正弦函数y=sinx的图象和性质

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1.3.1 正弦函数的图象和性质

二. 教学目的

1、掌握用几何法绘制正弦函数y sin x,x R =∈的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义；

2、掌握正弦函数y sin x,x R =∈的性质及应用；

3、掌握正弦型函数y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的图象（特别是用五点法画函数

y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的图象）、性质及应用。

三. 教学重点、难点

重点：

1、用五点法画函数y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的简图；

2、函数y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的性质及应用；

3、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的图象的关系。 难点：

1、正弦函数y sin x,x R =∈的周期性和单调性的理解；

2、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的图象的关系。

四. 知识分析

1、正弦函数图象的几何作法

采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：

（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；

（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π

、、2π的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；

（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图

描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五

点起决定作用，它们是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)

22ππ

π-π。描出这五点后，其图象的形状

基本上就确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

注意：

（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。

（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。

（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中。

（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。

（5）如果函数表达式不是y sin x =，则那五点就可能不是

3(0,0),(,1),(,0),(,1),

22ππ

π-

(2,0)π

如：用“五点法”作函数y 1sin x,x [0,2]=+∈π的简图，所用的五个关键点列表就是：

而用“五点法”作函数

y sin(2x )

3π

=+的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列x

6π

-

12π 3π

712π 56π

2x 3π+

0 2π

π 32π

2π y

1

－1

3、正弦曲线

下面是正弦函数y sin x,x R =∈的图象的一部分：

2

-2

-15-10-551015

4、正弦函数的值域

从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度； 从正弦曲线也可以看出：正弦曲线分布在 y = 1 和 y ＝－1 之间，说明|sinx|≤1，即正弦函数的值域是［－1 , 1 ］。

注意：这里所说的正弦函数的值域是[－l,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。如果定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是［－1,1］。如

y sin x,x 0,2π⎡⎤

=∈⎢⎥

⎣⎦，则值域就是[0，1]， 因而在确定正弦函数的值域时，要特别注意其

定义域。

5、周期函数的定义

一般地，对于函数 y ＝f ( x ) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。

注意：( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足f(x ＋T)＝f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。

例如：

4sin

)24sin(π=π+π 但是

3sin

)23sin(π≠π+π 就是说，2π不能对x 的定义域内的每一个值都有sin(x )sin x

2π+=, 因此2π

不是 sinx

的周期 。

（2）从等式f(x ＋T)＝f(x)来看，应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期，

如 f (2x + T) = f (2x) , T 不是f(2x)的周期，而应写成 f(2 x + T)＝

T

f[2(x )]

2+＝ f( 2x ) ，则T

2是 f ( 2x)的周期。

（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。

（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期．例知，常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) , x ∈R ，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C ，即对于函数 f( x)的定义域内的每一个值 x ，都有 f ( x + T ) ＝ C ，因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期。

再如函数

⎩⎨

⎧=)(0)(1)(是无理数是有理数x x x D 设 r 是任意一个有理数，那么当 x 是有理数时， x + r 也是有理数，当 x 为无理数

时， x + r 也是无理数，就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此在两种情况下，都有 D ( x + r ) ＝ D ( x ) ，所以 D ( x )是周期函数， r 是 D ( x )的周期，由于 r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以 D (x)没有最小正周期。

（5）“f ( x + T )＝f ( x ) ”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立， T 是非零常数，周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值。

（6）周期函数的周期不只一个，若T 是周期，则 kT ( k ∈N *

)一定也是周期。 （7）在周期函数 y ＝f （x ）中，T 是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x + kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。

6、正弦函数的周期性

（1）从正弦线的变化规律可以看出，正弦函数是周期函数，2k (k Z k 0)π∈≠且是它的周期，最小正周期是 2π。

（2）正弦函数的周期也可由诱导公式 sin ( x + 2k π)＝sinx ( k ∈Z)得到。