材料力学第5章-剪力图与弯矩图_702206401讲解
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梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图课件
静力平衡条件的意义
静力平衡条件是物体受力分析的基本依据，通过它我们可以 分析物体在受到外力作用时的运动状态，并计算出物体所受 到的合力。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的推导和应用
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的推导
在梁的受力分析中，我们可以通过对梁进行截面切开、移除切块并代之以作用相 反的力等步骤，得到梁的内力——剪力和弯矩。当梁处于静力平衡状态时，其剪 力和弯矩也必须满足一定的平衡条件。
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩 图课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 梁的剪力分析 • 梁的弯矩分析 • 梁的剪力和弯矩组合分析 • 梁的剪力和弯矩的静力平衡条件 • 梁的剪力和弯矩的相互作用和影响
01
引言
课程背景
建筑力学是建筑设计和施工的重要基础，而梁的剪力和弯矩是建 筑力学中的重要概念。
通过学习梁的剪力和弯矩，可以更好地理解建筑结构的设计和施 工方法。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的应用
通过应用静力平衡条件，我们可以分析梁在受到外力作用时的剪力和弯矩，进而 计算出梁的应力、应变等物理量，为结构设计提供依据。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的应用实例
简支梁受垂直均布荷载作用
对于简支梁受垂直均布荷载作用的情况，通过应用静力平衡条件，我们可以得到梁的剪力图和弯矩图，并计算出 梁的最大剪力和最大弯矩。
简单梁分析
以简单梁为例，说明如何进行剪力和弯矩的组合分析。
复杂梁分析
通过有限元模型，对复杂梁进行剪力和弯矩的组合分析，讨论各种因素对梁内 力的影响。
05
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件
静力平衡条件的概念和意义
静力平衡条件的概念
静力平衡条件是指物体在受到外力作用时，如果处于静止状 态，则物体内部的力也处于平衡状态，即所有作用在物体上 的外力矢量和为零。
静力平衡条件是物体受力分析的基本依据，通过它我们可以 分析物体在受到外力作用时的运动状态，并计算出物体所受 到的合力。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的推导和应用
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的推导
在梁的受力分析中，我们可以通过对梁进行截面切开、移除切块并代之以作用相 反的力等步骤，得到梁的内力——剪力和弯矩。当梁处于静力平衡状态时，其剪 力和弯矩也必须满足一定的平衡条件。
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩 图课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 梁的剪力分析 • 梁的弯矩分析 • 梁的剪力和弯矩组合分析 • 梁的剪力和弯矩的静力平衡条件 • 梁的剪力和弯矩的相互作用和影响
01
引言
课程背景
建筑力学是建筑设计和施工的重要基础，而梁的剪力和弯矩是建 筑力学中的重要概念。
通过学习梁的剪力和弯矩，可以更好地理解建筑结构的设计和施 工方法。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的应用
通过应用静力平衡条件，我们可以分析梁在受到外力作用时的剪力和弯矩，进而 计算出梁的应力、应变等物理量，为结构设计提供依据。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的应用实例
简支梁受垂直均布荷载作用
对于简支梁受垂直均布荷载作用的情况，通过应用静力平衡条件，我们可以得到梁的剪力图和弯矩图，并计算出 梁的最大剪力和最大弯矩。
简单梁分析
以简单梁为例，说明如何进行剪力和弯矩的组合分析。
复杂梁分析
通过有限元模型，对复杂梁进行剪力和弯矩的组合分析，讨论各种因素对梁内 力的影响。
05
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件
静力平衡条件的概念和意义
静力平衡条件的概念
静力平衡条件是指物体在受到外力作用时，如果处于静止状 态，则物体内部的力也处于平衡状态，即所有作用在物体上 的外力矢量和为零。
剪力图与弯矩图的画法_图文_图文
剪力图与弯矩图的画法_图文_图文.ppt
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
dx
2
d M(x)
2
= q(x)
dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
梁上最大弯矩可能发生在 Q(x) = 0 的截面上 或梁段 边界的截面上。最大剪力 发生在全梁或梁段的界面。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
q
A
B
CE
D
0.2
1.6
1
2
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
q
在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
81KN
CD段： 向右下方的斜直线
DB段：水平直线
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
80KN
+
80KN
MB = 0
全梁的最大2
1
q
E
1.6 2
2
B D
16 16
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
A
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
dx
2
d M(x)
2
= q(x)
dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
梁上最大弯矩可能发生在 Q(x) = 0 的截面上 或梁段 边界的截面上。最大剪力 发生在全梁或梁段的界面。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
q
A
B
CE
D
0.2
1.6
1
2
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
q
在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
81KN
CD段： 向右下方的斜直线
DB段：水平直线
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
80KN
+
80KN
MB = 0
全梁的最大2
1
q
E
1.6 2
2
B D
16 16
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
A
第5章梁的剪力图与弯矩图 ppt课件
FQ/kN
e
1.11 f
1.11
O
0.89 a
0a
O
0.89 b ,c 0.89 d d,e
1.335 b 1.665 c
0.335
x
fx
0
5．确定剪力与弯矩的最 大绝对值 从图中不难得到剪力与弯 矩的绝对值的最大值分别 为
(发生在EF段)
(发生在D、E截面上)
M/kN.m
ppt课件
34
例题2
FRA
ppt课件
13
控制面的概念
外力规律发生变化截面—集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终 点处的横截面。
ppt课件
14
控制面的概念
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两 个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控 制面：
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
其中任一点作平行于x 轴的直线而得。
ppt课件
39
例题3 A FAy FQ a 9qa/4 O
a
O
M
q
E
4a
B
