x >，令121x t x =

>，()()()12122112ln 2ln 011

t t x x g x x t t t t -+++>⇔>⇔->-+ 再求导分析单调性即可.

变式1：已知函数()1++=ax x ln x f 有两个零点21x ,x .()10a -<< （2）记()x f 的极值点为0x ，求证：()0212x ef x x >+.

变式2：设函数()()3211232

x

f x e

x kx kx =--

+. 若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 范围，证明1322x x x +>.

变式3：已知函数()1

22ln 21x e

f x a x x x

-⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭在定义域()0,2内有两个极值点.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设12,x x 是()f x 两个极值点，求证12ln ln ln 0x x a ++>.

类型四：利用韦达定理转单变量

例4：已知()()2

1ln 02

f x x x a x a =

-+>，若()f x 存在两极值点1,2x x ， 求证：()()1232ln 2

4

f x f x --+>.

解：()21,a x x a

f x x x x

-+'=-+=由韦达定理12121,x x x x a +==

1

140,4

a a ∆=-><