上海七宝中学高一数学分班考试卷
2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷04(上海专用)原卷版
2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷04（上海专用)考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知4,2a b ab +==，则22a b +=____________.2．已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = ____________.3．设全集为R ，集合()1,3A =，则A =R ð____________.4．设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B = ____________.5．如图，菱形OABC 的顶点O 的坐标为(0,0)，顶点A 的坐标为(3,0)，顶点B 在第一象限，边BC 与y 轴交于点D ，sin 3OAB ∠=，点E 在边OA 上．将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，使点A 落在这个坐标平面内的点F 处，且AE EF ⊥．若点F 在某个反比例函数的图象上，则此反比例函数的解析式为________．6．点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线24y x =-上运动，则线段AB 的长度的最小值为____________.7．方程22112310x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为____________.8．若,x y 为非零实数，且2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+____________.9．已知,a b 为常数，若0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则0-<bx a 的解集是____________.10．设集合[][]1,3,1,24A B m m ==++，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是____________.11．设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49i j x x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.12．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知函数()[]():3,1,:3f x p x q f x m =∈--<，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接BE 并延长与CD 的延长线交于点F ．若2EF EB =，3CD cm =，则FD 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm14．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（）A ．()U C A B U= B ．()()U U U C A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U= 15．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，35BDC ∠=︒．则ABC ∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．55︒16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意两个元素的并集属于τ；（3）τ中任意两个元素的交集属于τ，则称τ是集合X 上的一个拓扑，已知{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅；②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅；③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅；④{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅.其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②④B ．②③C ．①②④D ．①③④三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，点P 、E 、F 分别在正方形ABCD 的对角线AC 、边AB 、边BC 的延长线上，直线EF PD ⊥，垂足为点P ，连接PB 、PD ．（1）若2PD =，求PB 的长；（2）求证：2EF PB =．18．如图，对称轴为直线1x =-的二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，B 点的坐标为(1,0)．（1）求此二次函数的解析式；（2）在直线1x =-上找一点P ，使PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若第二象限的且横坐标为t 的点Q 在此二次函数的图象上，则t 为何值时，四边形AQCB 的面积最大？最大面积是多少？19．某校为美化校园，计划对面积为18002m 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为4002m 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2m（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天?20．已知二次函数221y x ax =++.（1）求该二次函数的定义域、值域、对称轴、顶点坐标（用a 表示，定义域、值域为集合）；（2）若当[]1,2x ∈-时，y 的最大值为4，求实数a 的值.21．在矩形ABCD 中，BD 为矩形ABCD 的对角线，60CBD ∠= ，12BD =．（1）如图①，将BCD △绕点B 逆时针旋转120 得到00BC D ，其中，点C 、D 的对应点分别是点0C 、0D ，延长00D C 交AB 于点E ．求BE 的长；（2）如图②，将（1）中的00BC D 以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 向右平行移动，得到111B C D △，其中，点B 、0C 、0D 的对应点分别是点1B 、1C 、1D ，当点1C 移动到边CD 上时停止移动．设移动的时间为t 秒，111B C D △与矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）如图③，在111B C D △移动过程中，直线11D C 与线段AB 交于点N ，直线11B C 与线段BD 交于点M ．是否存在某一时刻t ，使MNC 为等腰三角形，若存在，求出时间t ；若不存在，请说明理由．2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷04（上海专用)考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知4,2a b ab +==，则22a b +=____________.【答案】12【分析】由完全平方公式变形求解．【详解】由已知2222()242212a b a b ab +=+-=-⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键．2．已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = ____________.【答案】{}1【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ，{}21,,1,44B y y x x A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，因此，{}1A B ⋂=.故答案为：{}1.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.3．设全集为R ，集合()1,3A =，则A =R ð____________.【答案】(][),13,-∞+∞ 【分析】直接根据补集的定义即可得结果.【详解】因为()1,3A =，所以(][),13,A =-∞+∞R ð，故答案为：(][),13,-∞+∞ .【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题.4．设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B = ____________.【答案】[]1,4-【分析】直接根据并集的定义运算即可.【详解】因为{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，所以[]1,4A B =- ，故答案为：[]1,4-.【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题.5．如图，菱形OABC 的顶点O 的坐标为(0,0)，顶点A 的坐标为(3,0)，顶点B 在第一象限，边BC 与y 轴交于点D ，sin 3OAB ∠=，点E 在边OA 上．将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，使点A 落在这个坐标平面内的点F 处，且AE EF ⊥．若点F 在某个反比例函数的图象上，则此反比例函数的解析式为________．【答案】333y x-=【分析】根据题意得OD =，进而由对称性得135DEF ∠= ，45DEO ∠= ，故DEO 是等腰直角三角形，进一步得3OE OD AE EF ====-，点F 的坐标为：)3-再根据待定系数法求解析式即可.【详解】解：由3sin 3OAB ∠=知，B y =，所以OD =∵四边形ABDE 沿直线DE 翻折，且AE EF ⊥，∴()1360901352DEF ∠=-= ，∴1359045DEO ∠=-= ，故DEO 是等腰直角三角形，∴3,33OE OD AE EF ====，∵点F 在第四象限，∴点F 的坐标为：)3,33-∴设反比例函数解析式为()0k y k x=≠，待定系数得：333k =-，∴此反比例函数的解析式为333y x -=.故答案为;333y x-=【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形性质，翻折变换的性质，待定系数法求解析式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于判断出DEO 是等腰直角三角形，进而求得点F 的坐标.6．点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线24y x =-上运动，则线段AB 的长度的最小值为____________.【答案】55【分析】当AB 垂直于24y x =-时，线段AB 最小，求出点到直线距离即可.【详解】当AB 垂直于24y x =-时，线段AB 最小，()2146555⨯--=，故答案为：55.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题.7．方程22112310x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为____________.【答案】2x =或12x =【分析】令1t x x =+换元转化为一元二次方程求解．【详解】令1t x x =+，则22212x t x +=-，原方程可变为：22(2)310t t ---=，即22350t t --=，(1)(25)0t t +-=，11t =-，252t =，11t =-时，11x x+=-，210x x ++=，1430D =-=-<，无实数解252t =时，152x x +=，22520x x -+=，解得12x =，212x =．故答案为：2x =或12x =【点睛】本题考查用换元法解方程，对较为复杂的方程（高次的或分式等方程）可用换元法进行转化，化为低次方程，整式方程求解．8．若,x y 为非零实数，且2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+____________.【答案】15-或52【分析】由于y 与x 不能同时为0，不妨设0y ≠，由2220x xy y +-=解得x y =或2x y =-，再代入即可得出结果.【详解】由22223x xy y x y++=+有意义，可知y 与x 不能同时为0．不妨设0y ≠，由2220x xy y +-=，化为()()20x y x y +-=，解得x y =或2x y =-，把x y =代入，可得22222235522x xy y y x y y ++==+，把2x y =-代入，可得222222222346145x xy y y y y x y y y ++-+==-++，故答案为：15-或52.【点睛】本题主要考查了方程的解法和求代数式的值，属于基础题9．已知,a b 为常数，若0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则0-<bx a 的解集是____________.【答案】(),3∞--【分析】由题意知0a <，0b >，3a b=-即可求0-<bx a 的解集；【详解】由0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，知：0a <且13b a =-，∴0b >且3a b=-，即可知0-<bx a 的解集为3x <-，故答案为：(),3∞--【点睛】本题考查了求含参的一元一次不等式的解法，由已知不等式的解集判断参数的符号及数量关系，进而求由原参数重构后新不等式的解集；10．设集合[][]1,3,1,24A B m m ==++，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是____________.【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据子集的定义得出不等关系后求解．【详解】∵A B ⊆，∴11243m m +≤⎧⎨+≥⎩，解得102m -≤≤．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】查考集合包含关系，掌握子集的定义是解题关键．11．设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49i j x x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.【答案】{}1,10,20,29【分析】不妨设1234a a a a <<<，集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中至多有6个数，确定i j a a +中的最小和最大的数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解．【详解】不妨设1234a a a a <<<，则在集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中，12a a +最小，34a a +最大，即1211a a +=，3449a a +=，第二小的数是13a a +，第二大的数是24a a +，即1321a a +=，2439a a +=，从而有142330a a a a +=+=，由1211a a +=，3449a a +=，1321a a +=，2439a a +=，142330a a a a +=+=，可解得11a =，210a =，320a =，429a =，故答案为：{}1,10,20,29【点睛】本题考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把i j a a +排列，再根据集合的定义得出结论后可求解．考查了逻辑推理能力，运算求解能力．12．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知函数()[]():3,1,:3f x p x q f x m =∈--<，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为____________.【答案】（0，3）【分析】求出[3,1]x ∈-时，()f x 的范围，再求出q 为真时，()f x 的范围，由充分条件对应的集合包含关系可得m 的范围．【详解】p 为真时，[3,1]x ∈-，29[0,9]x -∈，()[0,3]f x ∈，q 为真时，()3f x m -<，3()3m f x m -<<+，p 是q 的充分条件，则3033m m -<⎧⎨+>⎩，解得03m <<．故答案为：(0,3)，【点睛】本题考查充分条件，考查充分条件与集合包含之间的关系，解题关键是问题转化为集合包含关系．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接BE 并延长与CD 的延长线交于点F ．若2EF EB =，3CD cm =，则FD 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm【答案】B【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形可得//AD BC ，进而可得【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，DEF CFB ，根据对应边成比例即可求解.所以//AD BC ，即//ED BC ，所以DEF CFB ，所以2233FBFD FEFC FB FB ===，所以233FD FD =+，解得：6FD =，故选：B.14．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（）A ．()U C AB U = B ．()()U U UC A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U= 【答案】D【分析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论.【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U = ，选项A 正确，()()U U U C A C B C B = ，选项B 正确，()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠ ，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题.15．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，35BDC ∠=︒．则ABC ∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．55︒【答案】D【分析】由圆的性质可得90ACB ∠=︒，35CAB BDC ∠=∠=︒，在直角三角形ABC 中，根据三角形的内角和性质，可得答案.【详解】在圆O 中，AB 为直径，则90ACB ∠=︒由圆中同弧所对的圆周角相等，得35CAB BDC ∠=∠=︒所以在直角三角形ABC 中，903555ABC ACB CAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒故选：D16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意两个元素的并集属于τ；（3）τ中任意两个元素的交集属于τ，则称τ是集合X 上的一个拓扑，已知{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅；②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅；③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅；④{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅.其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②④B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】A【分析】根据集合X 上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可【详解】对于①，{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅，而{}{}{},a c a c τ⋃=∉，所以①不是集合X 上的拓扑的集合τ；对于②，{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅，满足（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意两个元素的并集属于τ；（3）τ中任意两个元素的交集属于τ，所以②是集合X 上的拓扑的集合τ；对于③，{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅，而{}{}{},,,,a b a c a b c τ⋃=∉，所以③不是集合X 上的拓扑的集合τ；对于④，{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅，满足（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意两个元素的并集属于τ；（3）τ中任意两个元素的交集属于τ，所以④是集合X 上的拓扑的集合τ；故选：A【点睛】此题考查学生的理解能力，考查集合的有关新定义，是开放型的问题，属于基础题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，点P 、E 、F 分别在正方形ABCD 的对角线AC 、边AB 、边BC 的延长线上，直线EF PD ⊥，垂足为点P ，连接PB 、PD ．