格点面积(谷风教育)
第十一讲 格点与面积
第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。
小学初级奥数第22讲-格点面积
I
II
III
(a)
(b)
(c)
例三 分别计算图中两个格点多边形的面积。
练一练 求下列各个格点多边形的面积。
（1）
（2）
（3）
（4）
例三
如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所 形成的三角形都是等边三角形。计算三角形ABC 的面积。
练一练
如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行 线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的 每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多 边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两 者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！源自AC B例四
图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ， 求阴影四边形CEPQ的面积。
例五 正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米。M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？
课后作业
<作业1> 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______
①
②
课后作业
<作业2> 横竖每相邻两点之间的距离为1cm，“乡村小屋”的面积是多少？
课后作业
<作业3> 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是 多少平方厘米？
课后作业
小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第2讲格点与面积(教师版)
第2讲 格点与面积【知识梳理】一. 正方形格点面积公式（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。
用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理。
二、三角形格点问题（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2。
【典例精讲】【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【答案】4平方厘米；4平方厘米；12平方厘米【解析】左起第一个阴影图形可以分割成4个小正方形，面积为4平方厘米；左起第二个阴影图形可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积为2×2÷2=2平方厘米，下面三角形的面积是2×2÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为2+2=4平方厘米；左起第三个阴影部分图形可以分割成上面一个三角形、下面一个梯形，上面三角形的面积为5×2÷2=5平方厘米，下面梯形的面积为（2+5）×2÷2=7平方厘米，则阴影部分的面积为5+7=12平方厘米。
【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？【答案】8平方厘米；8平方厘米【解析】左起第一个阴影部分可以分割成8个小正方形，面积为8平方厘米；左起第二个阴影部分可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积是4×2÷2=4平方厘米，下面三角形的面积为4×2÷2=4平方厘米，则阴影部分的面积为4+4=8平方厘米。
奥数格点与面积
.. .......... 名师点拨 --- -------- --- 学科:学科：奥数** 教学内容：第六讲格点与面积开始学习生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：(1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位，所以它的面积为6。
(2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X2=6。
(3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位,所以它的面积为2。
(4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半,则三角形面积为3。
(5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长,补出一个和原来梯形方向颠倒,但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为2+4）X3=18,而梯形的面积为长方形的面积的一半。
格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程
一、格点面积公式的基本概念
格点面积公式乃是指将实际曲线投影到平面上，运用数学方法计算出该曲线的面积，其实就是把曲线分成若干个小矩形，积分计算的一种变形。
二、格点面积公式的推导过程
1、由定义可知，格点面积公式是假设曲线投影到平面上的投影
面积，那么用以下坐标轴可表示出该投影平面：
(x,y)，其中x表示投影后的曲线横坐标值，y表示投影后的曲
线纵坐标值。