a FBy
e
qa
c
b 7qa/4
e
81qa2/32
qa2 b,c
D
5．根据微分关系连图线
对于弯矩图：在AB段，因
有均布载荷作用，图形为
ql 二次抛物线。又因为q向 下为负，弯矩图为凸向M
坐标正方向的抛物线。于
第5章
梁的剪力图与弯矩图
2019年10月20日
ppt课件
1
目录
材料力学-第五章
例题
y
q
简支梁受均布载荷作用
A xC
B
x
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。
FAY
l
FBY 解：1．确定约束力
MA＝0， MB＝0
FS ql / 2
FAy＝ FBy＝ ql/2
x 2．写出剪力和弯矩方程
ql2 / 8
ql / 2 FS x＝ql / 2 qx 0 x l
解：1．确定约束力 根据力矩平衡方程
M A＝0， MB＝0
求得A、B 二处的约束力 FAy＝0.89 kN , FBy＝1.11 kN
2．确定控制面
在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
M x＝qx2 / 2 0 x l
x
ql2 / 2
依方程画出剪力图和弯矩图
由剪力图、弯矩图可见。最
M
ql2 / 8
大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
5.4 剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
例题
y
q
简支梁受均布载荷作用
A xC
B 试写出剪力和弯矩方程。
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d
2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d 2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
剪力图和弯矩图(史上最全面)ppt课件
1.25 1
q=2kN/m
+
x
_
1
26
§4–5 按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
分区点A： Q qa; M qa2
M 的驻点： Q 0 ; M 3 qa2 2
x
右端点： Q 0; M 3 qa2 2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
1
第四章 弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 §4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 §4–5 按叠加原理作弯矩图 §4–6 平面刚架和曲杆的内力图
弯曲内力习题课
2
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
求支反力qa2qa2qa2241练习直接画内力图p12944dj对称载荷m反对称载荷同时可以提前讲内力图的对称关系2改错见下页ppt3由q图作m图和载荷图p135416b由m图作q图和载荷图p135417a4讲解组合梁的内力图p13046aqa4qa43qa47qa4qa323qa已知q图求外载及m图梁上无集中力偶
qL 1
2q
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
材料力学-5-弯矩图与剪力图
从所得到的剪力图和 弯矩图中不难看出:
在集中力作用点两 侧截面上的剪力是不相 等的，而在集中力偶作 用处两侧截面上的弯矩 是不相等的，其差值分 别为集中力与集中力偶 的数值。
例题5
q
A
4a FAy
梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所
支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外 伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部 分尺寸均示于图中。
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
Nanjing University of Technology
材料力学 课堂教学(5)
2020年8月12日
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的 力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为 弯曲（bending）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
得到梁的剪力方程和弯 矩方程分别为：
M(x)
FQ x＝FRA qx＝ql－qx 0 x 2l
FRA x
M x＝qlx－qx2
0 x 2l
2
这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的 二次函数。
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：
第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和M-x坐标系中绘制出相应的图线，便得到所需要的 剪力图与弯矩图。
材料力学课件：剪力图与弯矩图
略去高阶项，得到
dFQ q dx
dM dx
FQ
d2M dx2
q
此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程
。
上三式反映了梁的内力与外力 之间的关系，依据这些关系，使得根 据外力直接画内力图成为可能。
剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系的证明
dFQ q dx
dM dx
FQ
d2M dx2
q
微分关系的含义： （1）数学含义 （2）力学含义 （3）几何含义
由于中间铰链只能传递力而不能传递力偶矩, 所以梁间铰C处左右两侧截面的弯矩均为零。
• Q过零处,M有极值
• 端部铰及自由端处若无集中力偶则弯矩必 为零，否则为集中力偶之值
• 固定端处的剪力及弯矩通常不为零
• 剪力图在集中载荷处不连续，在其它部分 都连续
• 弯矩图在集中力偶处不连续，在其它部分 都连续
剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
这一方法和过程实际上与前面所介 绍的确定指定横截面上的内力分量的 方法和过程是相似的，所不同的，现 在的指定横截面是坐标为x的横截面 。
需要特别注意的是，在剪力方程和 弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x) 则是x的函数。
剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
剪力图与弯矩图
剪力力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪 力图与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的 方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下：
根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；
应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；
建立FQ－x和M－x坐标系，并将控制面上的剪
根据上述微分方程，由载荷变化规律， 即可推知内力FQ 、M 的变化规律。
剪力图和弯矩图-课件(PPT-精)
02 剪力图和弯矩图的绘制
绘制步骤
确定受力点
首先确定梁的受力点，通常为 梁的两端或支撑点。
分析受力
分析梁所受的剪力和弯矩，确 定剪力和弯矩的大小和方向。
绘制剪力图和弯矩图
根据分析结果，在梁上标出剪 力和弯矩的大小和方向，并绘 制剪力图和弯矩图。
标注数据
在剪力图和弯矩图上标注相关 数据，如剪力和弯矩的大小、
3
优化施工图设计
通过分析剪力图和弯矩图，可以发现施工图设计 中的不足之处，并进行优化改进，提高施工图设 计的合理性和可行性。
在施工过程中的应用
监控施工过程
在施工过程中，通过实时监测剪 力图和弯矩图的动态变化，可以 及时发现施工中的问题，采取相
应的措施进行调整和处理。
评估施工效果
根据剪力图和弯矩图的监测结果， 可以对施工效果进行评估，判断 施工是否符合设计要求和质量标
计算公式