（1）若2PD =，求PB 的长；（2）求证：2EFPB =．【答案】（1）2PB =；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，证出BCP DCP ≅ 即可求解.（2）延长DC 交EF 于点G ，证出90E PDC ∠=︒-∠，90PBE PBC ∠=︒-∠，从而可得E PBE ∠=∠，即证出PB PE =，再证出F PBF ∠=∠，得出PB PF =，即证.【详解】（1） 四边形ABCD 是正方形，45ACB ACD ∴∠=∠=︒，BC CD =．点P 在正方形ABCD 的对角线AC 延长线上，135BCP DCP ∴∠=∠=︒．又CP CP = ，BCP DCP ∴≅ ．∴PB =PD ．Q PD =2∴，PB =2 ．（2）证明：由（1） BCP ≅DCP 得∠PBC ∠ =PDC ．延长DC 交EF 于点G ．四边形 ABCD 是正方形，∴CG / /BE ．∠∴E ∠ =DGP ．DP ⊥PG ，∠∴DGP =90∠ − °PDC ．∠∴E =90∠ − °PDC ． 点E 在边 AB 的延长线上，∠∴FBE =90∠∴．°PBE =90∠ − °PBC ，∠∴E ∠ =PBE ．∴PB =PE ．又∠ F =90∠ − °E ，∠PBF =90∠ − °PBE ，∠∴F ∠ =PBF ．∴PB =PF ． EF =PB +PF ，∴EF =2PB ．18．如图，对称轴为直线1x =-的二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，B 点的坐标为(1,0)．（1）求此二次函数的解析式；（2）在直线1x =-上找一点P ，使PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若第二象限的且横坐标为t 的点Q 在此二次函数的图象上，则t 为何值时，四边形AQCB 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）223y x x =--+；（2）P (1,2)-；（3）32t =-时，AQCB S 四边形有最大值，此时AQCB S 四边形的最大值为758.【分析】（1）根据对称轴以及和x 轴的交点坐标，直接计算即可得解；（2）要在直线1x =-上找一点P 使PBC 的周长最小的问题，也就是要在直线1x =-上找一点P 使PC 与PA 的和最小的问题，在连接AC 的线中，线段AC 最短，设经过A 、C 两点的直线为直线y mx n =+，联立方程即可得解；（3）由ABC ACQ AQCB S S S =+ 四边形，则()23632AQCB S t t =+--四边形23375228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭故当32t =-时，AQCB S 四边形有最大值.【详解】（1） 二次函数2y x bx c =-++的图象的对称轴为直线1x =-，12(1)b∴-=-⨯-．2b ∴=-．点(1,0)B 在二次函数2y x bx c =-++的图象上，21(2)10c ∴-+-⨯+=．3c ∴=．∴二次函数的解析式为223y x x =--+．（2）由（1）知二次函数的解析式为223y x x =--+．令0x =，得3y =．∴点C 的坐标为(0,3)．由题意，可得点(1,0)B 与点(3,0)A -关于直线1x =-对称．∴要在直线1x =-上找一点P 使PBC 的周长最小的问题，也就是要在直线1x =-上找一点P 使PC 与PA 的和最小的问题．在连接AC 的线中，线段AC 最短．∴直线AC 与直线1x =-的交点就是所要找的点P （如图），设经过A 、C 两点的直线为直线y mx n =+，则有303m n n -+=⎧⎨=⎩，13m n =⎧∴⎨=⎩．3y x ∴=+．由31y x x =+⎧⎨=⎩，得点P 的坐标为(1,2)-．（3）如图．过点Q 作QF x ⊥轴，垂足为F ，直线AC 与直线QF 交于点E ．则ABC ACQ AQCB S S S =+ 四边形．1143622ABC S AB OC =⋅⋅=⨯⨯= ，ACQ AQE CQE S S S =+ 11132222QE AF QE OF QE OA QE=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅又 点Q 的横坐标为t ，∴点Q 和点E 的纵坐标分别为223t t --+和3t +．2223(3)3QE t t t t t ∴=--+-+=--．()23632AQCB S t t ∴=+--四边形22393375622228t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭．由题意知，30t -<<．∴当32t =-时，AQCB S 四边形有最大值，此时AQCB S 四边形的最大值为758．19．某校为美化校园，计划对面积为18002m 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为4002m 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2m（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天【答案】（1）甲：1002m ，乙：502m ；（2）10天.【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为x 2m ,根据在独立完成绿化的面积时,甲队比乙队少用4天,列出方程,求解即可;(2)设应安排甲队工作y 天,根据这次绿化的面积总费用不超过8万元,列出不等式,求解即可.【详解】解:(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为x 2m ，根据题意得:40040042x x-=,解得:50x =,经检验50x =是原方程的解,则甲工程队每天能完成绿化的面积是2502100m ⨯=答:甲工程队每天能完成绿化的面积分别是1002m ,乙工程队每天能完成绿化的面积分别是502m (2)设应安排甲队工作y 天,根据题意得:18001000.40.25850yy -+⨯≤,解得:10y ≥答:至少应安排甲队修建10天.【点睛】本题考查不方程和不等式在实际问题中的应用，考查分析问题的能力，属于基础题.20．已知二次函数221y x ax =++.（1）求该二次函数的定义域、值域、对称轴、顶点坐标（用a 表示，定义域、值域为集合）；（2）若当[]1,2x ∈-时，y 的最大值为4，求实数a 的值.【答案】（1）定义域为R ，值域为)21,a ⎡-+∞⎣，对称轴为x a =-，顶点坐标为()2,1a a--；（2）1-或14-.【分析】（1）对二次函数进行配方，根据二次函数的性质可得结果；（2）二次函数的性质可得最大值必在1x =-或2x =处取得，分别讨论、验证即可得结果.【详解】（1）∵()222211y x ax x a a =++=+-+，由二次函数性质可得：定义域为R ，值域为)21,a ⎡-+∞⎣，对称轴为x a =-，顶点坐标为()2,1a a--.（2）由二次函数的性质可得最大值必在1x =-或2x =处取得，当1x =-时，224y a =-=，解得1a =-，此时在2x =处的函数值为1，满足题意；当2x =时，544y a =+=，解得14a =-，此时在1x =-处的函数值为52，满足题意；故实数a 的值为1-或14-.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，考查了数形结合的思想，属于基础题.21．在矩形ABCD 中，BD 为矩形ABCD 的对角线，60CBD ∠= ，12BD =．（1）如图①，将BCD △绕点B 逆时针旋转120 得到00BC D ，其中，点C 、D 的对应点分别是点0C 、0D ，延长00D C 交AB 于点E ．求BE 的长；（2）如图②，将（1）中的00BC D 以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 向右平行移动，得到111B C D △，其中，点B 、0C 、0D 的对应点分别是点1B 、1C 、1D ，当点1C 移动到边CD 上时停止移动．设移动的时间为t 秒，111B C D △与矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）如图③，在111B C D △移动过程中，直线11D C 与线段AB 交于点N ，直线11B C 与线段BD 交于点M ．是否存在某一时刻t ，使MNC 为等腰三角形，若存在，求出时间t ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）BE =（2）23s t =-+-，69t ≤＜；（3）存在，t 的值为214-或32-+或3+【分析】（1）证明00DBC D BC ≅ ，求出0ED B ∠即可求解；（2）分情况讨论，当0C 在矩形ABCD 外时03t ≤≤，阴影部分是三角形，可利用相似三角形求出面积；当0C 在矩形ABCD 内部时，阴影部分是四边形，分36t <≤和69t <≤；（3）根据已知用t 表示相关线段，根据等腰列出一元二次方程，判断非常的根即可.【详解】（1）在矩形ABCD 中，90ABC C ∠=∠=o ，60CBD ∠= ，0120DBD ∠= ，0180D BD DBC ∴∠+∠=，0D ∴、B 、C 三点在一条直线上，090ABD ∠= ，又由旋转知00DBC D BC ≅ ，0060D BC DBC ∴∠=∠=，012D B DB ==，030ED B ∴∠= ，0tan 30123BE BD ∴==⨯= ；（2）当03t ≤≤时，232s t =，当36t <≤时，236s t =-+-当69t <≤时，23s t =-+-．（3）sin 12sin 60122CD BD CBD =∠=⨯=⨯= 1cos 12cos 601262BC BD CBD =∠=⨯=⨯= ，过点M 作MF ⊥于点F (如图)，1BB M 为等边三角形，11BM B M BB t ∴===，16C M t ∴=-，112D B t =-，162CF t =-，2MF t =，(12)3BN t ∴=-，1(12)3D N t =-，16 /161)6)C N t t =--=-，2222221176)620483MN C N C M t t t t ∴=+=-+-=-+，2222221663622MC CF MF t t t ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222216(12)88433NC BC BN t t t ⎤=+=+-=-+⎥⎣⎦．①当MN MC =时，22720486363t t t t -+=-+，解得：12194t +=>（舍去），2214t -=．②当MC NC =时，2216368843t t t t -+=-+，解得：3302t --=<（舍去），432t -+=．③当MN NC =时，2271204888433t t t t -+=-+，解得：530t =-<（舍去）63t =+综上所述：当t的值为214-或32-+或3+MNC 为等腰三角形．【点睛】关键点点睛：利用三角形全等可求出边和角，由图形的变换利用间接法可计算图形的面积，讨论等腰三角形三种情况列方程求根即可.。
上海市七宝中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
AB AC
，且
AB
=4，
AC 2 ，则 AM 的最小值为______.
10．已知函数 f (x)
3
|
cos
π 2
x
|
（
0
x
4045
），其图像的最高点从左到右依次记为
A1，A2，A3，，An ，其图像与 x 轴的交点从左到右依次记为 B1，B2，B3，，Bn ，则
A1B1 B1A2 B1A2 A2B2 A2B2 B2 A3 B2 A3 A3B3 B A 2022 2023 A B 2023 2023 ____.
cos2
kx )2 5
3 sin 2
kx 5
cos2
kx 5
1
3 4
sin 2
2kx 5
3 8
cos
4kx 5
5 8
，
若对任意实数 a，均有 f x a x a 1 f x x R ，
则最小正周期 T
1 ，即
2 4k
5
1 ，即 k
5 2
，
由 k Z ，所以 k 8 ，所以则 k 的最小值为 8 .
f
x
，求当
f
x
8 5
且
x
ππ 3 ，6
时
cos
x
的值；
(3)由（1）中函数 g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的 2 倍，再把整个图象
向右平移
2π 3
个单位长度得到
h
x
的图象，已知
A
2，3
，
B
2，6
，问在
y
h
x
的图
象上是否存在一点
P，使得
上海市七宝中学2018-2019年高一下学期开学考数学试卷及答案
2018-2019学年七宝高一开学考数学试卷一、填空题1. 已知函数()f x 是幂函数，且()()2416f f =，则()f x 的解析式为____________2.若cos 63πα⎛⎫−=⎪⎝⎭，则5cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________ 3. 不等式101x x −≥+的解集为____________ 4. 若不等式210x kx k −+−>对()1,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是____________5. 函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域是____________ 6. 若1sin cos 5αα+=，0απ≤≤，那么tan α的值是____________ 7. 函数()y f x =的反函数为()1y f x −=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2−，那么函数()121y f x −=−+的图像一点过点____________8. 定义在正整数集上的分段函数()11551x x f x x x x =⎧⎪⎪=⎨⎪−⎪⎩是的倍数是其它整数，则满足()1f f x =⎡⎤⎣⎦的所有x 的值的和等于____________9. 2sin 1cos αα=+，则tan α=____________10.已知tan tan αβ⋅=，求()()2cos 22cos αβ−−=____________ 11. 若关于x 的方程()221log 2log 1log log log 2x a x a a x x x x −−+=恰有一解，求a 的取值范围____________ 12. ()()*1,,p,q x x f x q q x p N q Z p p ⎧⎪=+⎨=∈∈⎪⎩是无理数且互素，则()f x 在78,89x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的最大值是____________二、选择题13.“tan a θ=”是“1cos 2sin 2a θθ−=”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14. 已知()22430230x x x f x x x x ⎧−+≤=⎨−−+>⎩，不等式()()2f x a f a x +>−在[],1a a +上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,0−B. (),0−∞C.（0,2）D. (),2−∞−15. 有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同（3）若sin 0α>，则α是第一或第二象限角；（4）ABC 中，若A>B ，则sinA>sinB ，其中正确命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 设()f x 是定义域为R 的以3位周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间()6,6−内解的个数的最小值为（ ）A. 15B. 13C. 11D. 9三、解答题17. 已知函数()()0,1,x b f x a a a b R +=>≠∈.（1）若()f x 为偶函数，求b 的值；（2）若()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，试求,a b 应满足的条件.18. 某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高一元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需要影院定一个合适的票价，符合的基本条件是：①为方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出.（1）设定价为()*x x N ∈元，净收入为y 元，求y 关于x 的表达式；（2）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少元？。
2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期分班考试数学试题
2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期分班考试数学试题一选择题1．已知a>b>0则下列不等式不一定成立的是（）A.ab>bcB. a+c>b+cC. 1a<1bD. ac>bc2.若不等式组2113xx a-⎧⎪⎨⎪⎩ff的解为x>2，则a的取值范围是（)A. a>2B. a≥2C. a<2 D a≤23．若M（-12，y1）、N（-14，y2）、P（12，y3）三点都在函数(0)ky kx=p的图像上，则y1、y2、y3大小关系为A. y2> y1> y3B. y2> y3> y1C. y3> y1> y2D. y3> y2> y14．已知y= 2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式为（)A. y=2(x-2)2+2B. y=2(x+2)2-2C. y=2(x-2)2-2D. y=2(x+2)2+25．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖，参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率为（)A.14B.16C.15D.3206．将水匀速注入一个容器，时间（t)与容器水位（h)的关系如图，则容器形状是（) 二、填空题7.2(3)0n-=，则2009(3)m n+-=8．已知a:b:c=4:5:7,a + b + c = 240，则2b-a+c =9．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0,2)与(-2,0)重合，则点（-12，0)与点＿重合10．对于整数a、b、c、d，符号a bd c表示运算ac bd-，已知1134bdp p，则b+d的值为11．定义“＊”:A ＊B (1)(1)X Y A B A B =++++，若1*2=3,2*3= 4，则3*4= 12．分式方程133x m x x +=--有增根，则m= 13．如图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式 (n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的数：14.已知a-b=b-c=35,a 2+b 2+c 2=1,则ab+bc+ca=15.若2610x x -+=,则2211x x +-= 16．如图，AB//CD, ∠BAP=600-α, ∠APC=45+α, ∠PCD=300-α，则α=17．关于x 的一元二次方程mx 2-x +1=0有实根，则m 的取值范围是＿18．如图，点A. B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程长度是 .19．二次函数y = x 2- 2x -3与二轴两交点之间的距离为＿20．已知α、β是方程x 2- x -1=0的两个实数根，则代数式22(2)ααβ+-==_ 21．如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=900, ∠A=300, AC=3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、 AC 分别相交于点E 和点D ，则折痕DE 的长为22．已知x 、y 、z 为实数，满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，那么x 2+y 2+z 2的最小值是三 解答题23.一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．24．如图，线段AB=5，点E在线段AB上，且AE=3, GB与以AE为半径的GA相交于点C,CE 的延长线交GB于点F.(1)当直线AC是GB的切线时，求证，BF⊥AB;(2）求EF:CE的值；(3）设EF = y,BF=x，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1, OB=万，矩形ABOC绕点。
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(上海专用)01
1. 分解因式：
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用）01
__________.
2. 已知|a|<1，则 与1－a的大小关系为________.
3. 不等式
的解集为 _________.
4. 若关于x的一元二次方程 x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为__________．
21. 已知函数
，设关于x的方程
（1）若
，求 与 的关系式；
（2）若 均为负整数，且
，求f(x)的解析式；
的两实根为 ，方程f(x)=x的两实根为 .
22. 已知二次函数的图象过点
， ，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
23. 求二次函数
在区间
上的最大值.
5. 已知
，求
二、单选题
=_______.