2、设定格点矩形横纵坐标分别为（x1,y1）和（x2,y2），分别为x和y轴上格点下标，假设格点之间的距离为Δx和Δy，定义Δx = x2-x1;Δy = y2-y1，即每个格点矩形的面积为：
S=Δx*Δy
3、假设曲线投影到平面上，把曲线进行分段，每段投影的坐标
均可以用（x,y）表示，当曲线投影到平面上时，x1≤x≤x2,y1≤y
≤y2，由此可以知道曲线投影到平面上的面积就是所有格点矩形的面积之和：
S = ΣΔx*Δy
4、将等差数列求和公式代入本公式可以得到：
S=Δx*Δy*n
其中n表示格点矩形的个数，即曲线投影到平面上的分段点个数，
因此可得格点面积公式：
S=Δx*Δy*n
三、结论
根据上述推导得出，格点面积公式是把实际曲线投影到平面上，运用数学方法计算出该曲线的面积，公式为：S=Δx*Δy*n，其中n 表示格点矩形的个数。
格点和面积
格点和面积格点与面积是数学中重要的概念。
它的定义与应用都有着深远的影响。
本文将详细阐述格点与面积的定义，以及它们的作用和在实际生活中的应用。
格点定义格点是指将空间或面积等分割成小的方格，每个方格形成一个格点。
格点的大小一般以毫米为单位进行计算，例如，0.05mm*0.05mm 的格点就是一个毫米的四分之一。
换句话说，格点指的是将空间或面积分割成细小的四方形区域，每个四方形区域形成一个方格状，形成一个格点。
面积定义面积是指物体所占空间面积，是指一块物体上所覆盖的空间。
通常来说，面积是以平方米（m）或平方厘米（cm）为单位计算的。
它也可以以立方米（m）、立方厘米（cm）等体积单位计算。
格点与面积的作用格点与面积的作用是十分重要的。
格点可以用来测量和计算一个空间的大小，以及测量一个物体的形状。
它可以用来进行测量，用来分析物体之间的关系，以及进行三维模型的建模等。
同样，面积也是一个非常重要的概念，用来衡量物体的大小和形状。
面积可以用来计算物体的体积，测量两个物体之间的位置，以及测量地形面积的变化。
格点与面积的应用格点和面积在实际生活中有着广泛的应用，例如它们在建筑和土木工程方面有着应用。
建筑设计师可以使用格点来将建筑空间中的方格分割成细小的区域，以便精准控制建筑结构和尺寸，从而最大限度地发挥建筑物的优势。
此外，面积也可以用来计算建筑物的总面积，以便估计建筑物的实际成本。
此外，格点与面积在工业界也有重要的应用。
例如，在机械加工中，格点可以用来确定机体的几何尺寸，进而确定机体的外形及加工尺寸。
另外，在农业生产中，也可以利用面积的概念来计算农田的大小，并且可以根据面积的大小来估算物品的产量。
综上所述，格点与面积都是实用性十分重要的概念，它们在各种实际应用中发挥着重要作用，这些应用可以有效提高工作效率，提高生产力，从而改善我们的生活质量。
《格点与面积》教案
教 学 内 容 格点与面积重 点 难 点 图形的特点教 学 目 标 初步认识图形的特点针对性授课格点与面积 在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。
例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形面积大小。
例题与方法 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少？求下图中各图形的面积。
求下左图中图形的面积。
求右图中图形的面积。
练习与思考求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中图形的面积第3讲：火柴棒游戏[知识要点]用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒的移动、增减，会发出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。
[例题精讲一：摆图形]例题1：用三根火柴棒可以摆出一个三角形，如图，加两根，摆出两个三角形。
练习1：1、摆一个正方形要4根火柴棒，如图：，你能用7根火柴棒摆出两个正方形吗？2、摆一个三角形要用3根火柴棒，摆3个三角形至少需要多少根火柴棒？3、把两根火柴棒添在那里，可以摆出5个正方形？例题2：用16根火柴棒摆成的四个相等的正方形（如图）。
减少1根，还可以拼成四个正方形，你会吗？如果减少2根呢？练习2：1、用12根火柴棒，摆成四个大小一样的正方形，怎么摆？2、图中有几个正方形？最少要添上几根火柴棒就能得到8个正方形？例题3：下图是由5根火柴棒摆成的图形，请你移动其中的3根成这样的图形：移动3根练习3：1、第一排有1根火柴棒，第二排有2根，第三排有3根，请你移动2根，变为第一排3根，第二排2根，第三排1根。
2、如下图，由火柴棒摆了两只倒扣的杯子，请移动4根火柴棒，把杯口正过来。
3、下面的3个三角形是用9根火柴棒搭成的，你能用9根火柴棒搭出5个三角形吗？例题4：用12根火柴摆成一个田字形：（1）拿去两根火柴棒，变成两个正方形；（2）移动三根火柴棒，变成三个正方形。
第十讲格点与面积
第十讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断以下图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。
例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：此题所给的图形都是规那么图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。
法二：以上局部图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法〞或“扩展法〞分别转化成平置的长方形来求。
第四讲-格点图形面积的计算ppt课件
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2、下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分
别
