第五章-控制系统根轨迹法(第七讲)
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
控制系统设计的根轨迹法.ppt
1
基于根轨迹法的滞后校正
滞后校正装置的主要作用：在闭环主导极点附近，根 轨迹没有明显变化，但是开环增益应根据需要而有显 著增大。
为了避免根轨迹的显著变化，滞后网络产生的辐角应 当限制在较小的范围内，比如说5°。为了保证这一 点，我们将滞后网络的极点和零点配置得相距很近， 并且使他们靠近s平面上的原点。这样，被校正系统 的闭环极点将稍稍偏离原来的位置。因此，瞬态响应 特性将变化很小。
如果被选择的主导闭环极点不是真正的主导极点，则 需要改变此主导闭环极点的位置（主导极点以外的一 些闭环极点改变了由主导闭环极点单独作用而获得的 响应。变化的大小取决于闭环极点的位置）。
基于根轨迹法的超前校正
说明：
在选择极点和零点的位置方面存在多种可能性。下
面介绍求α最大可能值的步骤（比较大的α 值将产生比
零点位于s=-1/T，极点位于s=-1/(αT)。因为0< α <1，所以在复平面上，零点总是位于极点的右方。
基于根轨迹法的超前校正
当性能指标以时域的形式给出时，例如给出期望的主 导闭环极点的阻尼比和无阻尼自然频率、最大超调量、 上升时间和调节时间，这是采用根轨迹法进行设计是 很有效的。
若原系统或者对于所有的增益值均不稳定，或者虽然 属于稳定，但不具有理想的瞬态响应特性。在这种情 况下，有必要在虚轴和原点附近，对根轨迹进行修改， 以便使闭环主导极点位于复平面内期望的位置上。该 问题可以通过在前向传递函数中串联一个适当的超前 校正装置来解决。
较大的Kv值。在多数情况下，比较大的Kv代表比较好的
系统性能）。 期望的闭环×主导极点
jω
2
×
σ
0
图9 角平分线法
滞后校正
自动控制原理第5章 根轨迹法
图5-2 系统根轨迹图
8
5.1 根轨迹法的基本概念
5.1.2 根轨迹与系统性能
依据根轨迹图（见图5-2），就能分析系 统性能随参数（如 K* ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图5-2 所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此 ，当K>0时，图5-1所示系统是稳定的； 如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面 ，则在相应K值下系统是不稳定的；根 轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开 环增益。
2017/6/16
第5章 根轨迹法
16
5.1 根轨迹法的基本概念
5.1.4 根轨迹方程
闭环控制系统一般可用图5-3所示的 结构图来描述。开环传递函数可表示为 m
G( s) H (s) K * (s zi )
i 1
(s p
j 1
n
j
)
系统的闭环传递函数为
G(s) ( s) 1 G( s) H ( s)
第5章 根轨迹法
28
5.3 广义根轨迹
5.3.1 参数根轨迹
除根轨迹增益K* （或开环增益K）以外 的其它参量从零变化到无穷大时绘制的 根轨 迹称为参数根轨迹。 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨 迹的法则完全相同。只需要在绘制参数 根轨迹之前，引入“等效开环传递函数 ”，将绘制参数根轨迹的问题化为绘制 K*变化时根轨迹的形式来处理。
的解。
2017/6/16
第5章 根轨迹法
24
5.2 绘制根轨迹的基本法则
法则6 ： 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴 相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根 。故可在闭环特征方程中令s=jω，然后 分别令方程的实部和虚部均为零，从中 求得交点的坐标值及其相应的K*值。此 外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K*值下处于临界稳定状态，故亦可用劳 斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相 应的K*值。此处的根轨迹增益称为临界 根轨迹增益。
自动控制第五章根轨迹法
15
绘制根轨迹的规则
【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为：
解：(1)根轨迹的分支数和对称性 开环极点分别为： 系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点 起始于系统的三个开环极点，并趋向于无穷远处
K1 Kb
j Kc
K1
(3)根轨迹的渐近线
Kc K1
16
绘制根轨迹的规则
闭环特征根s1，s2 随着K1值得 改变而变化。
(1) K1= 0：s1 = 0，s2 = 2，是根轨迹的起点，用“”表示。 j K1 (2) 0 < K1<1 ：s1 ，s2 均是负实数。 K1 s1 ，s2 。 s1从坐标原点开 始沿负实轴向左移动； s2从（2， K1= 0 K1= 0 K1=1 j0）点开始沿负实轴向右移动。 1 0 2 (3) K1= 1： s1 = s2 = 1，重根。
+
﹣
K s(0.5s+1)
C(s)
式中，K为系统的开环比例系数。 K1 = 2K 称为系统的开环 根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
K1 ( s) 2 s 2s K1
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K1 = 0
4
一、根轨迹
用解析法求得系统的两个闭环特征根为：
s1,2 1 1 K1
K1
分离角为：
Kb
Kc K1
17
绘制根轨迹的规则
