6均匀设计汇总
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第七章 均匀设计.
（2）1
（4）2
3
（3）2
（6）3
4
（4）2
（1）1
5
（5）3
（3）2
6
（6）3
（5）3
（3）1 （6）2 （2）1 （5）2 （1）1 （4）2
• 例2 要安排一个2因素（A、B）5水平和1
因素（C）2水平的试验。
• 可用正交表（试验次数很多）
• 可用U*10(1010)来安排 • （见附件表10-14 、表10-15、表10-16）
• （一般书籍中只列出试验次数为奇数 的均匀设计表）
• 例如：表1、2、6、7、9、11
• ②使用表：每张均匀设计表都附有一 张相应的使用表（试验次数为奇、偶 数的使用表相同）。
• 如表3、8、10、12
（二）混合水平的均匀设计表（拟水平法） • 例1，有2个因素A和B为3水平，1个因素C
为2水平。分别记它们的水平为 A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2 。
表17 拟水平设计U10（52×21）
列号
试验号
1
2
5
A
B
C
1
（1）1
（2）1
（5）1
2
（2）1
（4）2
（10）2
3
（3）2
（6）3
（4）1
4
（4）2
（8）4
（9）2
5
（5）3
（10）5
（3）1
6
（6）3
（1）1
（8）2
7
（7）4
（3）2
（2）1
8
（8）4
（5）3
（7）2
9
（9）5
（7）4
（1）1
应用统计方法课件 5.2 均匀试验设计
No
1
2
3
4
5
6
1
1
2
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5
7
8
2
2
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3
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3
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2
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8
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1
9
9
9
9
9
9
9
用上述步骤生成的均匀设计表记作U n (nm ) ，向量 h 称为该表的生成向量，有时为了强调 h 的作用，可将 U n (nm ) 记成 U n (h) 。给定 n ，相应的 h 可以象上例那 样方便地求得，从而 m 也就确定。所以 m 是 n 的一个函
u42 = 6 + 2 = 8 ，u52 = 8 + 2 = 10 = 1(mod 9) ，
u62 = 1 + 2 = 3 ， u72 = 3 + 2 = 5 ，
u82 = 5 + 2 = 7 ， u92 = 7 + 2 = 9 ，
其结果列于表 5-29 的第二列。
表 5-29 U 9 (96 )
5
3
1
2
6
6
5
4
1
7
7
7
7
7
( ) 表 5-24
U
* 7
74
No
[物理]第七章 均匀设计
![[物理]第七章 均匀设计](https://img.taocdn.com/s3/m/368dfa60a8956bec0975e392.png)
为点集{ x1 , x2 ,, xn }在[0，1]m中的偏差(D)，或星偏差。
2018/11/28 11
偏差(D)的缺点 用（星）偏差来度量均匀性的缺点之一是不够灵敏， 有时明显不同的两个均匀设计会出现相同的偏差； 缺点之二是与原点有关，所有矩形都从原点开始。 为了克服上述偏差的缺点，人们有研究出很多其它的 偏差度量方法。 其它的偏差 CD2——中心化L2偏差 WD2——可卷的L2偏差 MD2——修正的L2偏差 SD2——对称化L2偏差 其中，用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后来方开泰 教授新研制的均匀设计表大都基于最小的CD2偏差。
1
1
2018/11/28
8
§7.2 均匀设计的使用表
7.2.1 均匀设计表的使用
在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不 同的，用哪些列是有讲究的。
