点的运动轨迹

点的运动轨迹
符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫
做满足该条件的点的轨迹.
“动点路径”就是一个比较抽象的问题,但在高中解析几何中的学习就是非常有用的,也就是非常重要的。

在研究动点问题时,可以在运动中寻找不变的量,即不变的数量关系或位置关系.如果动点的轨迹就是一条线段,那么其中不变的量便就是该动点到某条直线的距离始终保持不变;如果动点的轨迹就是一段圆弧,那么其中不变的量便就是该动点到某个定点的距离始终保持不变.因此,解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变的关系。

常用的基本轨迹: 1、如图,已知AB=10,P 就是线段AB 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 与△PDB,连接CD,设CD 的中点为G,当点P 从点A 运动到点B 时,则点G 移动路径的长就是______.
变式1、(2010桂林)如图:已知AB=10,点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2;P 就是线段CD 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 与等边△PFB,连接EF,设EF 的中点为G;当点P 从点C 运动到点D 时,则点G 移动路径的长就是______.
变式2、如图:已知AB=10,点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2;P 就是线段CD 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形APEF 与正方形PBGH,点O 1与O 2就是这两个正方形的中心,连接O 1O 2,设O 1O 2的中点为Q;当点P 从点C 运动到点D 时,则点Q 移动路径的长就是______.
2、
如
图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P 就是CD 上一动点,分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 与PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P 从点C 运动到点D 时,线段O1O2中点G 的运动路径的长就是_____.
母题:若3x t +=,5y t -=,则y 与x 之间的关系就是 _________ .
3、如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动,过点P 作PD ∥BC,交AB 于点D,连接PQ 分别从点A 、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t 秒(t ≥0).
(1)直接用含t 的代数式分别表示:QB= _________ ,PD= _________ .
(2)就是否存在t 的值,使四边形PDBQ 为菱形？若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q 的速度(匀速运动),使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形,求点Q 的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.
变式1:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA ＝4,OC ＝2.点P 从点O 出发,沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,当点P 到达点A 时停止运动,设点P 运动的时间就是t 秒.将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ,点D 随点P 的运动而运动,连接DP 、DA .
(1)请用含t 的代数式表示出点D 的坐标;
(2)请直接写出随着点P 的运动,点D 运动路线的长、
变式2:如图,边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点,点A 在x 轴正半轴上,点B 在第一象限.一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,当点P 到达点A 时停止运动,设点P 运动的时间就是t 秒.将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ,点C 随点P 的运动而运动,连接CP 、CA ,过点P 作PD ⊥OB 于点D .
(1)填空:PD 的长为 用含t 的代数式表示);(2)求点C 的坐标(用含t 的代数式表示);
(3)在点P 从O 向A 运动的过程中,△PCA 能否成为直角三角形？求t 的值.若不能,说理由;
(4)填空:在点P 从O 向A 运动的过程中,点C 运动路线的长为 、
4、在矩形ABCD 中,点P 在AD 上,AB= ,AP=1。

将直角尺的顶点放在P 处,直角尺的两边分别交AB,BC 于点E,F,连接EF(如图①).
(1)当点E 与点B 重合时,点F 恰好与点C 重合(如图2),则PC 的长为 ;
(2)将直角尺从图2中的位置开始,绕点P 顺时针旋转,当点E 与点A 重合时停止、在这个过程中,从开始到停止,线段EF 的中点所经过的路径(线段)长为 。

变式、
如图,直角坐标系中,已知点A(2,4),B(5,0),动点P 从B 点出发沿BO 向终点O 运动,动点Q 从A 点出发沿AB 向终点B 运动.两点同时出发,速度均为每秒1个单位,设从出发起运动了x 秒.
(1)Q 点的坐标为( , )(用含x 的代数式表示);
(2)当x 为何值时,△APQ 就是一个以AP 为腰的等腰三角形？
(3)记PQ 的中点为G.请您直接写出点G 随点P,Q 运动所经过的路线的长度.
x
y
O A B
D C
P x y O A B
5、如图,OA ⊥OB,垂足为O,P 、Q 分别就是射线OA 、OB 上的两个动点,点C 就是线段PQ 的中点,且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长就是 。

.
变式、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8.
问题思考:
如图1,点P 为线段AB 上的一个动点,分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形
APDC 、BPEF.
(1)当点P 运动时,这两个正方形的面积之与就是定值不？若就是,请求出;若不就是,请求出这两个正方形面积之与的最小值.
问题拓展:
(2)如图2,以AB 为边作正方形ABCD,动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动,且PQ=8.若点P 从点A 出发,沿A →B →C →D 的线路,向点D 运动,求点P 从A 到D 的运动过程中,PQ 的中点O 所经过的路径的长.
(3)如图3,在“问题思考”中,若点M 、N 就是线段AB 上的两点,且AM=BN=1,点G 、H 分别就是边CD 、EF 的中点,请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中,GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值.
8、等边三角形ABC 的边长为6,在
AC ,BC 边上各取
一点
E ,
F ,连结AF ,BE 相交
于点P 、 (1)若AE =CF 、求证:AF =BE ,并求∠APB 的度数、
(2)若AF =BE ,当点E 从点A 运动到点C 时,试求点P 经过的路径长、
=9、(2018达州中考16)6、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC
2,BC=5,点D 就是BC 边上一点且CD=1,点P 就是线段DB 上一
您动点。

连接AP,以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP,
当点P 从点D 出发运动至点B 停止时,点O 的运动路径长为 。

(南京)8.如图,正方形ABCD 的边长就是2,M 就是AD 的中点,点E 从点A 出发,沿AB 运动到点B 停止.连接EM 并延长交射线CD 于点F ,过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ,连结EG 、FG .
(1)设AE ＝x 时,△EGF 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(2)P 就是MG 的中点,请直接写出点P 运动路线的长.
F
D A
M P
E
F D
A M P E
阅读下列材料:
小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接P A、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.
小华就是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,
然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段与的最小值了.她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.她的做法就是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD、BE,则BE的长即为所求.
(1)请您写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;
(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:
①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);
②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.。