第五章-控制系统根轨迹法(第七讲)

2
a=10
8 6 4 2
Imag Axis
0 -2 -4 -6 -8
-10
-8
-6
-4 -2 Real Axis
0
2
4
a=9
8 6 4 2
Imag Axis
0 -2 -4 -6 -8 -10
-8
-6
-4 Real Axis
-2
0
2
a=8
6
4
2
Imag Axis
0
-2
-4
-6
-8
-6
-4 Real Axis
G c s1 2 k 1 1 8 0 G 0 s1

。
若 0 ，则该系统不需要相位超前补偿； 若 90 ，则用一阶相位超前控制器还不足 以补足所要的幅角缺额，需要用二阶相位超 前控制器

G c s
G 0 s
4）设一阶相位超前控制器为
6）若系统对稳态特性有要求，如要求 K v 用终值定理计算系统的稳态误差系数
s 0 s0
，则利
K v lim sG 0 s G c s lim sG 0 s
不满足要求，可考虑调整α，或用相位滞后控制器。
Kc

7）进行性能要求校核。 由于所依据主导极点是人为设计的， 所以所设计的控制系统是否满足初始性 能指标，需要专门校核。 若动态特性不满足，则重新调整主导 极点或直接调整组合 , z ，或采用二阶 超前控制器，若稳态特性不满足设计要 求，则可先调小 值尝试。若还不行， 则需考虑采用滞后控制器。 设计原理:使闭环根通过所设的主导极点
-2
0
2
同时增加零极点，则吸引和排斥作用相消
2. 移动开环零极点时
一般结论：根轨迹可能显著变化
（在出现零极点对消时）。
举 例：
G ( s) H (s) 1) a 10 2) a 9 3) a 8 4) a 3 5) a 1 K ( s b) s ( s a) b 1
举例验证 : ①增加极点：
1)G ( s ) H ( s ) K s(s a) K s ( s a )( s b) K
加二个实极点 加一个实极点
2)G ( s ) H ( s )
3)G ( s ) H ( s )
s ( s a )( s b)( s c ) K
加一对复极点
p 8
Gc ( s ) K c
s4 s8
4）求
Kc
s p G 0 s1 s z
s 2 j 2 3
6
5）求误差系数
K v lim sG0 s Gc s
s 0
lim
4s s s 2
s 0

6s 4 s 8
lim
24s 4
6
G (s)H (s)
K s ( s a )( s b )
取 a=1, b=3 根轨迹如图.
4
2
Imag Axis
0
-2
-4
-6 -4
-3 -2 -1 0 1 增加的极点对原根轨迹产生排斥作用 Real Axis
2
增加一条趋于无穷远的发散轨迹
3) 加二个实极点
5 4 3 2 1
G (s)H (s)
2).选择校正环节的类型：
需使根轨迹左移选超前环节 需使根轨迹右移选滞后环节 稳态精度足够但动态性能不好，选超前环节 稳态精度不足但动态性能好，选滞后环节 单独超前校正或滞后校正不行，选 超前—滞后
3).如何确定零极点
据幅值条件、相角条件及设计经验
第1个步骤是理解被控过程并确定控制性能指 标。常见的控制系统性能指标有三类： 时域的（阶跃响应） 频域的（开环系统频域特性） 复域的（零极点）
第五章 根轨迹法
第一节 引言
第二节 根轨迹的基本概念 第三节 根轨迹的绘制规则和方法 第四节 开环零极点对根轨迹的影响
第五节 控制系统根轨迹分析与设计
第四节 开环零极点对根轨迹的影响
1.增加开环零极点时
结论:
• 增加开环极点将多一条发散轨迹，该 轨迹对原有轨迹产生排斥作用, 使系统 稳定性变差;
• 增加开环零点将少一条发散轨迹，该 轨迹对原有轨迹产生吸引作用, 使系统 稳定性变好。
分析与设计思路： 根据主导极点与根轨迹变化特性及控制 性能要求 具体的成熟的设计方法：
一、典型超前控制器的根轨迹设计
二、典型滞后控制器根轨迹设计
三、典型滞后-超前控制器根轨迹法设计
分析与设计思路
=0.6,Mp=10%, =127º
1).期望主导极点的确定：
据标准二阶系统与性能指标的关系算出初步主导极 点位置。注意对非标准二阶系统的修正。 3.5/ts
例5-7 设被控系统为
G 0 s
4 s s 2
求使系统阻尼比 速度误差系数 K v 2 的控制器
0 .5
rad 4 自然频率 n
G c s
。
2 2
s
解 1）求期望的主导极点 并绘制开环系统的根轨迹 和标出主导极点
2）求 G c s 需承担的幅角缺额
确定在主导极点处的K值
K s1 s1 1 s1 5
0 .4 j 0 .8 0 .6 j 0 .8 4 .6 j 0 .8 4 .1 7
计算未校正时V
K V lim sG 0 ( s ) lim
4)G ( s ) H ( s )
s ( s a )( s s1 )( s s2 )
1)
G (s) H (s)
1.5
K s(s a)
当a=1时的初始根轨迹
1
0.5
Imag Axis
0
-0.5
-1
-1.5 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
2) 加一个实极点
例5-8：设 G 0 ( s )
1 s ( s 1)( s 5 )
cos
63 .3
1
s1
-0.4
0.8
求 V 滞后校正环节
解：
求原主导极点
1
作原系统根轨迹,再作 co s 直线.由交点得
s1 , 2 0 . 4 j 0 . 8
s 0
s 2 s 8
4 6 4 4 4 62
6）绘制根轨迹