一般情况下，如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点之间， 则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根 轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可在 无穷远处），则这两个零点之间至少存在一个汇合点。
控制系统的根轨迹分析法
2019
, cos 1
8
我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整 时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：
% e 1 100% ectg 100% 3 3 ts (为极点实部) n
2
j 1 2n
Sunday, January 13, 2019
B
A
10
这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 k g 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计 算。 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
%e
ctg1
60 100%, 当 % 18 % 时解得：
Gk ( s) [例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为： kg s( s 4)(s 6)
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18 % ，试确定 开环放大系数。
[解]：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 kgp 240 当 k g 240 时， 闭环系统不稳定。
1
2
Sunday, January 13, 2019
22
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
k1 2.93 5 2.93 10 2.93 0.858
45
对于会合点 17.07 ，有
k2 17.07 5 17.0 10 17.07 29.14
由根轨迹图可知，当 0 k 0.858 时，闭环系统有一对不等 的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时， 闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 29 .14 k 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响 应又呈过阻尼状态。
, cos 1
8
我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整 时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：
% e 1 100% ectg 100% 3 3 ts (为极点实部) n
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B
A
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这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 k g 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计 算。 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
%e
ctg1
60 100%, 当 % 18 % 时解得：
Gk ( s) [例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为： kg s( s 4)(s 6)
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18 % ，试确定 开环放大系数。
[解]：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 kgp 240 当 k g 240 时， 闭环系统不稳定。
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Sunday, January 13, 2019
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对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
k1 2.93 5 2.93 10 2.93 0.858
45
对于会合点 17.07 ，有
k2 17.07 5 17.0 10 17.07 29.14
由根轨迹图可知，当 0 k 0.858 时，闭环系统有一对不等 的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时， 闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 29 .14 k 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响 应又呈过阻尼状态。
控制系统的根轨迹分析方法 自控原理 教学PPT课件
P3×
分别起始于p1, p2, p3,4，
P2
终止于无穷远。
×
-2
Im(s)
× 0 P1
Re(s)
根据规则四、实轴上存在
根轨迹是从-2到0之间。
P4×
例4-2-6
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