6. 已知集合
，若
，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．Biblioteka D．7. 函数 A． C．
的定义域为（ ） B． D．
8. 下列分解因式错误的是（ ） A．a -5a+6=(a-2)(a-3) C．-4x +y =-(2x+y)(2x-y)
B．1-4m +4m=(1-2m) D．3ab+ a b +9=(3+ ab)
9. 已知 A．2
是一元二次方程
的一个根，则 B．1
（） C．0
10. 关于 的方程 A．
有两个不等的实根，则 的取值范围是（ ）
B．
C．
D．-1 D．
11. 下列说法中不正确的是（ ） A．函数y＝2x的图象经过原点
上海新高一报到、分班考时间（附部分往届分班考测试卷）
上海新高一报到、分班考时间（附部分往届分班考测试卷）对于新高一学生来说，最近更重要的就是高中报到、分班考试、军训安排，今天帮大家收集整理相关信息，供新高一家长参考，同时何老师收集整理了11套往届分班考数学卷，通过聊天对话框发送“分班考”即可获取下载链接。
1何为分班考、摸底考分班考：接到高中录取通知书或入学后，学校为了依据学生的成绩或特长等分出实验班和普通班，特色班和平行班等而进行的内部考试，考试科目根据学校选拔目的的不同各异，考试难度较大，考试范围不定。
摸底考：摸底考与分班考大同小异，只是从名称上不凸显“分班”功能，学校和班主任可以通过摸底考了解学生，便于因材施教。
2常见问题一、为什么重点高中统一中考之后，还要组织一次分班考？1、中考难度有限，区分度不大由于中考承担一部分学业考的功能，难度分布在8:1:1，所以中考成绩体现出来的梯度非常小，甚至会存在一部分学习素养很好的学生被埋没，分班考可以有效的将中考正态分布中的高分段细分。
2、教学进度分层、高中师资分配高中学习是学生学习的黄金时期，精力充沛、智力发达。
重点高中希望把最优秀的师资力量分配给最优秀的学生，从进度或者难度上进行分层。
二、参加分班考/摸底考需要准备什么？上海的分班考大部分考的都是初中的内容，但是难度比较大，很多是初中竞赛的内容。
也有可能会涉及一些高一的内容和运用高中的思维方法。
一般来说，学校越好，考得越难！1、由于中考难度不大，无法区分学生水平。
高中入学分班考试，是每所高中自编题目，用于考察入学考生的水平，选拔优秀的学生进入理科班、实验班等班级；同时也作为平行班的摸底考试。
2、分班考试的题目大多不会偏离初中的内容，但是从数、理、化三门课来看，大多难度直追竞赛，参加分班考试的学生感觉就是：难难难。
3、初中的大多数学生都是优秀的，这样的考试是重点高中打掉学生气焰一种手段，同时也可以选拔出优秀的学生接受更好的教育资源配置。
考到好的班级，不仅老师好。
2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题 1．“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】先考查充分性，再考虑必要性得解. 【详解】当tan a θ=时，21cos22sin sin sin 22sin cos cos a θθθθθθθ-===，但是当=0θ时，1cos2sin 2θθ-分母为零，没有意义. 所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的非充分条件；当1cos2sin 2a θθ-=时，2(),2k k k Z x πθπ≠∈∴≠. 所以21cos22sin sin =tan sin 22sin cos cos a θθθθθθθθ-===， 所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要条件.所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要非充分条件.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知f （x ）=2x 4x 3,x 02x 2x 3,x 0-+≤⎧⎪--+>⎨⎪⎩，不等式f （x+a ）＞f （2a-x ）在[a ，a+1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2∞--B.(),0∞-C.()0,2D.()2,0-【答案】A【解析】试题分析：二次函数243y x x =-+的对称轴为2x =，则该函数在(,0)-∞上单调递减，则2433x x -+≥，同样函数223y x x =--+在(0,)+∞上单调递减，2-233x x ∴-+<()f x ∴在R 上单调递减；由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a <；则2x a <在[,1]a a +上恒成立；则2(1),2a a a +<∴<-，实数a 的取值范围是(,2)-∞-，故选A ；【考点】1.分段函数的单调性；2.恒成立问题；3．有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若sin 0α>，则α是第一或第二象限角；（4）△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >；其中正确命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】（1），根据终边相同的角的同名三角函数值相等，判断命题正确；（2），根据终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，判断命题错误；（3），当sin 0α>时，α是第一或第二象限角，或为终边在y 轴的正半轴上，判断命题错误；（4），根据大角对大边，利用正弦定理即可判断结论正确． 【详解】对于（1），终边相同的角的同名三角函数值相等，所以比值相等，（1）正确； 对于（2），终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，如5sin sin66ππ=， 所以比值也可能相同，（2）错误；对于（3），若sin 0α>，则α是第一或第二象限角，或终边在y 轴的正半轴上，（3）错误；对于（4），ABC ∆中，若A B >，则a b >， 由正弦定理得2sin sin a bR A B==， 2sin 2sin R A R B ∴>，sin sin A B ∴>，（4）正确； 综上，其中正确命题的序号为（1）和（4），共2个．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及三角函数的定义，角的取值和三角函数的符号，是基础题．4．设()f x 是定义域为R 的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(6,6)-内解的个数的最小值为（ ） A.15 B.13C.11D.9【答案】A【解析】根据题意，由奇函数的性质可得(0)0f =，结合函数的周期性可得f （3）0=，(3)0f -=，结合f （2）0=分析可得f （2）f =（5）(1)0f =-=，进而可得(2)(5)f f f -=-=（1）0=和f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=；结合奇偶性与周期性可得33()()022f f -==，进而可得99()()022f f -==，综合可得答案．【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 又由()f x 是周期为3的周期函数，则f （3）0=，(3)0f -=， 又由f （2）0=，则f （2）f =（5）(1)0f =-=， 又由函数为奇函数，则(2)(5)f f f -=-=（1）0=， 则有f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=，又由函数()f x 是以3为周期的奇函数，故有33()()22f f -=-且33()()22f f -=，则有33()()022f f -==，则有99()()022f f -==，综合可得：方程()0f x =在区间(6,6)-内解至少有：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，92-，32-，32，92，共15个；故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析33()()022f f -==，属于基础题．二、填空题5．已知函数()f x 是幂函数，且2(4)(16)f f =，则()f x 的解析式为________ 【答案】12x【解析】设()f x x α=，根据条件建立方程求出α的值即可．【详解】设()f x x α=，2f （4）(16)f =， 2416αα∴⨯=，即1624αα=，则42α=，12α=， 即12()f x x =， 故答案为：12()f x x = 【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．6．已知cos()6πα-=，则5cos()6πα+=_________ 【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=， 所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。
上海市七宝中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题(含答案和详细解析)
第1页共16页2023-2024学年上海市七宝中学高一年级下学期开学考数学试卷2024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,230,A B x x x N =--=-<∈，则A B = ______.的弦所对的劣弧长是______.3.函数21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为______.4.已知:31p x - ，:(q x a a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是______.5.设,,a b c 都是非零常数，且满足49a b c b ==，则11a c +=______.（结果用b 表示）6.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则cos2α=______.7.已知关于x 的不等式20ax x a -+<的解集非空，则实数a 的取值范围是______.8.若实数x 满足cos2sin 1x x +=，且()0,x π∈，则x =______.9.对任意[),0,x y ∈+∞，且x y ≠，不等式x y -恒成立，则实数c 的取值范围为______.10.在ABC ∆中，tan 4tan B A =，则当B A -取最大值时，sin C =______.11.已知函数122|2|log (1),1()()22,x x x n f x n m n x m ----⎧⎪=<⎨⎪-<⎩ 的值域是[]1,2-，当30,4n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，实数m 的取值范围是______.12.定义：关于x 的两个不等式()0f x <，()0g x <的解集分别为(,)a b 和1(a ，1b，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式2cos 20x θ-+<与不等式224sin 10x x θ++<为对偶不等式，则θ=______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设,a b R ∈，若110a b <<，则（）.A.a b < B.a b < C.a b ab+> D.22a b <。
2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(上海专用)01(原卷+解析版)
2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用)01考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式2311x x +<-的解集是_____．2．（2020·上海高一开学考试）分解因式：2441x x -+__________.3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = ____________.4．（2020·上海交大附中高一开学考试）设全集为R ，集合()1,3A =，则A =R ð____________.5．（2020·上海交大附中高一开学考试）设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B = ____________.6．已知{1x ∈，2，2}x x -，则实数x 为________．7．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,a b 为常数，若0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则0-<bx a 的解集是____________.8．（2020·上海交大附中高一开学考试）设集合[][]1,3,1,24A B m m ==++，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是____________.9．已知0a >，0b >，且21a b +=+的最大值为________.10．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知函数()[]():3,1,:3f x p x q f x m =∈--<，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为____________.11．（2020·上海交大附中高一开学考试）设全集(){},|,U x y x y R =∈，集合()(){}3,|1,,|12y M x y N x y y x x -⎧⎫===≠+⎨⎬-⎩⎭，那么()()U U M N ⋂=痧____________.12．（2020·上海交大附中高一开学考试）设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49ijx x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（2020·上海高一开学考试）已知0,0,1x y x y >>+=，则11x y+的最小值是（）A ．2B．C ．4D．14．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（）A ．若>a b ，则11a b<B ．若>a b ，则22a b >C ．若>a b ，c d <，则>a c b d--D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd15．（2020·上海高一开学考试）不等式2560x x +->的解集是A ．{}23x x x -或B ．{}23x x -<<C ．{}61x x x -或D ．{}61x x -<<16．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,,,,a b c d e 均为正整数，且满足15.18111a b c d e=++++，则a b c d e ++++=（）A ．13B ．14C ．15D ．16三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知集合{}213A x x =-<+<，集合B 为整数集，令C A B = .（1）求集合C ；（2）若集合{}1,D a =，{2,1,0,1,2}C D =-- ，求实数a 的值.18．若()()211f x ax a x =-++，a R ∈.（Ⅰ）若()0f x <的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值；（Ⅱ）求关于x 的不等式()0f x <的解集.19．解关于x的不等式.（1）x2<2x+3；（2）4x−2x−2>0.20．（2020·上海交大附中高一开学考试）某校为美化校园，计划对面积为18002m的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独m区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.立完成面积为4002m?（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天?21．（2020·上海高一开学考试）已知函数2()4(0,,)f x ax x b a a b R =++<∈，设关于x 的方程()0f x =的两实根为12,x x ，方程f (x )=x 的两实根为,αβ.（1）若||1αβ-=，求a 与b 的关系式；（2）若,a b 均为负整数，且||1αβ-=，求f (x )的解析式；2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用)01考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式2311x x +<-的解集是_____．【答案】(－4，1)【分析】不等式等价于401x x +<-，即()()410x x +-<，即可解出.【详解】不等式2311x x +<-即23101x x +-<-，即401x x +<-，等价于()()410x x +-<，解得41x -<<，故不等式的解集为：(4,1)-.故答案为：(4,1)-.2．（2020·上海高一开学考试）分解因式：2441x x -+__________.【答案】()221x -【分析】利用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+分解因式【详解】解：2441x x -+=()221x -故答案为：()221x -【点睛】此题考查公式法分解因式，属于基础题.3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = ____________.【答案】{}1【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}21,,1,44B y y x x A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，因此，{}1A B ⋂=.故答案为：{}1.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.4．（2020·上海交大附中高一开学考试）设全集为R ，集合()1,3A =，则A =R ð____________.【答案】(][),13,-∞+∞ 【分析】直接根据补集的定义即可得结果.【详解】因为()1,3A =，所以(][),13,A =-∞+∞R ð，故答案为：(][),13,-∞+∞ .【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题.5．（2020·上海交大附中高一开学考试）设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B = ____________.【答案】[]1,4-【分析】直接根据并集的定义运算即可.【详解】因为{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，所以[]1,4A B =- ，故答案为：[]1,4-.【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题.6．已知{1x ∈，2，2}x x -，则实数x 为________．【答案】0或1【分析】分别令1x =，2x =和2x x x =-，并将x 的值代入集合检验是否符合元素的互异性，进而可得实数x 的值．【详解】当1x =时，2110x x -=-=，符合题意；当2x =时，2422x x -=-=，舍去；当2x x x =-时，解得0x =或2（舍），则0x =，符合题意；则实数x 为0或1故答案为：0或1【点睛】本题考查集合元素的性质，考查互异性的应用，属于基础题．7．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,a b 为常数，若0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则0-<bx a 的解集是____________.【答案】(),3∞--【分析】由题意知0a <，0b >，3ab =-即可求0-<bx a 的解集；【详解】由0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，知：0a <且13b a =-，∴0b >且3ab=-，即可知0-<bx a 的解集为3x <-，故答案为：(),3∞--【点睛】本题考查了求含参的一元一次不等式的解法，由已知不等式的解集判断参数的符号及数量关系，进而求由原参数重构后新不等式的解集；8．（2020·上海交大附中高一开学考试）设集合[][]1,3,1,24A B m m ==++，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是____________.【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据子集的定义得出不等关系后求解．【详解】∵A B ⊆，∴11243m m +≤⎧⎨+≥⎩，解得102m -≤≤．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】查考集合包含关系，掌握子集的定义是解题关键．9．已知0a >，0b >，且21a b +=+的最大值为________.=，由基本不等式计算可得结果，验证等号成立即可得解.【详解】因为0a >，0b >，且21a b +=，===≤==，当且仅当2a b =即11,42a b ==时，等号成立，..【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知函数()[]():3,1,:3f x p x q f x m =∈--<，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为____________.【答案】（0，3）【分析】求出[3,1]x ∈-时，()f x 的范围，再求出q 为真时，()f x 的范围，由充分条件对应的集合包含关系可得m 的范围．【详解】p 为真时，[3,1]x ∈-，29[0,9]x -∈，()[0,3]f x ∈，q 为真时，()3f x m -<，3()3m f x m -<<+，p 是q 的充分条件，则3033m m -<⎧⎨+>⎩，解得03m <<．故答案为：(0,3)，【点睛】本题考查充分条件，考查充分条件与集合包含之间的关系，解题关键是问题转化为集合包含关系．11．（2020·上海交大附中高一开学考试）设全集(){},|,U x y x y R =∈，集合()(){}3,|1,,|12y M x y N x y y x x -⎧⎫===≠+⎨⎬-⎩⎭，那么()()U U M N ⋂=痧____________.【答案】(){}2,3【分析】分析出集合M ，N 的各自意义，进而可知,U UM N 痧的各自意义，从而可求出()()U U M N 痧.【详解】解：由312y x -=-可得+1,2y x x =≠，即M 表示直线+1y x =除去()2,3的点集，N 表示平面内不在直线=1y x +上的点集，则U N ð表示平面内在直线=1y x +上的点集，U M ð表示不在直线+1y x =上的点和点()2,3的集合，所以(){}()()2,3U U M N = 痧.故答案为:(){}2,3.【点睛】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力．12．（2020·上海交大附中高一开学考试）设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49ijx x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.