空间向量与平行垂直关系
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.面面垂直:
两个平面的法向量垂直，即法向量的内积为0
应用举例：
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是
C1C, B1C1 的中点, 求证:MN∥平面Az 1BD.
解题思路：如图建立空间直角坐标系，求出
D1
平面A1BD的法向量
，只需证
C1
明
，即证
A1
B1
M(0, 2, 1 ),nN(?1, (2?, 21),1,1)
MN ? n
MN n ? 0
y
MN ? (1, 0, 1)
x
MN ?n ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 0
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是
BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面
A1FD1.
z
略解： 如图建立空间直角坐标系
设棱长为2
则 E(2, 2, 1), A( 2, 0, 0 )
首先设平面? 的法向量为 n ? ( x , y, z) ，
在平面内任取两个相交直线的方向向量
a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1 ,b2 ,b3 )
由 n ?a ? 0 和 n ?b ? 0
得两个三元
一次方程，再令 x, y, z 中的一个为某一特
殊的值即得平面? 的一个法向量
例如已知A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0)， 求平面 ABC 的一个法向量
略解：设平面ABC的法向量为 n ? ( x , y, z) ，
则由 AB ? (? 1, 1, 0) , AC ? (0, 1, ? 1)
?? x ? y ? 0
?x ? y
? ?
y
?
zБайду номын сангаас
?
0
? ?
z
?
y
?
n ? (1?, 1, 1)
?? n ?AB ? 0 ? ? n ?AC ? 0
及
令y= 1 得
DE ? (2, 2, 1), AE ? (0, 2, 1)
y
平面AED的法向量为
n1 ? (0, 1, ? 2)
平面A1FD1的法向量为
n2 ? (0, 2, 1)x
n1 ?n2 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? n1 ? n2 ? 平面AED? 平面A1FD1
空间向量与平行、垂直关系
一、平面α的法向量的定义
设直线l为平面? 的一条垂线，则直线 l 的 任意一条方向向量a 都叫做平面? 的法向量.
平面? 的法向量 a 由平面上任意两个不共
线向量PA , PB
来确定，即PA由? a, PB ? a
也即 PA ?a ? 0 , PB ?a ? 0
求得.
平面法向量的具体求法：
2.线线垂直： 两直线的方向向量垂直，即内积为零.
3.线面平行： 直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线上存在平面外的点.
4.线面垂直
直线的方向向量与平面内的两条相交直线的 方向向量都垂直（即与平面内的两个不共线 向量都垂直）
5.面面平行：
两个平面的法向量共线，且其中一个平 面中存在另一个平面之外的点.
平面ABC
变式训练
已知ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥
平面ABCD, SA=AB=BC=1，AD= 1 ，试建
2
立适当的坐标系.
z
求平面SCD的一个法向量. y
答案：(2, -1, 1)
y
x x
二、利用向量判断直线、平面位置关系的方法
1.线线平行： 两直线的方向向量共线，且一条直线上存在另一条直线之外的点
两个平面的法向量垂直，即法向量的内积为0
应用举例：
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是
C1C, B1C1 的中点, 求证:MN∥平面Az 1BD.
解题思路：如图建立空间直角坐标系，求出
D1
平面A1BD的法向量
，只需证
C1
明
，即证
A1
B1
M(0, 2, 1 ),nN(?1, (2?, 21),1,1)
MN ? n
MN n ? 0
y
MN ? (1, 0, 1)
x
MN ?n ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 0
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是
BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面
A1FD1.
z
略解： 如图建立空间直角坐标系
设棱长为2
则 E(2, 2, 1), A( 2, 0, 0 )
首先设平面? 的法向量为 n ? ( x , y, z) ，
在平面内任取两个相交直线的方向向量
a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1 ,b2 ,b3 )
由 n ?a ? 0 和 n ?b ? 0
得两个三元
一次方程，再令 x, y, z 中的一个为某一特
殊的值即得平面? 的一个法向量
例如已知A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0)， 求平面 ABC 的一个法向量
略解：设平面ABC的法向量为 n ? ( x , y, z) ，
则由 AB ? (? 1, 1, 0) , AC ? (0, 1, ? 1)
?? x ? y ? 0
?x ? y
? ?
y
?
zБайду номын сангаас
?
0
? ?
z
?
y
?
n ? (1?, 1, 1)
?? n ?AB ? 0 ? ? n ?AC ? 0
及
令y= 1 得
DE ? (2, 2, 1), AE ? (0, 2, 1)
y
平面AED的法向量为
n1 ? (0, 1, ? 2)
平面A1FD1的法向量为
n2 ? (0, 2, 1)x
n1 ?n2 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? n1 ? n2 ? 平面AED? 平面A1FD1
空间向量与平行、垂直关系
一、平面α的法向量的定义
设直线l为平面? 的一条垂线，则直线 l 的 任意一条方向向量a 都叫做平面? 的法向量.
平面? 的法向量 a 由平面上任意两个不共
线向量PA , PB
来确定，即PA由? a, PB ? a
也即 PA ?a ? 0 , PB ?a ? 0
求得.
平面法向量的具体求法：
2.线线垂直： 两直线的方向向量垂直，即内积为零.
3.线面平行： 直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线上存在平面外的点.
4.线面垂直
直线的方向向量与平面内的两条相交直线的 方向向量都垂直（即与平面内的两个不共线 向量都垂直）
5.面面平行：
两个平面的法向量共线，且其中一个平 面中存在另一个平面之外的点.
平面ABC
变式训练
已知ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥
平面ABCD, SA=AB=BC=1，AD= 1 ，试建
2
立适当的坐标系.
z
求平面SCD的一个法向量. y
答案：(2, -1, 1)
y
x x
二、利用向量判断直线、平面位置关系的方法
1.线线平行： 两直线的方向向量共线，且一条直线上存在另一条直线之外的点