* 譬如用 U 6 (66 ) 安排两个因子时，用1,3列与用1,6列的均匀 性是不同的，试验点在平面上的分布见图7.2.1。前者分布比 较均匀。
2018/11/28 12
7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。 譬如n=6时，由于n=2×3，经计算 6 1 2 1 3 2 ，所 以列数只有2列。 因为均匀设计表U7(76)最后一行全是“7”组成的，故划 去这一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去
均匀设计讲稿
均匀设计均匀设计是将数论和多元统计结合的一种安排多因素多水平的试验设计，这种设计是利用均匀设计表安排试验可减少试验次数，而让试验点在试验范围内均匀分散、具有更好的代表性。
一、特点常用的正交设计具有“均匀分散、整齐可比”的特点。
均匀分散性使试验点均衡地分布在试验范围内，具有充分的代表性，即使在正交表各列都排满的情况下，也能得到满意的结果；整齐可比性使试验结果的分析十分方便，易于估计各因素的效应和部分交互作用，从而掌握各因素对指标的影响大小和变化规律。
然而，正交试验为了达到“整齐可比”，试验次数往往比较多，例如一个9水平试验，正交试验至少要92次，试验次数这么多，一般是很难实现的。
若不考虑“整齐可比”，让试验点在试验范围内充分地均匀分散，具有更好的代表性，这种从均匀性出发的试验设计称为均匀内设计。
它有以下优点：（1）试验次数少。
均匀设计让试验点在其试验范围内尽可能地“均匀分散”，试验次数降为与水平数相等。
（2）因素的水平数可多设。
（3）均匀设计试验分析求得回归方程，便于分析各因素对试验结果的影响，可以定量地预知优化条件及优化结果的区间估计。
二、应用范围凡多因素，水平数≧5，特别是水平需从量变关系进行考察分析的试验设计，都可采用均匀设计，由于每个因素的每一个水平只做一次试验，故要求被试因素与非处理因素均易于严格控制，试验条件不宜严格控制或考察因素不宜数量化的不宜用均匀设计。
病人个体差异较大，治疗过程中非处理因素的干扰也较难控制，所以，均匀设计不宜应用于临床疗效研究。
大动物个体差异较大，也不宜用均匀设计进行试验。
而小动物遗传特性及个体条件易做到高度可比性，故以小动物进行多因素多水平试验可用均匀设计。
三、均匀设计表及其使用表1 均匀设计表均匀设计表简称U表，它是按“均匀分散”的特性构造的表格，水平数相同的均匀设计表记为Un（n m），其中U是均匀设计表的代写符号；n是因素水平数，也表示行数，也就是试验次数；m为均匀表的列数，表示最多可安排的因素数。
均匀实验设计
y 0.330 0.366 0.294 0.476 0.209 0.451 0.482
1. 将 x1, x2和 x3放入列1,２ 和3. 2．用x1的７个水平替代第 一列的1到 7.
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
9
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
(1.1.2)
这个结果与人们的经验不符。
10
然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
y 0 1x1 2 x2 3x3 11x12 22 x22 33x32
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
表 1.1.5:
No. 1x1 x22 x33
1 11.0 123 1.35 2 12.4 149 3.60 3 13.8 265 1.20 4 24.2 110 2.5 5 25.6 136 0.15 6 36.0 252 2.40 7 37.4 278 3.75
z42 (1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1)
它们和 Ｘ、Ｔ 一起进行回归分析。
回归方程如下:
28
29 y 0 1 X 2T 3Z31 4Z32 5Z33 6Z41 7Z42
771 901 899 927 1111 1271
=
均匀设计是一种试验设 计 方法。它可以用较少的试 验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的 度量下最好的析因试验设计方 法。均匀设计也是仿真试验设 计和稳健设计的重要方法。
6均匀设计
讨论:
因素 x2 没有给响应Y予显著的贡献，可以 选x2为其中点，即x2 = 19 ml.