【答案】{}1,10,20,29【分析】不妨设1234a a a a <<<，集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中至多有6个数，确定i j a a +中的最小和最大的数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解．【详解】不妨设1234a a a a <<<，则在集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中，12a a +最小，34a a +最大，即1211a a +=，3449a a +=，第二小的数是13a a +，第二大的数是24a a +，即1321a a +=，2439a a +=，从而有142330a a a a +=+=，由1211a a +=，3449a a +=，1321a a +=，2439a a +=，142330a a a a +=+=，可解得11a =，210a =，320a =，429a =，故答案为：{}1,10,20,29【点睛】本题考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把i j a a +排列，再根据集合的定义得出结论后可求解．考查了逻辑推理能力，运算求解能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（2020·上海高一开学考试）已知0,0,1x y x y >>+=，则11x y+的最小值是（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【分析】先将11x y+乘以“1”，结合1x y +=，化简使用基本不等式，即求得结果.【详解】()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当y x x y =，即12x y ==时取等号）11x y∴+的最小值为4.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的妙用，属于常考题.14．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（）A ．若>a b ，则11a b<B ．若>a b ，则22a b >C ．若>a b ，c d <，则>a c b d --D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项.【详解】若>0>a b ，则11a b>，故选项A 不正确；若0>a b >，则22a b <，故选项B 不正确；若c d <，则c d ->-，因为>a b 所以>a c b d --，故选项C 正确；当>0a b >，>0c d >时，才有>ac bd 成立，故选项D 不正确；故选：C【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.15．（2020·上海高一开学考试）不等式2560x x +->的解集是A ．{}23x x x -或B ．{}23x x -<<C ．{}61x x x -或D ．{}61x x -<<【答案】C【分析】先分解因式再解不等式.【详解】因为2560x x +->，所以(1)(6)01x x x -+>∴>或6x <-，选C.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.16．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,,,,a b c d e 均为正整数，且满足15.18111a b c d e=++++，则a b c d e ++++=（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【分析】根据表达式进行转化．【详解】9111115.1850.185555555051115055559119911515144=+=+=+=+=+=+=++++++++，∴5,5,1,1,4a b c d e =====，∴16a b c d e ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查小数与分数的转化，掌握分数的变形是解题基础．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知集合{}213A x x =-<+<，集合B 为整数集，令C A B = .（1）求集合C ；（2）若集合{}1,D a =，{2,1,0,1,2}C D =-- ，求实数a 的值.【答案】（1）{2,1,0,1}--；（2）2a =.【分析】（1）首先得到{}32A x x =-<<，再求C A B = 即可.（2）根据{}2,1,0,1,2C D =--即可得到答案.【详解】（1）{}{}21332A x x x x =-<+<=-<<，因为集合B 为整数集，所以{}2,1,0,1C A B -=-= .（2）因为{}2,1,0,1C -=-，{}1,D a =，{}2,1,0,1,2C D =--，所以2a =.18．若()()211f x ax a x =-++，a R ∈.（Ⅰ）若()0f x <的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值；（Ⅱ）求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（Ⅰ）4a =；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）14，1为方程()0f x =的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.（Ⅱ）(1)(1)0ax x -->，分0a <、0a =、01a <<、1a =和1a >五种情况讨论即可【详解】（Ⅰ）()2110ax a x -++<的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，14，1是()2110ax a x -++=的解.1114114a aa+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.解得：4a =（Ⅱ）当0a =时，不等式的解为1x >，解集为{}1x x >当0a ≠时，分解因式()()110x ax --<()()110x ax --=的根为11x =，21x a=.当0a <时，11a >，不等式的解为1x >或1x a <；解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.当01a <<时，11a <，不等式的解为11x a <<；解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.当1a >时，11a <，不等式的解为11x a <<；等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.当1a =时，原不等式为()210x -<，不等式的解集为∅.综上：当0a =时，不等式的解集为{}1x x >；当0a <时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，不等式的解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a =时，不等式的解集为∅.19．解关于x 的不等式.（1）x 2<2x +3；（2）4x −2x −2>0.【答案】（1）{}13x x -<<；（2）{}1x x >.【分析】（1）直接解一元二次不等式即可.（2）先换元，将不等式转化成一元二次不等式，解得22x >，再解指数不等式即得结果.【详解】解：（1）2223,230x x x x <+∴--< ；令2230,1x x x --=∴=-或3x =；∴不等式的解集为{}13x x -<<；（2）4220x x -->；令220,20x t t t =>∴-->；1t ∴<-（舍）或2t >，即22,1x x >∴>∴不等式的解集为{}1x x >.20．（2020·上海交大附中高一开学考试）某校为美化校园，计划对面积为18002m 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为4002m 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2m ?（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天?【答案】（1）甲：1002m ，乙：502m ；（2）10天.【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为x 2m ,根据在独立完成绿化的面积时,甲队比乙队少用4天,列出方程,求解即可;(2)设应安排甲队工作y 天,根据这次绿化的面积总费用不超过8万元,列出不等式,求解即可.【详解】解:(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为x 2m ，根据题意得:40040042x x-=,解得:50x =,经检验50x =是原方程的解,则甲工程队每天能完成绿化的面积是2502100m ⨯=答:甲工程队每天能完成绿化的面积分别是1002m ,乙工程队每天能完成绿化的面积分别是502m (2)设应安排甲队工作y 天,根据题意得:18001000.40.25850yy -+⨯≤,解得:10y ≥答:至少应安排甲队修建10天.【点睛】本题考查不方程和不等式在实际问题中的应用，考查分析问题的能力，属于基础题.21．（2020·上海高一开学考试）已知函数2()4(0,,)f x ax x b a a b R =++<∈，设关于x 的方程()0f x =的两实根为12,x x ，方程f (x )=x 的两实根为,αβ.（1）若||1αβ-=，求a 与b 的关系式；（2）若,a b 均为负整数，且||1αβ-=，求f (x )的解析式；【答案】（1）249(0,,)a ab a a b R +=<∈；（2）2()42f x x x =-+-.【分析】（1）根据根与系数的关系，以及||1αβ-=，得到a 与b 的关系式；（2）由（1）中得到的关系，和,a b 均为负整数，求得,a b ，得到()f x 的解析式.【详解】（1）由()f x x =得23(0,,)ax x b a a b R ++<∈有两个不等实根为,αβ，∴3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由||1αβ-=得2()1αβ-=，即2294()41b a aαβαβ+-=-=，∴249(0,,)a ab a a b R +=<∈.（2）由（1）得(4)9a a b +=，而,a b 均为负整数，∴149a a b =-⎧⎨+=-⎩或941a a b =-⎧⎨+=-⎩或343a ab =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有149a a b =-⎧⎨+=-⎩∴12a b =-⎧⎨=-⎩故所求函数解析式为2()42f x x x =-+-.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了学生分析观察能力，推理能力，属于中档题.。
2016-2017年上海市七宝重点中学高一数学分班考试卷
2016学年第一学期七宝中学高一新生入学摸底考试数学试卷一、选择题（每小题有仅一个正确答案，每题3分）1. 已知0a b >>，则下列不等式不一定成立的是（ ）A. 2ab b >B. a c b c +>+C. 11a b <D. ac bc >2. 若不等式组2113x x a-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则a 的取值范围是（ ）A. 2a >B. 2a ≥C. 2a <D. 2a ≤3. 若123111(,),(,),(,)242M y N y P y --三点都在函数(0)k y k x=<的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（ ） A. 213y y y >> B. 231y y y >>C. 312y y y >>D. 321y y y >> 4. 已知22y x =的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． 22(2)2y x =-+B ． 22(2)2y x =+- C ． 22(2)2y x =-- D ． 22(2)2y x =++ 5．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖、参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）A. 14B. 16C. 15D. 3206. 将水匀速注入一个容器，时间（t ）与容器水位（h ）的关系如图所示，则容器的形状是（ ）A.B.C.D.二、填空题（每题3分）7. 2(3)0n -=，则2009(3)m n +-=_________．8. 已知::4:5:7a b c =，240a b c ++=，则2b a c -+=_________．9． 将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（﹣2，0）重合，则点1(,0)2-与点_________重10．对于整数,,,a b c d ，符号a b d c 表示运算ac bd -，已知1134b d <<，则b d +的值为 _________．11．定义“*”：*()(1)(1)X Y A B A B A B =++++．已知1*23,2*34==，则3*4的值为 _________． 12．分式方程133x m x x +=--有增根，则m =_________． 13．如图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的数：_________．14．已知2223,15a b b c a b c -=-=++=，则ab bc ca ++的值等于_________． 15．若2610x x -+=，则2211x x +-=_________． 16．如图，//,60,45,30AB CD BAP APC PCD ααα∠=︒-∠=︒+∠=︒-，则α=_________．17．关于x 的一元二次方程210mx x -+=有实根，则m 的取值范围是_________．18．如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B 的最短路程长度是_________．19．二次函数223y x x =--与x 轴两交点之间的距离为_________．20 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式22(2)ααβ+-的值为_________．21．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,3C A AC ∠=︒∠=︒=，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与,AB AC 分别相交于点E 和点D ，则折痕DE 的长22．已知,,x y z 为实数，满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，那么222x y z ++的最小值是_________三、解答题（共34分）23 .（5分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．24.（14分)如图，线段5AB =，点E 在线段AB 上，且3AE =，B 与以AE 为半径的A 相交于点C ，CE 的延长线交B 于点F ，(1) 当直线AC 是B 的切线时，求证：BF AB ⊥；(2) 求EF CE的值； (3) 设,EF y BF x ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域24．(15分)如图所示，在平面直 角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1,AB OB ==ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点,,A E D ．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线2y ax bx c =++的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P 、Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形OBPQ 的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上？若存在，请求出点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一.选择题（仅一个正确答案，每题3分，共18分）1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C二.填空题（每题3分，共48分）7．﹣1 8．195 9. 1(0,)2 10. 3± 11. 10635-12. 3 13. 21n n -+ 14. 225- 15. 33 16. 15° 17. 14m ≤且0m ≠ 18. 4 19. 4 20. 0 21. 1 22. 14三.解答题（共34分）23. 这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．24. （1）证明略；（2）53；（3）8)y x =<<25. （1）点E 是否在y 轴上；（2）2829y x x =--+；（3）当点1P 的坐标为(0,2)时，点Q 的坐标分别为12(Q Q ；当点2P 的坐标为(2)-时，点Q 的坐标分别为34(2),2)Q Q -。
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(上海专用)04(wd无答案)
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用）04一、填空题(★★) 1. 不等式的解集为_________.(★★) 2. 当时，_______________.(★★) 3. 分解因式：_________.(★★★) 4. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．(★★) 5. 不等式的解集是 .二、单选题(★) 6. 下列运算正确的是（）A．B．C．D．(★★) 7. 实数､在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．B．C．D．(★) 8. 函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（）A．图像与轴的交点坐标为B．图像的对称轴在轴的右侧C．当时，的值随值的增大而减小D．的最小值为(★★) 10. 若，则（）A．1B．2C．3D．4(★) 11. 已知的三边 a、 b、 c满足，判断的形状（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形(★) 12. 若关于 x的一元二次方程 ax +2 x-1=0无解，则 a的取值范围是（）A．(-1， +)B．(-，-1)C．[-1，+)D．(-1，0)∪(0，+). (★★) 13. 不等式的解集是（）A．B．C．D．(★★) 14. 不等式的解集是（）A．B．C．D．(★★) 15. 函数的定义域是（）A．(-∞，-2)∪B．(-2，)C．(-∞，-2]∪D．(★★) 16. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是A．的最小值为1B．图象顶点坐标为，对称轴为直线C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三、解答题(★) 17. 解不等式(★★★) 18. 已知关于的方程，取何值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程没有实数根？(★★) 19. 先化简再求值：，其中．(★★★) 20. 已知二次函数的图象过点，，且顶点到 x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．(★★★) 21. 求二次函数在区间上的最大值.(★★★) 22. 已知函数，设关于 x的方程的两实根为，方程 f( x)= x的两实根为.（1）若，求与的关系式；（2）若均为负整数，且，求 f( x)的解析式；。
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试题(上海专用)02(解析版)
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试题（上海专用）02一、单选题1．设集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，则A B 等于（ ）A ．{}5,8B ．{}3,,6C ．{}4,7D ．{}3,5,6,8【答案】A【解析】集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，又集合A 与集合B 中的公共元素为5,8，{}5,8A B ∴⋂=，故选A.2．已知关于x 的方程x 2+x ﹣a =0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2C ．3D ．6【答案】A【解析】设另一根为t ，结合韦达定理即可求解 【详解】设方程的另一个根为t ，根据题意得2+t =﹣1，解得t =﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题3．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3 【答案】D【解析】根据二次函数的性质，对每个选项进行逐一分析判断即可. 【详解】∵y =2x 2+4x -1=2（x +1）2-3， ∴当x =0时，y =-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x =-1，故选项B 错误， 当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误， 当x =-1时，y 取得最小值，此时y =-3，故选项D 正确，故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，属基础题. 4．不等式321x x +≥-的解集是（ ） A ．{}|15x x <≤ B ．{}|15x x << C ．{}|15?x x ≤< D ．{}|15?x x ≤≤【答案】A【解析】把不等式化简为501x x -≤-，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】 原不等式化为352011x x x x +-+-=≥--，即501x x -≤-， 根据分式不等式的解法，可得15x <≤， 即不等式321x x +≥-的解集为{}|15x x <≤． 故选：A. 【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、多选题5．（多选题）下列关系中，正确的有（） A ．{}0∅B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】运用子集、真子集、属于的概念对四个选项逐一判断即可. 【详解】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的； 选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. 【点睛】本题考查了子集关系、真子集关系的判断，考查了常见数集的识别，考查了属于关系的识别.三、填空题 6．已知|a |<1，则11a+与1－a 的大小关系为________. 【答案】11a+≥1－a 【解析】先证明1＋a >0，1－a >0，再利用作商比较法比较大小得解. 【详解】由|a |<1，得－1<a <1. ∴1＋a >0，1－a >0.所以11+1a a-＝211a-， ∵0<1－a 2≤1，∴211a -≥1， ∴11a+≥1－a . 故答案为：11a+≥1－a. 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 7．