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3、如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是 米。
平方厘
4、如图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是
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5、下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是
例题1：图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米， 那么三个阴影图形的面积分别是 多少平方厘米？
练习1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米， 那么阴影图形的面积分别是多少平方厘 米？
例题2：下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米。 那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？
练习2：下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘 米．那么这四方形的面积都是3平方厘米． 阴影部分的面积是多少平方厘 米？
例题6：（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ （2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？
巩固练习
1、如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分是
例题3：如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积． 练习3：如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？
例题4：如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘 米？
练习4：如图， 每个最小等边三角形的面积都是 1 平方厘米， 阴影部分的面积是多少平方 厘米？
第十二讲 格点与面积(教师版)
第十二讲格点与面积（教师版）1、求下列各个格点多边形的面积。
①∵L=12；N=10,∴S=N+L/2-1=10+6-1=15(面积单位)②∵L=10；N=16,∴S=N+L/2-1=16+5-1=20(面积单位)③∵L=6,N=12,∴=S=N+L/2-1=12+3-1=14(面积单位)④∵L=10；N=13∴S=N+L/2-1=13+5-1=17(面积单位)2、求下列格点多边形的面积（每相邻三个点或成面积为1的等边三角形）①L=7；N=7,S=2×N+L-2=2×7+7-2=19(面积单位)②L=5；N=8,S=2×N+L-2=2×8+5-2=19(面积单位)③L=6；N=8，S=2×N+L-2=2×8+6-2=20(面积单位)④L=7；N=8；S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）3、下面每个图中有49个点，其中所有形如“：：”的相邻四点所形成的四边形都是面积为1的正方形，试计算ABC和四边形DEFG的面积（1）S=N+L÷2-1=13+6÷2-1=15（2）S=N+L÷2-1=16+6÷-1=184、下面每个图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算ΔABC和四边形DEFG的面积。
（1）N=2N+L-Z=2×4+4-2=10（2）N=2N+L-2=2×5+4-2=125、如图中的每个小正方形的面积都是1，那么图中这只狗所占图形的面积是多少？思路分析：本题可采用数格点的方法进行简便计算。
计算公式：图形面积=图形内容的格点数+（图行四周围上的格点数-2）÷2解：本题图形内部的格点数为59，图形四周围的格点数为27。
狗占图形的面积=59+（27-2）÷2=59+25÷2=59+12.5=71.5答：狗占图形的面积为71.5。
第14讲 格点与面积
第14讲格点与面积同学们，既然我们要讨论的是格点与面积，那么我们首先得知道什么是格点.在纸平面上，先画一系列的水平直线和一系列的竖(垂)直直线，使得任意两个相邻的交点间的距离均为一个单位，这样就在纸平面上建立了一个方格网.方格网中的每个交点就叫一个格点.如图14－1就是一个方格网.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果方格网中有一个多边形，它的每个顶点均为格点，那么此多边形叫格点多边形(如图14－1中的多边形ABCDE)·格点网中的一个封闭图形所含的格点数与图形的面积之间有许多我们还不知道的奇妙的联系.计算格点网中的图形所含的格点数与面积是一个十分有趣的课题.而且有时还能够通过这种计算去解决许多的实际问题.但是要一般地研究这一问题需要较多的知识①RE000060_0104_0且非常困难.本节我们只研究格点多边形面积的计算及格点多边形中所含格点数与其面积的关系.问题14.1 图14－2是一个方格网.网中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个.试利用方格网计算它们的面积.分析要计算图中四个图形的面积，只需要分别数出它们各自占多少个小格就可以了.解（1）因为图14－2中长方形含有2×4= 8个小方格，故它的面积为8.（2）由（1）的求解易知，水平放置的整点长方形所占的方格全是整格，故容易数得.现图中的三角形所占的不全是整格，给计算带来了困难.这时我们易产生一个想法：能否把此三角形转化成一个或几个平置的长方形再去计算呢？通过观察试验，可用两种方法实现这一转化：方法 1 由中间把三角形分成两层.