求出的x1* = 3.4 在边界上, 需扩大x1的试验上限。
故，在x1 = 3.4和 x3 = 2.7575的邻域,追加一些 试验是必要的。
在最后一步，一些优化算法是很有用的。 否则要用到求偏导数的办法得到x1和x3的最值。
可见，均匀设计表只用部分
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使用。
把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U7及(74 ) 其使用表。
2019/11/20
17
均匀设计表 U7 (74 ) 及其使用表
使用表说明：当安排2个因 子时，第1、3列是最佳的选择， 若安排4个因子，第1、2、3、 4是最佳选择。
2016815方开泰中国科学院数学研究所中国科学院院士中国科学院应用数学研究所北京师范大学香港浸会大学联合国际学院美国数理统计科学院终身院士美国统计学会终身院士201681561均匀设计概述及均匀设计表611均匀设计概述例61为了研究环境污染对人体的危害考察六种重金属cdcuznnicrpb对老鼠寿命的影响考察老鼠体内某种细胞的死亡率
与均匀设计几乎同期出现在西方流行的“拉丁 超立方体抽样”与均匀设计在本质上是一致的。
2019/11/20
5
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
2019/11/20
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
6
§6.1 均匀设计概述及均匀设计表
2019/11/20
20
2.利用均匀设计表来安排试验的步骤：
均匀设计试验案例
均匀设计某冶炼厂排出的废水中含有大量的镉、鉮、铅等有害元素，对环境造成严重污染。
考察的试验因素为温度（z1）、时间（z2）、碱与硫酸亚铁之比（z3）以及硫酸亚铁用量（z4），每个因素取9个水平。
根据使用表可知，我们选取的均匀设计表为U9(95)表1因素水平表表2 U9(95)的使用表因素数列号D2130.1944 31340.3102412350.4066根据因素和水平，可以选择均匀设计表U9（95）。
根据U9（95）的使用表，将z1，z2，z3和z4分别安排在U9（95）表的1、2、3、5列（D ＝0.4066），其试验方案及试验结果如下表。
表3 均匀设计表U9(95)列号试验号12345 112478224857336336448715551284663663775142887521999999表4 均匀设计结果（1）直观分析法：由表可以看出9号试验所得产品的吸盐水能力最强，可以将9号试验对应的条件作为较优的工艺条件。
（2）回归分析将实验结果表输入到SPSS软件中，进行回归分析，得到以下结果：输入／移去的变量b模型输入的变量移去的变量方法1 z4, z2,z3, z1. 输入a. 已输入所有请求的变量。
b. 因变量: y从方差分析结果可以看出，所求的方程非常显著，该回归方程是可信的。
R=0.992，说明y 和z 1、z 2、z 3、z 4高度线性相关。
由上述分析结果可知，回归方程为：y ＝18.585＋1.644z 1－11.667z 2＋0.101z 3－3.333z 4 这是一个四元线性回归方程，经检验回归方程有显著性（F =70.692，P =0.001）。
对各偏回归系数进行假设检验的结果为：t 1=12.980， P =0.000；t 2 =－3.684，P =0.021； t 3=1.754，P =0.154； t 4 =－1.579，P =0.190。
由标准偏回归系数可知因素的主次顺序为：z 1＞z 2＞z 3＞z 4。
均匀设计及其应用_方开泰
小 , 故不 作重 复 试验 ( 即 在 同一 试验 条 件下将 试 验 重 复 多次 ) .
设先 将时 间 和加 碱量 固定 , 变化 温度 , 试验 结 果如 下 :
B = 9 0分
8 0 oC 8 5 oC 9 0 oC
C = 5%
33 纬 70写 64 肠
其 中 3 纬 , 70 % 和 64 % 为得率 , 三 次试 验 中 , 以 70 % 为 最 高 ,
再 增加 一个 因素 , 既 然 不费事 何乐 而不 为呢 ? 试 验 的结果发 现 , 最后添加 的这个因 素是 最 重 要 的 , 从 而发 现 了历 史 上最 好 的工艺 条件 , 正是 “ 有心 栽 花花 不成 , 无意 插柳 柳 成
荫”
.
3 . 试 验 的范 围 应 当尽可 能大 一点 . 如 果试验 在 试验 室 进行 , 试验 范 围大 比较 容易
多时 , 常 常 会得到 错误 的结 论 , 不 能 达到 预期 目的 .