不等式的解集为 _________.【答案】【解析】试题分析：,所以不等式的解集为.【考点】含绝对值的不等式的解法.8．不等式()()234023x x x x x --≤-+的解集为_________. 【答案】()[)(],31,02,4-∞-⋃-⋃.【解析】把分式不等式除法形式转化成乘积的形式，再因式分解，求出各因式对应方程的根，然后利用“数轴标根法”求出不等式的解集. 【详解】原不等式等价转化为不等式()()()234230x x x x x ---+≤，且3x ≠-、0x ≠、2x ≠，即()()()()14230x x x x x +--+≤且3x ≠-、0x ≠、2x ≠，用“数轴标根法”如图，所以原不等式的解集是()[)(],31,02,4-∞-⋃-⋃.【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查高次不等式“数轴标根法”的应用，属于基础题. 9．关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}|12x x <<，则不等式5bx a +>的解集为__________． 【答案】(,4)(1,)-∞-+∞【解析】∵ 不等式20x ax b -+<的解集为{}|12x x << ∴1x =或2是方程20x ax b -+=的解，即3a =，2b = ∴23bx a x +=+ ∵5bx a +>∴235x +<-或235x +> ∴4x <-或1x >∴不等式5bx a +>的解集为()(),41,-∞-⋃+∞ 故答案为()(),41,-∞-⋃+∞10．A 不等式252(1)x x +≥-的解集是 .【答案】【解析】试题分析：∵252(1)x x +≥-，∴2520(1)x x +-≥-，∴222530(1)x x x -++≥-，∴22530{10x x x -++≥-≠，∴132x -≤≤且1x ≠，∴不等式252(1)x x +≥-的解集是(]11132⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭，，【考点】本题考查了分式不等式的解法点评：熟练掌握分式不等式的解法是解决此类问题的关键，属基础题 11．设集合{}2S x x =>-，{}41T x x =-≤≤，则()R S T =________． 【答案】{}42x x -≤≤-【解析】根据集合的补集运算，得到S R，再由交集运算，得到答案.【详解】因为集合{}2S x x =>-， 所以{}2RS x x =≤-，因为集合{}41T x x =-≤≤， 所以(){}42RS T x x ⋂=-≤≤-故答案为：{}42x x -≤≤- 【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题.12．若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】3a <【解析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果. 【详解】因为“3x >”是“x a >”的充分不必要条件， ∴3a <． 故答案为：3a <． 【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知210x x ++=，求20072006x x +++321x x x +++=_______.【答案】１【解析】将式子三个一分组，每组都有因式x 2+x +1，求得答案. 【详解】由210x x ++=，则20072006x x +++321x x x +++20052200222(1)(1)(1)11x x x x x x x x x =++++++++++=.故答案为：１. 【点睛】本题考查了多项式化简求值，整体代入法，属于基础题.14．已知函数()f x =的定义域为R ，则a 的取值范围为___________ ； 【答案】[0,1]【解析】由已知得ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，分0a =和0a ≠两种情况分析，求得a 的取值范围. 【详解】（1）∵函数()f x =的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立，即0a =符合题意， 当a ≠0时，则20440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，得001a a >⎧⎨≤≤⎩，解得0<a ≤1， 综上，a 的取值范围是[0，1]. 故答案为：[0,1] 【点睛】本题考查了一元二次型不等式恒成立的问题，考查了转化与化归思想，分类讨论思想，属于中档题.15．当2x <3=_______________.【答案】2【解析】根据指数幂运算公式，化简即可得到结果. 【详解】,na a ==，因为2x <，所以原式=22x x -+=故答案为：2【点睛】本题考查利用指数运算性质化简求值，属基础题.16．正实数,x y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为_____.【答案】9【解析】根据题意，可得()21212225y x x y x y x y x y⎛⎫ ⎪⎝⎭+=++=++，然后再利用基本不等式，即可求解. 【详解】()21212225559y x x y x y x y x y +=++=++⎛⎫≥++ ⎝⎭=⎪，当且仅当13x y == 时取等号．故答案为：9． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．17．若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x【解析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=， 所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x . 【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.18．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【答案】(),161667,⎡-∞-++∞⎣【解析】设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域. 【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++，当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立；同理当0t <时，()16g t ≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣.故答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题.19． (2017·厦门一检)已知函数1,(12)3,1()21x a x a x f x x --+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1[0,)2【解析】【详解】因为当1≥x 时，121x -≥，且()f x 的值域为R ，则120(12)131a a a ->⎧⎨-⨯+≥⎩，解得102a ≤<， 即实数a 的取值范围为1[0,)2．四、双空题20．已知x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＋xy ＝5，则xy 的最大值为__________________；x ＋4y 的最小值为__________________． 【答案】1 4【解析】利用基本不等式即可求解. 【详解】 由x ＞0，y ＞0，则4x y xy xy ++≥，即22550+≤⇒+≤，所以)510≤，所以01xy <≤，当且仅当4x y =时，取等号， 即xy 的最大值为1.()21144444442x y x y xy x y x y x y +⎛⎫++=++⋅≤++ ⎪⎝⎭化为()()24164800x y x y +++-≥，解得44x y +≥， 当且仅当4x y =时，取等号，即x ＋4y 的最小值为4 故答案为： 1 ；4 【点睛】本题考查了用基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.五、解答题21．解不等式132x ≤+ 【答案】53x ≥-或2x <-.【解析】移项将不等式右边化为0，再将分式不等式化为整式不等式，即可求得结果. 【详解】 原不等式可化为()()352013535300022220x x x x x x x x ⎧++≥--+-≤⇒≤⇒≥⇒⎨++++≠⎩故可得：53x ≥-或2x <-. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，属基础题.22．已知关于x 的方程22(21)(2)0x m x m +++-=，m 取何值时， (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4)方程没有实数根？ 【答案】见解析.【解析】由题意，求得判别式22(21)4(2)5(43)m m m ∆=+--=-． (1) 由方程有两个不相等的实数根据，则>0∆，即可求解；(2) 由方程有两个不相等的实数根据，则0∆=，即可求解； (3) 由方程有实数根据，则0∆≥，即可求解； (4) 由方程没有实数根据，则∆<0，即可求解； 【详解】由题意，可得判别式22(21)4(2)5(43)m m m ∆=+--=-．(1) 由方程有两个不相等的实数根据，则>0∆，即5(43)0m ->，解得34m >； (2) 由方程有两个不相等的实数根据，则0∆=，即5(43)0m -=，解得34m =； (3) 由方程有实数根据，则0∆≥，即5(43)0m -≥， 解得34m ≥； (4) 由方程没有实数根据，则∆<0，即5(43)0m -<，解得34m <.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的性质及其应用，其中解答中熟记一元二次方程根的情况，合理利用判别式列出相应的条件是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23．已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.（1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =，C B B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，再根据集合的补集与交集的定义求解即可； （2）由C A A =得C A ⊆，由C B B =得B C ⊆，再根据包含关系求解即可．【详解】解：（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由CA A =得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤，由CB B =得BC ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及集合的包含关系，属于基础题．24．设集合{}2|320A x x x =++=，(){}2|10B x x m x m =+++=； （1）用列举法表示集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值.【答案】（1）{}1,2A =--；（2）1m =或2m =【解析】（1）解方程求集合A ，（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，然后求解集合B ，根据子集关系求参数.【详解】（1）()()2320120x x x x ++=⇒++= 即1x =-或2x =- ，{}1,2A =--；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，()()()21010x m x m x x m +++=⇒++=解得1x =- 或x m =-，当1m =时，{}1B =-，满足B A ⊆，当2m =时，{}1,2B =-- ，同样满足B A ⊆，所以1m =或2m =.【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型. 25．已知函数2()442()R f x x ax a a =-++∈，方程()0f x =在(1,2)上有实根，求实数a 的取值范围． 【答案】1827a <<． 【解析】根据题意，求得()()1,2f f ，根据二次函数的性质结合零点存在性定理，列出不等式，则问题得解.【详解】因为()()163,2187f a f a =-=-，①当(1)(2)0f f <时，根据零点存在性定理，显然()0f x =在区间()1,2有根， 即()()367180a a --<，解得1827a <<； ②当(1)0f =时，即2a =时，此时()0f x =，有1x =，舍去；③当(2)0f =时，即187a =时，此时()0f x =，有2x =或47x =，舍去， ④当1222(1)0(2)0a f f ⎧<<⎪⎪⎪∆≥⎨⎪>⎪>⎪⎩时，即()2241616226301870a a a a a <<⎧⎪-+≥⎪⎨->⎪⎪->⎩时，此时()0f x =在(1,2)上有两个实根， 显然不等式无解. 综上所述：1827a <<． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的分布求参数范围，属中档题.。
2022-2023学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试卷含详解
2022学年第一学期七宝中学高一数学10月月考试卷一､填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.用反证法证明命题“如果0x y >>，那么>”时，应假设__________.2.已知a 、b 为不相等的实数，记2M a ab =-，2N ab b =-，则M 与N 的大小关系为______．3.不等式262x x -->的解集为______．4.已知等式3232234x x x ax bx cx d +++=+++对任意实数x 成立，则abcd =___________.5.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于______.6.已知甲：p 是q 的充分条件，乙：p 是q 的充要条件，则甲是乙的___________条件.7.设a 为实数，若关于x 的一元一次不等式组20360x a x a +>⎧⎨-<⎩的解集中有且仅有4个整数，则a 的取值范围是____________.8.设,x y ∈R ，则“0xy >”是“+=+x y x y”成立的___________条件.9.若不等式()2232a b x a b ++≥+对于任意正数,a b 成立，则实数x 的最大值为___________.10.已知a ，b R ∈，若对任意0x ≤，不等式()()22210ax x bx ++-≤恒成立，则a b +的最小值为___________．11.已知,a b 为正实数，且满足248a b a b +++=，则ab 的取值范围是___________.12.若关于x 的方程20x mx n ++=有两个不同实根，且不等式222(1)(1)()l m n m n ≤-+-+-关于满足前述条件的,m n 恒成立，则实数l 的最大值为___________.二､单项选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.设a ，x ，y ∈R ，若0x y +>，0a <， 0ay >，则x y -的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.符号不确定14.设0a >，0b >，则“4a b +≤”是“111a b+≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件15.若正数,,a b c 满足++=12++=45a b c ab bc ca ⎧⎨⎩，则,,a b c 中最大数的最小值为（）.A. B.5C. D.616.设n 是一个大于等于4的正整数，当=n （）时，对任意实数12,,,n a a a ，()()()()()()1213121232n n a a a a a a a a a a a a ---+---+ ()()()1210n n n n a a a a a a -+---≥ 成立.A.4B.5C.6D.7三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.解下列不等式：（1）2223712x x x x +-≥--；（2）1x x x-≤18.已知0a >，0b >．请选择适当的方法证明．（1）若a b ¹，证明：3322a b a b ab +>+；（2）若1ab =，证明：22a a +<与22b b +<不能同时成立．19.设函数2()(3)3,f x x a x a a =-++∈R .（1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）当[4,)x ∈+∞时，不等式()9f x ≥-恒成立，求a 的取值范围.20.设A 为非空集合，定义(){},,A A x y x y A ⨯=∈∣（其中(),x y 表示有序对），称A A ⨯的任意非空子集R 为A 上的一个关系.例如{}0,1,2A =时，A A ⨯与()(){}0,0,2,1都是A 上的关系.设R 为非空集合A 上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意x A ∈，有(),x x R ∈，则称R 在A 上是自反的；②（对称性）若对任意(),x y R ∈，有(),y x R ∈，则称R 在A 上是对称的；③（传递性）若对任意()(),,,x y y z R ∈，有(),x z R ∈，则称R 在A 上是传递的.如果A 上关系R 同时满足上述3条性质，则称R 为A 上的等价关系.任给集合12,,,m S S S ，定义12m S S S ⋃⋃⋃ 为{}12,,,m xx S x S x S ∈∈∈ ∣或或或.（1）若{}0,1,2A =，问：A 上关系有多少个？A 上等价关系有多少个？（不必说明理由）（2）若集合A 有n 个元素()1n ≥，A 的非空子集()12,,,1m A A A m n ≤≤ 两两交集为空集，且12m A A A A ⋃⋃=⋃ ，求证：()()()1122m m R A A A A A A =⨯⨯⨯ 为A 上的等价关系.（3）若集合A 有n 个元素()1n ≥，问：对A 上的任意等价关系R ，是否存在A 的非空子集()12,,,1m A A A m n ≤≤ ，其中任意两个交集为空集，且12m A A A A ⋃⋃=⋃ ，使得()()()1122m m R A A A A A A =⨯⨯⨯ ？请判断并说明理由.21.（1）若关于x 的方程2201tx tx t++=-（0t ≠且1)t ≠有实根，求实数t 的取值范围.（2）若存在实数t （0t ≠且1)t ≠，使得r 是（1）中方程的实根，求r 的取值范围.（3）设()()2,f x x ax b a b =++∈R ，考虑,a b ，使得命题“存在R x ∈，()()()ff f x x =且()f x x ≠”为真命题.对于所有这样的,a b 与相应的x ，求()()()()()()()()()()x f x f x ff x f f x f f f x -+-+-的最小值.2022学年第一学期七宝中学高一数学10月月考试卷一､填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.用反证法证明命题“如果0x y >>，那么>”时，应假设__________.【答案】【分析】由反证法的定义得应假设：【详解】由反证法的定义得应假设：故答案为【点睛】本题主要考查反证法的证明过程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知a 、b 为不相等的实数，记2M a ab =-，2N ab b =-，则M 与N 的大小关系为______．【答案】M N >##N M<【分析】利用作差法可得出M 与N 的大小关系.【详解】因为a b ¹，则0a b -≠，所以，()()()2222220M N a ab ab b aab b a b -=---=-+=->，故M N >.故答案为：M N >.3.不等式262x x -->的解集为______．【答案】∅【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】2260226x x x x ⇒->++<-，因为一元二次方程2260x x ++=的判别式2246200∆=-⨯=-<，二次函数226y x x =++的开口向上，所以不等式2260x x ++<的解集为空集，故答案为：∅4.已知等式3232234x x x ax bx cx d +++=+++对任意实数x 成立，则abcd =___________.【答案】24【分析】根据赋值法即可列方程求解a b c d ,,,的值.【详解】3232234x x x ax bx cx d +++=+++对任意的实数x 成立，因此令0x =，则4d =，()()()323232231230x x x ax bx cx a x b x c x ++=++⇒-+-+-=对任意的实数x 成立，将x -代入得()()()321230a x b x c x --+--=-，因此可得2b =进而()()3130a x c x -+-=，取1,x =以及2x =，代入即可求解1,3a c ==，因此24abcd =故答案为：245.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于______.【答案】254【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，利用勾股定理可得出2225a b +=，然后利用重要不等式可求出该直角三角形面积的最大值.【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，由勾股定理可得2225a b +=，由重要不等式可知22252a b ab =+≥，因此，该直角三角形的面积为1125252224S ab =≤⨯=.当且仅当522a b ==时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于254.故答案为：254.【点睛】本题考查利用重要不等式求最值，要根据题意得出定值条件，结合重要不等式的变形进行求解，考查计算能力，属于基础题.6.已知甲：p 是q 的充分条件，乙：p 是q 的充要条件，则甲是乙的___________条件.【答案】必要不充分【分析】首先判断甲与乙的推导关系，然后根据必要不充分条件的定义进行求解即可.【详解】已知甲：p 是q 的充分条件，乙：p 是q 的充要条件，易知当乙成立时甲一定成立，即乙能推出甲，但当甲成立时乙不一定成立，即甲不能推出乙，得甲是乙的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.7.设a 为实数，若关于x 的一元一次不等式组20360x a x a +>⎧⎨-<⎩的解集中有且仅有4个整数，则a 的取值范围是____________.【答案】322⎛⎤⎥⎝⎦【分析】求得不等式组的解集为,22a a ⎛⎫-⎪⎝⎭，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为1,012-,,两种情况讨论，即可得出答案.【详解】解：关于x 的一元一次不等式组20360x a x a +>⎧⎨-<⎩的解集为,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0a >，故0一定为不等式组的一个整数解，若不等式的4个整数解为0，1，2，3时，则102324a a ⎧-≤-<⎪⎨⎪<≤⎩，解得322a <≤；当不等式的4个整数解为1,012-,,时，则212223a a ⎧-≤-<-⎪⎨⎪<≤⎩，不等式组无解，综上所述，a 的取值范围是3,22⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：3,22⎛⎤⎥⎝⎦.8.设,x y ∈R ，则“0xy >”是“+=+x y x y ”成立的___________条件.