对上一层把△1割下来正好补到△2的位置上；对下层把△3割下来补到△4的位置上，这样就得到了一个正方形和一个平置的长方形.它们共占4格，故原三角形面积为4.方法2 按图中虚线把原三角形扩展成一个平置的长方形，易见长方形的面积正好是三角形的2倍.因此三角形的面积为8÷2=4.以上我们利用“割、补”和“扩展”两种方法把三角形的面积转化成了平置的长方形去求.同样我们可用这两种方法去求图中的平行四边形和梯形的面积.（3）求梯形面积解法1 把原梯形按虚线扩展一个完全相同的梯形即得一个长方形.故面积=[（2+4）×2]÷2=6.解法 2 把△6割下来，补到△5的位置上即得一长方形，其面积为（2+1）×2=6.（4）求平行四边形面积同样可用这两种方法（略）.问题14.2 计算图14－3中三角形的面积.分析通过求解问题14.1我们已经会求方格网中至少有一边水平放置或竖直放置的简单图形的面积了.然而图14－3中的三角形在方格网中是斜放着的.同样，自然会想到：能否通过割补或扩展将这一新问题转化成有一边平置（或竖置）的图形呢？通过试画亦易得到两种解法。
《数格点算面积》课件
实例三：三角形格点算面积
总结词
通过三角形格点计算面积的方法
详细描述
三角形格点算面积是通过数三角形的底和高以及格点数来计算面积的一种方法。首先，确定三角形格点的底和高 ，然后数格点的数量，最后将格点数乘以底和高的乘积的一半即可得到面积。
04
数格点算面积的应用场景
土地测量与规划
土地面积测量
通过数格点的方法，可以快速准 确地测量土地面积，为土地规划
计和成本预算提供依据。
室内装修设计
在室内装修设计中，通过数格点 算面积的方法可以精确计算出各 个区域的面积，为材料选择和预
算制定提供参考。
房地产销售
在房地产销售过程中，利用数格 点算面积的方法可以精确计算出 房屋的建筑面积和使用面积，为
购房者提供准确信息。
05
数格点算面积的注意事项与技巧
格点选取的原则与技巧
专业的地理信息系统软件 ，具有强大的数据处理和 分析功能。
QGIS
开源的地理信息系统软件 ，适用于各种操作系统。
GRASS GIS
同样是一款开源的地理信 息系统软件，具有广泛的 用途和强大的功能。
06
总结与展望
数格点算面积的重要性和意义
数学教育意义
通过数格点算面积的练习，有助于培养学生的逻辑思维和空间想 象力，提高他们的数学素养。
数格点算面积的原理
原理
基于格点的可数性和均匀性，通过将平面图形划分为若干个小正方形，然后数出这些小正方形中的格点数，最 后根据格点数和正方形面积的对应关系计算出整个图形的面积。
应用
数格点算面积的方法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如计算几何形状的面积、求解微积分问题等 。
03
数格点算面积的实例分析
苏科版八年级下册12章数格点,求面积课件
E B
C
D
设格点多边形的面积为S， 它的边上的格点数为L， 内部的格点数为N。
探究S与L、N之间的数量关系。
@
探究方法
本次探究有S、L、N三个变量，关系复杂。 我们可以先固定某一个量，探求其他两个量的 变化规律，将复杂问题简单化。
探究1: 探究N=0的格点多边形中S与L之间的数量关系
图形编号
（1） （2） （3） （4）
S=
1 L N 1 2
的正确性？
@ 展示
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、L、N 三者数
量关系的“皮克公式”，并进行 了证明，得到“皮克定理”。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个 数学定理”之一。
实验拓展
如果每相邻的四个点构成的小长方形的面积 是1，那么多边形的面积是多少？
放手 交流 总结
实验拓展
如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面 积是1，那么多边形的面积为（ ）
A.10 B.13 C.20 D.26
实验拓展
若每个小正六边形的面积是1，你还能用“皮克公 式”求多边形面积吗？
苏科版八年级下册12章 数格点，求面积课件
2020/9/24
数学工具之一：网 格
预备知识
如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻
平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为
格点.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么多边
形叫做格点多边形. A
E
B
格点 多边形
格点
C
D
B C
E D
补
B C
E D
割
探究任务
内部格 点数N
巧用“格点”算面积 - ME博客—数学教师博客群,教育博客,教 …
巧用“格点”算面积
请你算一算下面各图的面积：（为了计算的方便，我们把图中相邻两个点之间的距离看作是1个长度单位，把相邻4个点连线后得到的正方形的面积看成是1个面积单位。
）
这里一共有6张图，估计大家利用计算公式可以很方便地算出图1和图3的面积。
图1面积长×宽：7×3=21，图3面积长×宽÷2：5×4÷2=10。
但其它的几张图就不能直接算了。
你有没有发现，这些图都是画在格点图上的，利用这些格点，我们就可以很轻松地算出所有图形的面积了。
格点面积=内部格点数+周界格点数÷2－1。
还是拿图1和图3举例。
图1面积：12＋20÷2－1=21；图3面积：7＋8÷2－1=10。
计算的结果和我们刚才用面积计算公式的结果是一样的。
那你现在是不是也可以用这个新的公式来算算其它几张图的面积了呢？
哈哈，其实这个新公式并不是我的发明，它的名字叫“毕克定理”。
利用该公式计算格点面积时，不必考虑这是一个什么图形，而是直接利用它就可以算出各种图形的面积了。
是不是很方便啊？。
五年级奥数第一讲_格点面积
格点面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2例题讲解：例 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 3.在一个9 6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来。