圣 8 . 正 交试 验 法 ( 正 交设 计 )
我们 将 27 个 工艺 组 合 进行 全 面试验 , 发 现 当工 艺 条件 为 人 = 90 ℃ , B = 1 50 分 , C = 7 %
60
数理统计与 管理
1卷
1期
时 得 率可 达 8 肠 , 而 这个 工艺 条 件没 有 为 上 面 的 试验 方 法所 发 现 . 因 此 , 多 次2单 因 素试 验 法 有 局限 性 , 只 能 用 于 因 素间 没有 交互 作 用 的场 合 . 特 别是 , 当 因 素 的 数 目和 水 平 数 更
A = 85℃
5% 6写 7%
B = 1 2 0分
7 3% 75 % 68 %
均匀设计
1 （10℃） 5 （30℃）
*
2 （15℃） 3 （30℃）
4 （10℃） 5 （15℃）
4 （25℃）
3 （20℃）
2 （25℃）
1 （20℃）
*
2
均匀设计表
U5(54)
列号 试验号 1 2 3 4 5
均匀设计使用表
因素数 2 列号 1 2 1 2 4
1
1 2 3 4 5
2
2 4 1 3 5
3
，其中pk
1 1 1 n1 1 1 p1 p2 pk
n=15=5*3 15*（1-1/3）*(1-1/5)=8
2
均匀设计表
n=6=2*3
6*（1-1/2）*(1-1/3)=2
列数: 当n为合数时，特别是偶数时，若用上述方法，列数较少, 此时可以通过将奇数表划去最后一行得到比它次数少一的
y=262.54+6.47x1+2.11x2+0.42x3-0.61x4
5
数据分析
回归系数表
P-value
P-value：P值，一般取P值的界限 为0.20,0.05,0.01
Intercept x1 x2 x3 x4
[0，0.01]
因素高度显著，非常重要
(0.01，0.05] 因素显著，重要
0.40 0.03 0.23 0.90 0.84
正交试验 至少需要102次实验
均匀试验 至少需要10次实验
1
简 介
均匀设计（Uniform Design,UD）是由我国数
学家王元和方开泰于1978年首次提出，是我国独 创的一种重大的科学试验方法。
1
简 介
*
2 （15℃） 3 （30℃）
4 （10℃） 5 （15℃）
4 （25℃）
3 （20℃）
2 （25℃）
1 （20℃）
*
2
均匀设计表
U5(54)
列号 试验号 1 2 3 4 5
均匀设计使用表
因素数 2 列号 1 2 1 2 4
1
1 2 3 4 5
2
2 4 1 3 5
3
，其中pk
1 1 1 n1 1 1 p1 p2 pk
n=15=5*3 15*（1-1/3）*(1-1/5)=8
2
均匀设计表
n=6=2*3
6*（1-1/2）*(1-1/3)=2
列数: 当n为合数时，特别是偶数时，若用上述方法，列数较少, 此时可以通过将奇数表划去最后一行得到比它次数少一的
y=262.54+6.47x1+2.11x2+0.42x3-0.61x4
5
数据分析
回归系数表
P-value
P-value：P值，一般取P值的界限 为0.20,0.05,0.01
Intercept x1 x2 x3 x4
[0，0.01]
因素高度显著，非常重要
(0.01，0.05] 因素显著，重要
0.40 0.03 0.23 0.90 0.84
正交试验 至少需要102次实验
均匀试验 至少需要10次实验
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简 介
均匀设计（Uniform Design,UD）是由我国数
学家王元和方开泰于1978年首次提出，是我国独 创的一种重大的科学试验方法。
1
简 介
均匀试验设计
1 均匀试验设计概述
均匀设计 均匀设计,又称均匀设计试验法，或空间 填充设计，是一种试验设计方法。它是只考虑 试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计 方法。它由方开泰教授和数学家王元在1978年 共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法” 的一个应用。
1 均匀试验设计概述
对任意两个因素来说，为保证综合可比性，必须是全面 试验，而每个因素的水平必须有重复，这样以来试验点 在试验范围内就不可能充分地均匀分散，试验点的数目 就不能过少。显然，用正交表安排试验，均匀性受到一 定限制，因而试验点的代表性不够强。
结论：根据试验方案进行试验， 其收率(Y)列于表的最后一列， 其中以第7号试验为最好，其 工艺条件为配比3.4，吡啶量 28ml，反应时间3.5h。
U 9 9 6 使用表
因素数 1 3 列号
1
3
5
4
1
2
3
5
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5 6
2 均匀设计表与使用表
均匀设计表 的特点
每个因素的每个 水平只做一次实 验，即每一列无 水平重复
试验点分布得 比较均匀
均匀设计表的 试验次数与 水平数相等
均匀设计表中 各列的字码 次序不能随意 改动
3 均匀设计的基本步骤
均匀试验设计
组员：赵彤，郑茂佳，赵丽霞