根据规则五、n-m=4条渐近线
与实轴交点： 渐近线相角分别为：
P3×
Im(s)
P2 ×
j5.66
×
-j5.66
例4-2-5 作
的根轨迹。
该系统 n=3 ，m=1。
有三个开环极点：
一个零点：
根据规则一、二、三： 该根轨迹有三个分支,
分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，
有一个分支终止于z = -1,
另两个分支趋于无穷远。
× -12 -6 -4
根据规则四：
实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。
s1是分离点，s2是会合点。 ×
-12 -6
作完业整：的A绘-4-出7，根A轨-4-迹11，如图4-9所示。
看书p130，表4-1常规根轨迹。
●× -4 -2
图4-9
例4-2-6
分析：n=4，m=0。
根据规则一、二、三、有四个极点：
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
该根轨迹共有四个分支，
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。 。
×
● ● × ××
﹣5
﹣2 ﹣1 0
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度 × 均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
第五章 根轨迹法
0.5
p1
–0.5
180
0.5
s1
0
-0.5
2）在[-1，-∞]间任取一点s2，
G s2 1800 1800 3600
∴s2不在根轨迹上。
-1
3）在[0，∞]间任取一点s3，
j
G s3 0 0 0
0 0
0
s4
0 63.4
1
∴ s3 不在根轨迹上。 p2 s2–1.5
–1
p1
0
116 0.6
0.5
0.5
s1
–0.5
s3
4）在复平面上取一点s4=-0.5+j，
G s 4 116.6 0 63.4 0 180 0 ∴ s4 在根轨迹上。
-0.5
-1
5）取一点 s 5 1 j
j
0 0
G s 5 135 90 225
3、作图法：
m n 1 1 1 [若m 0, 则 0] i 1 s d p i j 1 s d z j i 1 s d p i n
（证明从略）
▲说明：从以上公式求得的sd可能有多个，要舍去 不在根轨迹上的点。
4、分离角的计算： 180 d k
0
( k 相分离的根轨迹数目 )
例2：单位反馈系统的
Gk ( s)
Kg s( s 1)
用根轨迹法在s平面上找到闭环极点。
解: p1=0，p2=-1，没有零点，用试探法：
1）在[0，-1]间任取一点s1，
G s1 180 0 180
0 0 0
j
1
∴s1在根轨迹上 。 p2 s2–1.5
第五章 控制系统计算机辅助分析——根轨迹与频域分析
rlocus：求系统根轨迹。
rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。 sgrid：在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻 尼系数和自然频率栅格。
1、零极点图绘制 MATLAB提供了函数pzmap()来绘制系统的零极点图， 其用法如下：
[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量和 零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。 [p,z]=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢量 和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。
2、根轨迹图绘制 rlocus()
(2) 返回参数，不直接绘图
r=rlocus(num,den,k) [r,k]=rlocus(num,den) ： 不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图，而根据开环增益 变化矢量k ， 返回闭环系统特征方程1＋k*num(s)/den(s)=0的根r， 它有length(k)行，length(den)-1列，每行对应某个k值时 的所有闭环极点。或者同时返回k与r。
4、sgrid()函数
sgrid：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制 出自然振荡频率wn、阻尼比矢量z对应的格线。 sgrid(‘new’)：是先清屏，再画格线。 sgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量 z、自然振荡频率wn的格线。
五. 实例
已知某单位反馈系统的开环传递函数为：
三. 绘制根轨迹的基本规则
1. 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续的并且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数、起点和终点 n阶系统有n支根轨迹。 n支根轨迹分别起始于n个开环极点，其中m支终止于有 限的开环零点，另外n-m支将趋向于无穷远处。
三. 绘制根轨迹的基本规则
控制系统的根轨迹分析法资料PPT课件
由：
D' (s)
k gd
N '(s)
|s d
可以求得分离点s=－2.3557 。
近似求法：分离点在[-4，0]之间。
s0
-0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4
kgd 0
1.628 3
5.971 8.80 9.375 7.457 3.949
kgd 的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。 第12页/共43页