例4.右图中每个小正方形的面积都是1平方厘米,求图中阴影部分的面积.例5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.例6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.同步练习：1.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?2.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？3.右中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?4.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.课后作业：1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.。
格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程格点面积公式是用来计算平面上格点所围成的多边形面积的公式。
其推导过程可以参考以下内容：1. 基本概念：- 格点：平面上的一个点，具有固定的坐标，可以用整数坐标表示。
- 多边形：由若干个边相连的封闭图形。
- 顺时针和逆时针方向：以多边形内部为参考，依次沿多边形边界移动的方向。
2. 推导过程：假设有一个多边形由 n 个格点组成，其顶点坐标分别为P1(x1, y1), P2(x2, y2), ..., Pn(xn, yn)，以及其逆时针方向。
- 计算多边形面积的方法之一是分割成若干个三角形，并计算每个三角形的面积，然后累加得到最终面积。
由于多边形是由整数坐标表示的格点构成的，因此分割成三角形时，三角形的底边一定为横坐标或纵坐标之差为1。
所以我们只需要考虑底边为横坐标之差为1的三角形。
- 对于底边为横坐标之差为1的三角形，它的高可以通过格点的纵坐标之差来计算。
假设底边为 P(i, j) 到 P(i+1, j) 之间的边，其中 i 和 j 分别为两个格点的横、纵坐标。
由于顶点坐标为整数，底边长度为1，所以该三角形的面积可以表示为该三角形底边上格点之间的垂直距离的累加。
- 对于逆时针方向的多边形，三角形底边从左到右遍历，垂直距离可以累加获得。
- 根据以上推导，多边形的面积可以通过以下公式计算：面积 = sum{ (x(i+1) - x(i)) * (y(i+1) + y(i)) / 2 }，i = 1, 2, ...,n-1其中，x(i) 和 y(i) 分别表示第 i 个格点的坐标。
3. 示例：假设有一个由四个格点(0,0), (1,0), (1,1), (0,1) 所围成的矩形，则其面积可以通过以上公式计算：面积 = (1-0) * (0+0)/2 + (1-1) * (0+1)/2 + (0-1) * (1+1)/2 + (0-0) * (1+0)/2 = 1通过以上推导过程，我们可以得出格点面积公式，并用于计算平面上格点所围成的多边形面积。
格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程可以通过以下参考内容来进行说明。
首先，我们需要了解什么是格点。
在平面几何中，格点指的是平面上由整数坐标所确定的点，即坐标为(x, y)，其中x和y 都是整数。
可以将一个格点看作是一个正方形的顶点。
接下来，我们来推导格点面积公式。
1. 将一个格点看作是一个正方形的顶点，根据正方形的性质，格点的面积等于正方形的面积。
2. 一个正方形的边长等于两个顶点的横坐标或纵坐标之差的绝对值。
因为格点的坐标是整数，所以一个格点的横坐标和纵坐标之差也是整数。
3. 正方形的面积等于边长的平方。
根据步骤2，正方形的边长是两个整数之差的绝对值，所以正方形的面积等于两个整数之差的绝对值的平方。
4. 因为在平面几何中，我们已经知道两个整数之差的绝对值的平方等于两个整数的平方之差。
即，|a-b|^2 = a^2 - 2ab + b^2。
5. 将步骤4中的公式代入步骤3中，得到正方形的面积为a^2 - 2ab + b^2。
6. 因为格点的面积等于正方形的面积，所以格点的面积也等于
a^2 - 2ab + b^2。
最终，我们得到了格点的面积公式为a^2 - 2ab + b^2。
通过以上的推导过程，我们可以得到格点面积公式。
这个公式可以用来计算格点的面积，可以在进行多边形相关问题的计算中发挥重要作用。
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课资教育
15
图形序号 ①
②
③
④
⑤
x
一周格点数 412源自12a中间格点数 0
3
3
b
面积
1
8
8
课资教育
16
A
B
C
图形
A
B
C
4 周界格点
5
6
2 内部格点
2
2
D
E
DE
6
5
3
4
2020/11/12
SA=3 SB= 3.5 课S资C教育=4
SD = 5
SE=5.5
17 17
皮（毕）克定理：
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界 上有L个格点，则它的面积为：
格点与面积
框架 • •定义导入：格点多边形 •新授： 1、格点多边形的定义 2、根据格点多边形复习和总结求面积的的方法 3、总结平行四边形、三角形、梯形的面积公式 4、根据例题得出格点面积公式 5、运用皮克定理解决组一问题
格点多边形
课资教育
3
如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之 间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点.如果一个多 边形的顶点都在格点上，那么多边形叫做格点多边形.