剪力Q=F*sin(a)，其中F为外力，a为 外力与杆件轴线的夹角；弯矩M=F*d， 其中F为外力，d为外力作用点到杆件 固定端的距离。
计算步骤
注意事项
在计算过程中应注意单位的统一，并 考虑杆件的固定端约束条件。
先确定杆件上各点的外力大小和方向， 然后根据公式计算各点的剪力和弯矩， 最后绘制剪力图和弯矩图。
THANKS FOR WATCHING
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实例3
一斜梁在水平载荷作用下的剪力图 和弯矩图解读。
04 剪力图和弯矩图的应用
在结构设计中的应用
评估结构的承载能力
通过分析剪力图和弯矩图，可以确定结构在不同受力情况下的承 载能力，从而确保结构的安全性和稳定性。
优化结构设计
通过调整剪力图和弯矩图的分布和大小，可以优化结构设计，降低 材料消耗，提高结构的经济性和环保性。
梁的内力图剪力图和弯矩图(共16张PPT)
V Rqx qlqx 作3、此依梁方的程剪x作力剪图力和图弯和矩A弯图矩。图
(0<x<l)
2、判断各段V、M图形状：
快速绘制剪力图和弯矩图
突变大小等于集中荷载的大小。
弯矩图出现转折，转折方向与
3、依方程作剪力图和弯矩图
Vmax= 1 ql 2
Mmax 1 ql 2 8
例2 简支梁受集中荷载作用，如图示，
斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜，
V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。
在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0〔 〕向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的
弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；
V>0时向右下方斜斜，
v
而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁
q>0〔 〕向上凸。
q>0〔 〕向上凸。
v 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。
作此梁的剪力图和弯矩图。
作此梁的剪力图和弯矩图。
〔4〕逐段绘制出V和M图即梁的V和M图
极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
〔1〕将梁正确分段 〔2〕根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
剪力图和弯矩图 ppt课件
-
x
l/2
29
求剪力和弯矩的简便方法
◆ 横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右 侧 梁段上所有竖向 外力（包括斜向外力的竖向分力）的 代数和 。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。
剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动 趋势时的剪力为正；反之为负。
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30
◆ 横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁 段上的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。外 力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。
C
x
A
xm
M
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B
4
取右段梁为研究对象。 其剪力的指向和弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
的转向则与取右段梁为
P
FB
研究对象所示相反。
m
M
FS m
B
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5
2、FS 和 M 的正负号的规定 （1）剪力 FS 的符号
剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左上右下 ” 的错动为 正。 或使 考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。
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11
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x)
M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起
正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
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12
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图(史上最全面)页PPT文档
M — 集中力偶
②悬臂梁 ③外伸梁
q(x)— 分布力
q — 均布力
P — 集中力
8
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
9
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，
C x
M
斜直线
曲线
自左Q2向=P右折角 自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M1 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M2
增函数 降函数 碗状 馒头状 折向与P反向 M1M220m
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
qa
q
A
解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。
3. 支座简化
6
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。如：桥梁 下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池 XA
MA
的跳水板支座，木桩下端的支座等。 7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算5。
二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
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MA
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
FA= FP
MO=2FPl
FFQP= FP
A
C
l
B
M=0
l
MO=2FPl FQ= FP FP
A
C
l
B
M=-FPl
l
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩
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MA=0 MO=2FPl
弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述。
q(x)
FP2
FP4
M1
M2
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FP1
FQ
M1
M
x FP1
FP3
FP5
Fy＝0， M＝0
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第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
变化区间——控制面
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函 数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制 面（control cross-section）。据此，下列截面均 可为控制面：
工程中可以看作梁的杆件很多