【答案】充分不必要条件【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断即可求解.【详解】若0xy >，则,x y 同号，此时+=+x y x y ，当+=+x y x y ，比如0,2x y ==-，不满足0xy >，故“0xy >”是“+=+x y x y ”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件9.若不等式()2232a b x a b ++≥+对于任意正数,a b 成立，则实数x 的最大值为___________.【分析】根据题意得()2262a b x a b ++≤+对任意正数,a b 恒成立，进而结合基本不等式求()2262a b a b +++得最小值即可得答案.【详解】解：因为不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数,a b 恒成立，所以()2262a b x a b ++≤+对任意正数,a b 恒成立，因为()()()2226632224a b a b a b a b a b a b +++++≥=+≥+++，当且仅当a b ==所以，x ≤，即实数x10.已知a ，b R ∈，若对任意0x ≤，不等式()()22210ax x bx ++-≤恒成立，则a b +的最小值为___________．【分析】考虑两个函数()2g x ax =+，2()21f x x bx =+-，由此确定0a >，0x <时，()f x ，()g x 有相同的零点，得出,a b 的关系，检验此时()f x 也满足题意，然后计算出a b +（用a 表示），然后由基本不等式得最小值．【详解】设()2g x ax =+，2()21f x x bx =+-，()f x 图象是开口向上的抛物线，因此由0x≤时，()()0f x g x ≤恒成立得0a >，()0g x =时，2x a =-，2x a <-时，()0g x <，20x a-<≤时，()0>g x ，因此2x a <-时，()0f x >，20x a -<≤时，()0f x <，2()0f a -=，所以24410b a a --=①，2b a->-②，由①得14a b a =-，代入②得124a a a->-，因为0a >，此式显然成立．134a a b a +=+≥=134a a =，即233a =时等号成立，所以ab +【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数()f x 和()g x ，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数,a b 的关系，从而可求得a b +的最小值．11.已知,a b 为正实数，且满足248a b a b+++=，则ab 的取值范围是___________.【答案】55ab ≤≤+【分析】换元得xb a=，进而根据一元二次方程有实数根，有判别式不小于0即可求解.【详解】令(),0ab x x =>则x b a =，代入248a b a b +++=得248x a a a a x+++=，进而得()224820x a xa x x +-++=，该式是关于a 的二次方程，则该方程有实数根，故()()22644420x x x x ∆=-++≥，化简得：2108055x x x -+≤⇒≤≤，所以55ab ≤≤+故答案为：55ab ≤≤12.若关于x 的方程20x mx n ++=有两个不同实根，且不等式222(1)(1)()l m n m n ≤-+-+-关于满足前述条件的,m n 恒成立，则实数l 的最大值为___________.【答案】98【分析】根据题意，设2,04m n t t =->，进而整理222(1)(1)()m n m n -+-+-得222(1)(1)()m n m n -+-+-222(1)3432(1)42m t m ⎡⎤---=+-⎢⎥⎣⎦，进而令2(1)0u m =-≥，当u 给定时，再分03u ≤≤和3u >分别讨论求解即可.【详解】解：因为关于x 的方程20x mx n ++=有两个不同实根，所以240m n ∆=->，故设2,0,4m n t t =->所以，222222(1)(1)()(1)(1)()m n m n m n n m =-+-+--+-+-2222112(12((1)22m m n m m ++=-++-⨯+-22221312()(1)2()2242m m m n m t ++=-+-=--23(1)2m +-222(1)3432(1)42m t m ⎡⎤---=+-⎢⎥⎣⎦①，所以，令2(1)0u m =-≥，当u 给定时，当03u ≤≤，0=t 时，222(1)3432(1)42m t m ⎡⎤---+-⎢⎥⎣⎦可变形为22119(3)12(69)888u u u u ⎡⎤-+=++≥⎣⎦，但由于0t >，故222(1)3432(1)2948m t m ⎡⎤---+-⎢⎥⎣>⎦当3u >时，取34u t -=，222(1)3432(1)42m t m ⎡⎤---+-⎢⎥⎣⎦可变形为399228u >>，所以，222(1)3432(1)42m t m ⎡⎤---+-⎢⎥⎣⎦的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.所以，实数l 的最大值为98.故答案为：98【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合判别式设2,0,4m n t t =->进而整理得222(1)(1)()m n m n -+-+-222(1)3432(1)42m t m ⎡⎤---=+-⎢⎥⎣⎦，再令2(1)0u m =-≥，结合二次函数的最值求解即可.二､单项选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.设a ，x ，y ∈R ，若0x y +>， 0a <， 0ay >，则x y -的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.符号不确定【答案】A【分析】根据题意，结合不等式的性质判断x 和y 的正负，即可求解.【详解】根据题意，由0a <，0ay >，得0y <，因为0x y +>，所以0x y >->，故0x y ->.故选：A.14.设0a >，0b >，则“4a b +≤”是“111a b+≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由0a >，0b >，可得4a b ≤+≤，得1144ab ab ≤⇒≥，利用基本不等式11a b +≥之可以取值举反例.【详解】先证充分性成立，0a > ，0b >，4a b +≤，4a b ∴+≤，得114ab ≥，则1121a b +≥≥⨯，当且仅当2a b ==时等号成立，所以“4a b +≤”是“111a b+≥”的充分条件；再证必要性不成立，由0a >，0b >，111a b +≥，即令14a =，4b =，得111714a b +=>成立，但1744a b +=>，所以“4a b +≤”是“111a b +≥”的不必要条件；综上，“4a b +≤”是“111a b+≥”的充分不必要条件.故选：A.15.若正数,,a b c 满足++=12++=45a b c ab bc ca ⎧⎨⎩，则,,a b c 中最大数的最小值为（）.A. B.5C. D.6【答案】B【分析】根据式子等价变形以及基本不等式即可求解.【详解】不妨设a b c ≥≥，则4a ≥，由1212a b c b c a ++=⇒+=-，所以可得2()()2b c ab bc ac a b c bc a b c +⎛⎫++=++≤++ ⎪⎝⎭，将12b c a +=-代入得：()()21245124a a a -≤-+，化简得：28120a a -+≤，解得：46a ≤≤因为()()0ab ac --≥，所以20,a ac ab bc --+≥故()22120212a a a bc bc a a --+≥⇒≥-+，又()()()245()1212212ab bc ac a b c bc a a bc a a a a =++=++=-+≥-+-+，化简得281505a a a -+≥⇒≥，综上可得56a ≤≤，故最小值为5，故选：B16.设n 是一个大于等于4的正整数，当=n （）时，对任意实数12,,,n a a a ，()()()()()()1213121232n n a a a a a a a a a a a a ---+---+ ()()()1210n n n n a a a a a a -+---≥ 成立.A.4 B.5C.6D.7【答案】B【分析】先证明5n =成立，再证明4n =以及5n >不成立，即可求解.【详解】当4n =时，取11a =-，2340a a a ===，则有()()()()()()()()()121314212324312433a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+---+---()()()41424310a a a a a a +---=-<,故对4n =论断不成立，当5n =时，由于()()()()()()121315212325a a a a a a a a a a a a ---+---+ ()()()515254a a a a a a +--- ①①是关于125,,,a a a 的对称式子，故不妨假设12345a a a a a ≥≥≥≥，于是()()()()()()1213152123250a a a a a a a a a a a a ---+---≥ ，②类似的，有()()()()()()4142545515240a a a a a a a a a a a a ---+---≥ ③又因为313234350,0,0,0a a a a a a a a -≤-≤-≥-≥，所以()()()()313234350a a a a a a a a --+-+-≥④将②③④相加可得①为大于等于0，即当5n =时，论断成立，当5n >时，取121120,1,2i i i i n a a a a a a a -++========= ，其中32i n ≤≤-，则有()()()()()()1213121232n n a a a a a a a a a a a a ---+---+()()()()()()1211121i i i n i i i n a a a a a a a a a a a a ++++---+---+ ()()()()1211n in n n n a a a a a a --+---=- ，于是，当5n >且为奇数时，取3i n =-，于是()110n i--=-<，当5n >且为偶数时，取3i =，则()()31110n in ---=-=-<，因此当5n >时，论断不成立，故选：B三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.解下列不等式：（1）2223712x x x x +-≥--；（2）1x x x-≤【答案】（1）(](](),51,12,-∞--+∞ （2）(],2-∞【分析】（1）首先将1移到不等号左边并通分化简，然后根据分式不等式，并运用穿根法即可求出不等式的解集；（2）分别讨论0x ≥与0x <两种情况，然后分别根据绝对值不等式即可求出不等式的解集.【小问1详解】根据不等式2223712x x x x +-≥--，可得22237102x x x x +--≥--，通分化简可得：()()()()222225123724502221x x x x x x x x x x x x x x +-+--+++-==≥-----+不等式等价于()()()()51210x x x x +--+≥且2x ≠且1x ≠-.根据穿根法，解得原不等式的解集为(](](),51,12,-∞--+∞ 【小问2详解】当0x ≥时，原不等式等价为1x x x -≤，即11x -≤，111x -≤-≤，解得02x ≤≤；当0x <时，原不等式等价为1x x x -≤-，因为11x -≥-恒成立，所以解得0x <.综上所述：原不等式的解集为(],2-∞.18.已知0a >，0b >．请选择适当的方法证明．（1）若a b ¹，证明：3322a b a b ab +>+；（2）若1ab =，证明：22a a +<与22b b +<不能同时成立．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用作差法可证得结论成立；（2）假设22a a +<与22b b +<同时成立，由2200a a a ⎧+-<⎨>⎩解出a 的取值范围，同理解出b 的取值范围，再结合不等式的基本性质推出矛盾，由此可证得结论成立.【小问1详解】证明：因为()()()()3322323222a ba b ab aa b b ab a a b b b a +-+=-+-=-+-()()()()222a b a b a b a b =--=-+，因为a b ¹，且0a >，0b >，所以()()20a b a b -+>，所以3322a b a b ab +>+，得证．【小问2详解】证明：假设22a a +<与22b b +<同时成立，由2200a a a ⎧+-<⎨>⎩可得01a <<，由2200b b b ⎧+-<⎨>⎩可得01b <<，由不等式的性质可得01ab <<，这与1ab =矛盾，假设不成立.所以，22a a +<与22b b +<不能同时成立.19.设函数2()(3)3,f x x a x a a =-++∈R .（1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）当[4,)x ∈+∞时，不等式()9f x ≥-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）{}9a a ≤【分析】（1）对a 分类讨论：当3a <时；当3a =时；当3a >时.分别求出对应的解集；（2）利用分离参数法得到93a x x ≤+-，再利用基本不等式求出93x x +-的最小值，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】()(3)()f x x x a =--当3a <时，不等式()0f x <的解集为(,3)a ，当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅，当3a >时，不等式()0f x <的解集为(3,)a .【小问2详解】()(3)()f x x x a =--因为[4,)x ∈+∞，所以由()9f x ≥-可化为：99,33x a a x x x --≥≤+--，因为99333933x x x x +=-++≥+=--（当且仅当933x x -=-，即6x =时等号成立），所以9a ≤.所以a 的取值范围为{}9a a ≤.20.设A 为非空集合，定义(){},,A A x y x y A ⨯=∈∣（其中(),x y 表示有序对），称A A ⨯的任意非空子集R 为A 上的一个关系.例如{}0,1,2A =时，A A ⨯与()(){}0,0,2,1都是A 上的关系.设R 为非空集合A 上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意x A ∈，有(),x x R ∈，则称R 在A 上是自反的；②（对称性）若对任意(),x y R ∈，有(),y x R ∈，则称R 在A 上是对称的；③（传递性）若对任意()(),,,x y y z R ∈，有(),x z R ∈，则称R 在A 上是传递的.如果A 上关系R 同时满足上述3条性质，则称R 为A 上的等价关系.任给集合12,,,m S S S ，定义12m S S S ⋃⋃⋃ 为{}12,,,m xx S x S x S ∈∈∈ ∣或或或.（1）若{}0,1,2A =，问：A 上关系有多少个？A 上等价关系有多少个？（不必说明理由）（2）若集合A 有n 个元素()1n ≥，A 的非空子集()12,,,1m A A A m n ≤≤ 两两交集为空集，且12m A A A A ⋃⋃=⋃ ，求证：()()()1122m m R A A A A A A =⨯⨯⨯ 为A 上的等价关系.（3）若集合A 有n 个元素()1n ≥，问：对A 上的任意等价关系R ，是否存在A 的非空子集()12,,,1m A A A m n ≤≤ ，其中任意两个交集为空集，且12m A A A A ⋃⋃=⋃ ，使得()()()1122m m R A A A A A A =⨯⨯⨯ ？请判断并说明理由.【答案】（1）511;5（2）证明过程见详解（3）存在【分析】（1）先用列举法写出集合A A ⨯，其非空子集个数即为其关系个数.等价关系也可用例举法列出来.（2）要证()()()1122m m R A A A A A A =⨯⨯⨯ 为集合A 上的等价关系，只需证集合R 在集合A 上上满不满足自反性、对称性、传递性.（3）只需判断针对集合A 上包含不同元素个数的子集i A 对应的集合()i i A A R ⨯⊆即可.【小问1详解】由题意得()()()()()()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1,0,2,2,0,2,2,1,2,2,1A A ⨯=，共有9个元素，则有9215121511-=-=个非空子集，即A 上的关系有511个.所有等价关系()()(){}10,0,1,1,2,2R =,()()()()(){}20,0,1,1,2,2,0,1,1,0R =,()()()()(){}30,0,1,1,2,2,0,2,2,0R =,()()()()(){}40,0,1,1,2,2,2,1,1,2R =,()()()()()()()()(){}50,0,1,1,2,2,0,1,1,0,0,2,2,0,2,1,1,2R =,共有5个.【小问2详解】证明：令{}()123,,,,1n A a a a a n =≥ ，因为A 的非空子集()12,,,1m A A A m n ≤≤ 两两交集为空集，且12m A A A A ⋃⋃=⋃ 设()1s s a A s m n ∈≤≤≤，则除了集合s A 外，其余集合不包含s a .则(){}(),ssssa a A A ⊆⨯，又因为()()()()1122s s mm A A A A A A AA ⨯⊆⨯⋃⨯⋃⋃⨯ ，则(),s s a a R ∈，即R 在A上是自反的.设(),1s t t a a A t m n ∈≤≤≤，则除了集合t A 外，其余集合不包含,s t a a .则()(){}(),,,sttstta a a a A A ⊆⨯，又因为()()()()1122t t mm A A A A A A AA ⨯⊆⨯⋃⨯⋃⋃⨯ ，则()(),,,s t t s a a R a a R ∈∈，即R 在A 上是对称的.设(),,1s t k k a a a A k m n ∈≤≤≤，则除了集合k A 外，其余集合不包含,,s t k a a a .则()()(){}(),,,,sttsskkk a a a a a a A A ⊆⨯，，又因为()()()()1122k k m m A A A A A A A A ⨯⊆⨯⋃⨯⋃⋃⨯ ，则()()(),,,,,s t s k t k a a R a a R a a R ∈∈∈，即R 在A 上是传递的.综上所述，()()()1122m m R A A A A A A =⨯⨯⨯ 为A 上的等价关系【小问3详解】令{}()123,,,,1n A a a a a n =≥ ，因为R 为A 上的等价关系，则R 为集合(){},,A A x y x y A ⨯=∈∣的非空子集.因为A 的非空子集()12,,,1m A A A m n ≤≤ 两两交集为空集，且12m A A A A ⋃⋃=⋃ 设()1s s a A s m n ∈≤≤≤，则除了集合s A 外，其余集合不包含s a .则s s a A ∀∈，必有(),s s a a R ∈，则()s s A A R ⨯⊆.设(),1k t t a a A k t m n ∈≤≤≤≤，则除了集合t A 外，其余集合不包含,k t a a .则()(),,,k k t t a a R a a R ∈∈，则(),,k t a a R ∈必有(),k t a a R ∈，故()t t A A R ⨯⊆，设(),,1x y z x a a a A x y z m n ∈≤≤≤≤≤，则除了集合x A 外，其余集合不包含,,x y z a a a .则()()(){},,,,xxyyzza a a a a a R ⊆，，则()()(),,,,xyyzzxa a R a a R a a R ∈∈∈，，必有()()(),,,,yxzyxza a R a a R a a R ∈∈∈，，则(),xxA A R ⊆.故，不管集合()1i A i m n ≤≤≤中有几个元素，都能保证()i i A A R ⨯⊆，则()()()1122m m R A A A A A A =⨯⨯⨯ .综上所述，对A 上的任意等价关系R ，存在A 的非空子集()12,,,1m A A A m n ≤≤ ，其中任意两个交集为空集，且12m A A A A ⋃⋃=⋃ ，使得()()()1122m m R A A A A A A =⨯⨯⨯ .21.（1）若关于x 的方程2201tx tx t++=-（0t ≠且1)t ≠有实根，求实数t 的取值范围.（2）若存在实数t （0t ≠且1)t ≠，使得r 是（1）中方程的实根，求r 的取值范围.（3）设()()2,f x x ax b a b =++∈R ，考虑,a b ，使得命题“存在R x ∈，()()()ff f x x =且()f x x ≠”为真命题.对于所有这样的,a b 与相应的x ，求()()()()()()()()()()x f x f x f f x f f x f f f x -+-+-的最小值.【答案】（1）3t ≤-或1t >（2）3r ≤-或>1r （3）6【分析】（1）由题意可得判别式非负，解不等式可得t 的范围；（2）结合（1）和方程的解，即可得到所求范围；（3）设x 是函数2()=++f x x ax b 的三阶不动点，记=()y f x ①=()z f y ②则=((()))=()x f f f x f z ③记=r x y -，=s y z -，=t z x -，推导可得r ，s 是关于关于x 的方程2201tx tx t++=-两根，结合（1）（2）即可得到所求最小值．【详解】（1）关于x 的方程2201tx tx t++=-有实根，可得224Δ=0310t t t tt -⇔--≠⎧⎪⎨⎪⎩或1t >；（2）存在实数0t ≠，1，使得r 是（1）中方程的实根，可得2222++=0++=01100t r r tr t rt t r r t ⇔--≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩，所以存在0t ≠，1，使得r 是关于x 的方程2201tx tx t++=-的解0r ⇔≠，1，且关于x 的方程22++=01r x rx r-有实数解3r ⇔-或>1r ；（3）设x 是函数2()=++f x x ax b 的三阶不动点，记=()y f x ①=()z f y ②则=((()))=()x f f f x f z ③记=r x y -，=s y z -，=t z x -，则++=0r s t ．①-②，②-③，③-①得(++)=(++)=(++)=r x y a s s y z a t t z x a r ⎧⎪⎨⎪⎩，因为()f x x ≠，即0r ≠，所以s ，0t ≠，即++=++=++=s x y a r t y z a s r z x a t ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩④⑤⑥，⑤-⑥得=r t r t s -，即2=1t rs t-，又因为+=r s t -，所以r ，s 是关于关于x 的方程2201tx tx t++=-两根．由（1）（2），r ，s ，(t ∈-∞，3](1,+)-∞⋃．因为++=0r s t ，所以r ，s ，t 中至少有一个为负，不妨设3t -，则+=>0r s t -，2=>01trs t-，所以r ，>0s ，记()()()()()()()()()()=++m x f x f x ff x f f x f f f x ---，=||+||+||=+=26m r s t r s t t --，当229=4216a ab --时，f 有三阶不动点5=42a x -，满足=6m ，所以m 的最小值为6．。
上海新高一分班数学试卷及答案(含9份)
2. 一 元二次方程2x2-7x+k=O的 一 个根是X1=2则 ， 另一 个根和k的值是
（
）
A. X2=l , k=4
B. X2= - 1k= -4
C . X2= -3 k=6 2
D. X2＝ 一－k=-6
2
3.如果关于x的 一 元二次方程x2 -k:x+ 2 = 0中，k是投掷假子所得的数字（1, 2, 3, 4, 5, 6），则该二次方程
的表面积是
cm 2 。
门 I I ［丑
门 ｜｜｜｜
正视图
左视图
A. 11 B. 15
c. 18
俯视图 D. 22
第H卷〈答卷〉 二． 填空题〈本大题共5小题， 每小题4分， 共20分〉
11.