(周界格点数÷2+内部格点数－1） ×单位正方形面积
课资教育
18
补：求下图中格点多边形的面积（每相邻四个点 围成的小方格的面积为1平方厘米）。
课资教育
19 19
求格点图形面积的方法：
一、直接求 二、分块求 三、大减小
1、分成相同小块 2、分成学过的图形
四、割补
五、借来还去
六、倒序相加
七、格点面积公式 课资教育
内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数
，那么有，就是格点多边形面积等于图形内
部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减
去2．
课资教育
28
1、如图，每相邻三个点所形成的 三角形都是面积为1的等边三角形， 计算 ABC的面积．
A
C
B
课资教育
29
2、求下列格点多边形的面积(每相邻三 个点“∵”或“∴”形成面积为1的等 边三角形)．
初赛)
课资教育
13
哥哥说：“我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一 圈有17棵树，弟弟的面积大！”
弟弟说：“我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵
树，哥哥的面积大！”
2020/11/12
课资14教育
14
3.下图是间距为 1cm 的格点图（相邻四个点连成的正方 形边长为 1cm）．小丽在格点中设计了四个格点多边形， 请你也在图中设计一个格点多边形，标上序“⑤”．根 据下图填写表格．
1厘米
18平方厘米
3 厘
高
米
底 6厘米
平行四边形面课资教积育 =底×高
7
1 厘 米
1厘米
2厘米 上底
3 厘
高
米
下底 5厘米 (2+5)×3÷2=10.5平方厘米
梯形面积=（上课资底教育+下底）×高÷2 8
1 厘 米
1厘米
3 厘
高
米
底 5厘米
3×5÷2=7.5平方厘米
三角形面积课资=教育底×高÷2
课资教育
33
2.图中相邻两个格点的距离都是 1，请 你求出“COOL”的总面积是多少.
课资教育
34
3.图中，每个最小正方形面积为 2，则图中 阴影部分的面积是________．
课资教育
35
课资教育
30
3、把大正三角形每边八等分，组成如右图所 示的三角形网．如果大三角形的面积是128， 求图中粗线所围成的三角形的面积．
课资教育
31
4.如图，最小正三角形的面积是 4 平方厘米，那么阴 影部分的面积是________平方厘米
课资教育
32
三．家庭作业 1.图中相邻两个格点的距离都是 1，请你求出下 列数字的面积各是多少.
A
E
B
格点 多边形
格点
C
课资教育
D
4
1.网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等， 这两组平行线的交点称为格点.如果一个多边形的顶点都在格点 上，那么多边形叫做格点多边形.判断下列各图，哪些是格点多 边形？
课资教育
5
特殊：在三角形网格中的多边形，也可以认为 是格点多边形
课资教育
6
1 厘 米
课资教育
23
10、如图所示, 网格中每个小正方格的面积 都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹 红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则 这个剪影的面积为 平方厘米.
课资教育
24
课资教育
25
开心课间 一块木板上有13枚钉子（如左下图）.用橡皮筋套住其中 的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如 右下图）.请回答：可以构成多少个正方形？
9
组一：（正方形格点）
2、如图，计算各个格点多边形的面 积
课资教育
10
课资教育
11
4、右图是一个方格网，计算阴影 部分的面积．
D
A
F
1cm C
EB
1cm
课资教育
12
竞赛题选讲
补： 如图是
一个5×5的网格,
每个小方格的面积
都是1,阴影部分是
类似数字"2"的图
形,那么阴影部分
的面积是多
少?(2013希望杯
课资教育
26
特殊：在三角形网格中的多边形，也可以认为 是格点多边形
课资教育
27
组二：（三角形格点问题）
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三
点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是
等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点
为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．
关于三角形格点多边形的面积同样有它
的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形
20
补、设每相邻两点间距离为1，利用格点面积公 式计算下图中阴影部分面积.
课资教育
21
5、如果每个小正方形的面积是1平方厘米， 那么下图中五角星的面积是多少平方厘米？
课资教育
22
6、如图所示，在5×8的方格中，阴影部分的面
积为37cm².则非阴影部分的面积为 ( ）cm²
A、43 B、74
C、80 D、111