目录
1
2 3
均匀试验设计概述 均匀设计表与使用表 均匀设计的基本步骤及例题
1 均匀试验设计概述
从正交试验设 计谈起
正交表
均衡分散性 可使试验点均匀地分布在 试验范围内，每个试点都 具有一定的代表性。这样， 即使正交表各列均排满， 也能得到比较满意的结 果。
单因素6水平均匀设计
单因素6水平均匀设计
单因素6水平均匀设计是一种实验设计方法，用于研究一个因素对结果变量的影响。
在该设计中，将一个因素分为6个水平，每个水平都有相同数量的观测值。
以下是单因素6水平均匀设计的步骤：
确定因素和水平：首先确定要研究的因素，并将其分为6个水平。
确保每个水平的差异程度相对均匀，并且能够涵盖因素的全部范围。
确定观测值数量：确定每个水平的观测值数量，这些观测值数量应该相等。
通常情况下，观测值的数量越多，实验结果的可靠性越高。
随机化实验次序：为了消除实验中其他可能的干扰因素，需要随机化实验次序。
这样可以减小实验结果的偏差，并增加实验结果的可靠性。
进行实验并记录数据：按照随机化的实验次序，进行实验并记录结果变量的数据。
确保在每个水平上的观测值都得到准确记录。
数据分析：
对实验结果进行数据分析，可以使用统计方法，如方差分析。
通过分析结果，可以确定因素对结果变量的影响是否显著。
结果解释和推论：
根据数据分析的结果，解释因素对结果变量的影响，并进行推论。
根据推论，可以对因素的不同水平进行比较，并得出结论。
单因素6水平均匀设计的优点是简单易行，容易分析和解释结果。
然而，它也
有一些限制，如无法分析因素与其他因素的交互作用。
因此，在实际应用中，需要根据具体的研究目的和需求来选择合适的实验设计方法。
均匀设计
Regression Residual Total
a. Predic tors: (Con stant), X 3 方 , X1X2, X4, X1, X2, X3 b. Dependent Variable: Y
Coefficientsa Standardi zed Coefficien ts Beta -2.146 -2.715 -4.106 .329 4.695 3.658
在淀粉接枝丙烯制备高吸水性树脂的试验中,为了提高树脂吸盐水的能力,考察 了丙烯酸用量X1,引发剂用量X2,丙烯酸中和度X3和甲醛用量X4四个因素,每个因素取 9个水平，如下表所示：
根据因素和水平，我们选取均匀设计表U9﹡(94)或U9﹡(95)。但由于它们的使 用表可以发现，均匀表U9﹡(94)最多只能安排3个因素，所以选用U9﹡(95)来安排 该实验。根据U9﹡(95)的使用表，将x1，x2，x3，x4，x5分别放在U9﹡(95)表的1， 2,3,4,5列，试验方案和试验结果如下表所示：
即丙烯酸用量>引发剂用量>丙烯酸中和度>甲醛用量。
例7-2 利用废弃塑料制备清漆的研究中,以提高警惕清漆漆膜的附着 力作为试验目的。结合专业知识,选定了以下四个因素,并确定了每 个因素的考察范围。 因素及水平见下表U10﹡(108)：
Coefficientsa Standardi zed Coefficien ts Beta .368 .798 -.315 .333
t 5.896 -7.115 -6.483 -8.120 7.344 8.430 7.456
Sig. .010 .006 .007 .004 .005 .004 .005
a. Dependent Variable: Y
均匀试验设计的方法与应用
列所组成的试验方案的偏差。
由于均匀设计表列间的相关性，用表最多只能
安排
s 2
1
个因素。
27 May 2020
回归设计 均匀设计
第5页
因素的最大数
Un(qs)
试验次数
水平数
27 May 2020
回归设计
第6页
其中‘偏差’为均匀性的度量值，数值小的设计表示均匀 性好。例如 U7 (74)的使用表为,
的偏差0.1875，而 的偏差为0.1597，
两者差别并不很大。所以用均匀设计安排的试验其效果
虽然比不上自正交设计，但其效果并不太差，而试验次
数却少了5倍。
27 May 2020
回归设计
第20页
3 偏差相近时试验次数的比较
刚才讲到
比不上
，如果让试验次数适当增加，
使
相应的偏差与 的偏差相接近，例如 的偏差
为0.1445，比 的偏差略好，但试验次数可省36/8=4.5倍。
综合上述三种角度的比较，如果用偏差作为均匀性的度量，
均匀设计明显地优于正交设计，并可节省四至十几倍的试验。
27 May 2020
回归设计
第21页
小结
均匀设计是近年来解决多因素多水平问题较好的方 法。其实验点在考察范围内“均匀分散”，有效减少了 试验次数，节约了时间和费用，同时又能获得对试验对 象较全面深入的认识。通过计算机辅助试验设计以及对 数据结果的统计分析处理，提高了药物制剂研究的客观 评价程度和整体研究水平。在中西药制剂的处方筛选以 及工艺条件优化等方面，均匀设计有着光明的应用前景。
27 May 2020
回归设计
第17页
2 试验结果的比较 正交设计可以计算出因素的主效应，有时也
6-3 混合水平的均匀设计表
华罗庚
王元
School of Microelectronics and Solid-State Electronics