函数
’y
＝
丘三中，自变量x的取值范围是
x-2
12.在Rt卒ABC中，正ACB=90 。 ， CD1-AB于D, AC=lO, CD=6，则sinB的值为
有两个不等实数根的概率 P= (
)
A.
-2 3
B.
-1 2
c.
3
4. 二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、 对称轴分别是（
A. (-2, 6) , x=-2 B. (2, 6) , x=2
C. (2, 6) , x=-2
2016-2017年上海市七宝重点中学高一数学分班考试题答卷
2016学年第一学期七宝中学 高一新生入学摸底考试数学试卷一、选择题（每小题有仅一个正确答案，每题3分） 1. 已知0a b >>，则下列不等式不一定成立的是（ ）A. 2ab b >B. a c b c +>+C.11a b<D. ac bc >3的大520A.B.C. D.二、填空题（每题3分）7.2(3)0n -=，则2009(3)m n +-=_________．8. 已知::4:5:7a b c =，240a b c ++=，则2b a c -+=_________．9． 将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（﹣2，0）重合，则点1(,0)2-与点_________重10．对于整数,,,a b c d ，符号a b d c 表示运算ac bd -，已知1134bd <<，则b d +的值为 _________．11．定义“*”：*()(1)(1)X YA B A B A B =++++．已知1*23,2*34==，则3*4的值为_________．12．分式方程133x mx x +=--有增根，则m =_________． 13．如图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的3沿其表面爬到点的最短路程长度是_________．19．二次函数223y x x =--与x 轴两交点之间的距离为_________．20 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式22(2)ααβ+-的值为_________．21．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,3C A AC ∠=︒∠=︒=，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与,AB AC 分别相交于点E 和点D ，则折痕DE 的长22．已知,,x y z 为实数，满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，那么222x y z ++的最小值是_________三、解答题（共34分）23 .（5分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度． 上，且3AE =，B 与以AE 相交的延长线交B 于点F ，是B 的切线时，求证：BF AB ⊥；(2) 求EFCE的值； ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域24．(15分)如图所示，在平面直 角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1,AB OB ==ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点,,A E D ．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线2y ax bx c =++的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P 、Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形OBPQ 的面参考答案一.选择题（仅一个正确答案，每题3分，共18分）1．D 2．D 3．A 4．B5．B 6．C二.填空题（每题3分，共48分）7．﹣18．195 9.1(0,210. 3±11.10635-12. 3 13. 21n n-+14.225-15. 33 16. 15°17.14m≤且0m≠18. 419. 420. 0。
2023-2024学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
七宝中学2023学年第一学期高一数学期中练习一．填空题（4*6+5*6=54分）1.已知集合{1,A =，{}1,B m =，B A ⊂，则m =______.2.)0a >化成有理数指数幂的形式为______．3.不等式26100x x -+>的解集为______.4.已知方程210x -=的两根为1x ，2x ，则1211x x +=______．5.若x 、y 中至少有一个小于0，则0x y +<是______命题.（填“真”或“假”）6.若关于x 的方程22ax a x =+-无解，则实数a 的值为______.7.已知6log 5a=，62b=，则20log 6=______.（用a 、b 表示）8.若0m >，0n >，3m n +=，则14m n +的最小值为___________.9.设R a ∈，若关于x 的不等式210a x -+≥无解，则a 的取值范围为______.10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：11225lg 2Em m E -=-，其中星等为km 的星亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，某天体的亮度是太阳的30倍，则此天体的星等约为______．（精确到0.1）11.已知关于x 的不等式组0131x ax a x a -⎧<⎪-+⎨⎪+>⎩的整数解恰好有两个，则实数a 的取值范围是______．12.已知两正实数a b 、，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为__________．二．选择题（4*2+5*2=18分）13.陈述句“1x >或1y >”的否定形式是（）．A .1x >且1y > B.1x <且1y <C.1x ≤且1y ≤ D.1x ≤或1y ≤14.“2a b -<”是“11a -<且11b -<”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知R a ∈，且0a ≠，则下列不等式一定成立的是（）A.12a a+≥ B.224343a a ++>+C.212a a+> D.2111a>+16.如果[]x 表示不超过x 的最大整数.若[][][][][]111lg1lg2lg3lg2023lg1lg lg lg 232023S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则S 为（）A.0B.2019- C.2021- D.2023-三．解答题（14+14+14+18+18=78分）17.已知集合{}2135A x a x a =+≤≤-为非空集合，()(){}3220B x x x =--≤.（1）当8a =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）求能使()A A B ⊆I 成立的实数a 的取值范围.18.（1）已知实数a ，b 满足a b >，求证：3322a b a b ab ->-.（2）若实数a ，b 为正数，且满足2a b +=，用反证法证明：123b a +≥和123ab+≥中至少有一个成立.19.为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度均为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm .（1）设其中一个栏目ABCD 的宽AB 为cm x ，试把整个矩形海报的面积S 表示成x 的代数式，并求出S 的最小值；（2）如果要求整个矩形海报的面积不超过286100cm ，并且AB 的长度不超过AD 的一半，求AB 长度的取值范围.20.对于两个实数a ，b ，规定*a b a b =-，（1）证明：关于x 的不等式*2*31x x +≥解集为R ；（2）若关于x 的不等式()*1*21x x a ->的解集非空，求实数a 的取值范围；（3）设关于x 的不等式220*2ax x a -+<的解集为A ，试探究是否存在自然数a ，使得不等式220x x +-<与12*22x x +<的解集都包含于A ，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的a 的所有值.21.已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈．（1）若集合{}2,3A =，直接写出集合S ，T ；（2）若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且TA =，求证：1423x x x x +=+；（3）若集合{}02023,N A x x x ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值．七宝中学2023学年第一学期高一数学期中练习一．填空题（4*6+5*6=54分）1.已知集合{1,A =，{}1,B m =，B A ⊂，则m =______.【答案】0或2【分析】根据集合的包含关系，确定集合的元素的关系，即可求解.【详解】因为集合{1,A =，{}1,B m =，B A ⊂，且1m ≠，所以2m =或m =，解得2m =或0m =（1m =不合题意舍去），所以m =0或2.故答案为：0或2.2.)0a >化成有理数指数幂的形式为______．【答案】14a【分析】将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.1115111515551454444a a a a a a ⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：14a3.不等式26100x x -+>的解集为______.【答案】R【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由()22610310x x x -+=-+>恒成立，所以不等式26100x x -+>的解集为R .故答案为：R .4.已知方程210x -=的两根为1x ，2x ，则1211x x +=______．【答案】【分析】使用韦达定理求出12121x x x x +==-，将1211x x +变形为1212x x x x +代入韦达定理即可.【详解】因为方程210x -=的两根为1x ，2x ，所以由根与系数关系得12121x x x x +==-，所以2112121121x x x x x x +===-+故答案为:.5.若x 、y 中至少有一个小于0，则0x y +<是______命题.（填“真”或“假”）【答案】假【分析】利用反例判断命题的真假即可.【详解】x 、y 中至少有一个小于0包括x 、y 都小于0和x 、y 两个数中一个小于0，一个大于0，故当20x =>，10y =-<时，满足条件，但是10x y +=>，所以命题：若x 、y 中至少有一个小于0，则0x y +<为假命题.故答案为：假6.若关于x 的方程22ax a x =+-无解，则实数a 的值为______.【答案】1【分析】根据一次方程的根的特征列式求解即可.【详解】关于x 的方程22ax a x =+-无解，即方程()212a x a -=-无解，所以10a -=，所以1a =.故答案为：17.已知6log 5a =，62b =，则20log 6=______.（用a 、b 表示）【答案】12a b+【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可.【详解】因为62b =，则6log 2b =，又6log 5a =，所以()620666666log 61111log 6log 20log 54log 5log 4log 52log 22a b=====⨯+++.故答案为：12a b+8.若0m >，0n >，3m n +=，则14m n+的最小值为___________.【答案】3【分析】利用基本不等式常值代换即可求解.【详解】因为0m >，0n >，3m n +=，所以()14114141553333n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4n m m n =，即1,2m n ==时，等号成立，所以14m n+的最小值为3，故答案为：39.设R a ∈，若关于x 的不等式210a x -+≥无解，则a 的取值范围为______.【答案】(),0∞-【分析】把问题转化为21a x <+恒成立，构造函数求解最值即可求解【详解】因为关于x 的不等式210a x -+≥无解，所以不等式210a x -+<即21a x <+恒成立，记()21f x x =+，则min ()a f x <，因为()210f x x =+≥，当12x =-时，等号成立，所以a<0，即a 的取值范围为(),0∞-.故答案为：(),0∞-10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：11225lg 2E m m E -=-，其中星等为k m 的星亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，某天体的亮度是太阳的30倍，则此天体的星等约为______．（精确到0.1）【答案】30.4-【分析】由已知11225lg 2E m m E -=-，226.7m =-，且2130E E =，可得解.【详解】设太阳的星等为226.7m =-，此天体的星为1m ，则2130E E =，所以1526.7lg302m +=-，解得130.4m ≈-，故答案为：30.4-.11.已知关于x 的不等式组0131x ax a x a -⎧<⎪-+⎨⎪+>⎩的整数解恰好有两个，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]1,2【分析】分0a ≤、104a <≤、1142a <≤、12a >四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可.【详解】由0131x a x a x a -⎧<⎪-+⎨⎪+>⎩可得()()1013x a x a x a ⎧⎡⎤---<⎪⎣⎦⎨>-⎪⎩，当0a ≤时，113a a a <-≤-，原不等式组无解，不符合题意舍去；当104a <≤时，01311a a a <≤-<-<，原不等式组的解集为{}131a a x a -<<-，没有两个整数解，不符合题意舍去；当1142a <≤时，113112a a a -≤-<≤-<，原不等式组的解集为{}1a a x a <<-，没有两个整数解，不符合题意舍去；当12a >时，131a a a -<-<，原不等式组的解集为{}1a a x a -<<，因为原不等式组的解集中恰好有两个整数解，所以这两个整数解为0,1，所以11012a a -≤-<⎧⎨<≤⎩，解得12a <≤，综上所述，实数a 的取值范围是(]1,2.故答案为：(]1,2.12.已知两正实数a b 、，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为__________．【答案】14【详解】由题意得22222222244444(1)111217(1)16a b ab ab ab z a b a b a b a b ab ab +++=+===+++++-+-+令1ab t -=，则24(2)16t z t +=+，由4(0,0)a b a b +=>>，所以20()42a b ab +<≤=，所以(1,3]t ∈-，所以2224(416)02(16)t t z t t -+-==⇒=+'，当2t =时，max 14z =.点睛：本题考查了基本不等式的应用求最值问题，其中解答中涉及到基本不等式求解最值和利用导数研究函数的最值问题，试卷有一定的难度，属于中档试卷，解答中合理变形，转化为函数求解最值是解答的关键.二．选择题（4*2+5*2=18分）13.陈述句“1x >或1y >”的否定形式是（）．A.1x >且1y >B.1x <且1y <C.1x ≤且1y ≤D.1x ≤或1y ≤【答案】C【分析】根据命题的否定的概念求解即可.【详解】“1x >或1y >”的否定形式是：1x ≤且1y ≤.故选：C14.“2a b -<”是“11a -<且11b -<”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【分析】利用充分、必要条件的概念，结合绝对值的几何意义，以及绝对值三角不等式判断.【详解】当2a b -<，说明a 与b 的距离小于2，但a 与b 与1的距离可以大于或等于1，所以2a b -<不能推出11a -<且11b -<，反过来，当11a -<且11b -<时，()()11112a b a b a b -=---≤-+-<，即2a b -<，所以11a -<且11b -<能推出2a b -<，所以“2a b -<”是“11a -<且11b -<”的必要非充分条件.故选：B15.已知R a ∈，且0a ≠，则下列不等式一定成立的是（）A.12a a+≥ B.224343a a ++>+C.212a a +> D.2111a >+【答案】B【分析】对于ACD ，取特殊值可判断；对于B ，利用基本不等式可判断.【详解】对于A ，令1a =-，则122a a+=-<，A 错；对于B ，224343a a ++≥=+，当且仅当22433a a +=+时，等号成立，但22433a a +=+无实数解，等号不成立，所以224343a a ++>+，B 对；对于C ，令1a =，则212,22a a +==，C 错；对于D ，令1a =，则211112a =<+，D 错.故选：B.16.如果[]x 表示不超过x 的最大整数.若[][][][][]111lg1lg2lg3lg2023lg1lg lg lg 232023S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则S 为（）A.0B.2019- C.2021- D.2023-【答案】B【分析】根据对数函数单调性确定各个给定值的范围，再利用给定定义逐一计算即可得解.【详解】函数lg y x =在(0,)+∞上单调递增，则0lg1lg 2lg 3lg 4lg 5lg 6lg 7lg8lg 9lg101=<<<<<<<<<=，1lg10lg11lg12lg13lg 98lg 99lg1002=<<<<<<<= ，2lg100lg101lg102lg103lg 998lg 999lg10003=<<<<<<<= ，3lg1000lg1001lg1002lg1003lg 2022lg 2023lg100004=<<<<<<<= ，111111lglg lg lg lg 0109432-=<<<<<< ，111112lg lg lg lg lg 110099131211-=<<<<<<- ，111113lg lg lg lg lg 21000999103102101-=<<<<<<- ，111114lg lg lg lg lg 3100002023100310021001-=<<<<<<- ，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[][][][][]0lg1lg 2lg3lg8lg9====== ，[][][][][][]1lg10lg11lg12lg13lg98lg99======= ，[][][][][][]2lg100lg101lg102lg103lg998lg999======= ，[][][][][][]3lg1000lg1001lg1002lg1003lg 2022lg 2023======= ，111111lg lg lg lg lg 109432⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，111112lg lg lg lg lg 10099131211⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，111113lg lg lg lg lg 1000999103102101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，11114lg lg lg lg 2023100310021001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以[][][][][]111lg1lg2lg3lg2023lg1lg lg lg 232023S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()09190290031024192903900410232019=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=-.