24 4 16
二.典型滞后控制器根轨迹设计 # 设计要求：改善系统稳态性能而尽量不影响系 统动态性能(控制器零极点尽量靠近, 滞后相角
在5之内)。原理:改变闭环根处的K值
# 控制器： # 经验作法： z
回顾
第五节 控制系统根轨迹分析与设计
具体的成熟的设计方法： 一、典型超前控制器的根轨迹设计
设计方法可归纳为7步:
1）根据性能指标，确定系统主导极点
s 1, 2 n j n 1
2
s1, 2
2）设
G c s K c
绘制纯比例控制根轨迹并观察与主导极点的距离。
3）为使闭环极点通过主导极点，计算幅角缺额
2
Imag Axis
0
-2
-4
-6 -4
-3
-2
-1 Real Axis
0
1
2
2）同时增加零极点
G (s)H (s) K
(s c) s ( s a )( s b )
取 a=3,b=7,c=9
10 8 6 4 2
Imag Axis
0 -2 -4 -6 -8 -10 -10
-8
-6
-4 Real Axis
2)
G (s)H (s) K
(s b) s(s a)
取a=1, b=5。加一个实零点
5 4 3 2 1
Imag Axis
0 -1 -2 -3 -4 -5 -12
-10
-8
-6 -4 Real Axis
-2
0
2
增加的零点对原根轨迹产生吸引作用, 化无限零点为有限零点
3)
G (s)H (s) K
1)G ( s ) H ( s ) K s ( s a )( s b ) K ( s c) s ( s a )( s b )
2 )G ( s ) H ( s )
1) 加一个实极点
6
G (s)H (s)
K s ( s a )( s b )
取 a=1, b=3
4
一般可设 z
n
5
。然后由上方程解出 。从控制量约
束和控制器可实现性考虑，一般取 在 1 , 20 范围。
若
90

，用二阶相位超前控制器
G c s K c s z1 s z 2 s p1 s p 2
5）据根轨迹的幅值条件确定控制器增益
Kc s1 p G 0 s1 s1 z
Gc ( s ) K c
1 1 ~ 5 10
s z s p
p
Kc
z
s p s p
z p
# ||---原系统闭环主导极点到虚轴的距离 # 可设Kc满足稳态误差系数要求:
s 0 s 0 s 0

定义β为零极比，

K v lim sG c ( s ) G 0 ( s ) lim K c sG 0 ( s ) K c lim sG 0 ( s )
2 3 tg tg 2 3
1
1
2 3 z2
)
)
(
2 3 2z 2
2 3z 3 z 2 2 z 2 tg ( ) tg 30 2 1 tgtg 2 z 6 z 16 3 2 3 2 3 1 z 2 2z 2
z 4
k s ( s a )( s b )( s c )
取a=1,b=3, c=5
Imag Axis
0 -1 -2 -3 -4 -5 -7
-6
-5
-4
-3 -2 Real Axis
-1
0
1
2
4) 加一对复极点
20 15 10 5
G (s)H (s)
K s ( s a )( s s1 )( s s 2 )
G c s K c sz s p
p z
Kc
sz s z
1
为极零比，定义
确定 , z 就可确定超前控制器的极点和零点
无穷组组合 , z 可以满足
s1 z s1 p s1 z s1 z

Байду номын сангаас
30

3）设， G
s c
Kc
sz s z
取
2
，
s1 z s1 z 3 0
( s1 z ) ( 2 j 2 3 z ) tg (
( s1 z ) ( 2 j 2 3 2 z ) tg
取s1=-3+10i ; s2=-3-10i
Imag Axis
0 -5 -10 -15 -20 -20
-15
-10
-5
0 Real Axis
5
10
15
20
举例验证 : ②增加零点：
1)G ( s ) H ( s ) K s(s a) K ( s b) s(s a)
加一个实零点
2)G ( s ) H ( s )
3)G ( s ) H ( s )
K ( s z1 )( s z 2 ) s(s a)
加二个零点（复）
1)
G (s) H (s)
K s(s a)
取a=1 初始根轨迹
1.5
1
0.5
Imag Axis
0
-0.5
-1
-1.5 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
180
G0 s1 180
s1, 2 n j n 1 1 4 0 .5 j 4 1 2 2 j 2 3
4 s1 s1 2
s1 2 j 2 3
180 210
( s z1 )( s z 2 ) s(s a)
取a=5, z1=9+10i, z2=9-10i 加二个零点（复）
10 8 6 4 2
Imag Axis
0 -2 -4 -6 -8 -10 -10
-9
-8
-7
-6
-5 -4 Real Axis
-3
-2
-1
0
1
举例验证 : ③同时增加零极点例：
-2
0
2
a=3
4 3 2 1
Imag Axis
0 -1 -2 -3 -4 -4
-3
-2
-1 Real Axis
0
1
2
a=1
2 1.5 1 0.5
Imag Axis
0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
开环零极点与根轨迹图的变化
第五节 控制系统根轨迹分析与设计