4
第六章 均匀设计法
均匀设计是一种试验设计方法。 它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试验，是在均匀性的度量下最好的析因试验 设计方法。均匀设计也是仿真试验设计和稳健设计 的重要方法。
一、引言
正交试验设计利用： 均衡分散：试验点散布均匀 整齐可比：试验点排列规律整齐可分析
School of Microelectronics and Solid-State Electronics
2
第六章 均匀设计法
均匀设计法： 利用试验点在试验范围内充分分散的均匀设计表 来进行试验设计的科学方法 均匀设计表： 利用数论在多维数值积分中的应用原理构造出的 具有均衡分散特征的代表性试验表格
从两因素11水平的均匀设 计布点图可以直观地看到 布点是均衡分散的。
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第六章 均匀设计法
均匀设计有其独特的布（试验）点方式
每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 任两个因素的试验点在平面的格子点上，每行每列有且 仅有一个试验点
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第六章 均匀设计法
1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一 个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10 ，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计 都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究， 提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”， 将这一方法用于导弹设计，取得了成效。
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因为均匀设计表U7(76)最后一行全是“7”组成的，故划去这
一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去最后一行
* 6 的方法得到，为区别起见，记为 U 6 (6 )
* 66 (6 ) ) 均匀设计表U7 6(7
*表示均匀设 计表有更好 的均匀性， 所布的点更 2018/11/1 具代表性
* U6 (6 6 )
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6 6.2.1
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均匀设计表任两列组成的试验方案一般不等价
均匀设计有其独特的布（试验）点方式：
1.每个因素的每个水平做且仅做一次试验。 2.任两个因素的试验点点在平面的格子点上， 每行每列有且仅有一个试验点。
此二性质反映了均匀设计试验安排的“均衡”， 即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
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6.1.2 均匀设计表Un(qm)
均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用华罗
庚提出的“数论”方法编制的。
1. 均匀设计表Un(qm)
均匀设计表用代号Un(qm)表示，U表示均匀设计
表，它有n行，m列，每列的水平数为q。
对照着正交设计表看均匀设计表
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均匀设计表
3.均匀设计表任两列组成的试验方案一般并 不等价。
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6.2.3 使用均匀设计表
1.刻划均匀度用偏差D，越小，均匀度越好。 * 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任意 三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使用 列，从而形成使用表。
6 如下表就是均匀设计表 U 7 (7 ) 的使用表， s表示因子数。
§6.1 均匀设计概述及均匀设计表
6.1.1 均匀设计概述
均匀设计是用均匀设计表安排试验，而用回归分析 进行数据分析的一种试验设计方法。 基本想法：使试验点在因素空间中具有较好的均匀 分散性。 均匀设计同正交设计一样，也是部分因素设计的重 要方法之一。
适用范围：试验因素多、因素取值范围大、因素水 平多（一般不少于5），而试验次数相对较少的情况。
Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察老鼠体内某种细 胞的死亡率。将每一种重金属看成一个因素，每一因素取17个
水平。试验如何设计？
实验目标？试验指标？因素与水平？ 如果采用正交设计，那么至少要进行172=289次试验。 能否减少试验次数？均匀设计便是针对这种情况提出的一种设 计方法。
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§6.3 均匀设计的数据分析
§6.4 均匀混料设计（了解）
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4 但仅均匀分散，不整齐可比，因此不能进行直观分析。
前言
均匀设计(Uniform Design)是由中国数学家王 元和方开泰于1978年首次提出的,采用均匀设计 表来安排试验的方法，最初在我国导弹设计中应 用，经过20多年的发展和推广，均匀设计已在我 国有较广泛的普及，并在医药、生物、化工、航 天、电子、军事工程等诸多领域中使用，取得了 显著的经济和社会效益。 与均匀设计几乎同期出现在西方流行的“拉丁 超立方体抽样”与均匀设计在本质上是一致的。
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§6.2 均匀设计的使用表
§ 6.2.1 均匀设计表的使用
在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不 同的，用哪些列是有讲究的。 * (6 6 ) 安排两个因子时，用1,3列与用1,6列的均匀 譬如用 U 6 性是不同的，试验点在平面上的分布见图6.2.1。可见前者分
布比较均匀。
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第六章 均匀设计
（Uniform Design）
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回顾正交设计
一个问题：正交设计的适用条件 是什么？ 最少试验次数=水平数2=q2
故正交设计要求：因素数目多、水平少。 遇到不适用的情况怎么办？ 均匀设计
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第六章 均匀设计
§6.1 均匀设计表
§6.2 均匀设计的使用表
1 2 k
1 1 1 n1 1 1 p p p 1 2 k
（如n=9，由于9=32，所以列数为 9 1
2018/11/11 6 列）。 来自12表的构造步骤
前提：给定试验次数n，如n=9； 1.确定第一行：由1…n之间与n互素（两者的最大公约数为1）的 整数构成。 故本例中第一行是：1，2，4，5，7，8 2.其余各行数据由第一行生成： 记第一行数据为h1，…，hr， 则表的第k行、j列的数字=MOD（n，hj*k）——excel取余数函数; 故本例中第1列的数据就是1，2，…，9； 第2列的数据就是2k/n的余数。 ……
具体操作时有均匀设计软件帮助
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* (q m ) 2.另一类均匀设计表 U n
对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。 譬如n=6时， n=？ 1 1 由于n=21×31，经计算6 1 1 2 ，所以列数只有2列。
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王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
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§6.1
均匀设计概述及均匀设计表
6.1.1 均匀设计概述
例6.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属Cd、
均匀设计
因素的最大数
Un
试验次数、行数
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m (q )
水平数
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均匀设计表U7(76)
1,2,3,4,5,6,7 的重新排列. 该表的每一列都是 7行、7水平 末行全是7。
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该表的特点是： （1）对任意的n都可以构造均匀设计表，并且行数n与 水平数q相同，因此试验次数少； （2）列数可按下面规则给出： 当n为素数时，列数最多等于n-1； （如上面n=7，所以列数最多为n-1=6列）； l l l 当n是合数时，设 n p1 ，其中 p1 , p2 ,, pk 为素 p2 pk l1 , l 2 ,, l k 为正整数，那么列数为 数，