2016年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理科）

参考公式：

• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A

B P A P B =+；

• 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；

• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；

• 锥体体积公式1

3

V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年天津，理1，5分】已知集合}{1,2,3,4A =，}{

32,B y y x x A ==-∈，则A

B =（ ）

（A ）}{1 （B ）}{4 （C ）{}1,3 （D ）{}1,4 【答案】D 【解析】把1,2,3,4x =分别代入32y x =-得：1,4,7,10y =，即{}1,4,7,10B =，∵{}1,2,3,4A =，∴{}1,4A

B =，

故选D ．

【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要

注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．

（2）【2016年天津，理2，5分】设变量x ，y 满足约束条件2023603290x y x y x y -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数

25z x y =+的最小值为（ ）

（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17 【答案】B

【解析】作出不等式组2023603290x y x y x y -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪+-≤⎩

表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线0:250l x y +=，图中的

虚线，平移直线0l ，可得经过点()3,0时，25z x y =+取得最小值6，故选B ．

【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目

标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． （3）【2016年天津，理3，5分】在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=，则AC =（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】A

【解析】在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，

120C ∠=，2222cos AB BC AC AC BC C =+-⋅，得：21393AC AC =++， 解得1AC =或4AC =-（舍去），故选A ．

【点评】（1）正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求

解也可以用余弦定理求解．（2）利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．

（4）（4）【2016年天津，理4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B

【解析】第一次判断后：不满足条件，248S =⨯=，2n =，4i >；第二次判断不满足条件3n >；

第三次判断满足条件：6S >，此时计算862S =-=，3n =，第四次判断3n >不满足条件，

第五次判断6S >不满足条件，4S =．4n =，第六次判断满足条件3n >，故输出4S =，故选B ．

【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结

构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．

（5）【2016年天津，理5，5分】设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q 则“0q <”是“对任意的正整数n ，

2120n n a a -+<”的（ ）

（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定

成立，例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，

1

4

-，…，此时()2110+-=>，1110244⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<” 的必要而不充分条件，故选C ．

【点评】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图

示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．

（6）【2016年天津，理6，5分】已知双曲线()22

2104x y b b

-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的

圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，

四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ） （A ）223144x y -= （B ）224143

x y -= （C ）222144x y -= （D ）221412x y -

= 【答案】D

【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为224x y +=，双曲线两条渐近线方程为2

b

y x =±，

设,2b A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则∵四边形ABCD 的面积为2b ，∴22x bx b ⋅=，∴1x =±，将1,2b A ⎛⎫

⎪⎝⎭

代入224x y +=，

可得2144b +=，∴2

12b =，∴双曲线的方程为221412

x y -=，故选D ．

【点评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定

位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为()2210Ax By AB =<＋．②若已知渐近线方程为0mx ny +=，则双曲线方程可设为

()22220m x n y λλ-=≠．

（7）【2016年天津，理7，5分】已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）

（A ）58- （B ）18 （C ）14 （D ）11

8

【答案】B

【解析】由DD 、E 分别是边AB 、BC 的中点，2DE EF =，()()

AF BC AD DF AC AB ⋅=+⋅-

()()

2213133112224442AB DE AC AB AB AC AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫

=+⋅-=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

31111

1144228

=-⋅⋅⋅-=，故选B ．

【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基

底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．