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型（简支梁）
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固定铰支座
A l
辊轴支座
B
简支梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
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描述内力变化规律有两种方法：
1. 数学方程——剪力方程与弯矩方程； 2. 图形——剪力图与弯矩图。
两种描述方法都要：
1. 确定变化区间； 2. 遵循正负号规则。
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第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
杆件内力变化的一般规律
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件 上的外力相平衡；
解：2．确定控制面和分段
因为梁上只作用有连续分布
载荷(载荷集度没有突变)
，没有集中力和集中力偶的
B
x
作用，所以，从A到B梁的 横截面上的剪力和弯矩可以
分别用一个方程描述，因而 FRB 无需分段建立剪力方程和弯
矩方程。
3．建立Oxy坐标系：以梁的左端 A为坐标原点，建立Oxy坐标系
第5章 剪力图与弯矩图
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
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梁的力学模型
外伸端 固定铰支座
C
A
l2
l1
辊轴支座
B 外伸梁（一端外伸）
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
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M1
FP4 M2
FP1
FP3
FP5
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
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总体平衡与局部平衡的概念
FP2
q(x)
FQ
q(x) FP4
M'
M1 FP1
M F 'Q FP3
M2 FP5
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
q(x)
例题 2
q
A
B
l
一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称 为简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为
q的均布载荷作用，梁的长度为l。
试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
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q
A
B
l
FRA
FRB
剪力方程与弯矩方程
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y
q
解：4．确定剪力方
A
O
x
l
FRA
B x 程和弯矩方程
FRB 对于坐标为x的截面，将其
q
M(x)
q
左侧的均布载荷和约束力向
右侧简化，得到该截面上的
剪力方程和弯矩方程：
FRA x
l－x
FRB
FQ(x)
FQ
x
＝-FRA
qx＝-
ql 2
+qx
q(x)
FP2
FP4
M1
M2
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FP1
x
dx FP3
考察微段的受力与平衡
FP5
q(x)
M
M+d M
C
FQ
FQ+ dFQ
dx
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
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考察微段的受力与平衡
q(x)
M
M+d M
C
FQ
第5章 剪力图与弯矩图
工程中的梁与梁的力学模型
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第5章 剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴 线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯 曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲 （bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁 （beam）。
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看 作梁的杆件很多
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x
＝-
ql 2
+qx
x
C
B
l
B
M x＝- ql x+ qx2
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将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到
dFQ x＝q
dx
dM
dx
x ＝-
ql 2
qx＝FQ
d2M dx2
＝q
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明
架在空中的悬臂梁
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
架在空中的悬臂梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型（悬臂梁）
固定端
A
l
自由端 B
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FP A
B
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
C,
M
Cx D
斜直线
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第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
FQ
FQ const.=C
q=0
dFQ q 0 dx
dM dx
FQ =const.
x
x
M Cx D
M
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FP2
FP4
M1
M2
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FP1
x
FQ
M1
M
x FP1
FP3
FP5
Fy＝0， M＝0
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的 两种方法
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第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
q(x)
FP2
FP4
M1
M2
FP1
FP3
FP5
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化.
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
当梁上的外力（包括约束力）沿杆的轴线方向发生 突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以 及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩
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例题1
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝
2FPl 的作用。梁的全长为2l。 试用力系简化方法确定指定截面上的剪力和弯矩。
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
第5章 剪力图与弯矩图