s3
-7.6 -6 -4
Im
s1 2.08
-1.2
Re
0
s2 -2.08
(1) 判断闭环极点-1.20±j2.08是不是系统的主导极点： Im
Gk (s1 ) 1 2 3 s1 (s1 4) (s1 6)
s1 2.08
(180 tg 1 2.08 tg 1 2.08 tg 1 2.08 ) 180
对应根轨迹增益的计算：
|
s(s
kg 4)( s
6)
| 1 s1.2 j 2.08
k g 44
第20页/共43页
4.4.3 利用根轨迹估算系统的性能
(2) 估算系统的性能指标：
系统的闭环传递函数为
(s)
44
(s 1.2 j2.08)(s 1.2 j2.08)(s 7.6)
化简为
(s)
利用根轨迹可以清楚的看出开环根轨迹增益或其他开环系
统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
以二阶系统为例：开环传递函数为 Gk
闭环传递函数为(s)
s2
n2 2 n s
n2
(s)
n2 s(s 2
)
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
控制系统根轨迹分析法课件
根轨迹的概念与分类
根轨迹定义
根轨迹是控制系统中的一种图示方法，用来表示系统的极点 与零点随系统参数变化的关系。根轨迹可以用来分析系统的 稳定性、响应速度和阻尼特性等。
根轨迹分类
根据根轨迹的性质和应用，可以将其分为常规根轨迹和广义 根轨迹。常规根轨迹通常用于分析线性时不变系统的稳定性 ，而广义根轨迹则可以用来分析更复杂的非线性、时变和离 散系统。
优化目标
通过优化控制系统的参数，使得 系统的根轨迹具有更好的分布， 从而提高系统的稳定性和性能。
优化方法
采用遗传算法、粒子群算法等优化 算法对控制系统的参数进行优化。
应用
用于优化控制系统的设计，提高控 制系统的性能和鲁棒性。
05
CHAPTER
控制系统根轨迹分析法的软 件实现
使用MATLAB进行控制系统根轨迹分析
系统的稳定性
稳定性定义
如果一个系统受到外部干扰后能够自我调节并恢复到原始状态，那么这个系统 被认为是稳定的。在控制系统中，稳定性是保证系统正常运行的重要条件。
稳定性判别方法
判断控制系统稳定性的方法有多种，包括劳斯判据、赫尔维茨判据、奈奎斯特 判据等。这些方法可以用来判断系统的稳定性，并指导设计者进行系统参数的 调整。
MATLAB软件介绍
MATLAB是一种科学计算软件，广泛应用于控制系统的设计和分析。
MATLAB在控制系统根轨迹分析中的应用
使用MATLAB的Control System Toolbox可以进行控制系统的根轨迹分析，通过调用相 关函数，可以方便地绘制根轨迹图并进行系统性能的分析。
MATLAB根轨迹分析实例
使用Simulink的Control Design Toolbox可以进行控制系统的根轨迹分析，通过搭建系统模型并设置相应的参数， 可以方便地进行根轨迹分析和系统优化。
控制系统根轨迹法
控制系统根轨迹法控制系统的设计和分析是现代工程领域中的重要任务。
为了实现系统的稳定性和性能要求，控制系统工程师采用了多种方法和技术。
其中，根轨迹法是一种常用且有效的方法，用于评估和改进系统的动态响应。
1. 系统根轨迹方法概述控制系统根轨迹方法是基于系统的传递函数，通过分析系统在复平面上的极点和零点位置来评估系统的稳定性和动态性能。
在根轨迹图中，系统的极点和零点以及传递函数的增益可以直观地展示出来，从而帮助工程师定量地了解系统的响应特性。
2. 根轨迹图的构造根轨迹图通常由两个主要的部分组成：实部为-1的轴线和虚部为0的轴线。
系统的传递函数通常表示为连续时间的形式，并且可以表示为一个或多个一阶和二阶传递函数的乘积。
根轨迹图的构造基于这些传递函数的极点和零点。
极点和零点对应于根轨迹图上的曲线，其中极点表示系统的稳定性，而零点则表示系统的过渡性能。
3. 根轨迹与稳定性根轨迹图提供了系统稳定性的重要信息。
通过观察根轨迹图，可以确定系统的稳定性。
如果根轨迹图上的所有的极点都位于左半平面，那么系统是稳定的。
相反，如果存在极点位于右半平面，系统是不稳定的。
通过调整参数或者设计控制器，可以将系统的极点移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
4. 根轨迹与动态响应除了稳定性，根轨迹图还提供了关于系统动态响应的信息。
通过观察根轨迹图上的曲线形状，可以了解系统的过渡特性。
例如，当根轨迹密集且靠近虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应非常快。
相反，当根轨迹离散且远离虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应比较慢。
通过分析根轨迹图，工程师可以调整系统参数来改善系统的动态响应性能。
5. 根轨迹的应用根轨迹方法是控制系统分析和设计中常用的工具之一。
它可以用于多个方面，包括控制器的设计、系统的稳定性分析和性能优化。
使用根轨迹方法，工程师可以确定合适的控制器增益、相位补偿器和频率补偿器来满足系统的设计要求。
6. 根轨迹法的局限性尽管根轨迹法在控制系统领域中被广泛应用，但它也有一些局限性。
第五章根轨迹设计方法
控
i 1
j 1
制 工
前向通路传
程 基
递函数极点
K*
KG*
K
* H
反馈通路传 递函数极点
础
开环系统的零点数 m f l
开环系统根 轨迹增益
开环系统的极点数 n g h v
系统的闭环传递函数如下
page 9
第五章 根轨迹设计方法
f
h
KG* (s zi ) (s pj )
(s) g
i 1 h
基
础
根轨迹设计方法是基于系统开环极点和零点与闭环极
点和零点的内在联系建立的一种图解方法，是经典控
制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。
page 1
第五章 根轨迹设计方法
主要内容