故选：B三．解答题（14+14+14+18+18=78分）17.已知集合{}2135A x a x a =+≤≤-为非空集合，()(){}3220B x x x =--≤.（1）当8a =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）求能使()A A B ⊆I 成立的实数a 的取值范围.【答案】（1）{}1719A B x x ⋂=≤≤，{}322A B x x ⋃=≤≤（2）[]6,9【分析】（1）当8a =时，求得{}1719A x x =≤≤，()(){}{}3220322B x x x x x =--≤=≤≤，结合集合交集、并集的运算，即可求解；（2）由()A A B ⊆I 得到A B ⊆，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】当8a =时，集合{}{}21351719A x a x a x x =+≤≤-=≤≤，()(){}{}3220322B x x x x x =--≤=≤≤，由集合交集和并集的定义与运算，可得{}1719A B x x ⋂=≤≤，{}322A B x x ⋃=≤≤.【小问2详解】由非空集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，因为()A A B ⊆I ，可得A B ⊆，因为A ≠∅，所以35212133522a a a a -≥+⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得69a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]6,9.18.（1）已知实数a ，b 满足a b >，求证：3322a b a b ab ->-.（2）若实数a ，b 为正数，且满足2a b +=，用反证法证明：123b a +≥和123a b+≥中至少有一个成立.【答案】证明见解析【分析】（1）利用作差法比较大小即可证明；（2）利用反证法结合不等式性质证明即可.【详解】（1）()()()()332232322222a b a b ab a ab b a b a a b b a b ---=+-+=+-+()22()a b a b =-+，因为a b >，所以()22()0a b a b -+>，所以3322a b a b ab ->-；（2）假设结论不成立，即有123b a +<且123a b+<，由已知，实数a ，b 为正数，所以有123b a +<且123a b +<，故22233a b a b ++<+，所以2a b +>，与已知2a b +=矛盾，假设不成立，所以有123b a +≥和123a b+≥中至少有一个成立.19.为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度均为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm .（1）设其中一个栏目ABCD 的宽AB 为cm x ，试把整个矩形海报的面积S 表示成x 的代数式，并求出S 的最小值；（2）如果要求整个矩形海报的面积不超过286100cm ，并且AB 的长度不超过AD 的一半，求AB 长度的取值范围.【答案】（1）100006060600S x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，0x >，S 的最小值为272600cm （2）[]25,100【分析】（1）设矩形栏目的高AD 为cm y ，利用矩形栏目面积得20000y x =，表示出海报广告的面积，利用基本不等式求出最小值即可；（2）根据题意列不等式结合一元二次不等式的解法求解即可.【小问1详解】设矩形栏目的高AD 为cm y ，由题意20000xy =，所以20000y x=，则整个矩形海报广告的高为(20)y +cm ，宽为(330)x +cm ，(其中0,0x y >>)，则整个矩形海报广告的面积：2000010000(20)(330)30(2)60600302606006060600S y x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6060600120006060072600≥⋅=+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，此时200y =.故当矩形栏目的宽AB 为100cm ，高为200cm 时，可使整个矩形海报的面积最小为272600cm .【小问2详解】由题意10000606060086100S x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，即10000425x x+≤，所以2425100000x x -+≤，解得25400x ≤≤，又AB 的长度不超过AD 的一半，所以100002y x x≤=，所以210000x ≤，又0x >，所以0100x <≤，所以25100x ≤≤，即AB 长度的取值范围为[]25,100.20.对于两个实数a ，b ，规定*a b a b =-，（1）证明：关于x 的不等式*2*31x x +≥解集为R ；（2）若关于x 的不等式()*1*21x x a ->的解集非空，求实数a 的取值范围；（3）设关于x 的不等式220*2ax x a -+<的解集为A ，试探究是否存在自然数a ，使得不等式220x x +-<与12*22x x +<的解集都包含于A ，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的a 的所有值.【答案】（1）证明见解析（2）()(),01,-∞⋃+∞（3）存在，0a =或1a =或2a =【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明；（2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可；（3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定()2,3A -⊆，再分0a =和0a ≠两种情况讨论求解可得a 的值.【小问1详解】不等式*2*31x x +≥化为231x x -+-≥，当3x >时，()()23251x x x -+-=-≥，解得3x ≥，又3x >，所以3x >；当23x ≤≤时，()()231x x -+-=，符合题意，则23x ≤≤；当2x <时，()()23251x x x ----=-+≥，解得2x ≤，又2x <，所以2x <；综上所述：x ∈R ，即关于x 的不等式*2*31x x +≥解集为R .【小问2详解】不等式()*1*21x x a ->即121x x a --->解集非空，记()12f x x x a =---，则()max 1f x >，121221x x a x x a a ---≤--+=-，当()()120x x a --≥等号成立.故211a ->，解得a<0或1a >，故实数a 的取值范围()(),01,-∞⋃+∞.【小问3详解】由220x x +-<得()()210x x +⋅-<，解得2<<1x -；不等式12*22x x +<即1222x x +-<，也即212x x -<+，当12x ≥时，212x x -<+，解得3x <，故132x ≤<；当12x <时，122x x -<+，解得13x >-，故1132x -<<.综上所述：133x -<<.故()2,3A -⊆.不等式220*2ax x a -+<即2202ax x a -+-<，也即22200ax x a +--<，当0a =时，220x <，解得1010x -<<，满足条件；当0a ≠时，设2()220g x ax x a =+--，因为0,N a a >∈，所以(2)0,(3)0g g -≤≤，所以422200923200a a a a ⎧++-≤⎪⎨+--≤⎪⎩，解得1a =或2a =.当1a =，2()2120g x x x =+--，当()221,()2120222x g x x x x x ≥=+--=+-，(1)0,(3)0g g <<，当1x <，()22()2120218g x x x x x =+--=--，(2)0g -<，(2,3)A -∈符合题意，当2a =，2()22220g x x x =+--，当2x ≥，()22()222202224g x x x x x =+--=+-，(2)0,(3)0g g <=，当2x <，()22()222202216g x x x x x =+--=--，(2)0g -<，(2,3)A -∈符合题意.综上，0a =或1a =或2a =.【点睛】关键点点睛：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题，即()f x a <有解min ()a f x ⇔>，()f x a >有解max ()a f x ⇔<.21.已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈．（1）若集合{}2,3A =，直接写出集合S ，T ；（2）若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+；（3）若集合{}02023,N A x x x ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值．【答案】（1）{}4,5,6S =，{}0,1T =（2）证明见解析（3）1349【分析】(1)根据题目的定义，即可求得.(2)根据集合相等的概念，可以证明.(3)通过假设{},12,3,,2023,()A m m m m m N =+++∈ ，，求出对应的集合,S T ，通过S T ⋂=∅，建立不等式关系，求出对应的值即可.【小问1详解】当{}2,3A =，则{}4,5,6S =，{}0,1T =【小问2详解】证明：因为集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含4个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的元素满足213243x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+.【小问3详解】集合{}02023,N A x x x ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，设集合{}12,,k A a a a = 满足题意，则12k a a a <<< ，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<+<+<+<+<，所以21S k ≥-，因为S T ⋂=∅，由容斥原理，31S T S T k ⋃=+≥-，所以S T 最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以21k S T a ⋃≤+，即31214047(N)k k a k -≤+≤∈，解得1349k ≤，实际上，当{}675,676,2023A = 时满足题意；证明如下：设{},12,3,,2023,()A m m m m m N =+++∈ ，，则{}2,21,22,4046S m m m =++ ，则{}0,1,2,2023T m =- ，依题意可知，20232m m -<，即16743m <，所以m 的最小值为675，所以当675m =时，集合A 中元素最多，即{}675,676,,2023A = 时满足题意，综上，A 的最大值为1349.。
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上海七宝中学高一数学
分班考试卷
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
2016学年第一学期七宝中学 高一新生入学摸底考试数学试卷
一、选择题（每小题有仅一个正确答案，每题3分）
1. 已知0a b >>，则下列不等式不一定成立的是（）
A.2ab b >
B.a c b c +>+
C.11a b <
D.ac bc > 2.
若不等式组2113x x a -⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则a 的取值范围是（）
A.2a >
B.2a ≥
C.2a <
D.2a ≤ 3. 若123111(,),(,),(,)242M y N y P y --三点都在函数(0)k y k x
=<的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（）
A.213y y y >> B .231y y y >> C.312y y y >> D.321y y y >> 4. 已知22y x =的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A ． 22(2)2y x =-+
B ． 22(2)2y x =+-
C ．
22(2)2y x =-- D ． 22(2)2y x =++
5．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖、参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）
A.14
B.16
C.15
D.320
6. 将水匀速注入一个容器，时间（t ）与容器水位（h ）的关
系如图所示，则容器的形状是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分）
7.
21(3)0m n ++-=，则2009(3)m n +-=_________． 8. 已知::4:5:7a b c =，240a b c ++=，则2b a c -+=_________．
9． 将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（﹣2，0）重合，则点1(,0)2
-与点_________重合．
10．对于整数,,,a b c d ，符号
a b d c 表示运算ac bd -，已知1134b d <<，则b d +的值为 _________．
11．定义“*”：*()(1)(1)
X Y A B A B A B =++++．已知1*23,2*34==，则3*4的值为 _________．
12．分式方程133
x m x x +=--有增根，则m =_________． 13．如图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的数：_________．
14．已知2223,15
a b b c a b c -=-=++=，则ab bc ca ++的值等于_________． 15．若2610x x -+=，则2211x x
+-=_________． 16．如图，
//,60,45,30AB CD BAP APC PCD ααα∠=︒-∠=︒+∠=︒-，则
α=_________．
17．关于x 的一元二次方程210mx x -+=有实根，则m 的取值范围是
_________．
18．如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一
蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程长度是_________．
19．二次函数223y x x =--与x 轴两交点之间的距离为_________．
20已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式22(2)ααβ+-的值为_________．
21．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,3C A AC ∠=︒∠=︒=，折叠
该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与,AB AC 分别相交于点E 和点
D ，则折痕D
E 的长为_________．
22．已知,,x y z 为实数，满足2623
x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，那么222x y z ++的最小值是_________
三、解答题（共34分）
23.（5分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．
24.（14分)如图，线段5AB =，点E 在线段AB 上，且3AE =，B 与以AE 为半径的A 相交于点C ，CE 的延长线交B 于点F ，
(1)当直线AC 是B 的切线时，求证：BF AB ⊥；
(2)求EF CE
的值； (3)设,EF y BF x ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域
24．(15分)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1,3AB OB ==，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点,,A E D ．
（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；
（2）求抛物线2y ax bx c =++的函数表达式；
（3）在x 轴的上方是否存在点P 、Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形OBPQ 的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上？若存在，请求出点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一.选择题（仅一个正确答案，每题3分，共18分）
1．D2．D3．A4．B 5．B6．C
二.填空题（每题3分，共48分）
7．﹣1 8．1(0,)23±10635
-21n n -+ 225-14
m ≤且0m ≠
三.解答题（共34分）
23. 这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．
24. （1）证明略；（2）53；（3）8)y x =<<
25. （1）点E 是否在y 轴上；（2）28299
y x x =--+；
（3）当点1P 的坐标为(0,2)时，点Q 的坐标分别为12(Q Q ；
当点2P 的坐标为(2)8-时，点Q 的坐标分别为34(2),(2)88Q Q -。