第一节 根轨迹的基本概念
控
制 工
第二节 绘制根轨迹的基本条件
程 基
第三节 绘制根轨迹的基本规则
础
第四节 广义根轨迹
第五节 利用根轨迹分析系统的性能
由图5-1-1可知，系统开环传递函数为
G(s) KFra bibliotek2K(5-1-1)
s(0.5s 1) s(s 2)
开环极点 p1 0, p2 2 没有零点。式中 K为开环增益。
page 3
第五章 根轨迹设计方法
解 系统的闭环传递函数
R(S)
(s) G(s)
2K
1 G(s)H (s) s2 2s 2K
一﹑闭环零、极点与开环零、极点的关系
系统的方框图如图5-2-1。
控 开环传递函数为
制
工 程 基 础
B(s) G(s)H (s) R(s)
(5-2-1)
R(s)
控制工程基础第五章控制系统的根轨迹法
解 系统的开环极点为0和-2，开环零点为-3。
由根轨迹的辐角条件
m
n
(s
zi)
(s
p
)
j
(2
p
1)
i1
j 1
得
(s 3) s (s 2) (2q 1)
s为复数。将s=σ+jω代入上式，则有
( j 3) ( j) ( j 2) (2q 1)
即
arctan arctan 180 arctan
a nm
30
取式中的q=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3。
p z 渐近线与实轴的交点为
1n [
m
] (0 1 2) 1。
a n m j1
j
i
i1
3
3条渐近线如图5-4中的虚线所示。
（3）实轴上的根轨迹位于原点与-1点之间及-2点的左边，如图中 的粗实线所示。
（4）确定分离点。
系统的特征方程为 s3 3 s2 2s 2K 0 ,即
规则4 根轨迹的渐近线。n-m条趋向无穷远的根轨迹可由渐近线决
定。
渐近线的倾角为： (2q 1) q 0,1,2,
a
nm
渐近线与实轴的交点为
n
m
p
z i
i1
j 1
a
nm
j
开环极点的实部之和 开环玲点的实部之和 开环极点数 开环零点数
【例5-3】设控制系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
是根据系统的开环零点、极点去绘制的。
在下面的讨论中，假定所研究的变化是根轨迹增益值K0，但是当可
变参数为系统的其他参数时，这些基本法则仍然适用。这些基本法则绘
出的根轨迹，其相位遵循180°+2kπ条件的，称为180°根轨迹；其相位
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
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30
3）设， G
s c
Kc
sz s z
取
2
，
s1 z s1 z 3 0
( s1 z ) ( 2 j 2 3 z ) tg (
( s1 z ) ( 2 j 2 3 2 z ) tg
6）若系统对稳态特性有要求，如要求 K v 用终值定理计算系统的稳态误差系数
s 0 s0
，则利
K v lim sG 0 s G c s lim sG 0 s
不满足要求，可考虑调整α，或用相位滞后控制器。
Kc
7）进行性能要求校核。 由于所依据主导极点是人为设计的， 所以所设计的控制系统是否满足初始性 能指标，需要专门校核。 若动态特性不满足，则重新调整主导 极点或直接调整组合 , z ，或采用二阶 超前控制器，若稳态特性不满足设计要 求，则可先调小 值尝试。若还不行， 则需考虑采用滞后控制器。 设计原理:使闭环根通过所设的主导极点
一般可设 z
n
5
。然后由上方程解出 。从控制量约
束和控制器可实现性考虑，一般取 在 1 , 20 范围。
若
90
，用二阶相位超前控制器
G c s K c s z1 s z 2 s p1 s p 2
5）据根轨迹的幅值条件确定控制器增益
Kc s1 p G 0 s1 s1 z
180
G0 s1 180
s1, 2 n j n 1 1 4 0 .5 j 4 1 2 2 j 2 3
4 s1 s1 2
s1 2 j 2 3
180 210
Gc ( s ) K c
1 1 ~ 5 10
s z s p
p
Kc
z
s p s p
z p
# ||---原系统闭环主导极点到虚轴的距离 # 可设Kc满足稳态误差系数要求:
s 0 s 0 s 0
定义β为零极比，
K v lim sG c ( s ) G 0 ( s ) lim K c sG 0 ( s ) K c lim sG 0 ( s )
s 0
s 2 s 8
4 6 4 4 4 62
6）绘制根轨迹
24 4 16
二.典型滞后控制器根轨迹设计 # 设计要求：改善系统稳态性能而尽量不影响系 统动态性能(控制器零极点尽量靠近, 滞后相角
在5之内)。原理:改变闭环根处的K值
# 控制器： # 经验作法： z
2)
G (s)H (s) K
(s b) s(s a)
取a=1, b=5。加一个实零点
5 4 3 2 1
Imag Axis
0 -1 -2 -3 -4 -5 -12
-10
-8
-6 -4 Real Axis
-2
0
2
增加的零点对原根轨迹产生吸引作用, 化无限零点为有限零点
3)
G (s)H (s) K
分析与设计思路： 根据主导极点与根轨迹变化特性及控制 性能要求 具体的成熟的设计方法：
一、典型超前控制器的根轨迹设计
二、典型滞后控制器根轨迹设计
三、典型滞后-超前控制器根轨迹法设计
分析与设计思路
=0.6,Mp=10%, =127º
1).期望主导极点的确定：
据标准二阶系统与性能指标的关系算出初步主导极 点位置。注意对非标准二阶系统的修正。 3.5/ts
p 8
Gc ( s ) K c
s4 s8
4）求
Kc
s p G 0 s1 s z
s 2 j 2 3
6
5）求误差系数
K v lim sG0 s Gc s
s 0
lim
4s s s 2
s 0
6s 4 s 8
lim
24s 4
6
G (s)H (s)
K s ( s a )( s b )
取 a=1, b=3 根轨迹如图.
4
2
Imag Axis
0
-2
-4
-6 -4
-3 -2 -1 0 1 增加的极点对原根轨迹产生排斥作用 Real Axis
2
增加一条趋于无穷远的发散轨迹
3) 加二个实极点
5 4 3 2 1
G (s)H (s)
4)G ( s ) H ( s )
s ( s a )( s s1 )( s s2 )
1)
G (s) H (s)
1.5
K s(s a)
当a=1时的初始根轨迹
1
0.5
Imag Axis
0
-0.5
-1
-1.5 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
2) 加一个实极点
2
a=10
8 6 4 2
Imag Axis
0 -2 -4 -6 -8
-10
-8
-6
-4 -2 Real Axis
0
2
4
a=9
8 6 4 2
Imag Axis
0 -2 -4 -6 -8 -10
-8
-6
-4 Real Axis
-2
0
2
a=8
6
4
2
Imag Axis
0
-2
-4
-6
-8
-6
-4 Real Axis
确定在主导极点处的K值
K s1 s1 1 s1 5
0 .4 j 0 .8 0 .6 j 0 .8 4 .6 j 0 .8 4 .1 7
计算未校正时V
K V lim sG 0 ( s ) lim
回顾
第五节 控制系统根轨迹分析与设计
具体的成熟的设计方法： 一、典型超前控制器的根轨迹设计
设计方法可归纳为7步:
1）根据性能指标，确定系统主导极点
s 1, 2 n j n 1
2
s1, 2
2）设
G c s K c
绘制纯比例控制根轨迹并观察与主导极点的距离。
3）为使闭环极点通过主导极点，计算幅角缺额
-2
0
2
a=3
4 3 2 1
Imag Axis
0 -1 -2 -3 -4 -4
-3
-2
-1 Real Axis
0
1
2
a=1
2 1.5 1 0.5
Imag Axis
0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
开环零极点与根轨迹图的变化
第五节 控制系统根轨迹分析与设计
( s z1 )( s z 2 ) s(s a)
取a=5, z1=9+10i, z2=9-10i 加二个零点（复）
10 8 6 4 2
Imag Axis
0 -2 -4 -6 -8 -10 -10
-9
-8
-7
-6
-5 -4 Real Axis
-3
-2
-1
0
1
举例验证 : ③同时增加零极点例：
G c s K c sz s p
p z
Kc
sz s z
1
为极零比，定义
确定 , z 就可确定超前控制器的极点和零点
无穷组组合 , z 可以满足
s1 z s1 p s1 z s1 z
-2
0
2
同时增加零极点，则吸引和排斥作用相消
2. 移动开环零极点时
一般结论：根轨迹可能显著变化
（在出现零极点对消时）。
举 例：
G ( s) H (s) 1) a 10 2) a 9 3) a 8 4) a 3 5) a 1 K ( s b) s ( s a) b 1
1)G ( s ) H ( s ) K s ( s a )( s b ) K ( s c) s ( s a )( s b )
2 )G ( s ) H ( s )
1) 加一个实极点
6
G (s)H (s)
K s ( s a )( s b )
取 xis
0
-2
-4
-6 -4
-3
-2
-1 Real Axis
0
1
2
2）同时增加零极点
G (s)H (s) K
(s c) s ( s a )( s b )
取 a=3,b=7,c=9
10 8 6 4 2
Imag Axis
0 -2 -4 -6 -8 -10 -10
-8
-6
-4 Real Axis
G c s1 2 k 1 1 8 0 G 0 s1
。
若 0 ，则该系统不需要相位超前补偿； 若 90 ，则用一阶相位超前控制器还不足 以补足所要的幅角缺额，需要用二阶相位超 前控制器
G c s
G 0 s
4）设一阶相位超前控制器为
2 3 tg tg 2 3
1
1
2 3 z2
)
)
(
2 3 2z 2
2 3z 3 z 2 2 z 2 tg ( ) tg 30 2 1 tgtg 2 z 6 z 16 3 2 3 2 3 1 z 2 2z 2